SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 13
HISTORIA DE LA EVOLUCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES.
Los egipcios dieron origen por primera vez a las fracciones comunes alrededor del
año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C. un grupo de matemáticos griegos liderados por
Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números
negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente
reinventados en China poco después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo
XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler descartó las soluciones negativas de las
ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo se utilizaban
números reales sin una definición precisa, cosa que finalmente sucedió con la definición
rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.
En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige
tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la
construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes
matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor
(encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis
matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de
Dedekind).Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la
historia, no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la
materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos como:
Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass.
Se sabe que los egipcios y babilónicos hacían uso de fracciones (números racionales)
en la resolución de problemas prácticos. Sin embargo, fue con el desarrollo de la
matemáticagriega cuando se consideró el aspecto filosófico de número. Los pitagóricos
descubrieron que las relaciones armónicas entre las notas musicales correspondían a
cocientes de números enteros, lo que les inspiró a buscar proporciones numéricas en
todas las demás cosas, y lo expresaron con la máxima «todo es número».
En la matemática griega, dos magnitudes son conmensurables si es posible encontrar
una tercera tal que las primeras dos sean múltiplos de la última, es decir, es posible
encontrar una unidad común para la que las dos magnitudes tengan una medida entera.
El principio pitagórico de que todo número es un cociente de enteros, expresaba en esta
forma que cualesquiera dos magnitudes deben ser conmensurables.
Sin embargo, el ambicioso proyecto pitagórico se tambaleó ante el problema de medir
la diagonal de un cuadrado, o la hipotenusa de un triángulo rectángulo, pues no es
conmensurable respecto de los catetos. En notación moderna, un triángulo rectángulo
cuyos catetos miden 1, tiene una hipotenusa que mide raíz cuadrada de dos √2:
Si √2 = p
⁄q es un número racional donde p
⁄q está reducido a sus términos mínimos (sin
factor común) entonces 2q2
= p2
.
La expresión anterior indica que p2
es un número par y por tanto p también, es decir, p =
2m. Sustituyendo obtenemos 2q2
= (2m)2
= 4m2
, y por tanto q2
= 2m2
.
Pero el mismo argumento usado nos dice ahora que q debe ser un número par, esto
es, q = 2n. Más esto es imposible, puesto que p y q no tienen factores comunes (y
hemos encontrado que 2 es un factor de ambos).
Por tanto, la suposición misma de que √2 es un número racional debe ser falsa.
Surgió entonces un dilema, ya que de acuerdo al principio pitagórico: todo número era
racional, más la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles no era conmensurable
con los catetos, lo cual implicó que en adelante las magnitudes geométricas y las
cantidades numéricas tendrían que tratarse por separado, hecho que tuvo
consecuencias en el desarrollo de la matemática durante los dos milenios siguientes.4
Los griegos desarrollaron una geometría basada en comparaciones (proporciones) de
segmentos sin hacer referencia a valores numéricos, usando diversas teorías para
manejar el caso de medidas inconmensurables, como la teoría de proporciones de
Eudoxo. Así, los números irracionales permanecieron a partir de entonces excluidos de
la aritmética puesto que sólo podían ser tratados mediante el método de infinitas
aproximaciones. Por ejemplo, los pitagóricos encontraron (en notación moderna) que
si a
⁄b es una aproximación a √2 entonces p = a + 2b y q = a + b son tales que p
⁄q es una
aproximación más precisa. Repitiendo el proceso nuevamente se obtienen mayores
números que dan una mejor aproximación.5
Dado que las longitudes que expresan los
números irracionales podían ser obtenidas mediante procesos geométricos sencillos
pero, aritméticamente, sólo mediante procesos de infinitas aproximaciones, originó que
durante 2000 años la teoría de los números reales fuese esencialmente geométrica,
identificando los números reales con los puntos de una línea recta.
Nuevos avances en el concepto de número real esperaron hasta los siglos XVI y XVII,
con el desarrollo de la notación algebraica, lo que permitió la manipulación y operación
de cantidades sin hacer referencia a segmentos y longitudes. Por ejemplo, se
encontraron fórmulas para resolver ecuaciones de segundo y tercer grado de forma
mecánica mediante algoritmos, los cuales incluían raíces e incluso, en ocasiones,
«números no reales» (lo que ahora conocemos como números complejos). Sin
embargo, no existía aún un concepto formal de número y se seguía dando primacía a
la geometría como fundamento de toda la matemática. Incluso con el desarrollo de
la geometría analítica este punto de vista se mantenía vigente,
pues Descartes rechazaba la idea que la geometría pudiera fundamentarse en
números, puesto que para él la nueva área era simplemente una herramienta para
resolver problemas geométricos.
Posteriormente, la invención del cálculo abrió un período de grandes avances
matemáticos, con nuevos y poderosos métodos que permitieron por vez primera atacar
los problemas relacionados conlo infinito mediante el concepto de límite. Así, un número
irracional pudo ser entendido como el límite de una suma infinita de números racionales
(por ejemplo, su expansión decimal). Como muestra, el número π puede estudiarse de
forma algebraica (sin apelar a la intuición geométrica) mediante la serie:
Entre muchas otras expresiones similares. Para entonces, el concepto intuitivo de
número real era ya el moderno, identificando sin problema un segmento con la medida
de su longitud (racional o no). El cálculo abrió el paso al análisis matemático,que estudia
conceptos como continuidad, convergencia, etc. Pero el análisis no contaba con
definiciones rigurosas y muchas de las demostraciones apelaban aún a la intuición
geométrica. Esto conllevó a una serie de paradojas e imprecisiones.
DEFINICIÓN DE NÚMEROS
En matemáticas, el conjunto de los números reales (denotado por ℝ) incluye tanto a
los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números
irracionales;1
y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los
trascendentes2
(1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con
denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como: √ 5, π, el
número real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.Los
números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples
aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras
más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal. Durante
los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa,
puesto que en el momento prescindían del rigor y fundamento lógico, tan exigente en
los enfoques teóricos de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño»,
«límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y
problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para
la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque
ciertamente técnicas) del concepto de número real.
En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales
actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales
y cortaduras de Dedekind.
Tipos de números reales
Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números
racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números
enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás.
Los números racionales también pueden describirsecomoaquellos cuya representación
decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión
decimal aperiódica:
Ejemplos
1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del
tercer número decimal.
5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6
(repite 714285).
Es irracional y su expansión decimal es
aperiódica.
Otra forma de clasificar los números reales es en número algebraico
algebraicos'' y número trascendente trascendentes. Un número es algebraico si existe
un polinomio de coeficientes racionales que lo tiene por raíz y es trascendente en caso
contrario. Obviamente, todos los números racionales sonalgebraicos: si es un número
racional, con p entero y q natural, entonces es raíz del de la ecuación qx=p. Sin
embargo, no todos los números algebraicos son racionales.
Ejemplos
El número es algebraico puesto que es la raíz del
polinomio
Un ejemplo de número trascendente es
LOS NÚMEROS REALES COMO UN CAMPO
Al "construir" la matemática, los números naturales, son una clase de equivalencia de
conjuntos coordinables. Los números enteros son una clase de equivalencia de parejas
ordenadas de números naturales. Los números racionales son una clase de
equivalencia de parejas ordenadas de números enteros.
Los números irracionales son los elementos de la recta real que NO pueden expresarse
mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras
decimales que no siguen un periodo definido.
De este modo ya pueden definirse los números reales que surgen de la unión de lo que
son los conjuntos de números naturales, enteros, irracionales y racionales.
Los números reales son llamados campo de los números reales. Esto es porque son un
grupo abeliano, es decir poseen la ley de cerradura, la conmutativa, asociativa,
distributiva y poseen elementos neutros e inversos. Todos estos elementos hacen que
los números reales sean un campo.
OTRAS PROPIEDADES
Propiedad de los opuestos
Que dice
Ejemplo
-(-a) = a
El opuesto del opuesto es el mismo número.
- (- 9) = 9
(-a)(b)= a (-b)= -(ab)
El producto de reales con signos diferentes es negativo.
(-15) (2) = 15(- 2) = - (15 x 2)= - 30
(- a)(-b) = ab
El producto de reales con signos iguales es positivo.
(-34) (- 8) = 34 x 8
-1 (a) = - a
El producto entre un real y -1 es el opuesto del número real.
-1 (7.6) = - 7.6
AXIOMAS DE LOS NÚMEROS REALES
Axioma de los números reales (suma y resta)
Ley de cerradura
Axioma conmutativo.
Axioma asociativo
Axioma distributivo
Axioma del elemento neutro
Axioma del elemento inverso
Axioma del número inverso
Los Elementos de Identidad
Los elementos identidad en los números Reales son:
 Identidad para la adición o Neutro Aditivo: el neutro aditivo es el 0, ya cualquier
número sumado con 0 da el mismo número.
 decimos que
 Identidad para el producto o Neutro multiplicativo: el neutro multiplicativo es el 1,
ya que cualquier número multiplicado con 1 da el mismo número.
decimos que
Los Elementos Inversos
Los elementos inversos en los números reales son aquellos que al multiplicar un
número por este, se obtiene la identidad.
 Inverso Aditivo: ‘‘‘el inverso aditivo de es pues al operar se
obtiene la identidad aditiva, que es 0.
decimos que (identidad aditiva)
Eso también es conocido como Sustracción.
La sustracción no cumple todas las propiedades que cumplen la suma y la
multiplicación.
Propiedades de la Sustracción:
I)
II)
III)
IV)
Ejemplo # 1
 Λ
observamos que
Ejemplo # 2
Propiedad asociativa 3(5)=5(3) 15=15 entonces la multiplicación de reales es
asociativa Entonces, la sustracción no es asociativa.
 Inverso Multiplicativo:el inverso multiplicativo de es , pues al operar
obtenemos la identidad multiplicativa que es 1.
Decimos que (identidad multiplicativa)
De donde podemos definir el Cociente como:
Si entonces se define como:
De donde es el numerador y es el denominador. Esto también es llamado Fracción.
No todas las propiedades que se utilizan para la adición y multiplicación son válidas
para la división.
Propiedades de la División:
Para todas las fracciones , donde y
I) Fracciones Equivalentes:
si y sólo si
II) Equivalencia para el signo
III) Cancelativa:
IV) Adición y sustracción con común denominador:
V) Adición y sustracción con denominadores diferentes:
VI) Multiplicación:
VII) División:
VIII) División de cero y división por cero:
a)
b) es indefinido
c) es indefinido,
Más Ejemplos números reales
Propiedad asociativa de la adición
Propiedad conmutativa de la multiplicación
Propiedad distributiva
Propiedad de la identidad de la multiplicación
Propiedad del inverso de la adición
Propiedad del inverso de la multiplicación
si
TEOREMAS DE NÚMEROS REALES
Teorema 1. El cero es único.
Demostración. Si hubiera dos 01 y 02 se verificaría
01 = 01 + 02 = 02 + 01 = 02
Teorema 2. El inverso aditivo es único.
Demostración. Si hubierados y1 yy2 se verificaríax + y1 = x + y2 = 0 por lo tanto
y2 = 0 + y2 = (x + y1) + y2 = x + (y1 + y2) = x + (y2 + y1) = (x + y2) + y1 = 0 + y1 = y1
Teorema 3. El neutro multiplicativo es único.
Demostración. Si hubierados y1 y y2 se verificaría
y1 = y1 · y2 = y2 · y1 = y2
Teorema 4. El inverso multiplicativo es único
Demostración. .Si hubierados y1 y y2 se verificaríax · y1 = x · y2 = 1 por lotanto y2 = 1 ·
y2 = (x · y1) · y2 = x · (y1 · y2) = x · (y2 · y1) = (x · y2) · y1 = 1 · y1 = y1
Teorema 5. Si a + c = b + c entonces a = b
Demostración. Por (P2) a = a + 0 Por (P3) ⇒ = a + (c + (−c)) Por
(P1) ⇒ = (a + c) + (−c)
Por hipótesis: = (b + c) + (−c) Por (P1) ⇒ = b + (c + (−c)) Por
(P2) ⇒ = b + 0 = b
∴ a = b
Teorema 6.
Dados a, b ∈ R existe un único x ∈ R tal que a+x = b. Este x se designa x = b−a
Demostración. Tenemos que
x = x + 0 = x + (a + (−a)) = (x + a) + (−a) = (a + x) + (−a) = b + (−a) = b − a
Teorema 7. b-a=b+ (-a)
Demostración. Sea x = b − a y sea y = b + (−a) demostraremos que x = y Tenemos que
por definición x = b − a ⇒ x + a = b por lo tanto
y + a = (b + (−a)) + a = b + (a + (−a)) = b + 0 = b
Por lo tanto x + a = y + a ⇒ x = y
Teorema 8. Si a + d = a ∀ a ∈ R entonces d = 0
Demostración. Por (P2) d = d + 0 Por (P3) ⇒ = d + (a + (−a))
Por (P1) ⇒ = (d + a) + (−a) Por (P8) ⇒ = (a + d) + (−a)
Por Hipótesis = a + (−a) Por (P3) ⇒ = 0 ∴ d = 0
Teorema 9. Dado a ∈ R si a + d = 0 entonces d = −a
Demostración. Por (P2) d = d + 0 Por (P3) ⇒ = d + (a + (−a))
Por (P1) ⇒ = (d + a) + (−a) Por (P8) ⇒ = (a + d) + (−a)
Por Hipótesis = 0 + (−a) Por (P2) ⇒ = −a ∴ d = −a
Teorema 10. − (−a) = a ∀ a ∈ R
Demostración. Tenemos − (−a) + (−a) = 0 Haciendo r = −a ⇒ − r + r
Por (P3) ⇒= 0 ∴ − (−a) = a
Teorema 11. Si x ≠ 0 y xy = xz entonces y = z
Demostración. . y = y · 1 = y · (x · x−1) = (yx) · x−1 = (xz) x−1 = z(xx−1)z · 1 = z
Teorema 12. Si ad = a ∀ a ≠ 0 entonces d = 1
Demostración.
Por (P6) d = d·1 Por (P7) ⇒= d(a(a−1)) Por (P5) ⇒ = (da)(a−1)
Por (P8) ⇒ = (ad) (a−1) Por Hipótesis = a (a−1) Por (P7) ⇒ = 1
∴ d = 1
Teorema 13. Sea a ≠ 0 si ad = 1 entonces d = a −1
Demostración Por (P6) d = d·1 Por (P7) ⇒ = d(a(a−1))
Por (P5) ⇒ = (da)(a−1)
Por (P8) ⇒ = (ad)(a−1)
Por Hipótesis = 1(a−1) Por (P6) ⇒ = a−1
∴ d = a−1
Teorema 14. Si x = 0 entonces (x−1)−1 = x
Demostración. Tenemosque x · (x−1) = 1 y y (x−1)−1 · x−1 = x por lo tanto x y (x−1)−1 soninversos
multiplicativosde (x−1)−1 yporunicidaddel inversoentonces(x−1)−1 =x
Teorema 15. a · 0 = 0 ∀ a ∈ R
Demostración. Por (P2)a · 0 = a · 0 + 0 Por(P3) ⇒ = a · 0 + (a + (−a))
Por(P1) ⇒ = (a · 0 + a) + (−a) Por(P6) ⇒ = (a · 0 + a · 1) + (−a)
Por(P9) ⇒ = a (0 + 1) + (−a)Por (P2) y (P6) ⇒ = a + (−a)
Por(P3) ⇒ = 0 ∴ a · 0 = 0
Teorema 16. Si x ≠ 0 y y = 0 entonces xy ≠ 0
Demostración. Supongamos xy = 0 y x = 0 y y = 0
Tenemos entonces que
1 = xx−1yy−1 = xyx−1y−1 = 0 · x−1y−1 = 0
Lo cual es absurdo ∴ xy ≠ 0
Teorema 17. (−a) b = − (ab)
Demostración. Usando el resultado x + y = 0 ⇒ y = −x tenemos que
ab + (−a) b = (a + (−)a)b = 0 ⇒ (−a)b = −(ab)
Teorema 18. a(−b) = −(ab) (Mas por menos, da menos)
Demostración. Usando el resultado x + y = 0 ⇒ y = −x tenemos que
ab + a(−b) = a(b + (−b)) = 0 ⇒ a(−b) = −(ab)
Teorema 19. (−a)(−b) = ab ∀ a, b ∈ R
Demostración. (−a)(−b) = −(a(−b)) = −(−ab) = ab
LINKOGRAFIA:
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
http://www.escolares.net/matematicas/evolucion-de-los-numeros/
http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Campo_de_los_N%C3%
BAmeros_Reales
http://sistemas.fciencias.unam.mx/~erhc/Calculo1_2013_2/reales.pdf

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La historia de la geometria (1)
La historia de la geometria (1)La historia de la geometria (1)
La historia de la geometria (1)
farmer13
 
El origen de los números racionales
El origen de los números racionalesEl origen de los números racionales
El origen de los números racionales
gvivi
 
Demostraciones Geométricas
Demostraciones GeométricasDemostraciones Geométricas
Demostraciones Geométricas
Angel Carreras
 
Fibonacci
FibonacciFibonacci
Fibonacci
skollhinoka
 
Historia De La GeometríA Euclidiana
Historia De La GeometríA EuclidianaHistoria De La GeometríA Euclidiana
Historia De La GeometríA Euclidiana
Ericka Mardones
 
Paso 4 realizar transferencia de conocimientos
Paso 4  realizar transferencia de conocimientosPaso 4  realizar transferencia de conocimientos
Paso 4 realizar transferencia de conocimientos
JOHNJAIRORODRIGUEZDU
 
Distancia Entre Dos Puntos
Distancia Entre Dos PuntosDistancia Entre Dos Puntos
Distancia Entre Dos Puntos
Paulo Muñoz
 

La actualidad más candente (20)

Las matemáticas de babilonia
Las matemáticas de babiloniaLas matemáticas de babilonia
Las matemáticas de babilonia
 
Sucesiones, sumatorias y progresiones
Sucesiones, sumatorias y progresionesSucesiones, sumatorias y progresiones
Sucesiones, sumatorias y progresiones
 
Origen numero imaginario
Origen numero imaginarioOrigen numero imaginario
Origen numero imaginario
 
Números irracionales
Números irracionalesNúmeros irracionales
Números irracionales
 
Coordenadas Polares, Geográficas y Plano Cartesiano
Coordenadas Polares, Geográficas y Plano CartesianoCoordenadas Polares, Geográficas y Plano Cartesiano
Coordenadas Polares, Geográficas y Plano Cartesiano
 
Geometría analítica
Geometría analíticaGeometría analítica
Geometría analítica
 
Origen números imaginarios
Origen números imaginariosOrigen números imaginarios
Origen números imaginarios
 
La historia de la geometria (1)
La historia de la geometria (1)La historia de la geometria (1)
La historia de la geometria (1)
 
Linea del tiempo
Linea del tiempoLinea del tiempo
Linea del tiempo
 
El espacio tridimensional
El espacio tridimensionalEl espacio tridimensional
El espacio tridimensional
 
Aritmética
AritméticaAritmética
Aritmética
 
El origen de los números racionales
El origen de los números racionalesEl origen de los números racionales
El origen de los números racionales
 
Demostraciones Geométricas
Demostraciones GeométricasDemostraciones Geométricas
Demostraciones Geométricas
 
Fibonacci
FibonacciFibonacci
Fibonacci
 
Aplicaciones simples de calculo integral
Aplicaciones simples de calculo integralAplicaciones simples de calculo integral
Aplicaciones simples de calculo integral
 
Aritmetica
AritmeticaAritmetica
Aritmetica
 
Historia De La GeometríA Euclidiana
Historia De La GeometríA EuclidianaHistoria De La GeometríA Euclidiana
Historia De La GeometríA Euclidiana
 
Paso 4 realizar transferencia de conocimientos
Paso 4  realizar transferencia de conocimientosPaso 4  realizar transferencia de conocimientos
Paso 4 realizar transferencia de conocimientos
 
Historia de la geometria no euclidiana
Historia de la geometria no euclidianaHistoria de la geometria no euclidiana
Historia de la geometria no euclidiana
 
Distancia Entre Dos Puntos
Distancia Entre Dos PuntosDistancia Entre Dos Puntos
Distancia Entre Dos Puntos
 

Similar a Numeros reales

PresentacióN Para El Blog
PresentacióN Para El BlogPresentacióN Para El Blog
PresentacióN Para El Blog
tecnologico
 
Informatica presentacion
Informatica presentacionInformatica presentacion
Informatica presentacion
janylokitap
 
Historia, filosofía de las matemáticas examen
Historia, filosofía de las matemáticas examenHistoria, filosofía de las matemáticas examen
Historia, filosofía de las matemáticas examen
henry0124
 
Historia, filosofía de las matemáticas
Historia, filosofía de las matemáticasHistoria, filosofía de las matemáticas
Historia, filosofía de las matemáticas
henry0124
 
Numeros reales laura
Numeros reales lauraNumeros reales laura
Numeros reales laura
Laura Mayo
 
Aproximaciones y Errores Redondeo
Aproximaciones y Errores RedondeoAproximaciones y Errores Redondeo
Aproximaciones y Errores Redondeo
ErikaZambranoB
 
Aproximaciones y Errores Redondeo
Aproximaciones y Errores RedondeoAproximaciones y Errores Redondeo
Aproximaciones y Errores Redondeo
ErikaZambranoB
 
Anónimo historia de las matemáticas
Anónimo   historia de las matemáticasAnónimo   historia de las matemáticas
Anónimo historia de las matemáticas
dolfoster
 

Similar a Numeros reales (20)

Número Real
Número RealNúmero Real
Número Real
 
Números reales m1
Números reales m1Números reales m1
Números reales m1
 
Matemática es el estudio de las relaciones entre cantidades
Matemática es el estudio de las relaciones entre cantidadesMatemática es el estudio de las relaciones entre cantidades
Matemática es el estudio de las relaciones entre cantidades
 
Los números reales
Los números realesLos números reales
Los números reales
 
PresentacióN Para El Blog
PresentacióN Para El BlogPresentacióN Para El Blog
PresentacióN Para El Blog
 
Informatica presentacion
Informatica presentacionInformatica presentacion
Informatica presentacion
 
Historia de la matemática
Historia de la matemáticaHistoria de la matemática
Historia de la matemática
 
Matematicas2
Matematicas2Matematicas2
Matematicas2
 
Historia de las matematicas
Historia de las matematicasHistoria de las matematicas
Historia de las matematicas
 
Historia, filosofía de las matemáticas examen
Historia, filosofía de las matemáticas examenHistoria, filosofía de las matemáticas examen
Historia, filosofía de las matemáticas examen
 
Historia, filosofía de las matemáticas
Historia, filosofía de las matemáticasHistoria, filosofía de las matemáticas
Historia, filosofía de las matemáticas
 
Numeros reales laura
Numeros reales lauraNumeros reales laura
Numeros reales laura
 
Aproximaciones y Errores Redondeo
Aproximaciones y Errores RedondeoAproximaciones y Errores Redondeo
Aproximaciones y Errores Redondeo
 
Aproximaciones y Errores Redondeo
Aproximaciones y Errores RedondeoAproximaciones y Errores Redondeo
Aproximaciones y Errores Redondeo
 
2. historia de_la_matemática
2. historia de_la_matemática2. historia de_la_matemática
2. historia de_la_matemática
 
Geometria .... mirian rios mtz... 212
Geometria .... mirian rios mtz... 212Geometria .... mirian rios mtz... 212
Geometria .... mirian rios mtz... 212
 
Geometria .... mirian rios mtz... 212.
Geometria .... mirian rios mtz... 212.Geometria .... mirian rios mtz... 212.
Geometria .... mirian rios mtz... 212.
 
Anonimo historia de las matematicas
Anonimo   historia de las matematicasAnonimo   historia de las matematicas
Anonimo historia de las matematicas
 
Anónimo historia de las matemáticas
Anónimo   historia de las matemáticasAnónimo   historia de las matemáticas
Anónimo historia de las matemáticas
 
Historia de las matematicas
Historia de las matematicasHistoria de las matematicas
Historia de las matematicas
 

Último

Ediciones Previas Proyecto de Innovacion Pedagogica ORIGAMI 3D Ccesa007.pdf
Ediciones Previas Proyecto de Innovacion Pedagogica ORIGAMI 3D  Ccesa007.pdfEdiciones Previas Proyecto de Innovacion Pedagogica ORIGAMI 3D  Ccesa007.pdf
Ediciones Previas Proyecto de Innovacion Pedagogica ORIGAMI 3D Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
ANTOLOGIA COMPLETA ANITA LA ABEJITA PARA LA LECTOESCRITURA EN PRIMER GRADO.pdf
ANTOLOGIA COMPLETA ANITA LA ABEJITA PARA LA LECTOESCRITURA EN PRIMER GRADO.pdfANTOLOGIA COMPLETA ANITA LA ABEJITA PARA LA LECTOESCRITURA EN PRIMER GRADO.pdf
ANTOLOGIA COMPLETA ANITA LA ABEJITA PARA LA LECTOESCRITURA EN PRIMER GRADO.pdf
lvela1316
 
Pasos para enviar una tarea en SIANET - sólo estudiantes.pdf
Pasos para enviar una tarea en SIANET - sólo estudiantes.pdfPasos para enviar una tarea en SIANET - sólo estudiantes.pdf
Pasos para enviar una tarea en SIANET - sólo estudiantes.pdf
NELLYKATTY
 
Profecia 2300 dias explicada, Daniel 8:14
Profecia 2300 dias explicada, Daniel 8:14Profecia 2300 dias explicada, Daniel 8:14
Profecia 2300 dias explicada, Daniel 8:14
KevinBuenrostro4
 
SISTEMA RESPIRATORIO DEL CUERPO HUMANO triptico.docx
SISTEMA RESPIRATORIO DEL CUERPO HUMANO triptico.docxSISTEMA RESPIRATORIO DEL CUERPO HUMANO triptico.docx
SISTEMA RESPIRATORIO DEL CUERPO HUMANO triptico.docx
gesicavillanuevaqf
 

Último (20)

A propósito de la globalización y la financiarización del mundo
A propósito de la globalización y la financiarización del mundoA propósito de la globalización y la financiarización del mundo
A propósito de la globalización y la financiarización del mundo
 
METODOS DE EXTRACCIÓN E IDENTIFICACIÓN - 2024.pdf
METODOS DE EXTRACCIÓN E IDENTIFICACIÓN - 2024.pdfMETODOS DE EXTRACCIÓN E IDENTIFICACIÓN - 2024.pdf
METODOS DE EXTRACCIÓN E IDENTIFICACIÓN - 2024.pdf
 
2. Entornos Virtuales de Aprendizaje.pptx
2. Entornos Virtuales de Aprendizaje.pptx2. Entornos Virtuales de Aprendizaje.pptx
2. Entornos Virtuales de Aprendizaje.pptx
 
Sesión de clase Motivados por la esperanza.pdf
Sesión de clase Motivados por la esperanza.pdfSesión de clase Motivados por la esperanza.pdf
Sesión de clase Motivados por la esperanza.pdf
 
Tema 9. Roma. 1º ESO 2014. Ciencias SOciales
Tema 9. Roma. 1º ESO 2014. Ciencias SOcialesTema 9. Roma. 1º ESO 2014. Ciencias SOciales
Tema 9. Roma. 1º ESO 2014. Ciencias SOciales
 
Power Point : Motivados por la esperanza
Power Point : Motivados por la esperanzaPower Point : Motivados por la esperanza
Power Point : Motivados por la esperanza
 
cuadernillo_cuentos_de_los_valores_elprofe20 (1).docx
cuadernillo_cuentos_de_los_valores_elprofe20 (1).docxcuadernillo_cuentos_de_los_valores_elprofe20 (1).docx
cuadernillo_cuentos_de_los_valores_elprofe20 (1).docx
 
RESPONSABILIDAD SOCIAL EN LAS ORGANIZACIONES (4).pdf
RESPONSABILIDAD SOCIAL EN LAS ORGANIZACIONES (4).pdfRESPONSABILIDAD SOCIAL EN LAS ORGANIZACIONES (4).pdf
RESPONSABILIDAD SOCIAL EN LAS ORGANIZACIONES (4).pdf
 
flujo de materia y energía ecosistemas.
flujo de materia y  energía ecosistemas.flujo de materia y  energía ecosistemas.
flujo de materia y energía ecosistemas.
 
el poder del estado en el siglo XXI.pptx
el poder del estado en el siglo XXI.pptxel poder del estado en el siglo XXI.pptx
el poder del estado en el siglo XXI.pptx
 
Ediciones Previas Proyecto de Innovacion Pedagogica ORIGAMI 3D Ccesa007.pdf
Ediciones Previas Proyecto de Innovacion Pedagogica ORIGAMI 3D  Ccesa007.pdfEdiciones Previas Proyecto de Innovacion Pedagogica ORIGAMI 3D  Ccesa007.pdf
Ediciones Previas Proyecto de Innovacion Pedagogica ORIGAMI 3D Ccesa007.pdf
 
ANTOLOGIA COMPLETA ANITA LA ABEJITA PARA LA LECTOESCRITURA EN PRIMER GRADO.pdf
ANTOLOGIA COMPLETA ANITA LA ABEJITA PARA LA LECTOESCRITURA EN PRIMER GRADO.pdfANTOLOGIA COMPLETA ANITA LA ABEJITA PARA LA LECTOESCRITURA EN PRIMER GRADO.pdf
ANTOLOGIA COMPLETA ANITA LA ABEJITA PARA LA LECTOESCRITURA EN PRIMER GRADO.pdf
 
DESCRIPCIÓN-LOS-DILEMAS-DEL-CONOCIMIENTO.pptx
DESCRIPCIÓN-LOS-DILEMAS-DEL-CONOCIMIENTO.pptxDESCRIPCIÓN-LOS-DILEMAS-DEL-CONOCIMIENTO.pptx
DESCRIPCIÓN-LOS-DILEMAS-DEL-CONOCIMIENTO.pptx
 
Pasos para enviar una tarea en SIANET - sólo estudiantes.pdf
Pasos para enviar una tarea en SIANET - sólo estudiantes.pdfPasos para enviar una tarea en SIANET - sólo estudiantes.pdf
Pasos para enviar una tarea en SIANET - sólo estudiantes.pdf
 
PLAN DE GESTION DEL RIESGO 2023 - 2024.docx
PLAN DE GESTION DEL RIESGO  2023 - 2024.docxPLAN DE GESTION DEL RIESGO  2023 - 2024.docx
PLAN DE GESTION DEL RIESGO 2023 - 2024.docx
 
Vínculo afectivo (labor expositivo de grupo )
Vínculo afectivo (labor expositivo de grupo )Vínculo afectivo (labor expositivo de grupo )
Vínculo afectivo (labor expositivo de grupo )
 
novelas-cortas--3.pdf Analisis introspectivo y retrospectivo, sintesis
novelas-cortas--3.pdf Analisis introspectivo y retrospectivo, sintesisnovelas-cortas--3.pdf Analisis introspectivo y retrospectivo, sintesis
novelas-cortas--3.pdf Analisis introspectivo y retrospectivo, sintesis
 
EVALUACION del tercer trimestre 2024 nap.docx
EVALUACION  del tercer trimestre 2024 nap.docxEVALUACION  del tercer trimestre 2024 nap.docx
EVALUACION del tercer trimestre 2024 nap.docx
 
Profecia 2300 dias explicada, Daniel 8:14
Profecia 2300 dias explicada, Daniel 8:14Profecia 2300 dias explicada, Daniel 8:14
Profecia 2300 dias explicada, Daniel 8:14
 
SISTEMA RESPIRATORIO DEL CUERPO HUMANO triptico.docx
SISTEMA RESPIRATORIO DEL CUERPO HUMANO triptico.docxSISTEMA RESPIRATORIO DEL CUERPO HUMANO triptico.docx
SISTEMA RESPIRATORIO DEL CUERPO HUMANO triptico.docx
 

Numeros reales

  • 1.
  • 2. HISTORIA DE LA EVOLUCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES. Los egipcios dieron origen por primera vez a las fracciones comunes alrededor del año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C. un grupo de matemáticos griegos liderados por Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente reinventados en China poco después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler descartó las soluciones negativas de las ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo se utilizaban números reales sin una definición precisa, cosa que finalmente sucedió con la definición rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871. En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor (encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de Dedekind).Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la historia, no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos como: Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass. Se sabe que los egipcios y babilónicos hacían uso de fracciones (números racionales) en la resolución de problemas prácticos. Sin embargo, fue con el desarrollo de la matemáticagriega cuando se consideró el aspecto filosófico de número. Los pitagóricos descubrieron que las relaciones armónicas entre las notas musicales correspondían a cocientes de números enteros, lo que les inspiró a buscar proporciones numéricas en todas las demás cosas, y lo expresaron con la máxima «todo es número». En la matemática griega, dos magnitudes son conmensurables si es posible encontrar una tercera tal que las primeras dos sean múltiplos de la última, es decir, es posible encontrar una unidad común para la que las dos magnitudes tengan una medida entera. El principio pitagórico de que todo número es un cociente de enteros, expresaba en esta forma que cualesquiera dos magnitudes deben ser conmensurables. Sin embargo, el ambicioso proyecto pitagórico se tambaleó ante el problema de medir la diagonal de un cuadrado, o la hipotenusa de un triángulo rectángulo, pues no es conmensurable respecto de los catetos. En notación moderna, un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1, tiene una hipotenusa que mide raíz cuadrada de dos √2: Si √2 = p ⁄q es un número racional donde p ⁄q está reducido a sus términos mínimos (sin factor común) entonces 2q2 = p2 . La expresión anterior indica que p2 es un número par y por tanto p también, es decir, p = 2m. Sustituyendo obtenemos 2q2 = (2m)2 = 4m2 , y por tanto q2 = 2m2 .
  • 3. Pero el mismo argumento usado nos dice ahora que q debe ser un número par, esto es, q = 2n. Más esto es imposible, puesto que p y q no tienen factores comunes (y hemos encontrado que 2 es un factor de ambos). Por tanto, la suposición misma de que √2 es un número racional debe ser falsa. Surgió entonces un dilema, ya que de acuerdo al principio pitagórico: todo número era racional, más la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles no era conmensurable con los catetos, lo cual implicó que en adelante las magnitudes geométricas y las cantidades numéricas tendrían que tratarse por separado, hecho que tuvo consecuencias en el desarrollo de la matemática durante los dos milenios siguientes.4 Los griegos desarrollaron una geometría basada en comparaciones (proporciones) de segmentos sin hacer referencia a valores numéricos, usando diversas teorías para manejar el caso de medidas inconmensurables, como la teoría de proporciones de Eudoxo. Así, los números irracionales permanecieron a partir de entonces excluidos de la aritmética puesto que sólo podían ser tratados mediante el método de infinitas aproximaciones. Por ejemplo, los pitagóricos encontraron (en notación moderna) que si a ⁄b es una aproximación a √2 entonces p = a + 2b y q = a + b son tales que p ⁄q es una aproximación más precisa. Repitiendo el proceso nuevamente se obtienen mayores números que dan una mejor aproximación.5 Dado que las longitudes que expresan los números irracionales podían ser obtenidas mediante procesos geométricos sencillos pero, aritméticamente, sólo mediante procesos de infinitas aproximaciones, originó que durante 2000 años la teoría de los números reales fuese esencialmente geométrica, identificando los números reales con los puntos de una línea recta. Nuevos avances en el concepto de número real esperaron hasta los siglos XVI y XVII, con el desarrollo de la notación algebraica, lo que permitió la manipulación y operación de cantidades sin hacer referencia a segmentos y longitudes. Por ejemplo, se encontraron fórmulas para resolver ecuaciones de segundo y tercer grado de forma mecánica mediante algoritmos, los cuales incluían raíces e incluso, en ocasiones, «números no reales» (lo que ahora conocemos como números complejos). Sin embargo, no existía aún un concepto formal de número y se seguía dando primacía a la geometría como fundamento de toda la matemática. Incluso con el desarrollo de la geometría analítica este punto de vista se mantenía vigente, pues Descartes rechazaba la idea que la geometría pudiera fundamentarse en números, puesto que para él la nueva área era simplemente una herramienta para resolver problemas geométricos. Posteriormente, la invención del cálculo abrió un período de grandes avances matemáticos, con nuevos y poderosos métodos que permitieron por vez primera atacar los problemas relacionados conlo infinito mediante el concepto de límite. Así, un número irracional pudo ser entendido como el límite de una suma infinita de números racionales (por ejemplo, su expansión decimal). Como muestra, el número π puede estudiarse de forma algebraica (sin apelar a la intuición geométrica) mediante la serie:
  • 4. Entre muchas otras expresiones similares. Para entonces, el concepto intuitivo de número real era ya el moderno, identificando sin problema un segmento con la medida de su longitud (racional o no). El cálculo abrió el paso al análisis matemático,que estudia conceptos como continuidad, convergencia, etc. Pero el análisis no contaba con definiciones rigurosas y muchas de las demostraciones apelaban aún a la intuición geométrica. Esto conllevó a una serie de paradojas e imprecisiones. DEFINICIÓN DE NÚMEROS En matemáticas, el conjunto de los números reales (denotado por ℝ) incluye tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales;1 y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes2 (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como: √ 5, π, el número real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal. Durante los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa, puesto que en el momento prescindían del rigor y fundamento lógico, tan exigente en los enfoques teóricos de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño», «límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque ciertamente técnicas) del concepto de número real. En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales y cortaduras de Dedekind. Tipos de números reales Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás. Los números racionales también pueden describirsecomoaquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica:
  • 5. Ejemplos 1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal. 5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285). Es irracional y su expansión decimal es aperiódica. Otra forma de clasificar los números reales es en número algebraico algebraicos'' y número trascendente trascendentes. Un número es algebraico si existe un polinomio de coeficientes racionales que lo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. Obviamente, todos los números racionales sonalgebraicos: si es un número racional, con p entero y q natural, entonces es raíz del de la ecuación qx=p. Sin embargo, no todos los números algebraicos son racionales. Ejemplos El número es algebraico puesto que es la raíz del polinomio Un ejemplo de número trascendente es LOS NÚMEROS REALES COMO UN CAMPO Al "construir" la matemática, los números naturales, son una clase de equivalencia de conjuntos coordinables. Los números enteros son una clase de equivalencia de parejas ordenadas de números naturales. Los números racionales son una clase de equivalencia de parejas ordenadas de números enteros. Los números irracionales son los elementos de la recta real que NO pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen un periodo definido. De este modo ya pueden definirse los números reales que surgen de la unión de lo que son los conjuntos de números naturales, enteros, irracionales y racionales. Los números reales son llamados campo de los números reales. Esto es porque son un grupo abeliano, es decir poseen la ley de cerradura, la conmutativa, asociativa, distributiva y poseen elementos neutros e inversos. Todos estos elementos hacen que los números reales sean un campo.
  • 6. OTRAS PROPIEDADES Propiedad de los opuestos Que dice Ejemplo -(-a) = a El opuesto del opuesto es el mismo número. - (- 9) = 9 (-a)(b)= a (-b)= -(ab) El producto de reales con signos diferentes es negativo. (-15) (2) = 15(- 2) = - (15 x 2)= - 30 (- a)(-b) = ab El producto de reales con signos iguales es positivo. (-34) (- 8) = 34 x 8 -1 (a) = - a El producto entre un real y -1 es el opuesto del número real. -1 (7.6) = - 7.6 AXIOMAS DE LOS NÚMEROS REALES Axioma de los números reales (suma y resta) Ley de cerradura Axioma conmutativo. Axioma asociativo
  • 7. Axioma distributivo Axioma del elemento neutro Axioma del elemento inverso Axioma del número inverso Los Elementos de Identidad Los elementos identidad en los números Reales son:  Identidad para la adición o Neutro Aditivo: el neutro aditivo es el 0, ya cualquier número sumado con 0 da el mismo número.  decimos que  Identidad para el producto o Neutro multiplicativo: el neutro multiplicativo es el 1, ya que cualquier número multiplicado con 1 da el mismo número. decimos que Los Elementos Inversos Los elementos inversos en los números reales son aquellos que al multiplicar un número por este, se obtiene la identidad.  Inverso Aditivo: ‘‘‘el inverso aditivo de es pues al operar se obtiene la identidad aditiva, que es 0. decimos que (identidad aditiva)
  • 8. Eso también es conocido como Sustracción. La sustracción no cumple todas las propiedades que cumplen la suma y la multiplicación. Propiedades de la Sustracción: I) II) III) IV) Ejemplo # 1  Λ observamos que Ejemplo # 2 Propiedad asociativa 3(5)=5(3) 15=15 entonces la multiplicación de reales es asociativa Entonces, la sustracción no es asociativa.  Inverso Multiplicativo:el inverso multiplicativo de es , pues al operar obtenemos la identidad multiplicativa que es 1. Decimos que (identidad multiplicativa) De donde podemos definir el Cociente como: Si entonces se define como: De donde es el numerador y es el denominador. Esto también es llamado Fracción. No todas las propiedades que se utilizan para la adición y multiplicación son válidas para la división. Propiedades de la División: Para todas las fracciones , donde y I) Fracciones Equivalentes: si y sólo si
  • 9. II) Equivalencia para el signo III) Cancelativa: IV) Adición y sustracción con común denominador: V) Adición y sustracción con denominadores diferentes: VI) Multiplicación: VII) División: VIII) División de cero y división por cero: a) b) es indefinido c) es indefinido, Más Ejemplos números reales Propiedad asociativa de la adición Propiedad conmutativa de la multiplicación Propiedad distributiva
  • 10. Propiedad de la identidad de la multiplicación Propiedad del inverso de la adición Propiedad del inverso de la multiplicación si TEOREMAS DE NÚMEROS REALES Teorema 1. El cero es único. Demostración. Si hubiera dos 01 y 02 se verificaría 01 = 01 + 02 = 02 + 01 = 02 Teorema 2. El inverso aditivo es único. Demostración. Si hubierados y1 yy2 se verificaríax + y1 = x + y2 = 0 por lo tanto y2 = 0 + y2 = (x + y1) + y2 = x + (y1 + y2) = x + (y2 + y1) = (x + y2) + y1 = 0 + y1 = y1 Teorema 3. El neutro multiplicativo es único. Demostración. Si hubierados y1 y y2 se verificaría y1 = y1 · y2 = y2 · y1 = y2 Teorema 4. El inverso multiplicativo es único Demostración. .Si hubierados y1 y y2 se verificaríax · y1 = x · y2 = 1 por lotanto y2 = 1 · y2 = (x · y1) · y2 = x · (y1 · y2) = x · (y2 · y1) = (x · y2) · y1 = 1 · y1 = y1 Teorema 5. Si a + c = b + c entonces a = b Demostración. Por (P2) a = a + 0 Por (P3) ⇒ = a + (c + (−c)) Por (P1) ⇒ = (a + c) + (−c) Por hipótesis: = (b + c) + (−c) Por (P1) ⇒ = b + (c + (−c)) Por (P2) ⇒ = b + 0 = b ∴ a = b
  • 11. Teorema 6. Dados a, b ∈ R existe un único x ∈ R tal que a+x = b. Este x se designa x = b−a Demostración. Tenemos que x = x + 0 = x + (a + (−a)) = (x + a) + (−a) = (a + x) + (−a) = b + (−a) = b − a Teorema 7. b-a=b+ (-a) Demostración. Sea x = b − a y sea y = b + (−a) demostraremos que x = y Tenemos que por definición x = b − a ⇒ x + a = b por lo tanto y + a = (b + (−a)) + a = b + (a + (−a)) = b + 0 = b Por lo tanto x + a = y + a ⇒ x = y Teorema 8. Si a + d = a ∀ a ∈ R entonces d = 0 Demostración. Por (P2) d = d + 0 Por (P3) ⇒ = d + (a + (−a)) Por (P1) ⇒ = (d + a) + (−a) Por (P8) ⇒ = (a + d) + (−a) Por Hipótesis = a + (−a) Por (P3) ⇒ = 0 ∴ d = 0 Teorema 9. Dado a ∈ R si a + d = 0 entonces d = −a Demostración. Por (P2) d = d + 0 Por (P3) ⇒ = d + (a + (−a)) Por (P1) ⇒ = (d + a) + (−a) Por (P8) ⇒ = (a + d) + (−a) Por Hipótesis = 0 + (−a) Por (P2) ⇒ = −a ∴ d = −a Teorema 10. − (−a) = a ∀ a ∈ R Demostración. Tenemos − (−a) + (−a) = 0 Haciendo r = −a ⇒ − r + r Por (P3) ⇒= 0 ∴ − (−a) = a Teorema 11. Si x ≠ 0 y xy = xz entonces y = z Demostración. . y = y · 1 = y · (x · x−1) = (yx) · x−1 = (xz) x−1 = z(xx−1)z · 1 = z Teorema 12. Si ad = a ∀ a ≠ 0 entonces d = 1 Demostración. Por (P6) d = d·1 Por (P7) ⇒= d(a(a−1)) Por (P5) ⇒ = (da)(a−1) Por (P8) ⇒ = (ad) (a−1) Por Hipótesis = a (a−1) Por (P7) ⇒ = 1 ∴ d = 1
  • 12. Teorema 13. Sea a ≠ 0 si ad = 1 entonces d = a −1 Demostración Por (P6) d = d·1 Por (P7) ⇒ = d(a(a−1)) Por (P5) ⇒ = (da)(a−1) Por (P8) ⇒ = (ad)(a−1) Por Hipótesis = 1(a−1) Por (P6) ⇒ = a−1 ∴ d = a−1 Teorema 14. Si x = 0 entonces (x−1)−1 = x Demostración. Tenemosque x · (x−1) = 1 y y (x−1)−1 · x−1 = x por lo tanto x y (x−1)−1 soninversos multiplicativosde (x−1)−1 yporunicidaddel inversoentonces(x−1)−1 =x Teorema 15. a · 0 = 0 ∀ a ∈ R Demostración. Por (P2)a · 0 = a · 0 + 0 Por(P3) ⇒ = a · 0 + (a + (−a)) Por(P1) ⇒ = (a · 0 + a) + (−a) Por(P6) ⇒ = (a · 0 + a · 1) + (−a) Por(P9) ⇒ = a (0 + 1) + (−a)Por (P2) y (P6) ⇒ = a + (−a) Por(P3) ⇒ = 0 ∴ a · 0 = 0 Teorema 16. Si x ≠ 0 y y = 0 entonces xy ≠ 0 Demostración. Supongamos xy = 0 y x = 0 y y = 0 Tenemos entonces que 1 = xx−1yy−1 = xyx−1y−1 = 0 · x−1y−1 = 0 Lo cual es absurdo ∴ xy ≠ 0 Teorema 17. (−a) b = − (ab) Demostración. Usando el resultado x + y = 0 ⇒ y = −x tenemos que ab + (−a) b = (a + (−)a)b = 0 ⇒ (−a)b = −(ab) Teorema 18. a(−b) = −(ab) (Mas por menos, da menos) Demostración. Usando el resultado x + y = 0 ⇒ y = −x tenemos que ab + a(−b) = a(b + (−b)) = 0 ⇒ a(−b) = −(ab) Teorema 19. (−a)(−b) = ab ∀ a, b ∈ R Demostración. (−a)(−b) = −(a(−b)) = −(−ab) = ab