Este documento describe la historia de la evolución de los números reales desde su origen en las civilizaciones antiguas hasta su definición rigurosa en el siglo XIX. Los egipcios y griegos desarrollaron las fracciones racionales y se dieron cuenta de la existencia de los irracionales. Los números negativos fueron introducidos por matemáticos indios y chinos. Aunque los números reales se usaban en cálculo desde el siglo XVII, no fue hasta 1871 que Georg Cantor les dio una definición precisa usando teoría de

2. HISTORIA DE LA EVOLUCIÓN DE LOS NÚMEROS REALES.
Los egipcios dieron origen por primera vez a las fracciones comunes alrededor del
año 1000 a. C.; alrededor del 500 a. C. un grupo de matemáticos griegos liderados por
Pitágoras se dio cuenta de la necesidad de los números irracionales. Los números
negativos fueron ideados por matemáticos indios cerca del 600, posiblemente
reinventados en China poco después, pero no se utilizaron en Europa hasta el siglo
XVII, si bien a finales del XVIII Leonhard Euler descartó las soluciones negativas de las
ecuaciones porque las consideraba irreales. En ese siglo, en el cálculo se utilizaban
números reales sin una definición precisa, cosa que finalmente sucedió con la definición
rigurosa hecha por Georg Cantor en 1871.
En realidad, el estudio riguroso de la construcción total de los números reales exige
tener amplios antecedentes de teoría de conjuntos y lógica matemática. Fue lograda la
construcción y sistematización de los números reales en el siglo XIX por dos grandes
matemáticos europeos utilizando vías distintas: la teoría de conjuntos de Georg Cantor
(encajamientos sucesivos, cardinales finitos e infinitos), por un lado, y el análisis
matemático de Richard Dedekind (vecindades, entornos y cortaduras de
Dedekind).Ambos matemáticos lograron la sistematización de los números reales en la
historia, no de manera espontánea, sino utilizando todos los avances previos en la
materia: desde la antigua Grecia y pasando por matemáticos como:
Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Lagrange, Gauss, Riemann, Cauchy y Weierstrass.
Se sabe que los egipcios y babilónicos hacían uso de fracciones (números racionales)
en la resolución de problemas prácticos. Sin embargo, fue con el desarrollo de la
matemáticagriega cuando se consideró el aspecto filosófico de número. Los pitagóricos
descubrieron que las relaciones armónicas entre las notas musicales correspondían a
cocientes de números enteros, lo que les inspiró a buscar proporciones numéricas en
todas las demás cosas, y lo expresaron con la máxima «todo es número».
En la matemática griega, dos magnitudes son conmensurables si es posible encontrar
una tercera tal que las primeras dos sean múltiplos de la última, es decir, es posible
encontrar una unidad común para la que las dos magnitudes tengan una medida entera.
El principio pitagórico de que todo número es un cociente de enteros, expresaba en esta
forma que cualesquiera dos magnitudes deben ser conmensurables.
Sin embargo, el ambicioso proyecto pitagórico se tambaleó ante el problema de medir
la diagonal de un cuadrado, o la hipotenusa de un triángulo rectángulo, pues no es
conmensurable respecto de los catetos. En notación moderna, un triángulo rectángulo
cuyos catetos miden 1, tiene una hipotenusa que mide raíz cuadrada de dos √2:
Si √2 = p
⁄q es un número racional donde p
⁄q está reducido a sus términos mínimos (sin
factor común) entonces 2q2
= p2
.
La expresión anterior indica que p2
es un número par y por tanto p también, es decir, p =
2m. Sustituyendo obtenemos 2q2
= (2m)2
= 4m2
, y por tanto q2
= 2m2
.

3. Pero el mismo argumento usado nos dice ahora que q debe ser un número par, esto
es, q = 2n. Más esto es imposible, puesto que p y q no tienen factores comunes (y
hemos encontrado que 2 es un factor de ambos).
Por tanto, la suposición misma de que √2 es un número racional debe ser falsa.
Surgió entonces un dilema, ya que de acuerdo al principio pitagórico: todo número era
racional, más la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles no era conmensurable
con los catetos, lo cual implicó que en adelante las magnitudes geométricas y las
cantidades numéricas tendrían que tratarse por separado, hecho que tuvo
consecuencias en el desarrollo de la matemática durante los dos milenios siguientes.4
Los griegos desarrollaron una geometría basada en comparaciones (proporciones) de
segmentos sin hacer referencia a valores numéricos, usando diversas teorías para
manejar el caso de medidas inconmensurables, como la teoría de proporciones de
Eudoxo. Así, los números irracionales permanecieron a partir de entonces excluidos de
la aritmética puesto que sólo podían ser tratados mediante el método de infinitas
aproximaciones. Por ejemplo, los pitagóricos encontraron (en notación moderna) que
si a
⁄b es una aproximación a √2 entonces p = a + 2b y q = a + b son tales que p
⁄q es una
aproximación más precisa. Repitiendo el proceso nuevamente se obtienen mayores
números que dan una mejor aproximación.5
Dado que las longitudes que expresan los
números irracionales podían ser obtenidas mediante procesos geométricos sencillos
pero, aritméticamente, sólo mediante procesos de infinitas aproximaciones, originó que
durante 2000 años la teoría de los números reales fuese esencialmente geométrica,
identificando los números reales con los puntos de una línea recta.
Nuevos avances en el concepto de número real esperaron hasta los siglos XVI y XVII,
con el desarrollo de la notación algebraica, lo que permitió la manipulación y operación
de cantidades sin hacer referencia a segmentos y longitudes. Por ejemplo, se
encontraron fórmulas para resolver ecuaciones de segundo y tercer grado de forma
mecánica mediante algoritmos, los cuales incluían raíces e incluso, en ocasiones,
«números no reales» (lo que ahora conocemos como números complejos). Sin
embargo, no existía aún un concepto formal de número y se seguía dando primacía a
la geometría como fundamento de toda la matemática. Incluso con el desarrollo de
la geometría analítica este punto de vista se mantenía vigente,
pues Descartes rechazaba la idea que la geometría pudiera fundamentarse en
números, puesto que para él la nueva área era simplemente una herramienta para
resolver problemas geométricos.
Posteriormente, la invención del cálculo abrió un período de grandes avances
matemáticos, con nuevos y poderosos métodos que permitieron por vez primera atacar
los problemas relacionados conlo infinito mediante el concepto de límite. Así, un número
irracional pudo ser entendido como el límite de una suma infinita de números racionales
(por ejemplo, su expansión decimal). Como muestra, el número π puede estudiarse de
forma algebraica (sin apelar a la intuición geométrica) mediante la serie:

4. Entre muchas otras expresiones similares. Para entonces, el concepto intuitivo de
número real era ya el moderno, identificando sin problema un segmento con la medida
de su longitud (racional o no). El cálculo abrió el paso al análisis matemático,que estudia
conceptos como continuidad, convergencia, etc. Pero el análisis no contaba con
definiciones rigurosas y muchas de las demostraciones apelaban aún a la intuición
geométrica. Esto conllevó a una serie de paradojas e imprecisiones.
DEFINICIÓN DE NÚMEROS
En matemáticas, el conjunto de los números reales (denotado por ℝ) incluye tanto a
los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números
irracionales;1
y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los
trascendentes2
(1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con
denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como: √ 5, π, el
número real log2, cuya trascendencia fue enunciada por Euler en el siglo XVIII.Los
números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples
aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras
más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal. Durante
los siglos XVI y XVII el cálculo avanzó mucho aunque carecía de una base rigurosa,
puesto que en el momento prescindían del rigor y fundamento lógico, tan exigente en
los enfoques teóricos de la actualidad, y se usaban expresiones como «pequeño»,
«límite», «se acerca» sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y
problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para
la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas (aunque
ciertamente técnicas) del concepto de número real.
En una sección posterior se describirán dos de las definiciones precisas más usuales
actualmente: clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de números racionales
y cortaduras de Dedekind.
Tipos de números reales
Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números
racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números
enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás.
Los números racionales también pueden describirsecomoaquellos cuya representación
decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión
decimal aperiódica:

5. Ejemplos
1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del
tercer número decimal.
5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6
(repite 714285).
Es irracional y su expansión decimal es
aperiódica.
Otra forma de clasificar los números reales es en número algebraico
algebraicos'' y número trascendente trascendentes. Un número es algebraico si existe
un polinomio de coeficientes racionales que lo tiene por raíz y es trascendente en caso
contrario. Obviamente, todos los números racionales sonalgebraicos: si es un número
racional, con p entero y q natural, entonces es raíz del de la ecuación qx=p. Sin
embargo, no todos los números algebraicos son racionales.
Ejemplos
El número es algebraico puesto que es la raíz del
polinomio
Un ejemplo de número trascendente es
LOS NÚMEROS REALES COMO UN CAMPO
Al "construir" la matemática, los números naturales, son una clase de equivalencia de
conjuntos coordinables. Los números enteros son una clase de equivalencia de parejas
ordenadas de números naturales. Los números racionales son una clase de
equivalencia de parejas ordenadas de números enteros.
Los números irracionales son los elementos de la recta real que NO pueden expresarse
mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras
decimales que no siguen un periodo definido.
De este modo ya pueden definirse los números reales que surgen de la unión de lo que
son los conjuntos de números naturales, enteros, irracionales y racionales.
Los números reales son llamados campo de los números reales. Esto es porque son un
grupo abeliano, es decir poseen la ley de cerradura, la conmutativa, asociativa,
distributiva y poseen elementos neutros e inversos. Todos estos elementos hacen que
los números reales sean un campo.

6. OTRAS PROPIEDADES
Propiedad de los opuestos
Que dice
Ejemplo
-(-a) = a
El opuesto del opuesto es el mismo número.
- (- 9) = 9
(-a)(b)= a (-b)= -(ab)
El producto de reales con signos diferentes es negativo.
(-15) (2) = 15(- 2) = - (15 x 2)= - 30
(- a)(-b) = ab
El producto de reales con signos iguales es positivo.
(-34) (- 8) = 34 x 8
-1 (a) = - a
El producto entre un real y -1 es el opuesto del número real.
-1 (7.6) = - 7.6
AXIOMAS DE LOS NÚMEROS REALES
Axioma de los números reales (suma y resta)
Ley de cerradura
Axioma conmutativo.
Axioma asociativo

7. Axioma distributivo
Axioma del elemento neutro
Axioma del elemento inverso
Axioma del número inverso
Los Elementos de Identidad
Los elementos identidad en los números Reales son:
 Identidad para la adición o Neutro Aditivo: el neutro aditivo es el 0, ya cualquier
número sumado con 0 da el mismo número.
 decimos que
 Identidad para el producto o Neutro multiplicativo: el neutro multiplicativo es el 1,
ya que cualquier número multiplicado con 1 da el mismo número.
decimos que
Los Elementos Inversos
Los elementos inversos en los números reales son aquellos que al multiplicar un
número por este, se obtiene la identidad.
 Inverso Aditivo: ‘‘‘el inverso aditivo de es pues al operar se
obtiene la identidad aditiva, que es 0.
decimos que (identidad aditiva)

8. Eso también es conocido como Sustracción.
La sustracción no cumple todas las propiedades que cumplen la suma y la
multiplicación.
Propiedades de la Sustracción:
I)
II)
III)
IV)
Ejemplo # 1
 Λ
observamos que
Ejemplo # 2
Propiedad asociativa 3(5)=5(3) 15=15 entonces la multiplicación de reales es
asociativa Entonces, la sustracción no es asociativa.
 Inverso Multiplicativo:el inverso multiplicativo de es , pues al operar
obtenemos la identidad multiplicativa que es 1.
Decimos que (identidad multiplicativa)
De donde podemos definir el Cociente como:
Si entonces se define como:
De donde es el numerador y es el denominador. Esto también es llamado Fracción.
No todas las propiedades que se utilizan para la adición y multiplicación son válidas
para la división.
Propiedades de la División:
Para todas las fracciones , donde y
I) Fracciones Equivalentes:
si y sólo si

9. II) Equivalencia para el signo
III) Cancelativa:
IV) Adición y sustracción con común denominador:
V) Adición y sustracción con denominadores diferentes:
VI) Multiplicación:
VII) División:
VIII) División de cero y división por cero:
a)
b) es indefinido
c) es indefinido,
Más Ejemplos números reales
Propiedad asociativa de la adición
Propiedad conmutativa de la multiplicación
Propiedad distributiva

10. Propiedad de la identidad de la multiplicación
Propiedad del inverso de la adición
Propiedad del inverso de la multiplicación
si
TEOREMAS DE NÚMEROS REALES
Teorema 1. El cero es único.
Demostración. Si hubiera dos 01 y 02 se verificaría
01 = 01 + 02 = 02 + 01 = 02
Teorema 2. El inverso aditivo es único.
Demostración. Si hubierados y1 yy2 se verificaríax + y1 = x + y2 = 0 por lo tanto
y2 = 0 + y2 = (x + y1) + y2 = x + (y1 + y2) = x + (y2 + y1) = (x + y2) + y1 = 0 + y1 = y1
Teorema 3. El neutro multiplicativo es único.
Demostración. Si hubierados y1 y y2 se verificaría
y1 = y1 · y2 = y2 · y1 = y2
Teorema 4. El inverso multiplicativo es único
Demostración. .Si hubierados y1 y y2 se verificaríax · y1 = x · y2 = 1 por lotanto y2 = 1 ·
y2 = (x · y1) · y2 = x · (y1 · y2) = x · (y2 · y1) = (x · y2) · y1 = 1 · y1 = y1
Teorema 5. Si a + c = b + c entonces a = b
Demostración. Por (P2) a = a + 0 Por (P3) ⇒ = a + (c + (−c)) Por
(P1) ⇒ = (a + c) + (−c)
Por hipótesis: = (b + c) + (−c) Por (P1) ⇒ = b + (c + (−c)) Por
(P2) ⇒ = b + 0 = b
∴ a = b

11. Teorema 6.
Dados a, b ∈ R existe un único x ∈ R tal que a+x = b. Este x se designa x = b−a
Demostración. Tenemos que
x = x + 0 = x + (a + (−a)) = (x + a) + (−a) = (a + x) + (−a) = b + (−a) = b − a
Teorema 7. b-a=b+ (-a)
Demostración. Sea x = b − a y sea y = b + (−a) demostraremos que x = y Tenemos que
por definición x = b − a ⇒ x + a = b por lo tanto
y + a = (b + (−a)) + a = b + (a + (−a)) = b + 0 = b
Por lo tanto x + a = y + a ⇒ x = y
Teorema 8. Si a + d = a ∀ a ∈ R entonces d = 0
Demostración. Por (P2) d = d + 0 Por (P3) ⇒ = d + (a + (−a))
Por (P1) ⇒ = (d + a) + (−a) Por (P8) ⇒ = (a + d) + (−a)
Por Hipótesis = a + (−a) Por (P3) ⇒ = 0 ∴ d = 0
Teorema 9. Dado a ∈ R si a + d = 0 entonces d = −a
Demostración. Por (P2) d = d + 0 Por (P3) ⇒ = d + (a + (−a))
Por (P1) ⇒ = (d + a) + (−a) Por (P8) ⇒ = (a + d) + (−a)
Por Hipótesis = 0 + (−a) Por (P2) ⇒ = −a ∴ d = −a
Teorema 10. − (−a) = a ∀ a ∈ R
Demostración. Tenemos − (−a) + (−a) = 0 Haciendo r = −a ⇒ − r + r
Por (P3) ⇒= 0 ∴ − (−a) = a
Teorema 11. Si x ≠ 0 y xy = xz entonces y = z
Demostración. . y = y · 1 = y · (x · x−1) = (yx) · x−1 = (xz) x−1 = z(xx−1)z · 1 = z
Teorema 12. Si ad = a ∀ a ≠ 0 entonces d = 1
Demostración.
Por (P6) d = d·1 Por (P7) ⇒= d(a(a−1)) Por (P5) ⇒ = (da)(a−1)
Por (P8) ⇒ = (ad) (a−1) Por Hipótesis = a (a−1) Por (P7) ⇒ = 1
∴ d = 1

12. Teorema 13. Sea a ≠ 0 si ad = 1 entonces d = a −1
Demostración Por (P6) d = d·1 Por (P7) ⇒ = d(a(a−1))
Por (P5) ⇒ = (da)(a−1)
Por (P8) ⇒ = (ad)(a−1)
Por Hipótesis = 1(a−1) Por (P6) ⇒ = a−1
∴ d = a−1
Teorema 14. Si x = 0 entonces (x−1)−1 = x
Demostración. Tenemosque x · (x−1) = 1 y y (x−1)−1 · x−1 = x por lo tanto x y (x−1)−1 soninversos
multiplicativosde (x−1)−1 yporunicidaddel inversoentonces(x−1)−1 =x
Teorema 15. a · 0 = 0 ∀ a ∈ R
Demostración. Por (P2)a · 0 = a · 0 + 0 Por(P3) ⇒ = a · 0 + (a + (−a))
Por(P1) ⇒ = (a · 0 + a) + (−a) Por(P6) ⇒ = (a · 0 + a · 1) + (−a)
Por(P9) ⇒ = a (0 + 1) + (−a)Por (P2) y (P6) ⇒ = a + (−a)
Por(P3) ⇒ = 0 ∴ a · 0 = 0
Teorema 16. Si x ≠ 0 y y = 0 entonces xy ≠ 0
Demostración. Supongamos xy = 0 y x = 0 y y = 0
Tenemos entonces que
1 = xx−1yy−1 = xyx−1y−1 = 0 · x−1y−1 = 0
Lo cual es absurdo ∴ xy ≠ 0
Teorema 17. (−a) b = − (ab)
Demostración. Usando el resultado x + y = 0 ⇒ y = −x tenemos que
ab + (−a) b = (a + (−)a)b = 0 ⇒ (−a)b = −(ab)
Teorema 18. a(−b) = −(ab) (Mas por menos, da menos)
Demostración. Usando el resultado x + y = 0 ⇒ y = −x tenemos que
ab + a(−b) = a(b + (−b)) = 0 ⇒ a(−b) = −(ab)
Teorema 19. (−a)(−b) = ab ∀ a, b ∈ R
Demostración. (−a)(−b) = −(a(−b)) = −(−ab) = ab

13. LINKOGRAFIA:
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_real
http://www.escolares.net/matematicas/evolucion-de-los-numeros/
http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Campo_de_los_N%C3%
BAmeros_Reales
http://sistemas.fciencias.unam.mx/~erhc/Calculo1_2013_2/reales.pdf