Este documento describe las ecuaciones y propiedades de las curvas planas más comunes: la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola. Se presentan las formas canónicas, ordinarias y generales de sus ecuaciones, así como las coordenadas de sus elementos característicos como vértices, focos y directrices. También se especifican las condiciones sobre los coeficientes para cada tipo de curva.

1. LA CIRCUNFERENCIA
Forma canónica
𝒙 𝟐
+ 𝒙 𝟐
= 𝒓 𝟐
Forma ordinaria
( 𝒙 − 𝒉) 𝟐
+ ( 𝒚 − 𝒌) 𝟐
= 𝒓 𝟐
Forma General
𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
+ 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎
Los coeficientes de 𝒙 𝟐
𝒚 𝒚 𝟐
deben ser “iguales”
𝐶 (−
𝐷
2
; −
𝐸
2
) 𝑟 =
1
2
. √𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹
 Si: 𝐷2
+ 𝐸2
– 4𝐹 > 0, representa una circunferencia.
 Si: 𝐷2
+ 𝐸2
– 4𝐹 = 0, representa un punto.
 Si: 𝐷2
+ 𝐸2
– 4𝐹 < 0, representa un conjunto vacío.
PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN (𝟎, 𝟎)
HORIZONTAL VERTICAL
Ecuación estándar
𝒚 𝟐
= 𝟒𝒑𝒙 𝒙 𝟐
= 𝟒𝒑𝒚
Abre
𝐻𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑜 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 𝐻𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑜 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜
Coordenadas del foco
( 𝑝, 0) (0, 𝑝)
Ecuación de la directriz
𝑥 = −𝑝 𝑦 = −𝑝
Eje
𝑒𝑗𝑒 𝑥 𝑒𝑗𝑒 𝑦
Longitud focal
𝑝 𝑝
Longitud del lado recto
|4𝑝| |4𝑝|
Excentricidad
𝑒 =
𝑑( 𝑃𝐹)
𝑑( 𝑃𝑙)
= 1
𝑒 =
𝑑( 𝑃𝐹)
𝑑( 𝑃𝑙)
= 1

2. PARÁBOLA CON VÉRTICE (𝒉, 𝒌)
HORIZONTAL VERTICAL
Ecuación estándar
( 𝒚 − 𝒌) 𝟐
= 𝟒𝒑( 𝒙 − 𝒉) ( 𝒙 − 𝒉) 𝟐
= 𝟒𝒑( 𝒚 − 𝒌)
Abre 𝐻𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑜 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 𝐻𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑜 ℎ𝑎𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜
Coordenadas del foco
(ℎ + 𝑝, 𝑘) (ℎ, 𝑘 + 𝑝)
Ecuación de la directriz
𝑥 = ℎ − 𝑝 𝑦 = 𝑘 − 𝑝
Ecuación del eje
𝑦 = 𝑘 𝑥 = ℎ
Longitud focal 𝑝 𝑝
Longitud del lado recto |4𝑝| |4𝑝|
Longitud del radio vector | 𝑥1 − ℎ + 𝑝|
| 𝑦1 − 𝑘 + 𝑝|
Excentricidad 𝑒 =
𝑑( 𝑃𝐹)
𝑑( 𝑃𝑙)
= 1 𝑒 =
𝑑( 𝑃𝐹)
𝑑( 𝑃𝑙)
= 1
Ecuación General
𝑩𝒚 𝟐
+ 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎
𝑩 ≠ 𝟎 ; 𝑫 ≠ 𝟎
𝑨𝒙 𝟐
+ 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎
𝑨 ≠ 𝟎 ; 𝑬 ≠ 𝟎

3. ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN (𝟎, 𝟎)
HORIZONTAL VERTICAL
Forma canónica 𝒙 𝟐
𝒂 𝟐
+
𝒚 𝟐
𝒃 𝟐
= 𝟏
𝒙 𝟐
𝒃 𝟐
+
𝒚 𝟐
𝒂 𝟐
= 𝟏
Eje focal 𝑒𝑗𝑒 𝑥 𝑒𝑗𝑒 𝑦
Focos (±𝑐, 0) (0, ±𝑐)
Vértices (±𝑎, 0) (0, ±𝑎)
Semieje mayor 𝑎 𝑎
Semieje menor 𝑏 𝑏
Relación pitagórica 𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
Excentricidad
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
√𝑎2 − 𝑏2
𝑎
; 0 < 𝑒 < 1
𝑒 = 0, representa una circunferencia
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
√𝑎2 − 𝑏2
𝑎
; 0 < 𝑒 < 1
𝑒 = 0, representa una circunferencia
Longitud del lado recto
2𝑏2
𝑎
2𝑏2
𝑎
Longitud de los radios
vectores
𝑟1 = 𝑎 − 𝑒𝑥1
𝑟2 = 𝑎 + 𝑒𝑥1
𝑟1 = 𝑎 − 𝑒𝑦1
𝑟2 = 𝑎 + 𝑒𝑦1
Suma de radios vectores 𝑟1 + 𝑟2 = 2𝑎 𝑟1 + 𝑟2 = 2𝑎

4. ELIPSE CON CENTRO (𝒉, 𝒌)
HORIZONTAL VERTICAL
Forma ordinaria
(𝒙 − 𝒉) 𝟐
𝒂 𝟐
+
(𝒚 − 𝒌) 𝟐
𝒃 𝟐
= 𝟏
(𝒙 − 𝒉) 𝟐
𝒃 𝟐
+
(𝒚 − 𝒌) 𝟐
𝒂 𝟐
= 𝟏
Eje focal
𝑦 = 𝑘
𝑥 = ℎ
Focos (ℎ ± 𝑐, 𝑘) (ℎ, 𝑘 ± 𝑐)
Vértices (ℎ ± 𝑎, 𝑘) (ℎ, 𝑘 ± 𝑎)
Semieje mayor 𝑎 𝑎
Semieje menor 𝑏 𝑏
Directrices 𝑥 = ℎ ±
𝑎2
𝑐
𝑦 = 𝑘 ±
𝑎2
𝑐
Relación pitagórica 𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
𝑐2
= 𝑎2
− 𝑏2
Excentricidad 𝑒 =
𝑐
𝑎
=
√𝑎2 − 𝑏2
𝑎
; 0 < 𝑒 < 1
𝑒 = 0, representa una circunferencia
𝑒 =
𝑐
𝑎
=
√𝑎2 − 𝑏2
𝑎
; 0 < 𝑒 < 1
𝑒 = 0, representa una circunferencia
Longitud del lado recto
2𝑏2
𝑎
2𝑏2
𝑎
Longitud de los radios
vectores
𝑟1 = 𝑎 − 𝑒𝑥1
𝑟1 = 𝑎 + 𝑒𝑥1
𝑟1 = 𝑎 − 𝑒𝑥1
𝑟1 = 𝑎 + 𝑒𝑥1
Suma de radios vectores 𝑟1 + 𝑟2 = 2𝑎 𝑟1 + 𝑟2 = 2𝑎
Ecuación General
𝑨𝒙 𝟐
+ 𝑩𝒚 𝟐
+ 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎
 A y B son de igual signo.
 𝐴 < 𝐵
𝑨𝒙 𝟐
+ 𝑩𝒚 𝟐
+ 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎
 A y B son de igual signo.
 𝐴 > 𝐵

5. HIPÉRBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN (𝟎, 𝟎)
HORIZONTAL VERTICAL
Forma canónica 𝒙 𝟐
𝒂 𝟐
−
𝒚 𝟐
𝒃 𝟐
= 𝟏
𝒚 𝟐
𝒂 𝟐
−
𝒙 𝟐
𝒃 𝟐
= 𝟏
Eje focal 𝑒𝑗𝑒 𝑥 𝑒𝑗𝑒 𝑦
Vértices (±𝑎, 0) (0, ±𝑎)
Focos (±𝑐, 0) (0, ±𝑐)
Longitud del eje transverso
2𝑎 2𝑎
Longitud del eje conjugado 2𝑏 2𝑏
Excentricidad 𝑒 =
𝑐
𝑎
=
√𝑎2 + 𝑏2
𝑎
; 𝑒 > 1 𝑒 =
𝑐
𝑎
=
√𝑎2 + 𝑏2
𝑎
; 𝑒 > 1
Longitud del lado recto
2𝑏2
𝑎
2𝑏2
𝑎
Relación pitagórica 𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
Asíntotas 𝑏𝑥 ± 𝑎𝑦 = 0 ⟺ 𝑦 = ±
𝑏
𝑎
𝑥 𝑏𝑦 ± 𝑎𝑥 = 0 ⟺ 𝑦 = ±
𝑎
𝑏
𝑥

6. HIPÉRBOLA CON CENTRO (𝒉, 𝒌)
HORIZONTAL VERTICAL
Forma ordinaria (𝒙 − 𝒉) 𝟐
𝒂 𝟐
−
(𝒚 − 𝒌) 𝟐
𝒃 𝟐
= 𝟏
(𝒚 − 𝒌) 𝟐
𝒂 𝟐
−
(𝒙 − 𝒉) 𝟐
𝒃 𝟐
= 𝟏
Eje focal
𝑦 = 𝑘 𝑥 = ℎ
Centro
𝐶(ℎ, 𝑘) 𝐶(ℎ, 𝑘)
Vértices (ℎ ± 𝑎, 𝑘) (ℎ, 𝑘 ± 𝑎)
Focos (ℎ ± 𝑐, 𝑘) (ℎ, 𝑘 ± 𝑐)
Extremo del eje conjugado 𝐵(ℎ, 𝑘 ± 𝑏) 𝐵(ℎ ± 𝑏, 𝑘)
Longitud del eje transverso 2𝑎 2𝑎
Longitud del eje conjugado 2𝑏 2𝑏
Excentricidad 𝑒 =
𝑐
𝑎
=
√𝑎2 + 𝑏2
𝑎
; 𝑒 > 1 𝑒 =
𝑐
𝑎
=
√𝑎2 + 𝑏2
𝑎
; 𝑒 > 1
Longitud del lado recto
2𝑏2
𝑎
2𝑏2
𝑎
Relación pitagórica 𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
𝑐2
= 𝑎2
+ 𝑏2
Asíntotas ( 𝑦 − 𝑘) = ±
𝑏
𝑎
( 𝑥 − ℎ) ( 𝑦 − 𝑘) = ±
𝑎
𝑏
( 𝑥 − ℎ)
Directrices 𝑥 = ℎ ±
𝑎
𝑒
𝑦 = 𝑘 ±
𝑎
𝑒
Ecuación General
𝑨𝒙 𝟐
+ 𝑩𝒚 𝟐
+ 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎
 A y B tienen signo
opuesto.
 A es positivo y B es
negativo.
𝑨𝒙 𝟐
+ 𝑩𝒚 𝟐
+ 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎
 A y B tienen signo
opuesto.
 A es negativo y B es
positivo.