Documento en el que se explican los métodos para el cálculo aproximado de π y de otras superficies irregulares.

2. GEOMÉTRICOS
MÉTODO DEL AGRIMENSOR
PROBABILÍSTICOS MÉTODO DE MONTECARLO
 BASADO EN LA SIGUIENTE DEDUCCIÓN:
𝐴𝐶í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝜋𝑟2 = 𝜋 ∙ 12 = 𝜋
𝐴1
4 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝜋
4
DESARROLLAREMOS EL CÁLCULO DE 𝜋 POR DIRERENTES MÉTODOS:
BASADO EN APROXIMAR LA SUPERFICIE A
UNA POLIGONAL Y CONTAR PUNTOS
BASADO EN LA TRIANGULACIÓN Y
PRODUCTO VECTORIALES.
BASADO EN LA GENERACIÓN DE
NÚMEROS ALEATORIOS PARA
ESTIMAR PROBABILIDADES
 OBTENCIÓN DEL ÁREA DEL NÚCLEO URBANO DE ZALAMEA DE LA SERENA
 CONCLUSIONES Y ERRORES COMETIDOS
TEOREMA DE PICK

3. A LO LARGO DE LA HISTORIA, EL CÁLCULO DE 𝜋 HA MEJORADO A MEDIDA QUE
SE HAN IDO DESARROLLANDO HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS MÁS POTENTES Y
COMPLEJAS
UNA DE LAS REFERENCIAS MÁS ANTIGUAS DEL VALOR DE  SE ENCUENTRA EN LA
BIBLIA.
LOS TRABAJOS DE ARQUÍMEDES DE SIRACUSA, MARCAN UN ANTES Y UN DESPUÉS EN
EL CÁLCULO DE , DESARROLLANDO LOS INICIOS DEL CÁLCULO INTEGRAL
INSCRIBE Y CIRCUNSCRIBE SENDOS HEXÁGONOS EN UNA CIRCUNFERENCIA
CON 96 LADOS:
3,14084507 <  < 3,14285714.
6𝑟 < 2𝑟 < 4 3𝑟
EL HOLANDÉS WILLEFORD SNELL (1580-1626) LLEGÓ A CALCULAR 35 CIFRAS DECIMALES
EXACTAS UTILIZANDO POLÍGONOS DE 2³º LADOS.
INTRODUCCIÓN

4.  EULER ENCONTRÓ SERIES QUE PERMITEN CALCULAR EL VALOR DE 
LA INVENCIÓN DEL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL POR LEIBNIZ Y NEWTON
CAMBIA EL ENFOQUE A LA HORA DE INTENTAR CALCULAR EL NÚMERO
𝜋2
6
= 1 +
1
22
+
1
32
+
1
42
+ ⋯
𝜋
4
= 1 −
1
3
+
1
5
−
1
7
+ ⋯
 LEIBNIZ DESCUBRIÓ LA SIGUIENTE FÓRMULA

5. HOY EN DÍA, EL CÁLCULO DE UN VALOR
ACEPTABLEMENTE BUENO DE  ESTÁ AL
ALCANCE DE UN PAR DE ALUMNAS DE 4º DE ESO
CON EL USO DE LOS ORDENADORES, EN LA SEGUNDA MITAD DEL SIGLO
XX SE HA PODIDO CALCULAR EL VALOR DE  CON UNA EXACTITUD
INIMAGINABLE HASTA EL MOMENTO Y UTILIZANDO PARA ELLO TÉCNICAS
ANTERIORMENTE IMPOSIBLES DE EMPLEAR
EJEMPLO: TÉCNICAS PROBABILÍSTICAS (MÉTODO DE MONTECARLO)

6. B= PUNTOS DEL BORDE QUE
COINCIDEN CON LOS NODOS DE LA
CUADRICULA
I= PUNTOS INTERIORES QUE COINCIDEN
CON LOS NODOS DE LA CUADRÍCULA
COMO CADA UNIDAD DE SUPERFICIE ES UN CUADRADO DE 100
METROS DE LADO, OBTENEMOS EL SIGUIENTE VALOR
APROXIMADO DEL NÚCLEO URBANO DE ZALAMEA DE LA SERENA
HEMOS APROXIMADO LA SUPERFICIE DE ZALAMEA DE LA SERENA POR UNA POLIGONAL CUYOS
VÉRTICES COINCIDAN CON LOS DE LA CUADRÍCULA.
TEOREMA DE PICK
𝐴 = 𝐼 +
𝐵
2
− 1
𝐴 = 100,5 × 10000 𝑚2
= 1005000 𝑚2
= 100,5 ℎ𝑎
𝐵 = 25
𝐼 = 99
EL TEOREMA DE PICK FUE DESCUBIERTO POR GEORGE PICK NACIDO EN VENECIA EN 1859.
PARA VER LA UTILIDAD DE ESTE MÉTODO LO HEMOS APLICADO PARA CALCULAR AL ÁREA DEL
NÚCLEO URBANO DE LA POBLACIÓN DE ZALAMEA DE LA SERENA
→ 𝐴 = 99 +
25
2
− 1 = 110,5
𝐵 = 53
𝐼 = 75
𝐴 = 𝐼 +
𝐵
2
− 1 = 75 +
53
2
− 1 = 100,5 𝑢2

7. • SUPERPONEMOS SOBRE ESTE POLÍGONO UN SISTEMA DE EJES COORDENADOS
• COMENZANDO POR UN VÉRTICE CUALQUIERA NUMERAMOS DE FORMA CONSECUTIVA, EN
SENTIDO HORARIO O ANTIHORARIO
:
𝐴 =
1
2
−4.2 ∙ −2.8 + 3.5 ∙ 1.9 + 5.4 ∙ 2.9 + 2.3 ∙ 1.7 + −4.8 ∙ (−3.2) − −4.2 ∙ 1.7 + −4.8 ∙ 2.9 + 2.3 ∙ 1.9 + 5.4 ∙ −2.8 + 3.5 ∙ (−3.2) = 48.175
𝑃1 = 𝑥1, 𝑦1 , 𝑃2 = 𝑥2, 𝑦2 , … , 𝑃𝑛−1 = 𝑥𝑛−1, 𝑦𝑛−1 , 𝑃𝑛 = 𝑥𝑛, 𝑦𝑛
𝐴 =
1
2
𝑥1𝑦2 + 𝑥2𝑦3 + … + 𝑥𝑛−1𝑦𝑛 + 𝑥𝑛𝑦1 − 𝑥1𝑦𝑛 + 𝑥𝑛𝑦𝑛−1 + … + 𝑥3𝑦2 + 𝑥2𝑦1
Y APLICANDO LA FÓRMULA:
MÉTODO DEL AGRIMENSOR

8. APLICANDO LA FÓRMULA OBTENEMOS 100,5 UNIDADES CUADRADAS, IGUAL
RESULTADO QUE EMPLEANDO LA FÓRMULA DE PICK.
NUMERAMOS LOS PUNTOS EN EL EJE DE COORDENADAS QUE HEMOS ELEGIDO Y UTILIZANDO UNA HOJA DE CÁLCULO
EXCEL HALLAMOS EL ÁREA.
𝐴 = 100,5 × 10000 𝑚2 = 1005000 𝑚2 = 100,5 ℎ𝑎
Aproximación
Agrimensor
PUNTOS X Y Productos(+) Productos(-)
1 6 0 0 0
2 7 0 14 0
3 8 2 16 18
4 9 2 27 18
5 9 3 36 27
6 9 4 36 40
52 5 1 5 6
53 6 1 0 6
1 6 0
Total (+) Total (-) Área
2339 2138 100,5
1ª COLUMNA: PUNTOS NUMERADOS
2ª Y 3ª COLUMNAS: COORDENADAS X e Y
4ª COLUMNA: 𝑥1𝑦2, 𝑥2𝑦3, … , 𝑥52𝑦53, 𝑥53𝑦1
5ª COLUMNA: 𝑥1𝑦53, 𝑥53𝑦52 … , 𝑥3𝑦2, 𝑥2𝑦1

9.  PERMITE RESOLVER PROBLEMAS FÍSICOS Y MATEMÁTICOS MEDIANTE LA
SIMULACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS
MÉTODO DE MONTE CARLO
 MULTIPLICANDO EL ÁREA DEL CUADRADO 2X2 POR LA PROPORCIÓN
ANTERIOR OBTENDREMOS NUESTRA APROXIMACIÓN DE 𝜋
𝑃𝑈𝑁𝑇𝑂𝑆 𝐷𝐸𝑁𝑇𝑅𝑂 𝐷𝐸𝐿 𝐶Í𝑅𝐶𝑈𝐿𝑂
𝑃𝑈𝑁𝑇𝑂𝑆 𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿𝐸𝑆
≈ 𝜋
4
AL LANZAR UN DARDO ALEATORIO SOBRE EL CUADRADO, LA
PROBABILIDAD DE QUE ÉSTE CAIGA DENTRO DEL CÍRCULO DEBE SER
PROPORCIONAL AL ÁREA DEL CÍRCULO
𝑝 =
𝐴 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜
𝐴 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜
=
πr2
4r2
= 𝜋
4

10. 𝐴𝑍𝑎𝑙𝑎𝑚𝑒𝑎 = 1600 ∙ 1800 ∙
27
100
= 777.600 𝑚2
= 77,76 ℎ𝑎
ÁREA DEL NÚCLEO URBANO DE LA POBLACIÓN DE ZALAMEA DE LA SERENA
AL LANZAR 100 PUNTOS AL LANZAR 200 PUNTOS AL LANZAR 400 PUNTOS
𝐴𝑍𝑎𝑙𝑎𝑚𝑒𝑎 = 1600 ∙ 1800 ∙
60
200
= 864.000 𝑚2
= 86,4 ℎ𝑎
𝐴𝑍𝑎𝑙𝑎𝑚𝑒𝑎 = 1600 ∙ 1800 ∙
139
400
= 1.000.800 𝑚2
= 100,08 ℎ𝑎
 CUANTOS MÁS PUNTOS ALEATORIOS SON
GENERADOS, MENOR ES EL ERROR COMETIDO

12. FÓRMULA DE PICK
RADIO EN 2 PARTES
HALLAREMOS EL ÁREA DE UN CUARTO DE CÍRCULO DE RADIO UNIDAD SOBRE EL QUE SE HA
SUPERPUESTO UNA CUADRÍCULA DIVIDIENDO SU RADIO 2, 4, 10, 12 Y 50 PARTES IGUALES
𝐴1
4 𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝐼 +
𝐵
2
− 1 = 1 +
7
2
− 1 = 3,5 𝑢2
3,5 𝑢2
× 0,25 = 0,875
𝐴 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥. 𝐶í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 4 ∙ 0,875 = 3,5
𝐴𝐶í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜 = 𝜋𝑟2
= 𝜋 ∙ 12
= 𝜋
COMO EL RADIO, LO HEMOS DIVIDIDO EN DOS PARTES DE 0,5 CADA
UNA, CADA UNIDAD CUADRADA TENDRÁ UN VALOR DE 0,25
𝜀𝑟 =
3,5 − 𝜋
𝜋
∙ 100 = 11,41 %

13. RADIO EN 12 PARTES
RADIO EN 50 PARTES
RADIO EN 4 PARTES RADIO EN 10 PARTES
Nº de DIVISIONES Nº de DIVISIONES
ÁREA
APROXIMADA DE
PI
ERROR RELATIVO (%)
2 2 3,5 11,41 %
4 4 3,125 5,28 %
10 10 3,1 1,27 %
12 12 3,1111111111 0,920 %
50 50 3,1456 0,1783 %

14. SE HA DISEÑADO PARA ELLO UNA HOJA DE CÁLCULO,
TENIENDO EN CUENTA LOS DATOS ANTERIORES
𝐴 =
1
2
𝑥1𝑦2 + 𝑥2𝑦3 + 𝑥3𝑦4 + 𝑥4𝑦5 + 𝑥5𝑦1 − 𝑥1𝑦5 + 𝑥5𝑦4 + 𝑥4𝑦3 + 𝑥3𝑦2 + 𝑥2𝑦1
CUADRANTE DE RADIO UNIDAD EN EJES COORDENADOS
MÉTODO DEL AGRIMENSOR
X Y Productos (+) Productos(-)
0 0 0 0
0 0,00000000000000000000 1,00000000000000000000 0,00000000000000000000 0,5 0
30 0,52359877559829900000 0,86602540378443900000 0,50000000000000000000 0,75 0,25
60 1,04719755119660000000 0,50000000000000000000 0,86602540378443900000 0,5 5,30505E-17
90 1,57079632679490000000 0,00000000000000006126 1,00000000000000000000 0 0
0 0 Total (+) Total (-)
1,75 0,25
Origen
Aproximación Agrimensor (30º)
Origen PI Error (%)
3 4,50703414486279000000

15. APROXIMACIONES SUCESIVAS:
SE HAN REALIZADO LOS CÁLCULOS ESCOGIENDO LOS PUNTOS FORMANDO
ENTRE ELLOS ÁNGULOS DE 15º, 10º, 5º, 2º, 1º, 0’5º, 0’2º, 0’1º, 0’05º, 0’02º Y
0’01º. A CONTINUACIÓN SE EXPONEN LOS RESULTADOS OBTENIDOS:
RESULTADOS
Grados ÁREA APROXIMADA DE PI Error (%)
30 3 4,50703414486279000000
15 3,10582854 1,13840705346305000000
10 3,1256672 0,50692299547011100000
5 3,13760674 0,12687560462499900000
2 3,1409547 0,02030659079825370000
1 3,14139063 0,00643052867966673000
0'5 3,14155677 0,00114236767505909000
0'2 3.14127221 0,00020307816682978600
0'1 3,14159106 0,00005076955734163970
0'05 3.14159225 0,00001269237149603210
0'02 3,14159259 0,00000203056505923640
0'01 3.14159264 0,00000050696390561254
𝜋 ≈ 3,14159264

16. MÉTODO DE MONTECARLO
LANZAMOS UNA SERIE DE PUNTOS ALEATORIOS SOBRE UN CUADRADO DE LADO 2
EN EL QUE SE HA INSCRITO UNA CIRCUNFERENCIA DE RADIO LA UNIDAD
CENTRADA EN EL ORIGEN DE COORDENADAS.
PARA APLICAR EL MÉTODO DE MONTECARLO, CALCULAR EL VALOR DE  Y EL
ERROR COMETIDO, SE HA UTILIZADO UNA HOJA DE CÁLCULO COMO LA
SIGUIENTE:

17. • COLUMNA A: LOS PUNTOS LANZADOS ALEATORIAMENTE;
• COLUMNAS B Y C: LAS COORDENADAS X E Y DE DICHOS PUNTOS, OBTENIDOS CON LA
FÓRMULA MATEMÁTICA =ALEATORIO() QUE NOS APORTA LA HOJA DE CÁLCULO.
• COLUMNA D: APLICAMOS UNA FÓRMULA (PRUEBA_LÓGICA) COMO SE APRECIA EN LA
IMAGEN QUE NOS DETERMINA SI LA DISTANCIA DEL PUNTO LANZADO AL ORIGEN ES
MENOR QUE 1 Y POR TANTO, SI EL PUNTO ESTÁ DENTRO DEL CÍRCULO
• COLUMNA E: SUMA EL TOTAL DE PUNTOS QUE ESTÁN DENTRO DEL CÍRCULO
• COLUMNA F: SE CALCULA EL VALOR DE .
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝐶í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠
≈ 𝜋
4
COMO YA SE HA VISTO CON ANTERIORIDAD CUANDO FUE EXPUESTO EL MÉTODO DE
MONTECARLO

18. SE HAN REALIZADO CÁLCULOS LANZANDO MÁS DE 200 000 PUNTOS
LA SIGUIENTE TABLA RESUME LOS RESULTADOS OBTENIDOS:
Nº PUNTOS APROXIMACIÓN ERROR %
20000 3,1374 0,133456309
40000 3,1409 0,022047849
60000 3,135 0,209850681
80000 3,13615 0,173245044
100000 3,13552 0,193298567
120000 3,134333333 0,23107134
140000 3,137571429 0,127999568
160000 3,138425 0,100829545
180000 3,137622222 0,126382756
200000 3,13942 0,069157712

19. CONCLUSIONES
 MÉTODO DE PICK: FACILIDAD DE APLICACIÓN Y RESULTADO BASTANTE ACEPTABLE
TANTO EN EL CÁLCULO DE ÁREA IRREGULARES COMO EL CÁLCULO DE PI, EN EL QUE SE
HA LLEGADO A UN VALOR DE 3,1456 CON UN ERROR RELATIVO DE 0,1783 %.
 MÉTODO DEL AGRIMENSOR: NECESITA DE CÁLCULO ALGO MÁS ELABORADOS,
OBTENIENDO EN EL CÁLCULO DE ÁREAS IRREGULARES EL MISMO RESULTADO QUE EL
MÉTODO DE PICK Y DANDONOS UN RESULTADO DE PI DE 3,14159264 CON UN ERROR
RELATIVO MUY BAJO, 0’00000050696390561254 %
 MÉTODO DE MONTECARLO: NECESITA HERRAMIENTAS INFORMÁTICAS PARA SU CÁLCULO
Y EL LANZAMIENTO DE DEMASIADOS PUNTOS PARA OBTENER UN RESULTADO
ACEPTABLE, CONCLUYENDO QUE PARA SUPERFICIES IRREGULARES SÍ SE OBTIENEN
RESULTADO SIMILARES QUE EN LOS ANTERIORES. SIN EMBARGO PARA EL CÁLCULO DE 𝜋
CON UN LANZAMIENTO DE 200.000 PUNTOS, LA APROXIMACION OBTENIDA NO ES NADA
BUENA CON UN VALOR DE 3,13942.
 COMO CONCLUSIÓN FINAL, EL MÉTODO DEL AGRIMENSOR ES EL QUE HA RESULTADO SER MÁS
EFICIENTE PARA EL CÁLCULO APROXIMADO DE ÁREAS EN GENERAL Y DE 𝜋 EN PARTICULAR,
PUESTO QUE SE PUEDE APLICAR CON AYUDA DE UNA HOJA DE CÁLCULO Y APROXIMAR
CUANTO SE DESEE, INTRODUCIENDO MÁS PUNTOS CON COORDENADAS CONOCIDAS COMO
VÉRTICES DE UN POLÍGONO QUE APROXIME EL ÁREA QUE SE PRETENDA CALCULAR.