Este documento presenta una introducción a la multiplicación de números naturales desde una perspectiva matemática formal. Explica que la multiplicación es el cardinal del conjunto producto cartesiano de dos conjuntos, donde uno tiene tantos elementos como el primer factor y el otro tiene tantos como el segundo factor. También muestra que la multiplicación puede verse como una suma reiterada de conjuntos iguales. Finalmente, aclara que aunque hay dos formas de ver la multiplicación, el resultado es el mismo.

1. Multiplicación
Serie
Desarrollo del pensamiento matemático
Nº 5
Martín Andonegui Zabala
1

2. 372.7
And.
Multiplicación
Federación Internacional Fe y Alegría, 2005.
30 p.; 21,5 x 19 cm.
ISBN: 980-6418-71-9
Matemáticas, multiplicación.
2

3. “Hoy en día nos interesa educar a todos:
a los que aprenden fácilmente
y a los que les cuesta aprender; por ello
los educadores populares decimos
que optamos por los alumnos más débiles y
necesitados. Hoy contamos
con conocimientos científicos
que nos pueden ayudar a desempeñar
mejor nuestra tarea”.
Gabriela Alejandra Fairsten
y Silvana Gyssels
3

4. A modo de
Equipo editorial
María Bethencourt
Dimensión: Desarrollo del pensamiento matemático
Serie: Multiplicación, número 5
Autor: Martín Andonegui Zabala
Este libro se ha elaborado con el propósito de apoyar la prác-
tica educativa de los cientos de educadores de Fe y Alegría. Su
publicación se realizó en el marco del Programa Internacional
de Formación de Educadores Populares desarrollado por la
Federación Internacional Fe y Alegría desde el año 2001.
Diseño y diagramación: Juan Bravo
Portada e ilustraciones: Juan Bravo
Corrección de textos: María Bethencourt, Margarita Arribas
Edita y distribuye: Federación Internacional Fe y Alegría.
Esquina de Luneta, Edif. Centro Valores, piso 7, Altagracia,
Caracas 1010-A, Venezuela.
Teléfonos: (58) (212) 5645624 / 5645013 / 5632048
Fax (58) (212) 5646159
web: www.feyalegria.org
© Federación Internacional Fe y Alegría
Depósito Legal: lf 603 2005 510 28 67
Caracas, septiembre 2005
Publicación realizada con el apoyo de:
Centro Magis
Instituto Internacional para la Educación Superior
en América Latina y el Caribe (IESALC) - Corporación Andina
de Fomento (CAF)
4

5. introducción…
…y para desperezarnos un poco, ahí van 1. Si un niño al cumplir 1 año tiene 3. Cuando mi papá tenía 31 años, yo
unas cuestiones sencillas para entrar en 6 dientes, ¿cuántos dientes tendrá al tenía 8. Ahora su edad es el doble
materia y en calor. Tratemos de resolver- cumplir 7 años? de la mía. ¿Cuántos años tengo ac-
las antes de seguir adelante. tualmente?
He aquí las tablas de multiplicar por 1, 4. En un grupo de 63 personas, el nú-
por 2 y por 3. Observe bien esta última, mero de niños es el doble del de adultos.
compárela con las dos anteriores y esta- Entre estos últimos, el número de mujeres
blezca sus conclusiones: es el doble del de hombres. ¿Cuántos
hombres hay en el grupo?
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. Los signos * esconden diversos
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 dígitos en la siguiente multiplicación.
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 Descúbralos:
2. Un número
de dos cifras di- *1*
ferentes de cero 3*2
equivale al doble *3*
del producto de 3*2*
sus cifras. ¿De qué *2*5
número se trata? 1*8*30
(*) Aviso a los navegantes: Las respuestas a los ejercicios precedidos por un número en negrita aparecen al final del Cuaderno. Las res-
puestas a los ejercicios que no se encuentran precedidos por un número no las encontrarás en este Cuaderno. Dichas respuestas son para que
las construyas y valides con tu grupo de trabajo.
5

6. 6. En la escuela se han comprado 145 224, hay uno que no sigue el patrón niveles de conocimiento tecnológico y
kg de abono para las plantas. El producto de los demás. ¿Cuál es? reflexivo, lo cual debe abrir ese estudio
viene en 12 sacos, unos de 15 kg y otros hacia la búsqueda de aplicaciones de
de 10 kg. ¿Cuántos sacos de cada tipo se 11. Complete las casillas del siguiente lo aprendido, hacia el análisis de los
han comprado? cuadro: sistemas que dan forma a nuestra vida
y utilizan ese conocimiento matemático,
He aquí ahora las tablas de multiplicar 3 x + =1 y hacia criterios sociales y éticos para
por 1, por 2, por 4 y por 8. Compare la + x + juzgarlos.
del 2 con la del 1, la del 4 con la del 2, x 6 – =8
y la del 8 con la del 4. ¿Hay algo común + + + • Construir el conocer de cada tópico
en estas tres comparaciones? x – =2 matemático pensando en cómo lo ense-
=7 =3 =9 ñamos en el aula, además de reflexionar
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 acerca de cómo nuestro conocer limita
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y condiciona nuestro trabajo docente.
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Bien, ya tenemos nuestras respues- De esta forma, integrar nuestra práctica
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 tas, que iremos contrastando con las docente en nuestro estudio.
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 indicaciones y ejercicios que planteare-
mos a lo largo de las líneas que siguen. • Como complemento de lo anterior,
7. Si el producto de 5 números es construir el conocer de cada tópico
impar, ¿cuántos de éstos deben ser Y un segundo recordatorio: matemático pensando en cómo lo po-
necesariamente impares? demos llevar al aula. Para ello, tomar
La sugerencia que proponíamos en conciencia del proceso que seguimos
8. El herrero cobra 700 pesos por el Cuaderno Nº 1 y que siempre pre- para su construcción, paso a paso, así
cortar en dos partes iguales una sidirá los demás Cuadernos: Vamos a como de los elementos –cognitivos,
barra metálica. ¿Cuánto cobrará por estudiar matemática, pero no lo vamos actitudinales, emocionales…– que se
cortar otra barra similar en 8 partes a hacer como si fuéramos simplemente presenten en dicho proceso. Porque
iguales? unos alumnos que posteriormente van a partir de esta experiencia reflexiva
a ser evaluados, y ya. No. Nosotros como estudiantes, podremos enten-
9. Un saco de café de 75 kg se compra somos docentes –docentes de mate- der y evaluar mejor el desempeño de
a 450 pesos el kg. Después de tostado, mática en su momento– y este rasgo nuestros alumnos –a su nivel– ante los
el saco de café pesa 61 kg y se vende debe caracterizar la forma de construir mismos temas.
a 650 pesos el kg. ¿Qué beneficio se nuestro pensamiento matemático. ¿Qué
obtiene por saco? significa esto? • En definitiva, entender que la
matemática es la base de su didáctica:
10. Entre los siguientes números: • La presencia constante de la la forma en que se construye el cono-
527, 248, 200, 326, 212, 500, 111, meta de nuestro estudio: alcanzar unos cimiento matemático es una fuente
6

7. imprescindible a la hora de planificar y
A= B=
desarrollar su enseñanza.
Y ahora, vamos al tema de este Cua-
derno, la multiplicación.
L M N R S T Y Z
1. ¿Qué es la multiplicación
de números naturales?
Al igual que en el caso de la adición
y de la sustracción, la primera respuesta
que se nos ocurre es que, evidentemen-
te, se trata de una operación aritmética
según la cual, a cada par de números
naturales se le hace corresponder otro L, R L, S L,T L,Y L, Z
número natural, su producto. Así, al par
(3 , 5) se le hace corresponder el número
15 (3 x 5); al par (10, 1), el número 10 AxB=
(10 x 1); al par (7 , 0), el número 0 (7
x 0), etc.
M, R M, S M,T M,Y M, Z
La anterior es una manera “formal” de
decir las cosas, pero con esto tampoco nos
aclaramos mucho, ya que debemos preci-
sar cómo se multiplica, es decir, cómo se
llega a 15 partiendo de 3 y de 5.
N, R N, S N,T N,Y N, Z
Para ello vamos a referirnos a dos
conjuntos, A y B, cuyas características
y relación mutua no son relevantes. Este nuevo conjunto es de naturaleza Así, por ejemplo, si A = {Luis, Manuel,
Supongamos ahora que A cuenta con distinta a la de A y B, porque no está Néstor} y B = {Rosa, Silvia, Tere, Yolanda,
3 elementos y B con 5 (recordemos formado por elementos similares a los de Zuleima}, el conjunto A x B –que podría
que, en términos formales, se dice que ambos –cosa que sí ocurría en los casos ser el conjunto de todas las posibles pa-
el cardinal de A es 3 y que el de B es 5). de la adición y la sustracción–. Efectiva- rejas (hombre , mujer) para un baile– será
A partir de los dos conjuntos podemos mente, los elementos que lo componen (utilizando las iniciales de las personas):
formar otro nuevo, el conjunto producto son pares de elementos tomados el {(L, R), (L, S), (L, T), (L, Y), (L, Z), (M, R),
cartesiano de A y B. primero de A y el segundo de B. (M, S), (M, T), (M, Y), (M, Z), (N, R), (N,
7

8. S), (N, T), (N, Y), (N, Z)}. Obsérvese que
hay 15 pares –15 elementos– en A x B.
Pues bien, la multiplicación del cardinal
de A por el cardinal de B es el cardinal
del conjunto producto cartesiano A x B.
En nuestro caso, 3 x 5 = 15.
Así que, para pensar en la multi- B1 B2 B3
plicación de dos números, debemos
imaginarnos que hay dos conjuntos;
que uno de ellos posee tantos ele-
mentos como lo indica uno de los B1 U B2 U B3 =
números; que el otro posee tantos
elementos como lo indica el otro nú-
mero a multiplicar; que se construye
el conjunto producto cartesiano de los
dos conjuntos dados; y que se cuentan
los elementos –pares de números– de lo que siempre se ha dicho: que la multi- + 5 + 5 = 15 elementos. [Obsérvese
este nuevo conjunto. El resultado final plicación de números naturales es una que no puede hablarse de un mismo
de este conteo es el producto de los suma reiterada. Y, aparentemente, la conjunto B “repetido” tres veces, es
dos números iniciales. presentación formal anterior no cuadra decir, del conjunto B U B U B, ya que
con esta última versión. Es importante este conjunto tendría sólo 5 elementos.
que aclaremos esta dualidad. En efecto, recuérdese que para poder
La multiplicación de dos números naturales “sumar” los cardinales de cada conjunto
representa, pues, el cardinal del conjunto Pensar la multiplicación de números es preciso que los conjuntos que se unen
producto car tesiano de dos conjuntos, naturales como una suma reiterada nos sean disjuntos, es decir, que no posean
en el supuesto de que uno de los dos lleva también a su representación en el ningún elemento común].
números representa inicialmente el cardi- terreno de los conjuntos. Así, 3 x 5, en-
nal de un conjunto, y el otro, el del otro tendido como “3 veces 5”, significa que Este resultado –15 elementos– es el
conjunto. tenemos un conjunto B1 compuesto por mismo que el obtenido anteriormente,
5 elementos (por ejemplo, bolígrafos), cuando pensamos en la multiplicación
que se va a unir con otros dos conjun- como el cardinal del conjunto producto
Lo que va hasta aquí es la respuesta tos similares, B2 y B3, también con 5 cartesiano de A x B. La diferencia no
matemática formal a la pregunta de qué lápices cada uno: B1 U B2 U B3 (U es está, pues, en el resultado, sino en el
es la multiplicación. Sin embargo, al (la) el símbolo de la unión de conjuntos). significado de cada conjunto A y B, y
lector(a) debe estarle sonando por dentro Lógicamente, este conjunto posee 5 de sus respectivos cardinales.
8

9. Porque, ¿quién es el conjunto A formado por 5 conjuntos de 3 lápices y comprender. Pero esta presentación
cuando hablamos de “3 veces 5”? ¿Y cada uno. El 3 y el 5 tienen, en cada formal no es, afortunadamente, la única
cómo asociamos el 3 al conjunto A? caso, un papel totalmente diferente. respuesta a la pregunta acerca de qué es
Indudablemente, no podemos pensar En el primero, 3 opera como un simple esta operación. Porque la multiplicación
en que A tiene 3 elementos similares a numerador, mientras que el numerador también puede ser vista como un mode-
los de B1; es decir, A no es un conjunto 5 va acompañado del denominador lo de situaciones de la vida diaria, o de
de 3 lápices. A es un conjunto cuyos 3 “lápices”; en el segundo, los papeles situaciones lúdicas, o de otras áreas del
elementos son, precisamente, los tres se cambian. saber. En este sentido, la multiplicación
conjuntos B: A = {B1, B2, B3}. El cardinal se convierte en una herramienta que nos
de A es 3, ciertamente, pero la natura- permite interpretar matemáticamente
leza del conjunto A es diferente de la Lo importante es percibir las diferencias las situaciones que se presentan en
naturaleza de los B. presentes entre ambos enfoques del nuestra vida.
concepto de multiplicación de números
Otra característica en la que difieren enteros, así como lo que tienen en común, ¿Y cuáles, o de qué naturaleza, son
ambos enfoques de la multiplicación es que es la coincidencia del resultado de la estas situaciones para las que la mul-
la relativa al significado de las propieda- operación. Digamos que el primer enfoque tiplicación puede presentarse como
des de esta operación. Así, por ejemplo –producto cartesiano– es matemáticamente modelo? Fundamentalmente, cuatro:
con la conmutatividad, decimos que más formal y que el segundo –suma reite-
es igual 3 x 5 que 5 x 3. En el enfoque rada– es pedagógicamente más apto para 1. Situaciones de
de la multiplicación como cardinal del iniciar la andadura desde los predios de reiterar una cantidad
conjunto producto cartesiano, esto la adición. dada.
significa que el cardinal de A x B es el 2. Situaciones
mismo que el de B x A, lo cual es cierto: La multiplicación es, pues, una operación de hallar el valor de
siempre hay 15 parejas, aun cuando en aritmética cuyo resultado –el producto de algún atributo (me-
el segundo caso el orden para nombrar dos números– puede interpretarse como el dida, peso, costo…)
a cada pareja sería ahora el inverso: resultado de una suma reiterada –aunque no en varias unidades,
(mujer, hombre). es lo mismo ni puede reducirse simplemen- conociendo el de una
te a ello– o como el cardinal de un conjunto unidad.
En cambio, en el enfoque de la producto cartesiano de otros dos conjuntos 3. Situaciones de
multiplicación como “suma reiterada”, (Castro, Rico, Castro, 1988; Maza, 1991). obtener una canti-
3 x 5 significa “3 veces 5”, y 5 x 3, “5 dad que sea un cier-
veces 3”. En ambos casos se tendrán 15 to número de veces
elementos. Pero en el primero significa Como vemos, la consideración for- mayor que otra. Y
que hay un conjunto formado por 3 con- mal de la multiplicación de números como caso particu-
juntos de 5 lápices cada uno; mientras naturales requiere de ciertas puntuali- lar, reducir unidades de orden superior
que en el segundo, que hay un conjunto zaciones teóricas que debemos conocer a unidades de orden inferior.
9

10. 4. Situaciones sí conviene resaltar que en el proceso de 2. Las tablas de multiplicar
de averiguar el adquisición del concepto, de los proce- La resolución de las situaciones en
número de pare- dimientos y de las destrezas propias de las que la multiplicación opera como
jas diferentes que la operación, es preferible entrar por la modelo pasa –como en los casos de
se pueden formar vía del modelo de situaciones –y parti- la adición y de la sustracción– por el
con los elementos cularmente por las que hacen referencia manejo de las operaciones en el terre-
de dos conjuntos, a la perspectiva de suma reiterada– y no abstracto de los numeradores sin
tomando uno de cada uno en cada considerar el estudio formal –con su denominadores, es decir, de los puros
pareja. lenguaje específico– como una meta a números. Las tablas de multiplicar
alcanzar posteriormente. muestran precisamente la forma con-
Estas situaciones suelen venir ca- creta y básica en que se presentan
racterizadas –en la interpretación verbal los productos entre los diez primeros
que de ellas hace el sujeto– por verbos Podemos precisar ahora los términos números significativos.
tales como reiterar, duplicar, triplicar, propios y formales para las cantidades que
…, hacerlo tantas veces mayor, y los intervienen en la operación de multiplica- ¿Cómo construir esas tablas? Según
propios de cada situación particular. ción de números naturales: se ha dicho anteriormente, el enfoque
Además, y como puede observarse, las de la multiplicación como suma rei-
situaciones 2 y 3 son casos particulares • Multiplicando: cantidad que se multiplica o terada resulta pedagógicamente más
de la primera, y las tres responden a la se suma reiteradamente. apto como vía para entender y obtener
perspectiva de la multiplicación como • Multiplicador: cantidad que indica el el producto de dos números naturales.
suma reiterada. Por su parte, la situación número de veces que se reitera el multi- Justamente, sumar repetidamente una
4 es un reflejo directo de la considera- plicando. misma cantidad (multiplicando) es la
ción conceptual de la multiplicación • Factor: indistintamente, cada una de las forma de ir construyendo progresiva-
como cardinal del conjunto producto cantidades que se multiplican. mente cada tabla de multiplicar.
cartesiano de dos conjuntos. • Producto: resultado de efectuar la multipli-
cación, bien en el caso de la suma reiterada, De esta forma puede obtenerse la
o en el del cardinal del conjunto producto siguiente tabla de doble entrada en
En resumen, hay dos formas de considerar cartesiano de dos conjuntos. la que:
la multiplicación: como un modelo de situa-
ciones de la vida diaria y como un objeto de Observemos que los dos primeros térmi- • las cabeceras de las filas y las
estudio formal dentro de la matemática. nos de esta nomenclatura responden más columnas representan los factores (en
directamente a la perspectiva de la multipli- negrita)
cación como suma reiterada, mientras que • el número en cada casilla interior
No hay contradicción entre ambas el producto se refiere siempre al resultado expresa el producto de los dos factores
formas de considerar la multiplicación, de la multiplicación. que encabezan la fila y la columna co-
sino más bien complementariedad. Pero rrespondientes a esa casilla.
10

11. • cada fila, o cada columna, repre- de acuerdo a las diversas unidades del A partir de esta ejercitación podemos
senta la tabla de multiplicar del número sistema numérico decimal que lo com- asomarnos de nuevo a la anterior tabla
que la encabeza. ponen. Y que luego se busca el doble del de doble entrada y dedicarnos a un am-
dígito correspondiente a cada unidad. plio proceso de observación (y de paso
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 responderemos a un par de ejercicios
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Así, por ejemplo, calcular el doble propuestos al inicio del Cuaderno…).
2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 de 241 se procesaría de este modo: “El
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 doble de 200 es 400; el de 40, 80; y el Estas son las tareas de observación que
4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 de 1, 2. El doble de 241 es 482”. Y si le proponemos ahora. Por favor, vaya
5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 se trata del doble de 957: “El doble de a la tabla, efectúe los análisis que se
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 900 es 1.800; el de 50 es 100 (con lo indican, saque sus conclusiones y, pos-
7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 que llegamos a 1.900); y el de 7 es 14. teriormente, regrese y siga leyendo:
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 El doble de 957 es 1.914”. Como se ve,
9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 procedemos de izquierda a derecha. 1. observe la tabla de multiplicar
10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 del 1
El cálculo de la mitad de un número 2. observe la tabla de multiplicar
Pudiera pensarse que el “trabajo” par se desarrollaría sobre la base de una del 10
con las tablas de multiplicar se reduce a previa ejercitación con los dobles de nú- 3. compare la tabla de multiplicar
construirlas –por la vía de las sumas rei- meros. Así, la mitad de 1.624 se procesa- del 2 con la del 1
teradas– y a aprenderlas de memoria. Sin ría de este modo: “La mitad de 1.000 es 4. compare la tabla de multiplicar
embargo, no es así. Como vamos a ver, es 500; la de 600 es 300 (llevamos 800); la de del 4 con la del 2
mucho más –y más significativo– lo que se 20 es 10 (llevamos 810); y la de 4 es 2. La 5. compare la tabla de multiplicar
puede “hacer” con ellas y a partir de ellas mitad de 1.624 es 812”. Análogamente, del 8 con la del 4
(en lo que sigue leeremos las tablas de para la mitad de 718: “La mitad de 700 6. compare la tabla de multiplicar
multiplicar horizontalmente, por filas). es 350; la de 10 es 5 (llevamos 355); y la del 5 con la del 10
de 8 es 4. La mitad de 718 es 359”. 7. compare la tabla de multiplicar
Previamente, vamos a introducir del 3 con las del 1 y del 2
Obtenga mentalmente el doble de los
dos conceptos aritméticos, el de doble 8. compare la tabla de multiplicar
siguientes números:
de un número y el de mitad de un nú- del 9 con las del 10 y del 1
57 109 376 1.050 3.984
mero. Para ello, partimos de la adición 9. compare la tabla de multiplicar
7.896 13.408 299
de números y, en particular, del cálculo del 6 con la del 3
mental correspondiente a la suma de un Y la mitad de los siguientes números:
dígito consigo mismo [Ver Cuaderno 3]. 612 98 394 1.084 2.136
Sobre esta base, pensar en el doble de 5.348 7.390 10.972 PARADA
un número como una suma significa
que el número en cuestión se disocia
Propóngase otros ejercicios similares
OBLIGATORIA
11

12. Como resultado de este proceso 5. Los productos de la tabla del 8 son la tabla del 10 y del 1. Por consiguiente,
de observación podemos llegar a las el doble de los correspondientes de la multiplicar por 9 equivale a agregar un
siguientes conclusiones: tabla del 4. Por consiguiente, multiplicar 0 al otro factor y luego restarle el mismo
por 8 significa obtener tres veces conse- factor. Así, 9 x 79 equivale a restar 79
1. Multiplicar por 1 es dejar intacto cutivas el doble a partir del otro factor. de 790; es decir, restarle 80 (llevamos
el otro factor. Así, 1 x 938 = 938. Así, 8 x 79 pasa por obtener el doble 710) y agregarle 1. De donde: 9 x 79
de 79 –que es 158–, el doble de 158 = 711. También valen los comentarios
2. Multiplicar por 10 significa agre- –que es 316–, y el doble de este último finales del caso 3.
gar un 0 al otro factor. Así, 10 x 507 = número, que es 632. También valen los
5.070. comentarios finales del caso 3. 9. Finalmente, los productos de
la tabla del 6 son el doble de los co-
3. Los productos de la tabla del 2 6. Los productos de la tabla del 5 son rrespondientes de la tabla del 3. Pero
son el doble de los correspondientes la mitad de los correspondientes de la también son la suma de los corres-
de la tabla del 1. Por consiguiente, mul- tabla del 10. Por consiguiente, multipli- pondientes de la tabla del 4 y del 2. O
tiplicar por 2 significa obtener el doble car por 5 equivale a agregar un 0 al otro la suma de los correspondientes de la
del otro factor. Así, 2 x 79 es el doble factor y luego obtener la mitad de este tabla del 5 y del 1… Saque sus propias
de 79: El doble de 70 es 140; y el de 9 último número. Así, 5 x 79 equivale a conclusiones…
es 18 (llevamos 158). De donde: 2 x 79 la mitad de 790: La mitad de 700 es
= 158. [Lo que queremos indicar con 350; y la de 90 es 45 (llevamos 395). De Como puede verse, esta “lectura”
este ejemplo es que, una vez captada donde: 5 x 79 = 395. Siguen valiendo los de las tablas de multiplicar nos permite
la tabla del 2 como la que “obtiene el comentarios finales del caso 3. manejarlas de una forma diferente: en
doble de”, ya es posible multiplicar lugar de aprendernos de memoria los
inmediatamente cualquier número por 7. Los productos de la tabla del 3 son productos –cosa que también tenemos
2. Es decir, percibimos que la tabla del la suma de los correspondientes de la que hacer– vemos cada tabla desde una
2 no termina en 2 x 10] tabla del 2 y del 1. Por consiguiente, perspectiva integral, es decir, desde el
multiplicar por 3 significa obtener el punto de vista de lo que hace con cual-
4. Los productos de la tabla del 4 son doble del otro factor (multiplicarlo por quier factor.
el doble de los correspondientes de la 2) e, inmediatamente, sumarle el mismo
tabla del 2. Por consiguiente, multiplicar factor (multiplicado por 1). Así, 3 x 79 Obsérvese también que todos los
por 4 significa obtener dos veces conse- equivale a obtener el doble de 79 –que productos de todas las tablas se ob-
cutivas el doble a partir del otro factor. es 158– y sumar 79 a 158, con lo que se tienen mediante operaciones muy
Así, 4 x 79 pasa por obtener el doble llega a 237. De donde: 3 x 79 = 237. Va- simples: agregar un 0, hallar el doble,
de 79 –que es 158– y obtener ahora el len los comentarios finales del caso 3. hallar la mitad, sumar y restar números.
doble de este último número, con lo que La tabla menos “penetrable” es la del
se llega a 316. Valen los comentarios 8. Los productos de la tabla del 9 son 7 –aunque puede verse como la suma
finales del caso anterior. la diferencia de los correspondientes de de la del 5 y del 2, o la diferencia de la
12

13. del 8 y del 1…–, pero al disponer de los 2. Asociativa: Si hay más de dos 6. Distributiva con respecto a la
productos de las demás tablas, de una factores, el orden progresivo en que suma y a la resta: Cuando uno de los
vez quedan incluidos los productos de “entran” en la multiplicación es indife- factores es una suma indicada, el otro
la tabla del 7. rente: el resultado siempre es el mismo. factor puede multiplicar a cada uno de
Por ejemplo, si hay que multiplicar 5, 7 los sumandos, o bien a la suma de los
Efectúe mentalmente los siguientes y 2, puede hacerse en cualquier orden: mismos. Análogamente, cuando uno de
productos, tomando como referencia la 5 por 7 y luego por 2, ó 7 por 2 y luego los factores es una resta indicada, el otro
perspectiva mostrada anteriormente: por 5, ó 2 por 5 y luego por 7 (mejor de factor puede multiplicar al minuendo y al
esta última manera, ¿no?), etc. sustraendo, o bien a la diferencia de los
2 x 367 5 x 613 3 x 150 mismos. En términos simbólicos (las letras
8 x 135 9 x 17 6 x 75 3. Disociativa (es decir, la misma simbolizan cualquier número natural):
5 x 147 2 x 835 5x 130 propiedad asociativa, pero al revés): a x (b + c) = a x b + a x c
4 x 75 3 x 225 9 x 250 Algunos factores pueden descompo- a x (b – c) = a x b – a x c
8 x 350 5 x 380 6 x 125 nerse en partes o factores menores,
3 x 95 9 x 67 2 x 555 siempre que su “asociación multipli- Lo destacable de esta propiedad
cativa” equivalga al factor inicial. Por es que nos permite mayor libertad a la
ejemplo, si hay que multiplicar 18 por hora de efectuar las multiplicaciones.
3. El desarrollo de destrezas 35, se facilita la operación si 18 se di- Por ejemplo:
para multiplicar socia (mentalmente, en la práctica) en
El enfoque con el que acabamos 9 x 2, y 35 en 5 x 7, lo que permite un 23 x 4 = (20 + 3) x 4 = 20 x 4 + 3 x 4 =
de estudiar las tablas de multiplicar reacomodo en la multiplicación: 18 x 80 + 12 = 92
ya nos ha puesto en el camino del de- 35 = 9 x 2 x 5 x 7 = (9 x 7) x (2 x 5) 99 x 7 = (100 – 1) x 7 = 100 x 7 – 1 x 7 =
sarrollo de destrezas para multiplicar, = 63 x 10 = 630. 700 – 7 = 693
más allá del mero uso memorístico de Si 493 x 25 = 12.325, entonces 497
los productos presentados en dichas 4. Existencia de un elemento x 25 = (493 + 4) x 25 = 12.325 + 100 =
tablas. Con el fin de fundamentar y neutro: Es decir, el 1; cuando multiplica 12.425
ampliar este campo de destrezas va- a una cantidad, ésta no varía.
mos a analizar las propiedades de la También es muy importante la lec-
multiplicación, tan sabidas como tan 5. Existencia de un elemento tura de esta propiedad de derecha a
poco utilizadas: reductor: Es decir, el 0; cuando multi- izquierda:
plica a un número, el producto es 0. A la
1. Conmutativa: El orden en que vista de estas dos últimas propiedades a x b + a x c = a x (b + c); a x b – a x c =
se consideran dos factores no modifica se puede romper la falsa creencia de a x (b – c)
su producto. Por ejemplo, multiplicar 7 que multiplicar dos números naturales
por 5 ó multiplicar 5 por 7 produce el siempre produce un resultado mayor situación que se reconoce como la ope-
mismo resultado. que ambos factores… ración de “sacar factor común” y que
13

14. supone la habilidad de “disociar” un de la multiplicación, para darnos mayor proceder (una matemática que genere
número en sus posibles factores. Así, libertad a la hora de multiplicar. diversidad…) cuyo inicio siempre es el
por ejemplo (lo que sigue se resuelve mismo: observar los factores en juego.
mentalmente; aquí sólo indicamos los De esta forma entramos de nuevo en Veamos algunas situaciones en par-
pasos que se dan): los predios del cálculo mental (y de la ticular (en lo que sigue, se mostrarán
estimación, como veremos más tarde), de nuevo los cálculos escritos como
48 – 15 = 3 x 16 – 3 x 5 = 3 x (16 – 5) = que es simplemente el cálculo que se una orientación del proceso mental,
3 x 11 = 33 hace utilizando las propiedades de la pero tales cálculos no se escriben en la
multiplicación. práctica).
56 + 144 = 8 x (7 + 18) = 8 x 25 = 200
Atención: 1. Disociación multiplicativa en un
Como puede apreciarse, ésta es otra Todo lo que factor o en ambos, seguida de conmuta-
forma de ver los números y de operar se va a decir tividad y asociatividad entre los nuevos
con ellos, cuya principal característica ahora no es factores:
es que convierte una operación de sólo para
suma o resta en una multiplicación; entenderlo. 36 x 5 = (18 x 2) x 5 = 18 x (2 x 5) =
transformación cualitativa que puede Es, sobre 18 x 10 = 180
resultar de mucho interés en algunos todo, para
casos. practicarlo. 12 x 45 = (6 x 2) x (5 x 9) = (6 x 9) x (2
Pero no un x 5) = 54 x 10 = 540
Como un detalle complementario par de ve-
podemos apreciar cómo la “forma de ces, y ya. La 24 x 75 = (6 x 2 x 2) x (3 x 5 x 5) =
operar” de las tablas del 4 y del 8 se ejercitación frecuente y abundante es (6 x 3) x (2 x 5) x (2 x 5) = 18 x 10 x 10
apoya en la propiedad disociativa (4 = requisito indispensable para desarrollar = 1.800
2 x 2 y 8 = 2 x 2 x 2), mientras que la destrezas de cálculo mental. Y esto es
de las tablas del 3 y del 9 lo hace en la muy importante, porque si no las po- 72 x 15 = (36 x 2) x (5 x 3) = (36 x 3) x
propiedad distributiva (3 = 2 + 1 y 9 = seemos no podremos construirlas con (2 x 5) = 108 x 10 = 1.080
10 – 1). nuestros alumnos.
16 x 41 = 2 x 2 x 2 x 2 x 41 = 2 x 2 x 2 x
De lo anterior tiene que quedarnos Para resolver ejercicios de multi- 82 = 2 x 2 x 164 = 2 x 328 = 656
algo bien claro: las propiedades de la plicación por la vía del cálculo mental
multiplicación no son simplemente para contamos no sólo con las propiedades 53 x 12 = 53 x 2 x 2 x 3 = 106 x 2 x 3 =
aprenderlas –porque forman parte de de la multiplicación ya mostradas, sino 212 x 3 = 636
lo que hay que saber–, sino sobre todo también con las de las operaciones
para utilizarlas. Porque las propiedades previas, suma y resta. Todo esto nos da Si 46 x 54 = 2.484, entonces 92 x 54 =
están ahí para facilitarnos la operación un agregado de maneras diferentes de 2 x 46 x 54 = 2 x 2.484 = 4.968.
14

15. 2. Disociación aditiva o sustractiva 16 x 25 = 4 x 2 x 2 x 5 x 5 = 4 x 10 x conocimiento de las tablas de multiplicar
en un factor y aplicación de la distribu- 10 = 400 y de la utilización de las propiedades de
tividad por medio del otro factor: la operación. Pero no todas las multiplica-
16 x 25 = 16 x (20 + 5) = 16 x 2 x 10 ciones pueden realizarse con soltura por
82 x 5 = (80 + 2) x 5 = 80 x 5 + 2 x 5 = + 16 x 5 = 32 x 10 + 160/2 = 320 + 80 esta vía. Basta con tener grandes canti-
400 + 10 = 410 = 400 dades como factores. En este caso –y, en
general, en cualquier otro–, procedemos
156 x 9 = 156 x (10 – 1) = 156 x 10 – 156 16 x 25 = (10 + 6) x 25 = 10 x 25 + 3 basándonos en las tablas de multiplicar
x 1 = 1.560 – 100 – 50 – 6 = 1.404 x 2 x 25 = 250 + 3 x 50 = 250 + 150 y en las potencialidades del sistema de
= 400 numeración decimal. Y distinguimos dos
7 x 73 = 7 x (70 + 3) = 7 x 70 + 7 x 3 = casos: el de ambos factores enteros, y el
490 + 21 = 511 16 x 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 25 = 2 x 2 x 2 x de al menos un factor decimal.
50 = 2 x 2 x 100 = 2 x 200 = 400
180 x 15 = 180 x (10 + 5) = 180 x 10 + Multiplicación de dos factores enteros
180 x 5 = 1.800 + 900 = 2700 16 x 25 = (20 – 4) x 25 = 20 x 25 – 4 x Supongamos que se trata de multi-
25 = 10 x 2 x 25 – 2 x 2 x 25 = 10 x 50 plicar 427 x 38. Ya sabemos que esto
37 x 11 = 37 x (10 + 1) = 37 x 10 + 37 x – 2 x 50 = 500 – 100 = 400 significa multiplicar (400 + 20 + 7) x (30
1 = 370 +37 = 407 + 8) y que por consiguiente, mediante
Efectúe mentalmente las siguientes multi- una extensión de la propiedad distri-
53 x 12 = 53 x (10 + 2) = 53 x 10 + 53 x plicaciones. Resuelva cada una por todas butiva, tendríamos que vernos con la
2 = 530 + 100 + 6 = 636 las vías que se le ocurran. Luego agregue multiplicación de centenas por decenas
otros ejercicios por su cuenta: (400 x 30), de decenas por decenas (20
99 x 48 = (100 – 1) x 48 = 100 x 48 – 1 x 30), y de unidades por centenas (8 x
x 48 = 4.800 – 48 = 4.752 5 x 36 4 x 85 23 x 9 6 x 55 400), por decenas (8 x 20 y 7 x 30) y
11 x 29 15 x 15 3 x 97 7 x 43 por unidades (7 x 8).
110 x 13 = (100 + 10) x 13 = 100 x 13 + 12 x 75 15 x 24 81 x 16 19 x 31
10 x 13 = 1.300 + 130 = 1.430 51 x 99 27 x 15 36 x 125 Para clarificar esta complejidad
1.100 x 17 3 x 15 vamos a trabajar con la multiplicación
62 x 52 = (60 + 2) x 52 = 60 x 52 + 2 x 101 x 95 28 x 25 8 x 125 91 x 15 de las diversas unidades del sistema de
52 = 60 x (50 + 2) + 2 x (50 + 2) = 60 x 48 x 11 24 x 150 63 x 12 numeración decimal. Así, por ejemplo,
50 + 60 x 2 + 2 x 50 + 2 x 2 = 3.000 + 125 x 18 ¿qué significa 10 x 100? Puede enten-
120 + 100 + 4 = 3.224 derse como “10 veces 100” ó “10 cente-
4. La multiplicación en el nas”. Y sabemos que ambas expresiones
Como puede apreciarse, es posible sistema decimal de numeración equivalen a 1 unidad de mil. Siguiendo
seguir diversos caminos para llegar al Hasta ahora se han resuelto los ejer- esta forma de razonar podemos elaborar
mismo resultado: cicios de multiplicación sobre la base del una tabla como la siguiente:
15

16. Multiplicación Interpretación Resultado Producto x 427 unidades). Esto explica el progre-
sivo desplazamiento de los sumandos
10 x 100 10 centenas 1 unidad de mil 10 x 100 = 1.000 hacia la izquierda y la desaparición de
100 x 100 100 centenas 1 decena de mil 100 x 100 = 10.000 los ceros finales. Veamos los siguientes
1.000 x 100 1.000 centenas 1 centena de mil 1.000 x 100 = 100.000 ejemplos:
10 x 1 10 unidades 1 decena 10 x 1 = 10
10 x 10 10 decenas 1 centena 10 x 10 = 100 1654 705
10.000 x 10 10.000 decenas 1 centena de mil 10.000 x 10 = 100.000 x 359 x 304
1 4 8 8 6 unidades 2 8 2 0 unidades
Esta tabla puede prolongarse todo lo A partir de aquí podemos plantear la 8270 decenas 2 1 1 5 centenas
que se desee, pero no hace falta mostrar multiplicación de dos factores enteros, 4962 centenas 2 1 4 3 2 0
todos los casos posibles. Lo importante gradualmente, hasta llegar al formato 593786
es entender cómo y por qué funciona la que se utiliza habitualmente:
multiplicación de las diversas unidades Si volvemos a los tres formatos de
del sistema de numeración decimal, y 427 427 427 la multiplicación 427 x 38 podemos
saber aplicar este conocimiento. Así, x 38 x 38 x 38 observar que el primero evita el pro-
volviendo al ejemplo anterior, 400 x 30 56 3416 3416 unidades blema de la llevada, situación que no
= 4 centenas x 3 decenas = (4 x 3) x 100 160 12810 1281 decenas se presenta en los dos últimos. ¿Cómo
decenas = 12 unidades de mil = 12.000. 3200 16226 16226 enfrentar este problema tan frecuente
Análogamente, 20 x 30 = 2 decenas x 3 210 en ejercicios de multiplicación, ya que
decenas = (2 x 3) x 10 decenas = 6 cente- 600 la mayor parte de los productos que
nas = 600. Y así en los demás casos. 12000 aparecen en las tablas de multiplicar
16226 tienen dos dígitos y, por consiguiente,
Una vez captado el funcionamiento de obligan a “llevar”?
la multiplicación de las diversas unidades Obsérvese que el primer formato
–y la razón de este funcionamiento– po- presenta progresivamente todos los La cuestión básica consiste en
demos “descubrir” la regla habitual para productos parciales desglosados (8 x entender lo que ocurre: aquí vuelve
estos casos: “El producto de dos factores 7, 8 x 20, 8 x 400, 30 x 7, 30 x 20, 30 x a entrar en juego el propio ser del
que son múltiplos de 10 (es decir, que aca- 400). El segundo formato se reduce a sistema decimal, ya que su esencia
ban en uno o varios ceros) es otro múltiplo dos productos parciales (8 x 427 y 30 consiste precisamente en que al llegar
de 10 que tiene a la derecha tantos ceros x 427) expresados ambos en unidades, a tener 10 unidades de un orden, estas
como la suma de los ceros que presentan razón por la que aparece el sumando se convierten en 1 unidad del orden
a la derecha ambos factores”. Así, 200 x 12.810. El tercer formato –que es el ha- inmediatamente superior. Los errores
400 = (8 con 4 ceros) = 80.000; 300 x 50 bitual– respeta las unidades en que se de los niños –y de algunos adultos– con
= (15 con 3 ceros) = 15.000; 20 x 370.000 expresa cada sumando: 3.416 unidades la llevada al multiplicar, suelen ser
= (74 con 5 ceros) = 7.400.000; etc. y 1.281 decenas (resultado de 3 decenas producto de un aprendizaje mecánico,
16

17. 7 0 5 Si entendemos que 427 está com-
puesto por 4 centenas (4 billetes de
100), 2 decenas (2 billetes de 10) y 7
100; nos queda 1 de 10 y tenemos 2 bi-
lletes más de 100, con lo que el número
de éstos llega a 34. Finalmente, estos
x 3 0 4 unidades (7 billetes de 1), “8 veces 427”
significará:
últimos se convierten en 3 billetes de
1.000, al cambio de 30 de 100, y 4 so-
brantes de 100. Al final del proceso de
0
8 montones de 4 billetes de 100, es decir, cambios tenemos: 3 billetes de 1.000, 4
8 x 4 = 32 billetes de 100 de 100, 1 de 10 y 6 de 1. La composición
8 montones de 2 billetes de 10, es decir, de estas partes nos lleva al producto,
8 x 2 = 16 billetes de 10 3.416.
privado de significado, y denotan que 8 montones de 7 billetes de 1, es decir,
no se comprende el funcionamiento del 8 x 7 = 56 billetes de 1 De aquí se puede pasar ahora al
sistema decimal. formato escrito, en el que se pueden
El conocido proceso de “ir al ban- indicar las unidades que “se llevan”
Lo peor del caso –como en la co” para cambiar billetes produce los sobre los correspondientes dígitos del
suma– es que habitualmente se inten- siguientes resultados graduales: 50 multiplicando; escritura que irá desapa-
ta corregirlos sobre el propio formato billetes de 1 se convierten en 5 de 10; reciendo poco a poco, a medida que el
escrito en que se propone la multi- nos quedan 6 billetes de 1 y tenemos 5 aprendiz esté en capacidad de retener
plicación, sin percatarse de que los billetes más de 10, con lo que el número mental y momentáneamente cada
errores cometidos al utilizar los forma- de éstos llega a 21. Llevados 20 de estos “llevada” para agregarla al producto
tos numéricos –que son abstractos–, billetes al banco, se convierten en 2 de correspondiente.
sólo pueden corregirse retornando al
terreno de lo concreto, que es donde
se puede alcanzar el significado de la + +
operación.
400 20 7
¿Cuál puede ser este terreno =8x4
concreto en el que se respete la = 32 billetes de 100
esencia del sistema decimal? Puede
ser, nuevamente, el de los billetes de =8x2
denominación decimal (1, 10, 100, = 16 billetes de 10
1.000, etc.). Tomemos, por ejemplo, la
multiplicación 8 x 427, que podemos
=8x7
interpretar como “8 veces 427” (8
= 56 billetes de 1
sería el multiplicador y 427 el multi-
plicando).
17

18. Este recurso a lo concreto –bille- siones ambas que equivalen a 1 milésima.
tes– debe acompañar al ejercicio de la Siguiendo esta forma de razonar podemos
multiplicación, sobre todo cuando el elaborar una tabla como la siguiente:
multiplicador consta de un solo dígito. Y
debe quedar ahí, disponible, para dotar Multiplicación Interpretación Resultado Producto
de significado a dicho ejercicio cada vez
que el aprendiz experimente dificultades 0,1 x 10 décima parte de 1 decena 1 unidad 0,1 x 10 = 1
o cometa errores en su realización. ó 10 décimas
1.000 x 0,1 décima parte de 1 unidad de mil 1 centena 1.000 x 0,1 = 100
Multiplicación ó 1.000 décimas
con uno o dos factores decimales 100 x 0,01 centésima parte de 1 centena 1 unidad 100 x 0,01 = 1
Supongamos ahora que se trata de ó 100 centésimas
multiplicar 42,7 x 0,38. Ya sabemos que 0,001 x 100 milésima parte de 1 centena 1 décima 0,001 x 100 = 0,1
esto significa multiplicar (40 + 2 + 0,7) ó 100 milésimas
x (0,3 + 0,08) y que por consiguiente, 0,1 x 0,1 décima parte de 1 décima 1 centésima 0,1 x 0,1 = 0,01
mediante una extensión de la propiedad 0,01 x 0,01 centésima parte de una centésima 1 diezmilésima 0,01 x 0,01 = 0,0001
distributiva, tendríamos que vernos
con la multiplicación de decenas por Esta tabla puede prolongarse tam- De una forma similar a la que pro-
décimas (40 x 0,3) y por centésimas (40 bién todo lo que se desee, pero no hace poníamos antes, podemos “descubrir”
x 0,08), de unidades por décimas (2 x falta mostrar todos los casos posibles. ahora la regla habitual para estos casos:
0,3) y por centésimas (2 x 0,08), y de Lo importante –al igual que antes– es “El producto de dos números decimales
décimas por décimas (0,7 x 0,3) y por entender cómo y por qué funciona la es otro número decimal que tiene tantas
centésimas (0,7 x 0,08). multiplicación de las diversas unidades cifras decimales como el total de cifras
del sistema de numeración decimal, decimales que poseen entre ambos
Para clarificar esta complejidad tene- y saber aplicar este conocimiento. factores”. Así,
mos que trabajar ahora con la multiplica- Así, volviendo al ejemplo anterior, 40
ción de las diversas unidades –enteras y x 0,3 = 4 decenas x 3 décimas = (4 x 4 x 0,03 = (4 x 3 con 2 decimales) = (12
decimales– del sistema de numeración 3) decenas de décimas ó (4 x 3) x 10 con 2 decimales) = 0,12
decimal. Así, por ejemplo, ¿qué significa décimas = 12 unidades. También, 0,7 0,5 x 0,04 = (5 x 4 con 3 decimales) = (20
0,1 x 100? Puede entenderse como “la x 0,3 = 7 décimas x 3 décimas = (7 x con 3 decimales) = 0,020 = 0,02
décima parte de 100” ó “100 décimas”. 3) décimas partes de una décima ó (7 x
Y ya sabemos que ambas expresiones 3) x 0,1 x 0,1 = 21 centésimas = 0,21. 0,9 x 0,005 = (9 x 5 con 4 cifras decimales)
equivalen a 1 decena. Análogamente, Análogamente, 0,7 x 0,08 = 7 décimas = (45 con 4 cifras decimales) = 0,0045
0,01 x 0,1 puede entenderse como “la x 8 centésimas = (7 x 8) décimas partes 0,007 x 80 = (7 x 80 con 3 decimales) =
centésima parte de una décima”, o “la de una centésima ó (7 x 8) x 0,1 x 0,01 (560 con 3 decimales) = 0,560 = 0,56
décima parte de una centésima”, expre- = 56 milésimas = 0,056.
18

19. 0,02 x 60 = (2 x 60 con 2 decimales) =
5. Estimar el producto Veamos qué competencias se ponen
(120 con 2 decimales) = 1,20 = 1,2
de una multiplicación de manifiesto al estimar el valor de una
2.000 x 0,0005 = (2.000 x 5 con 4 de- Ya sabemos que esto significa dar el multiplicación. En primer lugar, se pro-
cimales) = (10.000 con 4 decimales) = resultado aproximado de la multiplica- duce un análisis inicial de la situación,
1,0000 = 1 ción. Decisión que se justifica porque análisis que lleva a la conclusión de la
a veces no es necesario el valor exacto pertinencia del uso de la estimación. Ya
A partir de aquí podemos efectuar de la operación, sino que resulta sufi- dentro del proceso, se “leen” las cantida-
la multiplicación de dos factores –de ciente una aproximación adecuada a des y se toma en cuenta su valor global,
los que al menos uno de ellos posee nuestros intereses o a la naturaleza del lo que permite redondearlas sin mayor
decimales– de la misma forma que la problema. riesgo. A partir de este redondeo se
de dos factores enteros, cuidando de facilita la aplicación del cálculo mental.
separar correctamente al final las cifras Como se puede apreciar, todo es ganan-
decimales: 42,7 x 0,38 = (427 x 38) x Los dos salones de primer grado de la cia a la hora de estimar.
0,1 x 0,01 = 16.226 x 0,001 = 16,226. escuela tienen 41 y 37 alumnos, respecti-
Y del mismo modo, utilizando dos ejem- vamente. Todas las semanas se le facilita a Con el fin de facilitarnos las tareas de
plos anteriores: 16,54 x 3,59 = 59,3786; cada alumno una página fotocopiada con estimación en el caso de la multiplica-
7,05 x 0,304 = 2,14320 = 2,1432. ejercicios de matemática. Como el curso se ción, presentamos algunas estrategias
desarrolla en 29 semanas lectivas, se desea recomendadas por la experiencia de los
De todas formas, conviene ejercitarse saber si alcanzará para todo el año con 5 buenos estimadores:
en el uso de las diversas unidades del sis- resmas de papel de fotocopia.
tema de numeración decimal como facto- 1. Redondear el valor de los factores,
res. Con el fin de desarrollar esta destreza, Una salida sería la de obtener el total de alum- bien sea por exceso o por defecto, según
se propone escribir el elemento ausente nos (41 + 37 = 78) y comparar con 2.500 (5 lo recomiende la situación.
de cada fila de la siguiente tabla: x 500) el producto de 78 x 29. Esa práctica
Factor 1 Factor 2 Producto es necesaria si, por ejemplo, quiero saber
con exactitud el número de hojas faltantes o
157 ? 1,57 sobrantes. Pero para responder a la pregunta
? 143,28 14,328
formulada, puedo pensar de otra manera.
0,000175 ? 0,0175
4,37 0,00001 ?
183 ? 18.300 En primer lugar, redondeo por encima el
? 1.000 92,03 número de alumnos y de semanas y los llevo
100 0,076 ? a 80 y a 30, respectivamente. Ahora efectúo
? 0,1 101 la multiplicación de estos dos factores, 80 x
0,001 ? 1,69 30 = 2.400. Conclusión: Sí nos alcanza con
0, 0345 10 ? las 5 resmas.
100 ? 2,38
19

20. 2. Compensar entre sí los valores blemente la menos aproximada. En cam- 3.874 x 0,094 19 x 0,047
de los factores. Estrategia que suele bio la tercera –que procede por redondeo
complementar a la anterior. Obsérvese y compensación entre los factores– parece Invente una serie de ejercicios
la siguiente multiplicación: 123 x 78. La ser la más cercana. De hecho, 13.475 x similares a los anteriores y resuél-
sugerencia aquí es la del redondeo y com- 894 = 12.046.650. valos.
pensación: llevar la multiplicación a 120 x
80 = 9.600 (de hecho, 123 x 78 = 9.594).
Análogamente, la multiplicación 0,096 x 13.475 x 894 6. Tengo ante mí una situación
3,12 puede estimarse por 0,1 x 3 = 0,3 de multiplicación; y ahora,
(de hecho, 0,096 x 3,12 = 0,29952).
13.500 x 1.000 ¿qué hago?
1. Observo la situación y decido si
13.400 x 900 necesito un resultado exacto o me basta
con una aproximación. En el segundo
Debe quedar claro que lo que se bus- caso procedo por la vía de la estima-
ca con la estimación es tener una idea ción… y listo.
inicial aproximada del valor del producto
de los factores, por la vía del redondeo y 2. Si necesito un resultado exacto,
del uso de las destrezas del cálculo men- leo los factores y estimo el valor de su
tal. Es decir, obtener desde el comienzo producto, para tener desde el comienzo
un valor razonable para el producto, antes una idea razonable y aproximada del
de –y a veces, en lugar de– proceder a su resultado.
cálculo por el algoritmo escrito.
3. Decido la vía que voy a utilizar
3. Afinar el proceso de estimación. Con Estime mentalmente el valor de las para realizar la multiplicación: el cálculo
el fin de mejorar las destrezas de estima- siguientes multiplicaciones. Hágalo de mental o el algoritmo escrito habitual.
ción, es conveniente plantearse diversas todas las formas que se le ocurran y
alternativas y luego comparar el resulta- evalúe la aproximación de cada resul- 4. Efectúo la multiplicación por esa
do de cada una de ellas con el producto tado. Deduzca qué tipo de redondeo vía y llego al producto.
exacto. Así, por ejemplo, si se trata de la y compensación resulta más preciso
multiplicación 13.475 x 894, podemos en cada caso y por qué. 5. Reviso el resultado obtenido.
plantear la aproximación 13.000 x 1.000, Para validar la exactitud del produc-
cuyo producto es 13.000.000. También 18 x 22 92 x 28,76 to, puedo seguir una vía distinta a la
podríamos proponer 13.500 x 900, cuyo 105 x 85 78,36 x 0,19 utilizada, o servirme de la calculadora.
producto es 12.150.000. O bien, 13.400 x 0,039 x 1.020 7,24 x 0,9 Además, aprovecho para revisar la
900 = 12.060.000. La primera estimación 4.837 x 115 138 x 55 estimación inicial y buscar la forma
es la más sencilla de calcular, pero proba- 0,089 x 1,035 61,8 x 0,93 de afinarla.
20

21. Este proceso puede seguirse tanto si nuestros lectores es que, una vez leído f) Complete las casillas del siguiente
se trata de un ejercicio directo de multi- el enunciado de cada situación, intenten cuadro:
plicación o de estimación –con lo cual el resolver el problema por cuenta propia,
paso 1 queda decidido–, como si se trata antes de revisar la vía de solución que x – =5
de una situación problema que implique la se presenta posteriormente. x x –
multiplicación como modelo adecuado.
+ 3 – =4
a) El producto de cinco números natu-
– x +
rales consecutivos es 2.520. ¿Cuál es la
Lo que sí conviene destacar es que, escritos diferencia entre el mayor y el menor de x x =6
los factores, horizontal o verticalmente, estos números? =7 =6 =8
este “espacio” del ejercicio escrito no es ne-
cesariamente el espacio en el que se realiza b) Después de la graduación, todos
efectivamente la multiplicación. La operación los estudiantes intercambiaron fotos g) La multiplicación 267 x 3 = 2.321
puede realizarse con toda libertad por entre sí de tal forma que cada estu- está errada. Pero a partir de ella es
cualquiera de las vías propuestas, y algunas diante se quedó con una foto de cada posible llegar a una multiplicación co-
de ellas no necesitan recursos para escribir, uno de sus compañeros. Si en total se rrecta sabiendo que los tres números de
sino una mente activa. El “espacio” del ejer- intercambiaron 870 fotos, ¿cuántos esta última se obtienen de la primera
cicio escrito es simplemente el espacio en el estudiantes se graduaron? haciendo cada dígito una unidad mayor
que se leen los factores y en el que luego se o menor que el dígito correspondiente
escribe el producto. c) La edad de Juan es el doble de la de la multiplicación dada (por ejemplo,
que Pedro tenía cuando Juan tenía la donde aparece un 7 puede estar un 6 ó
edad que Pedro tiene ahora. ¿Cuántos un 8, etc.). ¿Cuáles son los números de
años tiene cada uno de ellos si la suma la multiplicación correcta?
7. La resolución de problemas de sus edades es 49?
de multiplicación h) Dos trenes sa-
Los “problemas de multiplicar” pue- d) Hay dos números tales que el tri- len al mismo tiem-
den adoptar la forma de situaciones de ple del mayor es igual a cuatro veces po de dos ciuda-
la vida diaria en las que la multiplicación el menor. Si la diferencia de ambos des diferentes, en
aflora sin dificultad como la operación números es 8, ¿cuál es el mayor? sentidos opuestos.
matemática que sirve de modelo opor- Uno se mueve a
tuno. Otras veces, pueden presentar un e) Nieves y Julia ganaron la misma 95 km/h y el otro
carácter lúdico, o referirse a regulari- cantidad por su trabajo, pero Nieves a 120 km/h (velocidades promedio).
dades o características que presentan trabajó dos días más que Julia. Además, Si se cruzan a las 3 horas de haber
algunos números y series de números. Julia ganó 20.000 pesos diarios y Nieves, salido, ¿cuál es la distancia entre ambas
Vamos a plantear algunos de estos ti- 15.000. ¿Cuántos días trabajó cada una ciudades?
pos de problemas. Lo que sugerimos a de ellas?
21

22. i) Al multiplicar todos los enteros del o) Un vendedor mayorista visita tres
1 al 30, ¿en cuántos ceros termina el establecimientos. Con las ventas en el
Vamos, pues, a reportar algunas vías de so-
producto? primero, duplica el dinero que trae
lución para poder contrastarlas con las que
y, después, gasta 30.000 pesos. En el
hemos podido obtener entre todos.
j) Hallar el siguiente término de la segundo, triplica el dinero que traía
sucesión: 9, 18, 15, 30, 27, 54, 51, al entrar y gasta 54.000 pesos. Y en el
a) Si se trata de cinco números consecuti-
102, ___ tercero, cuadruplica el dinero que traía
vos, la diferencia entre el mayor y el menor
al entrar y gasta 72.000 pesos. Entonces
es, sencillamente, 4: no hace falta obtener
k) En el mercado mayorista se vende comprueba que le quedan 48.000 pesos.
tales números. Pero si nos pica la curiosidad,
el azúcar en empaques de 9, 6 y 2 kg, ¿Cuánto dinero tenía antes de entrar al
podemos proceder por ensayo y ajuste. Así,
y la harina, en empaques de 15, 8 y 7 primer establecimiento?
si ensayamos con 5, 6, 7, 8 y 9, su producto
kg. El precio del azúcar es el doble del
es 15.120, muy por encima del propuesto.
de la harina. La señora Sandra compra p) Los signos * esconden diversos
Debemos “rebajar” los factores. Y por esta
cinco de los seis empaques disponibles dígitos en la siguiente multiplicación.
vía llegamos a 3, 4, 5, 6 y 7, cuyo producto es
y paga igual por la harina que por el Descúbralos:
2.520. La diferencia 7 – 3 es igual a 4.
azúcar. ¿Qué empaque de cuál de los
dos productos no ha comprado? * *
b) La situación nos dice que cada estudiante
2 *
debe repartir tantas fotos suyas como estu-
l) En el salón de clase de * * 7
diantes hay, menos 1 (ya que no se da una
Ruth hay 4 filas de pupitres * 6
foto a sí mismo).Y este reparto lo debe ha-
y en cada fila hay 7 pupitres. 9 * 7
cer cada uno de ellos. Por consiguiente, 870
¿Cuántos años tiene la maes-
es el producto de dos números seguidos: el
tra de Ruth?
número de los que reparten, por el número
de fotos repartidas por cada uno. La vía
m) Si A = 191 x (1 + 2 + 3 + … +
del ensayo y ajuste nos lleva a precisar que
192) y B = 192 x (1 + 2 + 3 + … +
los números son 30 y 29 (nos ha podido
191), ¿cuál de los dos productos, A o B,
ayudar el hecho de que 30 x 30 = 900…).
es mayor?
Se graduaron 30 estudiantes.
n) Si A, B, C, D, E representan 5
c) Sin enredarnos con el enunciado, perci-
dígitos diferentes entre sí y distintos
bimos que Juan es mayor que Pedro. Hay
de cero, hallar su valor para que se
cuatro edades –cuatro números ente-
verifique:
ros– en danza: dos de Juan (antes y ahora)
ABCDE
y dos de Pedro (también antes y ahora). La
x 4
E D C BA
22

23. edad actual de Juan es el doble de la edad el propio número– nos hace ver que m es jar” 8 unidades a M desde 40: M = 32 y
de Pedro antes, de donde se sigue que la 24. Gráficamente, el triple de M: m = 24.
de Juan es un número par. Las dos edades
actuales suman 49; por consiguiente, la m+8 m+8 m+8 e) La diferencia entre los dos salarios diarios
edad actual de Pedro es un número impar. es de 5.000 pesos (20.000 – 15.000). Para
Finalmente, la edad de Juan antes es igual a equivale a: cubrir la diferencia acumulada en los días que
la de Pedro ahora. trabajó Julia, Nieves ha tenido que trabajar
m m m 8+8+8 dos días más, en los que ha ganado 30.000
Podemos suponer que Juan tiene ahora pesos (15.000 x 2). De donde se desprende
30 años: Pedro tiene 19 (49 – 30) y antes que, a su vez, según el enunciado, equivale que Julia trabajó 6 días (30.000 : 5.000) y
tenía 15 (30 : 2). Pero en ese “antes” (hace al cuádruplo de m: Nieves, 8. Efectivamente, ambas llegan a ganar
4 años) Juan tenía 26 (30 – 4) y debería 120.000 pesos (6 x 20.000 y 8 x 15.000).
haber tenido 19, según el enunciado. Por m m m m
consiguiente, no hemos dado con la res- f) La vía de solución es la del ensayo y ajuste.
puesta. Parece ser que la diferencia entre Y, por correspondencia entre ambos gráfi- Puede servirnos de guía inicial la 2ª columna
las dos edades actuales es grande, por lo cos, m = 24. De donde, M = 24 + 8 = 32. numérica, pues la presencia del factor 3 y
que procedemos a disminuirla. del producto 6 nos deja los factores 1 y 2
Otra vía puede ser la del ensayo y ajuste. como posibilidades para la 1ª y 3ª casillas
Supongamos entonces que la edad actual Inicialmente, se puede pensar que los nú- de esa misma columna. Las vías de ensayo
de Juan es 28 años: Pedro tiene 21 (49 meros andan cerca de 40 (M) y 30 (m), ya pueden ser diversas y deben llevar al si-
– 28) y antes tenía 14 (28 : 2). Ese “antes” que el triple de 40 coincide con el cuádru- guiente resultado:
ocurrió hace 7 años (21 – 14) y en ese plo de 30. Como la diferencia entre ambos
momento la edad de Juan era 21 años (28 es 8, podemos suponer M = 40 y m = 32. 4 x 2 – 3 =5
– 7). Esta sí es la respuesta: Juan tiene 28 El triple de 40 es 120 y el cuádruplo de 32 x x –
años y Pedro, 21. es 128: no se da la igualdad. Si suponemos 2 + 3 – 1 =4
M = 41 y m = 33, los valores respectivos – x +
d) Veamos una vía de resolver el problema. son 123 y 132. La diferencia –que antes era
1 x 1 x 6 =6
Si el número mayor (M) es 8 unidades 8 (128 – 120) – ahora es 9 (132 – 123),
mayor que el número menor (m), el triple por lo que se deduce que los números M =7 =6 =8
de M equivaldrá al triple de m más 24. y m deben ser menores. Además, al pasar
Pero el hecho de que también sea igual M de 40 a 41 –una unidad– las diferencias g) El punto inicial para la resolución de este
al cuádruplo de m –el cuádruplo de un lo hicieron de 8 a 9 –también una unidad–, problema puede ser la observación de las
número equivale al triple del número más de donde se desprende que hay que “ba- cifras de las unidades de los tres números:
23

24. 7, 3 y 1. Como los valores verdaderos son 7, la otra alternativa posible). La multiplica- j) El patrón de formación es: “el doble del
una unidad mayor o menor, las ocho alter- ción “correcta” es: 358 x 4 = 1432. anterior / el número anterior menos 3”. Así
nativas correspondientes para las cifras de que el último término es 99.
las unidades son: h) La distancia entre ambas ciudades será la
suma de las distancias recorridas por ambos k) Si la señora Sandra comprara los tres
multiplicando multiplicador producto trenes hasta el momento de cruzarse. El envases de azúcar –de 9, 6 y 2 kg– pagaría
8 2 0 primer tren recorre 95 km/h x 3 h = 285 el equivalente a 18, 12 y 4 kg de harina,
8 2 2 km.Y el segundo, 120 km/h x 3 h = 360 km. respectivamente. En total, el equivalente
8 4 0 La distancia entre ambas ciudades es, pues, a 34 kg de harina. Pero si se lleva los tres
8 4 2 285 km + 360 km = 645 km. envases de este último producto –de 15,
6 2 0 8 y 7 kg– pagaría por un total de 30 kg de
6 2 2 Otra forma de plantear la solución es harina. Para que el costo de ambos produc-
6 4 0 averiguar la distancia “construida” en cada tos sea igual, debemos eliminar el envase
6 4 2 hora de aproximación de los dos trenes y de 2 kg de azúcar –que cuesta como 4 de
multiplicar esa distancia por las tres horas harina–. De esta forma estaría pagando en
Como se ve, sólo hay dos ternas favorables de recorrido hasta cruzarse. Así, distancia ambos productos el equivalente a 30 kg
para las cifras de las unidades: 8, 4, 2 (8 x = (95 km + 120 km) x 3 = 215 km x 3 = de harina.
4 = 32) y 6, 2, 2 (6 x 2 = 12). Esta segunda 645 km.
coloca el 2 como multiplicador, situación l) Pues…, no podemos saberlo porque no
que no es aceptable, ya que el multiplicando i) Aquí la observación fundamental se re- poseemos datos al respecto. Desde luego,
tiene tres cifras y la de las centenas podría fiere a la forma de “producir” un cero a la no tiene por qué ser 28 años (4 x 7), ni 11
ser a lo sumo 3, por lo que la multiplicación derecha de un producto de dos factores. (4 + 7), ni 47…
por 2 nunca podría darnos un producto Veámoslo en la siguiente tabla:
de 4 cifras.
Situaciones Factores posibles Nº ceros a la derecha
De modo que la cifra de las unidades del Un factor acaba en 0 10, 20, 30 3
multiplicando es 8, la del producto es 2, y Un factor acaba en 5
el multiplicador es 4. Este último dato nos (no en 25) y el otro es par 5 y 2, 15 y 6 2
lleva a precisar que la cifra de las centenas
Un factor acaba en 25
del multiplicando es 3 (no puede ser 1, la
y el otro es múltiplo de 4 25 y 4 2
otra alternativa posible, pues en este caso
el producto sólo tendría 3 cifras y no 4). Y Como se ve, el producto de los 30 primeros
finalmente, que la de las decenas es 5 (y no enteros positivos acaba en 7 ceros.
24

25. m) Podemos calcular el valor de cada una que –al nivel de las unidades– 4 x E debe
de las sumas entre paréntesis. Así, para ser par. Por consiguiente A = 2. Esto deja
sumar 1 + 2 + 3 + … + 190 + 191 + 192 para E –como 1ª cifra del producto y 5ª cifra
podemos pensar de esta manera: formemos del multiplicando– el dígito 8 como único
todas las parejas “equidistantes” posibles, es valor posible. Hasta ahora tenemos:
decir, 1 + 192, 2 + 191, 3 + 190, … , hasta las
del medio: 94 + 99, 95 + 98, y 96 + 97. En 2BCD8
cada una de estas 96 parejas, el resultado de x 4
la suma es 193. Así que: 1 + 2 + … + 190 + 8DCB2
192 = 96 x 193 = 18.528. A partir de aquí,
1 + 2 + 3 + … + 190 + 191 = 18.528 – 192 Como la multiplicación 4 x B no origina
= 18.336. De esta forma tenemos: “llevada”, B debe ser igual a 1. Pero si B = 1
como 4ª cifra del producto, D debe tomar
A = 191 x (1 + 2 + … + 191 + 192) = 191 el valor de 2 ó de 7, para que con las 3
x 18.528 = 3.538.848 unidades de llevada de 4 x 8 presente un
1 en la 4ª cifra del producto. Ahora bien,
B = 192 x (1 + 2 + … + 190 + 191) = 192 como D no puede ser 2, D = 7. Finalmen-
x 18.336 = 3.520.512 te, C toma el valor de 9. La multiplicación
descubierta es:
De modo que A es mayor que B.
21978
n) Este es un ejercicio en el que hay que x 4
manejar con soltura la tabla de multiplicar 87912
del 4. Observando el enunciado:
o) Podemos representar en la siguiente
ABCDE tabla la información aportada por el enun-
x 4 ciado:
E D C BA
Nº tienda Trae Consigue Gasta Le queda
percibimos que A –por ser la 1ª cifra del 1 Duplica 30.000
multiplicando, de izquierda a derecha– debe 2 Triplica 54.000
ser menor que 3 para que no haya 6 cifras
3 Cuadruplica 72.000 48.000
en el producto. Pero A no puede ser 1 ya
25

26. No podemos terminar esta parte
dedicada a los problemas de multiplica-
Ahora buscamos su construcción total
ción sin reiterar la reflexión que, sobre
procediendo desde el último dato (lo que
la forma en que los hemos abordado y
le queda al salir de la 3ª tienda) hacia arriba.
resuelto, hicimos en los dos Cuadernos
Describimos el proceso de la 3ª fila de da-
anteriores. He aquí algunas conclusio-
tos: Si sumamos lo que le queda con lo que
nes, que seguramente compartimos
gasta (48.000 + 72.000), tenemos 120.000
todos:
pesos. Esta cantidad representa el cuádruplo
de lo que traía, 30.000 pesos (120.000 : 4),
1. El método que aparece como más
que era lo que le quedaba al salir de la 2ª
utilizado y eficiente sigue siendo el del
tienda. Ahora se repite el proceso en la 2ª
tanteo razonado. Como decíamos, es
fila, y luego en la 1ª. El resultado final es:
un método científico excelente, que
nos acostumbra a formular hipótesis
Nº tienda Trae Consigue Gasta Le queda
razonables –ajustadas a las condiciones
1 29.000 Duplica 30.000 28.000 de la situación– y a verificarlas en la
2 28.000 Triplica 54.000 30.000 práctica. Todo esto refleja un proceso
3 30.000 Cuadruplica 72.000 48.000 permanente de toma de decisiones,
así como de control sobre la propia
p) Como puede observarse, la cifra de las Ahora es cuestión de proceder por ensayo actividad.
unidades del multiplicando podría ser 3 u y ajuste con la cifra desconocida del mul-
8, para que la multiplicación por el 2 de las tiplicando, sabiendo que debe ser < 4, en 2. La valoración del método de
decenas termine en 6. Pero no puede ser 8, razón del número de cifras del producto y tanteo razonado no debe excluir la
porque el producto termina en 7 (impar). de la “llevada” que aporta su multiplicación consideración y práctica de otros mé-
Por lo tanto, el multiplicando termina en 3. por 9. Finalmente se llega a: todos a la hora de resolver problemas.
Ahora bien, el multiplicador debe terminar Por ejemplo, algunos de los proble-
a su vez en 9, única posibilidad para que 3 3 mas que acaban de trabajarse podían
el producto acabe en 7. El resultado hasta 2 9 haberse planteado y resuelto por la
ahora es: 29 7 vía algebraica, es decir, utilizando
* 3 66 incógnitas y ecuaciones, aunque en
2 9 95 7 algunos casos – como en el problema
* * 7 o)– resulte más engorroso (puede ha-
*6 ¿Puede usted elaborar unos ejercicios si- cer la prueba…).
9 * 7 milares a éste?
3. Volviendo a las formas en que
hemos trabajado los problemas ante-
26