Este documento presenta una guía sobre ecuaciones no algebraicas, incluyendo ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Explica que las ecuaciones exponenciales tienen la incógnita en el exponente, mientras que las logarítmicas involucran logaritmos. Detalla métodos para resolver ambos tipos de ecuaciones, como igualar bases en ecuaciones exponenciales y usar propiedades de logaritmos para convertir ecuaciones logarítmicas en algebraicas. Incluye ejemplos resueltos de cada tipo de ecuación

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Guía Matemática
ECUACIONES NO ALGEBRAICAS
profesor: Nicol´as Melgarejo

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1. Ecuaciones no algebraicas
Se le denomina a aquellas igualdades con inc´ognitas que no est´an descritas mediante polinomios. Por
ejemplo las ecuaciones ax2 + bx + c = 0 y ax + b = 0 son ecuaciones polin´omicas o algebraicas, pero una
ecuaci´on del tipo
32x+1
= 2
no es algebraica, a este tipo de igualdades les denominamos ecuaciones exponenciales porque la inc´ogni-
ta est´a en el exponente. Otro ejemplo de ecuaci´on no algebraica son las del tipo
log(10x − 3) = log(x) + 1
A estas ecuaciones se les llama ecuaciones logar´ıtmicas y tambi´en las estudiaremos en este cap´ıtulo.
1.1. Ecuaci´on exponencial
Son las igualdades donde la inc´ognita est´a en el exponente. Para resolver este tipo de ecuaciones
debemos considerar dos propiedades:
4 xa = xb ⇐⇒ a = b
4 xa = ya ⇐⇒ x = y
Para aplicar estas propiedades en una ecuaci´on exponencial nuestro objetivo ser´a igualar las bases, de
tal modo que el problema se reduzca a resolver una ecuaci´on algebraica. Para entender c´omo proceder
veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Halla el valor de la inc´ognita para que la igualdad sea cierta.
1. 52x+3 = 625
Soluci´on: Recordar que el objetivo es igualar las bases, para ello podemos escribir 625 como 54
52x+3
= 625
52x+3
= 54
Aplicando la primera propiedad, como tenemos la igualdad entre dos potencias con la misma base,
entonces sus exponentes tambi´en tienen que ser iguales.
2x + 3 = 4
2x = 4 − 3
x =
1
2
2. 3a+2 = 1
Soluci´on: Como queremos igualar las bases podemos escribir 1 como 30
3a+2
= 1
3a+2
= 30
Como las bases son iguales podemos igualar los exponentes.
a + 2 = 0
a = −2
2

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3. 24x−5 + 5 = 69
Soluci´on:
24x−5
+ 5 = 69
24x−5
= 69 − 5
24x−5
= 64
24x−5
= 26
4x − 5 = 6
4x = 11
x =
11
4
4. 41−x −
3
64
= −
1
32
Soluci´on:
41−x
−
3
64
= −
1
32
41−x
=
3
64
−
1
32
41−x
=
3
64
−
2
64
41−x
=
1
64
41−x
=
1
43
41−x
= 4−3
1 − x = −3
1 + 3 = x
x = 4
Desaf´ıo I
¿Es cierto que si ax
+ ay
= az
entonces x + y = z para cualquier a, x, y, z ∈ R?
Respuesta
3

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Ejercicios 1
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales.
1. 3x − 243 = 0
2.
1
128
= 21−x
3. 2x+1 + 2x+1 = 1
4.
√
3x =
√
9x+1
5. 728 = 92x−3 − 1
6. 11x(x−1) = 100
7. Si 5a+3 = 1, entonces 5a+5 =
8. 12 · 2x + 2x+2 = 1
1
32x+3
4x−5
=
1
16
1 3x+2 + 3x+3 = 4
2. Logaritmo
Podemos entenderlo como el exponente al cual debe elevarse una base para obtener como resultado
un n´umero dado. Por ejemplo:
El logaritmo en base 3 de 9 es 2
Es decir, el exponente al que debemos elevar la base 3 para obtener 9 es 2. Lo anterior se escribe
matem´aticamente como:
log3 9 = 2
La relaci´on entre una potencia y la simbolog´ıa del logaritmo de manera general es:
loga b = c ⇐⇒ ac = b
Dicha relaci´on nos permite pasar de una simbolog´ıa a la otra. Cabe destacar que cuando no se explicita
la base, se asume que ´esta es 10.
log b = log10 b
Ejercicios 2
Hallar el valor de cada logatimo
1. El logaritmo en base 3 de 1
2. El logaritmo en base π de 1
3. El logaritmo en base 2 de 16
4. El logaritmo en base 100 de 100
5. El logaritmo en base π de π
6. El logaritmo en base 25 de
1
5
7. El logaritmo en base 2 de
1
2
8. El logaritmo en base 10 de
1
100
9. El logatirmo en base 8 de 2
√
2
10. El logatirmo en base 8 de 2
11. El logarimo en base 12 de 2
√
3
4

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2.1. Propiedades
Algunas de las propiedades m´as importantes de los logaritmos son:
El logaritmo loga b, est´a definido s´olo para a 0
Para loga b, no existe el logaritmo si b ≤ 0
Por ejemplo log −3 no existe, ya que no hay n´umero c ∈ R tal que 10c = −3 porque la base es
positiva.
Para cualquier a 0 se cumple que
loga a = 1
Es f´acil comprobarlo si escribimos el logaritmo como potencia:
loga a = c ⇐⇒ ac
= a
∴ c = 1
Para cualquier a 0 se cumple que
loga 1 = 0
Es f´acil comprobarlo si escribimos el logaritmo como potencia:
loga 1 = c ⇐⇒ ac
= 1
∴ c = 0
El logaritmo del producto de a por b es igual a la suma de los logaritmos de a y b
logc (a · b) = logc a + logc b
El logaritmo del cociente de a con b es igual a la diferencia de los logaritmos de a y b
logc
a
b
= logc a − logc b
El logaritmo de an es igual n veces el logaritmo de a
logc an = n · logc a
Podemos cambiar la base de un logaritmo cualquiera mediante la siguiente igualdad:
logc a =
logb a
logb c
5

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2.2. Ecuaci´on logar´ıtmica
Para resolver ecuaciones logar´ıtmicas debemos tener en cuenta la siguiente propiedad que nos permite
pasar de una ecuaci´on logar´ıtmica a una ecuaci´on algebraica.
logc a = logc b ⇐⇒ a = b
Es decir, si dos logaritmos con igual base son iguales, entonces sus argumentos tambi´en deben serlo.
Ejemplo
¿Para qu´e valor de x se cumple la igualdad?
1. log 3 = log (2x + 5)
Soluci´on: Como ambos logaritmos son iguales y tienen la misma base, entonces sus argumentos
deben ser iguales tambi´en.
log 3 = log (2x + 5)
3 = 2x + 5
3 − 5 = 2x
−2 = 2x
x = −1
Ahora debemos comprobar que la soluci´on sea v´alida. Ya que los logaritmos est´an definidos s´olo
para argumentos positivos. Reemplazamos x = −1 en el enunciado:
log 3 = log (2(−1) + 5)
log 3 = log 3
Como los argumentos son positivos, la soluci´on x = −1 es v´alida.
2. log 5 + log(2x + 3) = log x
Soluci´on: Aplicando la propiedad de la suma de logaritmos:
log 5 + log(2x + 3) = log x
log 5(2x + 3) = log x
5(2x + 3) = x
10x + 15 = x
15 = −9x
−
15
9
= x
−
5
3
= x
Ahora debemos comprobar que la soluci´on sea v´alida. Reemplazamos x = −
5
3
en la ecuaci´on lo-
gar´ıtmica:
log 5 + log(2x + 3) = log x
log 5 + log 2 −
5
3
+ 3 = log −
5
3
6

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Como el logaritmo de un n´umero negativo no existe, log −
5
3
no existe. Entonces x = −
5
3
no es
soluci´on v´alida y la ecuaci´on logar´ıtmica no tiene soluci´on en los reales.
3. log x2 − log 9 = 2
Soluci´on: Aplicando las propiedades de los logaritmos obtenemos
log x2
− log 9 = 2
2 log x − log 32
= 2
2 log x − 2 log 3 = 2
2(log x − log 3) = 2 Simplificamos por 2
log x − log 3 = 1 Recordar que log10 10 = 1
log x − log 3 = log 10
log
x
3
= log 10
x
3
= 10
x = 30
Ahora debemos comprobar que la soluci´on sea v´alida. Reemplazamos x = 30 en la ecuaci´on lo-
gar´ıtmica:
log
x
3
= log 10
log
30
3
= log 10
log (10) = log 10
No hay problemas con logaritmos de n´umeros negativos, entonces x = 30 es soluci´on de la ecuaci´on
logar´ıtmica.
Recuerda que SIEMPRE debes comprobar las solu-
ciones que obtienes en una ecuaci´on logar´ıtmica. Si
al reemplazar los valores te queda alg´un logaritmo de
un n´umero negativo, dicho valor no es soluci´on.
2.3. Aplicaci´on de logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales
Anteriormente vimos un m´etodo para resolver ecuaciones exponenciales, el cual consist´ıa en igualar las
bases. Pero no siempre es posible igualar las bases, en tal caso podemos aplicar la relaci´on entre logaritmo
y potencia para resolverlos. Veamos un ejemplo.
7

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Ejemplo
1. Resolver la ecuaci´on exponencial 7x+1 = 2x
Soluci´on: No podemos igualar bases, en tal caso aplicamos logaritmo a ambos miembros de la
igualdad.
7(x−1)
= 2x
log 7(x−1)
= log (2x
)
(x − 1) log 7 = x log 2
x log 7 − log 7 = x log 2
x log 7 − x log 2 = log 7
x(log 7 − log 2) = log 7
x =
log 7
log 7 − log 2
x =
log 7
log 7
2
Si aplicamos el cambio de base obtenemos
x = log7
2
7
Desaf´ıo II
Si log 3
√
a = 0, 1234 ¿cu´al es el valor de log a3
? Respuesta
Ejercicios 1
Determina y verifica las soluciones de cada ecuaci´on logar´ıtmica y exponencial
1. log2 (x + 1) = log2 2
2. log (3x + π) = 0
3. log (2x + 1) + log 7 = 1
4. log
√
x + log 2 = log (3x + 3)
5. log (x + 2) − log 2 = logπ π
6. log (x2 + 2x + 1) = log 1
9
7. 3x+5 = 10
8. 5x = 9
9. 22x+13x = 12
10. 2x+1 ÷ 3x = 0, 25
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Desaf´ıos resueltos
Desaf´ıo I: Es falso que si ax + ay = az, entonces z = x + y. Por ejemplo si a = 2, x = 1 e y = 2
ax
+ ay
= az
ax
+ ay
= a(x+y)
21
+ 22
= 21+2
2 + 4 = 23
6 = 8
Como el resultado es falso, lo que asumimos como cierto es falso. Volver
Desaf´ıo II: Podemos reescribir la expresi´on que conocemos:
log 3
√
a = 0, 1234
log a
1
3 = 0, 1234
1
3
log a = 0, 1234
log a = 3 · 0, 1234
log a = 0, 3702
Necesitamos saber log a2 que es equivalente a 2 log a y conocemos el valor de log a, entonces:
log a2
= 2 log a
= 2(0, 3702)
= 0, 7404
Volver
Bibliograf´ıa
[1 ] Apuntes de ´Algebra I, Tomo I, Segunda edici´on 1993, Facultad de Ciencias, USACH
Antonio Orellana Lobos.
[2 ] Apuntes ´Algebra, Edici´on 2003, Facultad de Ciencias, USACH
Ricardo Santander Baeza.
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