Operaciones entre conjuntos

1. CONJUNTO REFERENCIAL
u
o
(D Práctica B
S ºb den los últimos elementos del conjutno separánd 1
- e escn en en or
OC.J
con comas. Por ejemplo:
M = {a, b , c, ... , x, Y, z}
En este caso, los puntos suspensivos tienen como función remplazar los ele.
mentos intermedios del conjunto.
• Conjunto infinito. Es aquel conjunto que tiene un núi:nero indetenninadode elementos, por lo tanto, no se pueden contar. Por eJemplo:
R = {xlx es un número par} R = {2, 4, 6, 8, 10, ·..}
• Conjunto referencial o universal. Es el conjunto qu~ sirve como referen.cía para otros conjuntos. Se nota con la letra U. Por eJemplo:
Si A = {xlx es un colegio de Bogotá}, un conjunto que le_ sirve como refe.rencia es U= {x!x es un colegio de Colombia}, pues el conJunto de todos loscolegios de Bogotá, es una parte del conjunto formado por todos los cole-gios de Colombia. Esto es, todo colegio de Bogotá es un colegio de Colom-bia. El conjunto universal se representa gráficamente por medio de un
rectángulo.
• INTlRPRETATIVA • PROPOSITlVA • ARGUMEIITATN! 1
1. Observar los conjuntos y determinar sus elementos. 2. Determinar por extensión los conjuntos finitos que se
encuentren en el siguiente listado.
Luego, escribir la clase de conjunto que es cada uno.
a. F= {x/x es un número dígito}
b. M = {x/x es el actual presidente de Colombia}
c. T= {x/x es un elefante volador}
d. J = {x/xes un número natural}
e. Q ={1, 3, 5, ..., 33, 35, 37, 39}
f. S ={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...}
g. N = {x/x es un planeta de nuestro sistema solar}
h. O= {x/xes un alumno del grado sexto}
i. R= {x/x es un gato con cinco patas}
j. E= {x/x es un hombre mayor de 200 años}
a. D = {x/x es una capital de un departamento de
Colombia}
b. 5 = {x/x es un número mayor que 50}
c. N = {x/x es un animal en vía de extinción}
d. P= {x/x es un número par mayor que 100}
3. Identificar los conjuntos unitarios y luego determinar-
los por extensión.
a. R= {x/x es capital de Antioquia}
b. V= {x/x es un número natural menor que cero}
c. Y= {x/x es una vocal de la palabra papá}
d. H= {x/x es un departamento de Colombia}
4. Determinar por comprensión cinco conjuntos vacíos.
~2.5 RELACIONES EN CONJUNTOS
-Cuando se habla de conjuntos se pueden dar dos tipos de relaciones: una entr,un elemento y un conjunto, y otra entre dos conjuntos.
Relación elemento-conjunto
La relación que se establece entre un elemento y un conjunto se conoce coel nombre de relación de pertenencia y permite establecer como su norrbre lo indica, si un elemento pertenece (E) 0 no pertenece ($.)al conjunto-
26

2. RELACIONES ENTRE
CONJUNTOS
1. Si A e B, entonces B
es un conjunto
referencial o universal
para A.
2. cp e A, para cualquier
conjunto A. Esto es, el
conjunto vacío es
subconjunto de
cualquier conjunto.
3. La notación A ~ B,
significa que A es
subconjunto de B, pero
en algún caso A = B.
LÓGICA y COl'i.lUNTOS UNIDAD 1
Así, si A = {1, 2, 3, 4, 5}, se puede afirmar que 1 E A, 2 E A, 3 E A, 4 E A,
5 E A y 7 f1_ A, t f1_ A.
Relaciones entre conjuntos
Dados dos conjuntos A y B, entre ellos se pueden presentar cinco relaciones.
B
A
B
o
A B
Ejemplos
ACB
BCA
A=B
B
• Todos los elementos de A son también elementos de
B. En este caso, se dice que A está incluido en By
se simboliza A e B .
Es decir, A e B <=> para todo x , si x E A, entonces, x
EB.
• Todos los elementos de B son también elementos de
A. En este caso, se dice que B está incluido en A y
se simboliza Be A.
Es decir, B e A <=> para todo x, si x E B, entonces
X EA.
• Todos los elementos de A son elementos de B y
todos los elementos de B son elementos de A. En
este caso, se dice que A es igual a By se simboliza
A =B.
Es decir, A= B <=>A e B, /,Be A.
• A y B tienen algunos elementos comunes. En este
caso se dice que A no está incluido en B o que B no
está incluido en A y se simboliza A et B o B et A, res-
pectivamente.
• A y B no tienen ningún elemento en común. En este
caso, se dice que A y B son conjuntos disyuntos o
disjuntos.
1. Determinar cuáles de los siguientes conjuntos son iguales.
O= {1, 2, 3, 6} B = {x/xes divisor de 9} A= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
C= {x/x es un número natural menor que 7}
Sojl'Jción
A = C, pues A e Cy Ce A.
27
M = {x/x es divisor de 6}
o = M, pues De My M e D.

3. l
CJ Práctica 9
2. Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a. Si Ay 8 son dos conjuntos, entonces, A E B.
b. Si x es un elemento y Mes un conjunto, entonces, x E M O x ti. M.
. t t I ue A e B si x E A entonces, x ti. B.c. Sean Ay 8 dos conJun os aes q , ,
d. Si Ay 8 son conjuntos disyuntos, entonces, BC A.
Solución
a. (F) La relación entre conjuntos es de inclusión o igualdad.
b. (V) La relación entre elemento y conjunto es de pertenencia.
c. (F) Si A e B, todos los elementos de Atambién pertenecen a B.
d. (F) Los conjuntos disyuntos no tienen elementos comunes.
3. Completar los enunciados con los símbolos E, ti., C. r:t., de acuerdo con la
gráfica.
~-----------, u
a. 7_M
b. 2_M
c. M_S
Solución
d.N_M
e.4_ U
f.S_· N
a. 7 E M b. 2 ti. M c. M C S d. N r:t. M
.11
.12
e. 4 E U f. S(/._ N
I • INTIRPRETATIVA • PROPOIITIVA • ARGUMENIAINI
1. Si X = {1, 2, 3}; Y= {1, 2, 3, 4, 5}; Z = {3, 4} y
M ={1, 2, 3, 4}, determinar el valor deverdad de los
siguientes enunciados:
3. Dibujar un diagrama de Venn con tres conjuntosque
cumplan, ala vez, las siguientes condiciones:
A e B, ee BvA <J, c.
a. x k z g. 1E XI 1E Y
b. Ykl h. 3 E Y/ 3 f/. l
c. ZkM i. 4 E M/ 4 E X
d. Zk Y j. 3E M/ 3 E Y
e. YkM k. 1EY/ 1E M
f. MkX l. 5E M/5f/. Y
2. De acuerdo con el diagrama de Venn, escribir cuatro
relaciones de inclusión entre los conjuntos A, 8, Cy D.
A
28
4. ¿Cuál es la diferencia entre las expresiones a E BY
Ae B? Explicar la respuesta.
5. Identificar entre los conjuntosdados, cuáles soniguales.
F={1, 3, 5, 7} L=-0, t, b,1,a}
J = {a, b,j,t, I} P= {1, j, t, b}
Z= {3, 7, 1, 5} W= {7,3, 5, 1}
6. Analizar las siguientes afirmaciones y determinar su
valor de verdad.Justificar las respuestas.
Sean A, By Cconjuntos:
a. Si A k By Bk CentoncesA = B
b. Si A k 8y 8 k AentoncesA = 8
c. Si Bk Ay Bk CentoncesB = C
d. Si'A k By A k CentoncesB =C

4. OPERACIONES CON CONJUNTOS
REPRESENTACIÓN
GRÁFICA DE LA UNIÓN
DE CONJUNTOS
A y B disyuntos
A B
- -A y B tienen
elementos comunes
A~B
B~A
Figura 1
Sean, U el conjunto referencial o universal, el conjunto A y el conjunto B, tres
conjuntos, se pueden definir entre ellos las siguientes operaciones: unión,
intersección, complemento, diferencia y diferencia simétrica.
~ 3.1 UNIÓN DE CONJUNTOS
Dados dos conjuntos A y B, el conjunto formado por los elementos que per-
tenecen tanto a A como a B, se denomina unión de los conjuntos A y B. La
unión entre los conjuntos A y B se nota A U B.
La unión entre A y B se determina por comprensión así
A U B = {xlx E A, V, x E B}
Por ejemplo, dados A = {l, 2, 3, 7} y B = {6, 7, 8, 9}
A U B = {l, 2, 3, 6, 7, 8, 9}
/2os elementos repetidos de la unión entre conjuntos se escribe
solamente una vez.
Representación gráfica
Para representar gráficamente la unión entre los conjuntos A y B , se procede
así:
1. Se dibujan los conjuntos A y B de acuerdo con la relación que haya entre
ellos.
2. Se sombrea, con líneas, la región de la gráfica en donde se encuentran ubi-
cados los elementos de A o de B (fig. 1).
11
Ejemplos
Si A = {2, 4, 6, 8},'"B = {6, 8, 10, 12}, C = {8, 10},
D= {x/x es número impar menor que 6} y U= {1, 2, 3, ..., 15}.
1. Hallar la unión entre los siguientes conjuntos:
a. A U B c. BU C
b. A UD d. (A U B) U D
Solución
a. A U B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}
b. AU D={1,2,3,4,5,6,8}
c. Bu e= {6, 8, 10, 12} = B (nótese que Ce B)
d. (A U B) UD= {2, 4, 6, 8, 10, 12} U {1, 3, 5} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12}
29

5. PROPIEDAD ASOCIATIVA
EN LA UNIÓN ENmE
CON.JUNTOS
(A U 8) U C
A B C
~~-A U8
(A U 8) U C ,
1
I
A U (B U Cj
A B C
- ~
V
BU C 1
A U (BU Cj
Figura 2
(O Práctica 1O
1. Dados los conjuntos:
W = {1, 3, 5, 7, 9}
N = {a, b, c, d, e, f}
T= {8, 10, 12, 14}
2. Representar gráficamente las operaciones indicadas.
a. A U 8 b. A U D
Solución
a. A U B A B 5
· 3
. 14
.s
• 13
A y 8 tienen algunos elementos comunes
b. A UD
Algunas propiedades de la unión de conjuntos
-~• --,~5~,10~ 13 ~
• 11 , 12
A y 8 son disyuntos
En la unión de conjuntos se cumplen las siguientes propiedades:
l. A U B = BU A. Esto es, para cualquier par de conjuntos A YB , la unión es
conmutativa.
2. (A u B) u C = A u (B u C). Esto es, para cualquier conjunto A, B, C la unión
es asociativa (fig. 2).
3. A U ~ = A, para todo A.
4. A U U= U, para todo A.
Ejemplo
SiA={l,2,3,4} B = {3, 6, 9} e= {1, 5, 7, 9}
Verificar las siguientes igualdades:
a. A u B = B u A b. (A u B) u e= A u (B u q
Solución
a. A U B = {1, 2, 3, 4, 6, 9}; BU A = {1, 2, 3, 4, 6, 9}.
En efecto, A U 8 = B U A
b. (A U B) U C = {1, 2, 3, 4, 6, 9} U C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}
A U (BU C, = A U {1, 3, 5, 6, 7, 9} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}.
En efecto, (A u B) u C = A u (B u q
Z= {a, e, i, o, u}
J ={5, 6, 7, 8, 9}
a= {h, i,j, 1, o}
• INTERPRETATIVA • PROPOSITIVA • ARGUMEKTAIWA
2. Determinar cada conjunto por extensión. Luego, deter-
minar por extensión cada una de las uniones dadas.
T= {x/xes un número par menor que 11}
Z ={x/x es un número impar menor que 12}
Escribir en el cuaderno los elementos de cada uno de
F= {x/x es un número mayor que 3 y menor que 10} ,
H = {x/x es un número impar mayor que 4 y menor ;los siguientes conjuntos.
a. JU N c. TU Z e. NU Z
b. OU W d. WU J f. TU J
9. zu a
h. NU Q
que 13} ~
:
a. TU Z c. Z U f e. Fu T g. TU T ~
b. TU f d. Z U T f. Fu z h. ZU Z
30

6. 3. Observar el diagrama de Venn y determinar por exten-
sión cada conjunto.
a. T c. B e. TU B
b. G d. TU G f. TU GU 8
4. Responder:
a. ¿La unión entre dos conjuntos puede tener más ele-
mentos que alguno de los dos conjuntos? ¿Por qué?
b. ¿La unión entre dosconjuntos puede tener menos ele-
mentos que alguno de los dos conjuntos? ¿Por qué?
5. Construir dos conjuntos que cumplan con cada una de
las siguientes condiciones.
a. La unión de los conjuntos tiene cinco elementos.
b. Cada uno de los conjuntos tiene cuatro elementos
y su unión tiene seis elementos.
c. Uno de los conjuntos tiene cinco elementos, el otro,
siete elementos y su unión tiene ocho elementos.
LÓGICA Y COl'iJUNTOS UNIDA
6. BIOLOGÍA. En la siguiente tabla se muestra la clase y
el hábitat de algunos animales.
Animal Clase Hábitat
Ballena Mamíferos Acuático
Caballo Mamíferos Terrestre
Avestruz Aves Terrestre
Delfín Mamíferos Acuático
Gallina Aves Terrestre
Loro Aves Terrestre
De acuerdo con la información de la tabla, determinar
por extensión los siguientes conjuntos.
a. M ={x/x es un animal mamífero}
b. A= {x/xes un ave}
c. V= {x/x es un animal acuático}
d. T={x/x es un animal terrestre}
Hallar:
e. MUA
f. MU V
g. TU M
h. AU V
i. AU T
j. MU VU T
k. MUAUV
l. AU VU T
m. MUTUA
n. VU A U T
Representar las siguientes uniones en un diagrama de
Venn.
ñ. AU V
o. MUA
p. AU VU T
q. MU TU A
. 3.2 INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
~ -
Dados dos conjuntos A y B, el conjunto formado por los elementos que per-
tenecen tanto a A, como a B, se denomina intersección de los conjuntos A y
B. La intersección entre los conjuntos A y B se nota A n B.
Y se determina por comprensión así:
A n B = {x!x E_A, /, X E B}
Por ejemplo, dados A = {l, 2, 3, 6, 7} y B = {6, 7, 8, 9}
A n B = {6, 7}
Representación gráfica
Para representar gráficamente la intersección entre los conjuntos A y B, se
procede así:
l. Se dibujan los conjuntos A y B, teniendo en cuenta la relación que haya
entre ellos.
31

7. 1 1
REPRESENTACIÓN
GRÁFICA DE LA
INTERSECCIÓN
DE CONJUNTOS
A y Bson disyuntos.
AnB=cj>
óóA y B tienen elementos
comunes
B~A
Figura 3
u
b l, eas la región de la gráfica en donde se encuentran
2. Se som rea, con m I
A de B (fig. 3).
ubicados los elementos comunes de Y
Ejemplos
; Si A= {2, 4, 6, 8}, B = {6, 8, 10, 12}, C= {8, 10}, }
D = {x/x es número impar menor que 6} Y U= {12, 3· ..., 15 ·
1. Hallar las siguientes intersecciones:
a. A n B b. A n D c. B n e d. (A n B) n D
Solución
a. A n B = {6, 8}.
b. A n D = {}. A Y D no tienen elementos comunes. Son disyuntos.
c. B n e= {8, 10} = e(nótese que Ce B).
d. (A n B) n D = {6, 8} n {1, 3, 5} = {}.
2. Representar gráficamente las operaciones indicadas.
a. A n B b. A n D c. B n A d. en B
Solución
a. A n B A 1 3 5 B U
c. B n A B 1 3 5 A U
7
15 9
14 13 11
A y Btienen algunos elementos comunes
b. A n D 13
· 15 u
<[})'0,,10 g 11 14
A y Dno tienen elementos comunes
AnD=<f>
7
15 9
14 13 11
Nótese que A n B = BnA
d. en a .----,--2
-
3
---:-4- u
:~ ;:~ 3
ce a
Algunas propiedades de la intersección de conjuntos
Eri la intersección de conjuntos se cumplen las siguientes propiedades:
l. A n B = B n A. Es decir, la intersección de conjuntos es conmutativa.
2. (A n B) n C = A n (B n C). Es decir, la intersección de conjuntos es aso·
dativa.
3. A n (B U C) = (A n B) U (A n C). Es decir, la intersección es distributiva
con respecto' a la unión.
4. A U (B n C) = (A U B) n (A U C). Es decir, la unión es distributiva con res· ;
pecto a la intersección. '
5. A n <f> = <f>, para todo A.
6. A n U = A, para todo A.
32

8. LÓGICA Y CONJUNTOS Ul-JIDAD '1
V Práctica 11 I• INTERPRETATIVA • PR~POSITI~ ( ARGUMllílAflVA
e(
z
~..1
¡:
ze(
"'@
1. Dados los conjuntos:
S={1, 2, 3, 4, 5}, U= {1, 2, 3, 5, 9, 10},
T= {2, 4, 6, 8, 10}y V= {3, 7, 9, 11}
Determinar por extensión los siguientes conjuntos:
a. sn r d. un r g. rn un5
b. Tn u e. un v h. 5 n un v
c. vn s f. un s i. rn un v
2. Rayar la intersección indicada en cada diagrama de Venn.
a. N n Tn H c. Tn H
b. Nn T d. Nn H
3. Escribir, en cada caso, un conjunto A que cumpla con
cada igualdad.
a. A n A = A c. A n 4> = 4>
b. A U A = A d. Un A =A
4. Si ~ n F= ~2, 4, 6} y F= {1, 2, 3, 4, 5, 6} escribir tres
posibles conJuntos Dque cumplan con la intersección.
5. Este es el horario de sexto grado
~ Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes
a
1 Mat. Soc. Biol. Danz. Mat.
2 Mat. Soc. Biol. Danz. Mat.
3 Biol. Esp. Esp. Mat. lnf.
4 Biol. Esp. Esp. Mat. lnf.
5 lng. E.F. Mat. lnf. Esp.
6 Esp. E.F. Mat. lnf. Esp.
!
7 Esp. Rel. Soc. Soc. Biol.
Nombrar por extensión cada conjunto.
a. L= {x/x es una materia del horario del lunes}
b. M = {x/x es una materia del horario del martes}
c. C={x/x es una materia del horario del miércoles}
d. J ={x/x es una materia del horario del jueves}
e. V= {x/x es una materia del horario del viernes}
Determinar por extensión y por comprensión los si-
guientes conjuntos:
f. Ln M h. M nJ j. J n en M
g. M n e i. vn e k. M n LnJ
6. Sean M= {1, 2, 3, 4, 5}, N= {2, 4, 6, 8}y
P={1, 2, 3, 7, 8, 9}, determinar por extensión:
a. p n (M u N) c. (M n P) u (N n P)
b. p u (M n N) d. (M u N) n (N n P)
~3.3 COMPLEMENTO DE CONJUNTOS
COMPLEMENTO
DE CONJUNTOS
u
Figura 4
Si A es un conjunto contenido en un conjunto universal U, el complemento
de A, es el conjunto formado por los elementos que están en U y que no están
en A. El complemento de A se nota Ac y se representa matemáticamente así:
Ac = {xlx E U, I, x $ A}
Por ejemplo,
si U= {O, 1, 2, 3,..., 20} y T = {l, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}
entonces, ye= {O, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
En este caso, el complemento de T se representa en la figura 4.
33