 Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros y pueden representarse como fracciones o decimales finitos e infinitos.  Se explican conceptos como aproximación, truncamiento, porcentajes, proporcionalidad, descuentos, recargos y operaciones básicas con números racionales como suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación.  También se definen conceptos como intervalos reales, ecuaciones, inecuaciones y notación cientí

1. Repaso de contenidos
pasados
•Integrantes: Elías A., Escalante l.,
Mamaní A., Rivero T., Tedín D.
•Curso: 3 2 Economía y administración
•Colegio: José Manuel Estrada
•Año: 2012

2. Números racionales (Q)
Un número racional es todo número que puede representarse como el cociente de dos
números enteros. A los números racionales se los puede escribir como una función o un
decimal , este último puede ser finita o infinita.
Ejemplo : expresión decimal finita
Expresión decimal infinita
Conversión de decimal finita a fracción : Se debe escribe el numero sin la
coma y debajo de la línea de fracción se escribe el ¨1¨ seguido de tantos ¨0¨ como
decimales hay a la derecha de la coma ej.:
Expresión decimal periódica: Se debe transformar una fracción siguiendo los
siguientes pasos:
1. Al numero se lo debe escribir sin coma ni el sombrero.
2. Luego los números que en el original se encuentran fuera del sombrero restarlos
con el numero que se escribió en el punto 1.
3. En caso de ser :
 Decimal periódico puro : se siguen los pasos 1 y 2 luego escribir en la línea de
fracción tantos ¨9¨ como decimales tenga el periodo
Ejemplo:
 Decimales Periódicos Mixtos : Se sigue los pasos 1 y 2 y luego debajo de la línea de
fracción se escribe tantos ¨9¨ como decimales hay debajo del sombrero y seguido de
tantos ¨0¨ como decimales no periódicos tiene el numero todos esto se realiza
observando el numero original.

3. Ejemplo :
Aproximación y truncamiento .Error
•Cuando se quiere APROXIMAR se debe determinar hasta que cifra decimal se va a
considerar Y luego se observa la cifra que se encuentra a su derecha , si esta es
desde 0 a 4 la cifra considerada queda igual ( por defecto ) Ej 1,43 =1,4 .
Pero en caso de que la cifra de la derecha se a de 5 a 9 a la cifra a considerar se lo
suma 1 ( por exceso ) Ej. 4,585 = 4,59
•Truncamiento: Es corta el numero en la tercera cifra decimal y eliminar los restantes
Ej. :
7,457/457457457457457 = 7,457
Porcentaje
El tanto porciento ( A % ) de una cantidad (B ), es tomar A% de las 100 partes en que
se divide B es decir Ejemplo :
Descuento y recargo
Se puede calcular directamente un valor con descuento o recargo de una cierta
cantidad
•Cuando al compara algún producto se realiza u descuento del 8% lo que se termina
pagando es el 92 % lo que se realiza es una resta 100% (total ) menos el 8% (
descuento ) = 92%
•Cuando se compra con un recargo del 6% lo que se paga es el 106% lo que se realiza
es una suma 10% ( total costo del producto ) mas 6% ( recargo) =106%

4. Proporcionalidad 180 prop. directa
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando
el cociente entre ambas es siempre el mismo valor k. 120
Un automóvil que se desplaza a una velocidad constante de 60 km/h.
k = y/x = 60/1 = 120/2 = 180/3 y = 60x 60
La función de proporcionalidad directa es una recta que pasa por
el origen de coordenadas y su pendiente es k.
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cunado 1 2 3
el producto entre ambas es siempre un mismo valor k. 10 prop. inversa
Para vaciar una pileta de natación, se utilizan varias 8
bombas que arrojan la misma cantidad de agua.
y.x = k → y = k/x
5
k = 5.8 = 2.20 = 10.4 = 8.5 → y = 40/x
La función de proporcionalidad inversa es una hipérbola.
2
45 8 20
Potenciación de Números Racionales
Cuando un numero racional esta elevado a la potencia, esta potencia afecta tanto al
denominador como al numerador de la fracción.
Ej.: 3
2
3 9
2
2
7 2 49
Para calcular cualquier potencia de una expresión decimal existe una regla practica: la
cantidad de lugares decimales de la potencia es igual al producto de la cantidad de lugares
decimales de la base por el exponente.
Ej.: 0,03³ = 0,03 . 0,03 . 0,03 exponente
2.3=6
2 lugares decimales cant. De lug. Decim.

5. Radicación de Números Racionales
Cuando un numero racional esta afectado por una raíz, esta raíz afecta tanto al de nominador como al
numerador de la fracción.
Ej.: 25 25 5
9 9 3
Para calcular cualquier raíz de una expresión decimal existe una regla practica.
La cantidad de lugares decimales de la base dividida el índice.
Ej.: 0 , 09 0 ,3; xq 0 , 03
2
0 . 09
Si la cantidad de lugares decimales de la base no se puede dividir exactamente por el índice entonces la
raíz no es exacta: 0 , 4 ; 0 , 009 ; 3 0 , 64
 Los números racionales y los irracionales determinan los n reales.
 Un número es irracional cuando no puede ser expresado como el cociente entre dos números
enteros y su expresión decimal tiene una cant. infinita de cifras no periódicas.
 Todas las raíces no exactas son números irracionales. Ej.: 3 1, 7320508
 Para operar con números racionales se los debe aproximar.
INTERVALOS REALES
Un intervalo real es un segmento o semirrecta de la recta real. Se representa como un par ordenado de
números encerrados entre paréntesis y/o corchetes. El paréntesis indica que no se incluye al número,
y el corchete sí . < >=( ) y Ej.: -2< x ≤ 5→(-2 ; 5]
R
-2 5

6. Representación de raíces cuadradas en la recta real
Para representar a en la recta numérica se debe
recurrir a la relación pitagórica: A² =B² + C² 2 2
A B C
C
2 2
A B C
a)Para representar 2 2
2 2 1 1
B
2 2
2 2 1 1
b) Para representar 5 5 2
2
1
2
0 1 2 2 2 2
5 5 2 1
Propiedades de la Radicación
1
Pr opiedad Ejemplos
0 1 2 3
n
a .n b n
a .b 2 . 18 2 . 18 36 6
n n n
3
54 : 3 2 3
54 : 2 3
27 3
a : b a :b
m n m .n 4
a a 81 81 3
a si n es impar
n n 2
a [ a ] si n es par 7 7
n n :m m. p n. p 4
m m :n 8
a a a p 0 2 2

7. Extracción de factores de un radical
• Se pueden extraer factores de una raíz al factorear su base, resulta una potencia cuyo
exponente es mayor o igual que el índice de la misma. Para ello hay que aplicar las
3 2 2
propiedades de la potenciación y la radicaciones. Ej.: 27 3 3 .3 3 . 3 3 3
Adición y Sustracción de Radicales
• Dos radicales son semejantes cuando tienen igual índice y base. Para sumar o restar
radicales. Estos deben ser semejantes.
a) 3 2 4 2 7 2 b) 9 3 5 3 4 3
Dos radicales pueden no ser semejantes y luego de extraer factores sí lo son.
2
a) 12 5 3 2 .3 5 3 2 3 5 3 7 3
Polinomios: Adición y Sustracción
Ejemplo: P(x) = 4x³ + 2x – 3x² - 8 y Q(x)= 5x² - 7x + 11 – 6x³
a) P(x)+Q(x)= - 2x³ +2x² - 5x + 3 b)P(x) - Q(x)=10x³ - 8x² + 9x - 19
• Para multiplicar o dividir un polinomio por un numero real, se debe aplicar la propiedad
distributiva.
a)5 . P(x) =5 .( 4x³ + 2x - 3x² - 8) = 20x³ + 10x - 15x² - 40
b) Q(x): 2 = 5x² - 7x + 11- 6x³ = 5 x 2 7 x 11 3 x 3
2 2 2
2

8. Multiplicación de Polinomios
Para multiplicar dos polinomios. Se debe aplicar la propiedad distributiva y la propiedad del producto de
dos potencias de igual base:
a) x .x
n m
x
n .m
3 8 2 1 3 8 3 3 2 3 1 2 3 4 3 2 1
x x
2
12 x
3
x x. x
2
x. 12 x
3 x. x x. x 9x x x
4 9 5 3 4 9 4 4 5 4 3 3 10 4
Cuadrado de un Binomio
Para elevar al cuadrado un polinomio, se debe multiplicar por si mismo, en el caso de un
binomio:(a + b)² = (a + b) . (a + b) = a.a + a.b + b.a + b.b = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b²
En conclusión :
2 2 2
a b a  2 ab 
  b


trinomiocu adradoperf ecto
cuadradode unbinomio
Cubo de un Binomio
• Para elevar al cubo un binomio, se multiplica su cuadrado por el binomio:
(a+b)³ = (a+b)² . (a+b) = (a² + 2ab + b²). (a+b) = a³ + a²b +2a²b +2ab² +ab² +b² = a³ + 3a²b +3ab² +b³
En conclusion: 2 2 2 2
8 8 4 3 12 7 4 5 2 . 2 3 5 2 3 2 . 3 3 4 2 3 2 4 3 2 5 4 1 2
x x x x x .x x x .x x .x x . x 1 3x x
15 5 5 35 3 .5 5 5 5 .7 5 3 7

9. Factor Común
Existen varios procedimientos de factoreo de un polinomio uno de ellos es:
a) 3 3 2 3 3
a b a 3 a  3 ab b
  b  

cubodeunbi nomio cuatrinomi ocuadradop erfecto
Notación Científica
• La notación científica, es un recurso matemático empleado para simplificar cálculos y
representar en forma concisa números muy grandes o muy pequeños. Para hacerlo se usan
potencias de diez.
• En el sistema decimal, cualquier número real puede expresarse mediante la denominada
notación científica. La ventaja de expresar un número en notación científica, es que un
número muy largo, puede escribirse de manera más abreviada y ayuda a operar con mayor
facilidad.
• El exponente va a ser quien indique si la coma corre lugares hacia la derecha o izquierda. Por
ejemplo:
732,5051 = 7,325051 102 (movimos la coma decimal 2 lugares
hacia la izquierda)
0,005612 = −5,612 10−3 (movimos la coma decimal 3 lugares hacia
la derecha).
−

10. Ecuaciones
• Las ecuaciones y las inecuaciones son expresiones matemáticas que representan problemas
reales.
• Una ecuación, es una igualdad entre dos expresiones algebraicas denominadas miembros. Las
letras reprecentas valores que se pueden hallar realizando la ecuación.Por ejemplo en la
ecuación:
• Primer miembro Segundo miembro
• 3x-1 = 9+x
• Se puede afirmar que una ecuación es una igualdad condicional, en la que solo ciertos valores
de la variable la hacen cierta.
• Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variable que la
satisfaga .Para el caso dado la solución es: x=5
Inecuaciones
• Una inecuación es una desigualdad que relaciona letras y números mediante las operaciones
aritméticas. Las letras se llaman incógnitas.
Las soluciones de una inecuación son los valores que pueden tomar las incógnitas de manera
que al sustituirlos en la inecuación hacen que la desigualdad sea cierta.
• x+4<7
• x<7+-4
x<3

11. expresiones Algebraicas
Una expresión algebraica es una combinación de letras, números, ligadas por los signos de las
operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación.
Clasificación de las expresiones algebraicas:
Monomio: Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen
entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.
Binomio: Un binomio es una expresión algebraica formada por dos monomios.
Trinomio: Un trinomio es una expresión algebraica formada por tres monomios.
Polinomio: Un polinomio es una expresión algebraica formada por más de un monomio.
Monomios
Un MONOMIO es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las
variables son el producto y la potencia de exponente natural. 2x2 y3 z
Partes de un monomio
Coeficiente: El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.
Parte literal: La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.
Grado: El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables. El
grado de 2x2 y3 z es: 2 + 3 + 1 = 6
Grado de un polinomio
El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

12. Teorema de Thales
Si dos rectas cualesquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las
rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.
El teorema de Thales en un triángulo
Dado un triángulo ABC, si se traza un segmento
paralelo, B'C', a uno de los lados del triangulo, se
obtiene otro triángulo AB'C', cuyos sus lados son
proporcionales a los del triángulo ABC.

13. VOLUMEN Y CAPACIDAD:
Volumen: es una magnitud escalar definida como el espacio ocupado por un cuerpo.
Se clasifican en tres categorías:
•Unidades de volumen sólido. Miden al volumen de un cuerpo utilizando unidades de longitud elevadas a la tercera
potencia. Se le dice volumen sólido porque en geometría se utiliza para medir el espacio que ocupan los cuerpos
tridimensionales, y se da por hecho que el interior de esos cuerpos no es hueco sino que es sólido.
•Unidades de volumen líquido. Estas unidades fueron creadas para medir el volumen que ocupan los líquidos dentro
de un recipiente.
•Unidades de volumen de áridos, también llamadas tradicionalmente unidades de capacidad. Estas unidades fueron
creadas para medir el volumen que ocupan las cosechas (legumbres, tubérculos, forrajes y frutas) almacenadas en
graneros y silos.
Capacidad: Se denomina capacidad al conjunto de recursos y aptitudes que tiene un individuo para desempeñar
una determinada tarea. En este sentido, esta noción se vincula con la de educación, siendo esta última un proceso de
incorporación de nuevas herramientas para desenvolverse en el mundo. El término capacidad también puede hacer
referencia a posibilidades positivas de cualquier elemento.
La capacidad y el volumen son términos que se encuentran estrechamente relacionados. Se define la capacidad
como el espacio vacío de alguna cosa que es suficiente para contener a otra u otras cosas. Se define el volumen
como el espacio que ocupa un cuerpo. Por lo tanto, entre ambos términos existe una equivalencia que se basa en la
relación entre el litro (unidad de capacidad) y el decímetro cúbico (unidad de volumen).
Este hecho puede verificarse experimentalmente de la siguiente manera: si se tiene un recipiente con agua que
llegue hasta el borde, y se introduce en él un cubo sólido cuyas aristas midan 1 decímetro (1 dm3), se derramará 1 litro
de agua. Por tanto, puede afirmarse que:
1 dm3 = 1 litro Equivalencias 1 dm3 = 0,001 m3 = 1.000 cm3

14. Funciones
Una relación entre dos conjuntos numéricos A y B es un conjunto de pares ordenados
(x;y), con la condición de que x Є A ᴧ y Є B.
Una relación es una función cuando se cumplen dos condiciones:
1) Todos los elementos del conjunto A estén relacionados con algún elemento del
conjunto B (existencia).
2) Cada elemento del conjunto A se relacione con un único elemento del conjunto B
(unicidad).
Dominio e imagen de una función
En una función f:R → R , su dominio es un conjunto de números reales que son valores
de x y su imagen, los que son valores de y.
En la función f del gráfico, el dominio son los valores
marcados en celeste y la imagen, los marcados en naranja.
y IMAGEN
DOMINIO x

15. Conjunto de ceros o raíces, positividad y negatividad
* El conjunto de ceros o raíces de una función son los valores de x que determinan que
f(x) = 0.
f(-2) = 0 ᴧ = 0 → C = {-2;3}
f(3)
*El o los conjuntos de positividad son los intervalos reales de los valores de x que
determinan que la función sea positiva.
C+ = (-∞;-2) U (3;+∞)
*El o los conjuntos de negatividad son los intervalos reales de los valores de x que
determinan que la función sea negativa .
Cˉ = (-2;3) y
Si a medida que los valores de x aumentan,
el valor de la función aumentan, entonces,
la función crece ; pero si disminuyen, -6 -2 3 x
entonces, la función decrece.
Crecimiento:(-∞; -4) U (3; ∞)
Decrecimiento:(-4; -1)
Cuando al aumentar los valores de x, los valores de la función no varían, la función no
crece ni decrece, sino que se mantiene constante

16. Función lineal
Toda función cuya fórmula es y=mx + b se denomina función lineal y su gráfica es una
recta.
La fórmula y= mx + b se denomina ecuación explícita de la recta.
• La ordenada al origen (b) es el valor en donde la recta corta al eje y.
f(o) = m.0 + b → f(0) = b
• La raíz (xᴧ) de una función lineal es el valor en donde corta al eje x.
mx + b = 0 → mx = -b → xᴧ = -b/m
• La pendiente (m) es la inclinación de la recta respecto del eje x y de determina con el
ángulo â . y
m = tg â → â=arc tg m R
a) x + y = 2 b →Ordenada
y = -x + 2 Raíz
m= -1
b= 2 xᴧ x
Gráfico de una función lineal
Para graficar una función lineal a partir de su ecuación explícita y= mx + b, se utiliza la
construcción de la figura.
El ángulo de inclinación â es igual al ángulo β por ser correspondientes entre paralelas.
m= tg â = tg β = y/x

17. Rectas paralelas y perpendiculares
Dos rectas en un plano pueden ser paralelas (//), perpendiculares ( ) u oblicuas (/_).
Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente. Por ejemplo:
y₁ = mx + b₁
y₂ = mx + b₂
Dos rectas son perpendiculares cuando sus pendientes son inversas y opuestas. Ej.:
y₁ = mx + b₁
y₂ = -1/mx + b₂
Si dos rectas no son paralelas ni perpendiculares, entonces, son oblicuas.
y y
x x
Rectas paralelas Rectas perpendiculares

18. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
Por dos puntos cualquiera del plano pasa una sola recta.
La recta A pasa por los puntos = (-2;-1) y b = (1;5)
La ecuación de la recta es y = mx + b, por lo tanto:
-1 = -2m + b → b = -1 + 2m
5 = 1m + b → b = 5 – m
-1 + 2m = 5 – m y A
3m = 6
m=2 5 - . . .b
b=5–2=3 .
A: y = 2x + 3 .
-2 .1
| |
a . . . . . . . -1 x