1. MÉTODO DE NASH
La curva utilizada por Nash es la misma utilizada en el método de Gumbel pero mínimamente
modificada.
Partiendo de la siguiente ecuación:
𝑇
𝑇 − 1
= 𝑒𝑒
−
𝑞+𝑎
𝑐
T= periodo de retorno en años
Aplicando dos veces logaritmos en ambos miembros obtenidos:
𝑙𝑜𝑔𝑒𝑙𝑜𝑔𝑒
𝑇
𝑇 − 1
= −
𝑞 + 𝑎
𝑐
Despejando q:
𝑞 = −𝑎 − 𝑐 𝑙𝑜𝑔𝑒𝑙𝑜𝑔𝑒
𝑇
𝑇 − 1
Si a esta ecuación le hacemos las siguientes sustituciones:
𝑐 = −𝑐𝑜
𝑎 = −𝑎𝑜
𝑞 = 𝑄𝑚𝑎𝑥
2. Obtenemos la ecuación de Nash:
𝑄𝑚𝑎𝑥 = 𝑎𝑜+𝑐𝑜𝑙𝑜𝑔𝑒𝑙𝑜𝑔𝑒
𝑇
𝑇 − 1
… (1
𝑄𝑚𝑎𝑥 = Gasto máximo para un periodo de retorno determinado en 𝑚3
𝑠
𝑎𝑜𝑦 𝑐𝑜= Parámetros que son función del registro de gastos máximos anuales.
T = Periodo de retorno en años.
Los parámetros de 𝑎𝑜 y 𝑐𝑜 se evalúa con base en los registros, de la siguiente manera:
𝑎𝑜 = 𝑄 − 𝑐𝑜𝑋
𝑐𝑜 =
𝑖=1
𝑁
𝑥𝑖𝑄1 − 𝑁𝑋𝑄
𝑖=1
𝑁
𝑥𝑖
2
− 𝑁𝑥2
Siendo:
𝑥𝑖 = 𝑙𝑜𝑔𝑒𝑙𝑜𝑔𝑒
𝑇𝑖
𝑇𝑖 − 1
… (2
Donde:
N = Número de años de registro
𝑄𝑖 = Gastos máximos anuales registrados en 𝑚3
𝑠
𝑄 =
𝑖=1
𝑁
𝑄1
= Gasto medio, en 𝑚3
𝑠
3. 𝑋𝑖 = Constante para cada Q registrado, en función de su periodo de retorno correspondiente
𝑋 = 𝑖=1
𝑁
𝑋1
𝑁
= Valor medio de las x
El valor en cada 𝑇𝑖 que se debe introducir en a expresión (2) se obtiene aplicando la fórmula de Weibull a
cada uno de los gastos 𝑄𝑖 del registro, o sea:
𝑇𝑖 =
𝑁 + 1
𝑚𝑖
Donde 𝑚𝑖 es el rango correspondiente al gasto mínimo anual 𝐶𝑖 , al ordenar los gastos en forma creciente
y asignando el número 1 al más grande de los registrados.
El intervalo dentro del cual puede variar el 𝑄𝑚𝑎𝑥 calculado por la ecuación
(1) se obtiene como:
𝑄 = ±2
𝑆𝑞𝑞
𝑁2(𝑁 − 1
+ (𝑋 − 𝑋𝑚
2 1
𝑁 − 2
1
𝑆𝑥𝑥
(𝑆𝑞𝑞 −
𝑆2
𝑥𝑞
𝑆𝑥𝑥
… (3
4. Donde X se calcula:
𝑋𝑖 = 𝑙𝑜𝑔𝑙𝑜𝑔
𝑇
𝑇 − 1
Siendo:
𝑆𝑥𝑥 = 𝑁 𝑋𝑖
2
− ( 𝑋𝑖
2
𝑆𝑞𝑞 = 𝑁 𝑄𝑖
2
− ( 𝑄𝑖
2
𝑆𝑥𝑞 = 𝑁 𝑄𝑖𝑋𝑖 − ( 𝑄𝑖 ( 𝑋𝑖
El caudal máximo de diseño correspondiente a un determinado periodo de retorno será igual al caudal máximo
obtenido de la ecuación (1), más el intervalo de confianza calculado según la ecuación (3), es decir:
𝑄𝑑 = 𝑄𝑚𝑎𝑥 ± 𝑄 … (4
5. Ejemplo:
Con los datos de la siguiente tabla, calcular el caudal de diseño utilizando el
método de Nash, para períodos de retorno 40 años.
AÑO CAUDAL 𝑚3
𝑠
1985 740
1986 610
1987 850
1988 522
1989 557
1990 1030
1991 953
1992 2280
1993 1150
1994 921
1995 300
1996 745
1997 788
1998 1005
Solución:
1. Ordenamos en forma descendente, los valores de los
caudales.
2. Cálculos preliminares:
-Numero de orden: Columna 1.
-Caudal(Q): Columna 2.
-Periodo de Retorno (T): Columna 3.
-Cociente
𝑇
𝑇−1
: Columna 4.
-𝑋 = 𝑙𝑜𝑔 𝑙𝑜𝑔
𝑇
𝑇−1
: Columna 5.
-Q x X : Columna 6.
-𝑄2: Columna 7.
-𝑋2
: Columna 8.
11. Método de Lebediev Ejemplo :
Solución
Para los datos de la tabla 6.15, calcular el caudal
de diseño utilizando el método de Lebediev.
• Se tiene el registro de caudales
máximos de 30 años para la estación 9-3
Angostura, como se muestra en la tabla
6.15.
• En este río se desea construir una
presa de almacenamiento.
• Calcular el caudal de diseño para el
vertedor de demasías, para períodos de
retorno 50 y 100 años respectivamente.
ΣQ = 28,748
ΣQ2 = 40,595,065
12. • Obtención del caudal medio Qm
– Se logra aplicando le ecuación, sumando los caudales y
dividiendo entre el número de años de registro, es decir:
• Cálculos previos
– Con los datos de la tabla 6.15 y con el valor de Qm, se obtiene
la tabla 6.18, siendo:
• Cálculo del coeficiente de variación Cv
– De la ecuación, se tiene:
13. • Determinación del coeficiente de asimetría Cs
– De la ecuación, se tiene:
– Considerando que la avenida es producida por una tormenta, se
tiene:
• De estos dos valores se escoge el mayor, por lo tanto se tiene:
14. • Obtención del coeficienteK:
– Para el período de retorno de 50 años, el
valor de P es:
• Con P = 2 % y Cs = 2.8654, de la tabla, se
obtiene K = 3.12
– Para el período de retorno de 100 años, el
valor de P es:
– Con P = 1 % y Cs = 2.8654, de la tabla, se
obtiene K = 3.98
15. • Cálculo de Er
– De la figura :
• Cálculo del caudal máximo:
– Para T = 50 años , se tiene:
– Para T = 100 años, se tiene:
• Cálculo del intervalo de confianza
– Para N = 30 años se puede tomar A = 0.85
16. – De la ecuación, para T = 50 años, se tiene:
– Para T = 100 años, se tiene:
• Cálculo del caudal de diseño
– Para T = 50 años:
– Para T = 100 años:
