CONJUNTOS

1. T E O R Í A D E
C O N J U N T O S
OBJETIVOS
Al finalizar el presente capítulo, el lector
estará en la capacidad de:
 Conocer los aspectos básicos de las
matemáticas y en los que están
sustentados.
 Realizar los estudios de grupos de objetos
reales o abstractos.
 Clasificar los objetos por forma, especie,
tamaño, etc
INTRODUCCIÓN
En la vida diaria, observamos a los objetos,
cosas e ideas en formas individuales, si quisiéramos
realizar un estudio de objetos que poseen
características comunes, o realizar una estadística
de ellos, hay la necesidad de agruparlos en
conjuntos, ya agrupados podemos analizarlos y
reaccionarlos con otros grupos de objetos
coleccionados también por otras características
comunes.
Por ejemplo si queremos estudiar el peso
de las personas con relación al peso de los monos,
para realizar dicho análisis, todas las personas
están agrupados en un conjunto así como los monos
en otros conjuntos y analizamos sus respectivos
elementos.
Es decir en la vida y el desarrollo de las
disciplinas se agrupa a los objetos en cada momento,
ya sea por su forma, tamaño, calidad, especie,
territorialidad, etc. Lo que desarrollaremos en este
capítulo serán dichas agrupaciones. Para ello
veamos algunos conceptos básicos.
TEORÍA DE CONJUNTOS
Intuitivamente se entiende por conjunto, a
la agrupación, reunión o colección de objetos reales
o ideales, a las cuales se les denomina elementos del
conjunto.
A los conjuntos generalmente se les
representa con letras mayúsculas de nuestro
alfabeto y a sus elementos separados por comas y
encerrados por signos de agrupación (llaves,
corchetes, etc.)
Ejemplos:
 El conjunto de los 5 primeros números primos
A = {2, 3, 5, 7, 11}
 El conjunto de las vocales.
B = {a, e, i, o, u}
 El conjunto de las letras del abecedario.
C = {a, b, c, d, …,z}
 El conjunto de los números primos pares
mayor que 2
D = { }
 El conjunto de la Capital del Perú
E = { LIMA}
Observa que un conjunto puede tener un elemento o
más elementos, como también no puede poseer
elementos.
RELACIÓN DE PERTENENCIA
Si un objeto es elemento de un conjunto se dice que
pertenece () a este conjunto, en caso contrario se
dirá que no pertenece () a dicho conjunto. La
relación de pertenencia es una relación exclusiva
de elemento a conjunto.
Ejemplos:
1. Dado el conjunto.
M = {2, a, 3}
 2 pertenece al conjunto M (2M)
 a pertenece al conjunto M (aM)
 5 no pertenece al conjunto M (5M)
 b no pertenece al conjunto M (bM)
2. En el siguiente conjunto.
A = {3, {3}, 5, {7}}
 3  A ( )

2.  {3}  A ( )
 {7}  A ( )
 7  A ( )
 9  A ( )
 {3, 7}  A ( )
 {3, {3}}  A ( )
 {{3}}  A ( )
 {{7}, {3}}  A ( )
Para determinar un conjunto se
puede realizar indicando cada
uno de los elementos; o indican
una propiedad común de sus
elementos.
DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
Determinar un conjunto es especificar o señalar en
forma precisa, quienes son los elementos que los
conforman.
POR EXTENSIÓN O EN FORMA TABULAR
Es cuando se señala a cada uno de sus elementos del
conjunto, enumerándolas o indicándolos en forma
sobreentendida.
Ejemplos:
 Las estaciones del año.
A = {verano, invierno, primavera, otoño}
 Los días de la semana.
B = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes,
sábado, domingo}
 Las vocales
C = {a, e, i, o, u}
 Los números cuadrados perfectos mayores que
uno y menores que 37.
D = {22
, 32
, 42
, 52
, 62
}
 Los países sudamericanos
E = {Perú, Bolivia, Argentina, …, Chile}
POR COMPRENSIÓN O EN FORMA
CONSTRUCTIVA
Es cuando se mencionan una o más características
comunes y exclusivas de los elementos del conjunto.
Esquema:
A = {forma del elemento del
conjunto/características de la variable involucrada
en el elemento}
Ejemplos:
 Las estaciones del año
A = {x/x es una estación del año}
 Los días de la semana
B = {x/x rd un día de la semana}
 El conjunto de las vocales
C = {x/x es una vocal}
 Los números cuadrados perfectos mayores que
uno y menores que 37
D = {x2
/1<x<7  x  IN}
 Los países de Sudamérica
E = {x/x es un país sudamericano}
NÚMERO CARDINAL
El número cardinal de un conjunto “A” nos indica la
cantidad de elementos diferentes que posee el
conjunto y se denota por “n(A)”.
Ejemplos:
 En el conjunto
M = {2, 3, 5}
n(M) = 3
 En el conjunto
N = {4, 5, 7, 4, 7, 6}
n(M) = 4
 P = {17, 27, 37,47, …, 997}
n(P) = 99
 Q = {2, 6, 12, 20, 30, …, 930}
n(Q) = 30
 R = {x/x es una letra del abecedario}
n(R) = 27
 S = {a, {a}, b, {b}, {a, b}}
n(S) = 5
 T = {x/x es un planeta del sistema solar}
n(T) = 9

3. Ejemplos:
 A = {1, 2, 5, 7, 10}
 B = {x/x es un día de la semana}
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
INCLUSIÓN
Se dice que un conjunto A está incluido en el
conjunto B, si solo si todos los elementos de “A” son
también elementos del conjunto B.
Se denota: A  B
Se lee:
 “A está incluido en B”
 “A está contenido en B”
 “A es un subconjunto de B”
 “B contiene al conjunto A”
Diagrama:
Se define:
 
B
x
A
x
B
A 





Ejemplos:
 Dados los conjuntos
A = {x/x es una vocal débil}
B = {x/x es una vocal}
Toda vocal débil es una vocal
 Dados los conjuntos
M = {x/x es una ave}
N = {x/x es una gallina}
Toda gallina es un ave
 Sean los conjuntos
X = {2, 5, 3, 8, a}
Y = {2, a, 3}
Z = {2,a}
Se observa
 Todo elemento de Z es elemento de Y
entonces Z  Y
 Todo elemento de Y es elemento de X
entonces Y  X
 Si (Z Y) además (YX) entonces se
puede incluir Z  X
Diagrama:
.1 .2
.10
.7
.5
A
.Lunes .Martes
.Miércoles . Jueves
.Viernes .Sábado
.Domingo
B
A
B
A
B
.a
.e
.o
.u
.i
A B
M
N
NM
.8
.8
.8
.8 .8
Y
X
Z
Los diagramas de VENN-EULER representan
a los conjuntos mediante regiones planas por
figuras geométricas cerradas.
Nota

4. [(ZY)  (YX)]  (ZX)
IGUALDAD
Intuitivamente dos conjuntos A y B son iguales,
cuando estos conjuntos poseen los mismos
elementos.
Se denota: A = B
Se lee: El conjunto A es igual al conjunto B
Se define:
   
A
B
A
B
B
A 




Ejemplos:
1. Sean los conjuntos
A = {2, 4, a, b}
B = {2, 2, 4, a, b, a, b}
Como (A  B)  (B  A) entonces (A = B)
2. Sean los conjuntos







420
1
,...,
20
1
,
12
1
,
6
1
,
2
1
M
  










 20
x
1
Z
x
/
1
x
x
1
N
Como (M  N)  (N  M) entonces (M = N)
3. Sean los conjuntos definidos en Z
R = {x/x
5
– x = 0}
S = {0, 1, -1}
Como (R  S)  (S  R) entonces (R = S)
Ejemplos:
1. A = {4, 6, 7}
B = {4, 7, 6, 8, 1, 3}
 (A  B)  (A  B) entonces A y B son
comparables
M = {x/x es un número par}
N = {x/x es un número entero}
 (M  N)  (N  M) entonces M y N son
comparables
DISJUNTOS
Dos conjuntos son disjuntos cuando no poseen
elementos comunes.
Ejemplos:
1. A = {2, 3, 5}
B = {4, 6, 8}
A y B son disjuntos
2. C = {x/x es un varón}
D = {x/x es una mujer}
C y D don disjuntos
3. M = {x/x es un número par}
N = {x/x es un numero impar}
M y N son disjuntos
Diagrama:
Diagrama de Carrol
Se utiliza para representar conjuntos que son
disjuntos.
1. En una reunión asistieron hombres y mujeres,
además se observó que un grupo de dichos
asistentes son casados. Representar a través, de
un diagrama los conjuntos mencionados.
Es decir:
H : conjunto de los hombres
M : conjunto de las mujeres
S : conjunto de los solteros
M N
M y N son disjuntos
Si al menos un elemento de dicho conjunto
no es elemento común a dicho conjuntos
entonces no son iguales.
Nota
Dos conjuntos diferentes A y B son
comparables, cuando sólo uno de los
conjuntos está incluido en el otro, es decir,
si: A  B ó B  A.
Nota

5. C : conjunto de los casados
Se puede leer las regiones:
1 : hombres solteros
2 : hombres casados
3 : mujeres casadas
Aplicaciones:
1. Sea el conjunto
A = {a, {a}, 7, {7}, {18}}}
Cuántas proposiciones son verdaderas
 a  A …………………… F
 {a}  A …………………… V
 {a}  A …………………… V
 {7, {7}}  A …………………… V
 {{a}}  A …………………… V
 n(A) = 5 …………………… V
 {8}  A …………………… F
 {a, 7}  A …………………… F
 {{7}, 7}  A …………………… V
 8  A …………………… F
2. A una reunión asistieron 16 damas con falda y
20 varones con bigote, 26 portaban casaca, 20
damas no llevaban casaca, 5 damas portaban
casaca pero no falda, 13 varones de bigote no
tenían casaca.
¿Cuántos varones que tenían casaca no tenían
bigote, si 12 damas no llevaban falda ni casaca?
Rpta: 6
3. Sean los conjuntos
A = {x3
/xZ+
 2x – 3  9 }
B = {x-x
4
/xZ  2 < x < 5 }
Cuántas proposiciones son falsas.
 A y B son disjuntos ………………… F
 n(A) > c(B) ………………… V
 n(A) = n(B) ………………… V
 A  B ………………… V
 A = B ………………… V
 A y B son comparables ……………… V
4. De un aula de 50 alumnos, se observa lo
siguiente:
 A todos los alumnos que les gusta Álgebra
también les gusta Aritmética
 A los que les gusta Álgebra no les gusta
Trigonometría
 Los que gustan de Aritmética y
Trigonometría son 13.
 19 alumnos gustan de Trigonometría, pero
no de Aritmética.
 Los que gustan sólo de Aritmética es igual
a 8.
¿Cuántos alumnos gustan de álgebra si todos al
menos prefieren un curso?
Rpta: 10
CLASES DE CONJUNTOS
FINITO
Un conjunto es finito, si posee una cantidad
limitada de elementos diferentes, es decir, el
proceso de contar sus elementos tiene en el tiempo.
Ejemplo:
A = {2, 4, 6, 8, ……., 100}
B = {x/x es un Peruano}
C = {x
100
+ x
50
/ x  Z  5 < x < 25}
E = {x/x es un número primo menor que 1000}
INFINITO
Un conjunto es infinito, si tiene una cantidad
ilimitada de elementos diferentes, es decir, el
proceso de contar sus elementos no tienen fin en el
tiempo.
Ejemplo:
A = {x/x es un átomo en el espacio}
B = {x
3
/ x < 5}
1 2
4 3
H
M
S C

6. C = {
5
x
+3 / 2 < x < 3}
D = {x/x es una recta que se puede trazar en un
plano}
CONJUNTOS ESPECIALES
CONJUNTOS VACÍO O NULO
Es aquel conjunto que no posee elementos, la cual se
denota por: “” ó { }
Ejemplo:
A = {x/x es un número par  8 < x < 10}
 A = 
B = {x/x es una persona que vivió 500 años}
 B = 
C = {x/x es un número primo par mayor que 5}
 D = 
CONJUNTO UNITARIO O SINGLETÓN
Es aquel conjunto que sólo posee un elemento.
Ejemplo:
S = {x/x  Z, 2 < x < 4} = {3}
 n(S) = 1 S es un conjunto unitario.
A = { }
 n(B) = 1 A es un conjunto unitario.
B = {x/x es la capital del Perú}
 n(B) = 1 B es un conjunto unitario.
A = {x/x es un número primo par}
 n(D) = 1 D es un conjunto unitario.
CONJUNTO UNIVERSAL
Es un conjunto referencial que se toma para el
estudio de otros conjuntos incluidos en él. No existe
conjunto universal absoluto y se denota
generalmente con la letra “U”.
Ejemplo:
1. Para los conjuntos:
A = {los gatos}
B = {los tigres}
Los posibles conjuntos considerados que
contiene a los conjuntos anteriores son:
U1 = {los animales}
U2 = {los felinos}
U3 = {los mamíferos}
2. Para los conjuntos:
A = {a, e}
B = {i, e}
Los posibles conjuntos universales que
contienen a los conjuntos anteriores son:
U1 = {las vocales}
U2 = {la letras del abecedario}
3. Para los conjuntos:
A = {2, 4, 6}
B = {1, 3, 7}
C = {6, 10}
Podemos considerar el siguiente conjunto
universal.
U = {x/x  IN  1 x  10}
U = {1, 2, 3, …, 9, 10}
Diagrama
CONJUNTO DECONJUNTO O FAMILIA DE
CONJUNTO
Es aquel conjunto cuyos elementos son todos
conjuntos:
Ejemplo:
A = {gallinas, patos, monos}
B = {, {}, {2,3}}
C = {peruanos, bolivianos, argentinos}
D = {{x2}/x  IN  x < 7 }
CONJUNTO POTENCIA
Dado un conjunto “A”, el conjunto potencia de “A” es
la familia de subconjuntos de A y se denota como
P(A).
P(A) = {x/x  A}
Ejemplos:
1. Dado el conjunto:
A = {2, 3}  n(A) = 2
Subconjunto de A: , {2}, {3}, {2, 3}
P(A) = {, {2}, {3}, {2, 3}}  n(P(A)) = 22
2. Dado el conjunto:
B = {a, b, c}  n(B) = 3
Subconjunto de B: {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b,
c}, {a, b, c}, 
P(B) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b,
c}}  n(B) = 32
.1
.7
.3
.9
.6
.4
.2
.10
.8
C B
U
A
.5

7. OBSERVACIONES:
1. El conjunto potencia de A es aquel conjunto
que tiene como elemento, todos los
subconjuntos del conjunto A.
n(A)
2
n(P(A))
A
de
o
subconjunt
# 

2. Se denomina subconjunto propio de “A” a todo
subconjunto de A y diferente de A.
Ejemplo:
Dado un conjunto:
M = {2,3}
Subconjunto de A = , {2}, {3}, {2, 3}
1
-
2
A
de
propio
o
subconjunt
# n(A)

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
UNIÓN O REUNIÓN
La unión de dos conjuntos “A” y “B” es el conjunto
formado por la agrupación de todos los elementos de
A con todos los elementos de B.
Se denota A  B
Se lee A o B
Se define:
 
B
x
A
x
/
x
B
A 




Ejemplo:
1. A = {2, 3, 5}
B = {5, 7}
A  B = {2, 3, 5, 7}
Diagrama:
2. A = {6, 3, 7}
B = {6, 3}
A  B = {6, 3, 7}
Diagrama:
BCA  A  B = A
3. A = {5, 7}
B = {6, 8}
A  B = {5, 7, 6, 8}
Diagrama:
Si A y B son disjuntos  n(A  B) = n(A) + n(B)
INTERSECCIÓN
La intersección de dos conjuntos “A” y “B” es el
conjunto formado por los elementos que pertenecen
a los dos conjuntos a la vez.
Se denota A  B
Se lee “A y B”
Se define:
 
B
x
A
x
/
x
B
A 




Ejemplo:
1. A = {2, 3, 5}
B = {5, 7}
A  B = { 5 }
Diagrama:
2. A = {6, 3, 7}
U
A B
A  B
A  B
A B
U
U
A
B
A B
A  B
U
n(A B) = n(A) + n(B) – n(A  B)
Nota

8. B = {6, 3}
A  B = {6, 3}
Diagrama:
Dado que B  B
B  A  A  B = B
3. A = {5, 7}
B = {6, 8}
A  B = { } = 
Diagrama:
DIFERENCIA
La diferencia de dos conjuntos “A” y “B” (en dicho
orden) es el conjunto formado por los elementos de
“A” pero no de “B”.
Se denota A - B
Se lee “A” pero no de “B”
Se define:
 
B
x
A
x
/
x
B
A 




Ejemplo:
1. A = {2, 3, 5}
B = {5, 7}
A - B = { 2, 3 }
Diagrama:
2. A = {6, 3, 7}
B = {6, 3}
Diagrama:
Si: B  A  B – A = 
3. A = {5, 7}
B = {6, 8}
A - B = 
Diagrama:
A y B disjuntos
DIFERENCIA SIMÉTRICA
La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es el
conjunto formado por los elementos que pertenecen
a “A” o “B” pero no a ambos.
Se denota A  B
Se lee: “A o B”
o bien A o bien B.
Se define:
   
 
B
A
x
B
A
x
/
x
B
A 






Ejemplo:
1. A = {2, 3, 5}
B = {5, 7}
A  B = { 2, 3, 7}
Diagrama:
U
A B
A  B = 
U
A B
A - B = A
U
A
A - B
B
U
A
B
A  B
A B
U
A B
U

9. A  B = (A B) – (A  B)
2. A = {6, 3, 7}
B = {6, 3}
A  B = { 7}
Diagrama:
Si: (B  A)  (A  B) = (A - B)
3. A = {5, 7}
B = {6, 8}
Diagrama:
Si A y B son disjuntos: A  B = A  B
COMPLEMENTO
El complemento de un conjunto “A” es el conjunto
formado por los elementos que pertenecen al
conjunto universal “U” pero no a “A”.
Se denota CA, A , AC
, A’
Se lee: “no A”
Se define:
 
A
x
x
/
x
'
A 




Ejemplo:
A = {a, e}
U = {x/x es un vocal}
A
= { i, o, u}
Diagrama:
 A  AC
= U  (AC
)C
= A
A  AC
=  C
= U
n(A) + n(AC
) = U
 ((AC
(C
)C
 (U)C
= 
Ejemplo:
A = {4, 5, 7, 8}
B = {5, 8, 9}
U = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
 A  B = {4, 5, 7, 8, 9}
 A  B = {5, 8}
 A - B = {4, 7}
 B - A = {9}
 A  B = {4, 7, 9}
 AC
= {3, 8, 9}
 BC
= {3, 4, 6, 7}
 (A  B)C
= {3, 6}
PAR ORDENADO
Es un conjunto de sólo dos elementos, no
necesariamente diferentes, en el cual interesa el
orden de cada uno de ellos.
Se denota:
(a;b)
Primera Segunda
Componente Componente
IGUALDAD DE PARES ORDENADOS
(a;b) = (c;d)  (a = c  b = d)
Ejemplo: Calcule (x + y)
Si: (3x + 2y ; 1) = (12 ; 2x - y)
Solución:
Por igualdad:
3x + 2y = 12 x = 2
2x - y = 1 x = 3
U
A B
A  B
A
A
U
A
U
A
A  B
B

10. PRODUCTO CARTESIANO O CONJUNTO
PRODUCTO
Dado los conjuntos A y B no nulos, el conjunto
producto “AxB” es aquel conjunto cuyos elementos
son todos los pares ordenados, donde los primeros
componentes pertenecen al conjunto cuyos
elementos son todos los pares ordenados, donde los
primeros componentes pertenecen al conjunto A y
los segundos componentes al conjunto B.
Se define:
A x B {(a, b)/a  A  b B}
Ejemplo:
A = {1, 2, 3}
B = {a, b}
A x B = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b),(3,a),(3,b)}
B x A = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1),(b,2),(b,3)}
OBSERVACIÓN
 A x B  B x A  A  B
 A x B = B x A  A = B
 n(AxB) = n(A). n(B)
LEY DEL ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
A. CONMUTATIVA
   
   
   
A
B
B
A
A
B
B
A
A
B
B
A









B. ASOCIATIVA
   
   
C
B
A
C
B
A
C
B
A
C
B
A










C. DISTRIBUTIVA
     
C
A
B
A
C
B
A 





     
C
A
B
A
C
B
A 





D. ABSORCIÓN
 
 
   
   
B
A
B
c
A
A
B
A
B
c
A
A
A
B
A
A
A
B
A
A














E. DE D’NORGAN
   
   
c
B
c
A
c
B
A
c
B
c
A
c
B
A






OTROS
  c
B
A
B
A 


APLICACIONES
1. Cuántas de las siguientes proposiciones son
verdaderas.
     B
A
B
A
B
A 




    
C
B
A
c
C
B
A 




      
C
A
B
A
c
C
B
A 





 
     
C
A
B
A
C
B
B
A 






PROBLEMAS
1. Dado el    
 


 ,
,
a
,
a
A
   A
   A
   A


  
   
A
P
,
a 

    
   
A
P
,
,
a 


  
  A


¿Cuántos son verdaderos?
a) 4 b) 5 c) 6
d) 7 e) 8
2. Se tiene 3 conjuntos A, B y C tales que están
incluidos en el universo U, donde:
 A  C = C
   150
'
C
n 
   90
B
A
n c
c


  
   
C
n
6
C
B
A
n 


Calcule:  

n
a) 160 b) 80 c) 120
d) 220 e) 100

11. 3. Sí A = B, halle la suma de elementos de C.
 
 
 
A
x
/
x
C
y
,
2
B
3
,
1
2
A
2
x
x
x





a) 5 b) 2 c) 3
d) 8 e) 6
4. A y B son subconjuntos de U y se cumple que:
 A  B = 
 c
B tienen 512 subconjuntos
    
B
n
4
3
A
n 
 El número de subconjuntos de B excede el
número de subconjuntos propios de A en
193. ¿Cuántos subconjuntos tiene A?
a) 526 b) 2048 c) 1496
d) 684 e) 1024
5. Jessica sale a pasear todo los días con al menos
dos de sus 7 perritos que tiene. Si durante
cuatro meses consecutivos salió cada día con
un grupo diferente de perros. Indicar el
segundo de estos meses si el último mes tiene un
número impar de días.
a) Enero b) Marzo c) Febrero
d) Abril e) Diciembre
6. Dados los conjuntos unitarios.
 
14
,
b
a
A 

 
3
,
a
3
b
2
B 

Calcule  
    .
a
3
b
C
n
si
C
P
n 

a) 81 b) 82 c) 28
d) 64 e) 25
7. Si: C – B = , además:
   
6
,
7
,
3
,
2
,
0
C
B
A 


Calcular:  c
C
B
A 
 Sí:
A y C son disjuntos.
a)  
6
,
7
,
3
,
2
,
0 b)  c)  
6
,
3
,
2
d)  
0
,
5
,
2 e) B
A
8. Sean los conjuntos:
 
 
 
 
 
s
n
:
Calcule
3
a
b
/
AxB
b
,
a
S
6
,
5
,
4
,
3
B
4
,
3
,
2
,
1
A






a) 5 b) 3 c) 4
d) 8 e) 2
9. De un grupo de 120 personas: 50, 40 y 90 de
ellos leen las revistas A, B y C respectivamente,
¿Cuántas personas como máximo leen 3
revistas? Si todos las personas leen por lo
menos una de dichas revistas semanales.
a) 72 b) 144 c) 30
d) 82 e) 28
10. De una muestra recogida a 200 secretarias, 40
eran rubias, 50 eran morenas y 90 tienen ojos
azules, de estas últimas 65 no son rubias y 60
no son morenas. ¿Cuántas de las secretarias, no
eran rubias, morenas, ni tienen ojos azules?
a) 35 b) 48 c) 75
d) 60 e) 56
11. De una reunión a la cual asistieron 150
personas se ha observado que 60 son mujeres,
58 hombres no bailan, 25 mujeres bailan pero
no fuman, 20 mujeres fuman, 68 personas no
bailan ni fuman y 30 personas fuman. ¿Cuántas
mujeres no bailan y están fumando?
a) 13 b) 20 c) 18
d) 26 e) 24
12. De un grupo de 200 estudiantes se obtuvo la
siguiente información: 105 no estudian inglés;
110 no estudian alemán; 76 no estudian
francés; 58 estudian inglés, pero no alemán; 40
alemán pero no francés; 20 no estudian

12. ninguna de los 3 idiomas. Calcule cuántos
estudiantes estudian uno de estos cursos
solamente.
a) 120 b) 96 c) 85
d) 135 e) 117
13. De un grupo de 66 deportistas que practican
atletismo, fútbol o básquet se ha observado de
estos que 29 practican atletismo, 33
practicaban fútbol y 31 practicaban básquet; 11
practican atletismo y básquet, 13 practican
fútbol y básquet, 4 practican atletismo y fútbol.
¿Cuántos practican los 3 deportes?
a) 3 b) 2 c) 0
d) 1 e) 5
14. Sea el siguiente conjunto:
  
 

 ,
4
,
3
,
4
,
3
,
4
A
¿Cuántas de las siguientes proposiciones son
verdaderas?
i.   A   c A
ii. {4,3}  A  {4,3}  A
iii. n(A) = n(p(A)) – 27
iv. {{4}}  P(A)
a) 4 b) 3 c) 6
d) 2 e) 5
15. Si se cumple:
 
 
5
x
2
Z
x
/
x
x
B
9
3
x
2
1
N
x
/
x
A
4
3












Cuántos subconjuntos propios tiene (AB)
a) 24 b) 30 c) 76
d) 63 e) 62
16. De una encuesta de 60 personas se recogió la
siguiente información sobre el consumo de 3
productos.
 7 Personas consumen sólo A y B.
 6 Personas consumen sólo B y C.
 10 personas no consumen ningún
producto.
 20 personas no consumen el producto B.
¿Cuántas personas consumen solo uno de estos
productos o consumen los tres productos?
a) 34 b) 20 c) 16
d) 40 e) 18
17. En un De un grupo de 95 personas se observa
que:
 15 son atletas que practican el fútbol
y la natación.
 52 son atletas.
 55 son nadadores.
 Todos los futbolistas son atletas y 10
son deportistas que sólo practican el
atletismo.
 15 personas no practican los
deportes mencionados.
¿Cuántos deportistas son futbolistas?
a) 30 b) 40 c) 35
d) 32 e) 42
18. Determinar por comprensión el conjunto.
 
.....
..........
;.........
52
;
30
;
14
;
4
;
0
A 
a)  
0
x
,
IN
x
/
x
2
x2



b)  
0
x
,
IN
x
/
x
x 2
2



c)  
0
x
,
IN
x
/
2
x
x2




d)  
*
IN
x
/
3
x
5
x
2 2



e)  
*
IN
x
/
2
x
5
x
3 2



19. Dado el conjunto:
 
9
x
0
Z
x
/
4
x
5
x
A 2
2
4







Entonces:
I. El número cardinal de A es 7
II. La suma de los elementos de A
es 44
III.  
  8
P
n A

a) I y II b) II y III
c) I y III d) Sólo II
e) Sólo III

13. 20. Sea el conjuntos:   
 

 ,
b
,
a
,
a
A
Indicar cuál de las siguientes expresiones son
verdadera o falsas.
I.   A
a 
II.  
  A
a
, 

III.  
  A
a
,
b 
IV.   
   
A
P
b
, 

V.  
   
A
P
a
, 

VI.   
   
A
P
b
,
a 
VII.  
 
A
P
VIII.  
 
A
P
a) VVFFFVVV b) VFFFVVVF
c) VFFVVVVV d) VVFFVVVV
e) VVFFVVFF
21. Dados los conjuntos:
 
 
4
b
a
8
;
10
;
16
a
A 2





 
a
de
múltiplo
es
x
/
IN
x
M 

 
b
de
múltiplo
es
x
/
IN
x
N 

Hallar:  '
'
N
'
M 
Además:     2
A
n
y
IN
b
,
a 

a)  
24
de
múltiplo
es
x
/
x
b)  
18
de
múltiplo
es
x
/
x
c)  
12
de
múltiplo
es
x
/
x
d)  
20
de
múltiplo
es
x
/
x
e)  
15
de
múltiplo
es
x
/
x
236206
22. Dados los conjuntos
 
 
 
c
a
x
a
b
/
IN
x
C
5
;
a
;
3
B
c
a
;
b
;
1
a
A
2
2











donde: a  IN, b  IN y A = B
entonces afirmamos:
I. El número cardinal de C es 4
II. A  C = {4 ; 5}
III. C-A = { a }
Son ciertas:
a) I Y II b) I y III
c) II y III d) Todas
e) Sólo I
23. A, B y C son tres conjuntos, tales que
satisfacen las condiciones siguientes:
I. A está contenido en B y B está
contenido en C.
II. Si “x” es un elemento de C
entonces “x” también es un
elemento de A.
Decir cuál de los siguientes enunciados es
verdadero.
a) B no está contenido en A
b) C no está contenido en B.
c) A = B pero B  C.
d) La intersección de A y B es C.
e) La reunión de A con B tiene elementos
que no pertenecen al conjunto C.
24. Se tienen 3 conjuntos A, B y C subconjunto
de los enteros, tales que:

14.  
 
 
 
0
21
x
17
x
2
/
x
C
0
5
x
11
x
2
/
x
B
0
35
x
12
x
x
/
x
A
2
2
2












Y las proposiciones:
I. B  C = 
II. (B  C)  A
III. B C = A
IV. B – C = B
Son falsas:
a) Sólo III b) Sólo II
c) Sólo I d) III y IV
e) III y I
25. Dados los conjuntos A, B y C
     
 
0
22
x
....
3
x
2
x
1
x
/
IN
x
A 






 
primo
número
un
es
x
/
A
x
B 

 
impar
número
un
es
x
/
A
x
C 

Y las proposiciones:
I. B  C = {1 ; 2 ; 9 ; 15 ; 21}
II. (B  C) tiene 7 elementos
III. n(C - B) – n(B - C) = 2
IV. n [A–(BC)] = 9
Son verdaderas:
a) I, II y III b) I, III y IV
c) II, III y IV d) I, II y IV
e) I y II
26. Sea:
 
3
5
x
5
x
4
x
/
Z
x
A 



 
2
y
x
,
Z
y
/
A
x
B 




Hallar el complemento de B respecto a A es
decir: A – B
a) {0 ; 1} b) {0 ; 1 ; 4}
c) {-1; -2 ; 2} d) {-1 ; -2} e) {-2 ; -1}
27. Sean los conjuntos A y B:
 
   
 





,
4
,
,
4
B
;
4
A
Hallar:
  B
P A

a) {4} b) {, {4,}}
c) { , {4}} d) {{4},{4,}}
e) {{4},,{4,}}
28. Definamos la operación , entre dos
conjuntos A y B, mediante:
A  B = A’  B’
Entonces se cumple:
I. (A-B)  A = B  A’
II. (AB)  (AB)  (AA)  (BB)
III. A  (AB) = A’
Cuales con ciertas:
a) Todas b) I y II c) I y III
d) II y III e) Ninguna
29. Definimos la operación () entre tres
conjuntos A, B y C de la siguiente manera.
ABC= [(B - C) A’]  [(C-B)  A’]
(donde A, B y C son no vacíos y están
incluidos en un conjunto universal U )
Simplificar A  B  C, luego indicar la
verdad o falsedad de las siguientes
afirmaciones:
I. A B  C = C  B A
II. A A  A = A
III. n [A B’ C’] + n [ABC] ’= n(U)
a) FVF b) VVV c) VFV
d) FFV e) VVF
30. Sean los conjuntos:
 
2
;
1
A   
3
;
2
B  C =  
 
2
;
1
;

Además:  
 
B
A
2
2
x
/
x
Q 

Hallar el conjunto “E” siendo:
 
C
Q
2
E A




15. a) {1} b) {1;2} c) {{1}}
d) {{1},2} e) {;1}
“Nadie es más grande que quien está dispuesto a
que le señalen sus errores.”
Cusco,06/04/2022
 D&D AHT.
2
1
n
7
n
X
2
7
2434
E





