El documento describe el método de multiplicadores de Lagrange y las condiciones de Kuhn-Tucker para la optimización de funciones sujetas a restricciones. Explica que estos métodos permiten encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones reduciendo el problema a uno sin restricciones. Además, se aplican en economía, teoría de control y otros campos.

1. Instituto Universitario
Politécnico
“Santiago Mariño”
MÉTODO LAGRANGE &
KUHN TUCKER
OPTIMIZACIÓN DE SISTEMAS Y FUNCIONES
Daniel Paz
Ing. Sistemas ¨A¨

2. MÉTODO DE MULTIPLICADORES DE
LAGRANGE
Joseph-Louis Lagrange
Joseph-Louis Lagrange, bautizado como Giuseppe
Ludovico Lagrangia, también llamado Giuseppe Luigi
Lagrangia o Lagrange (25 de enero de 1736 en Turín 10 de abril de 1813 en París) fue un físico, matemático
y astrónomo italiano que después vivió en Prusia y
Francia. Lagrange trabajó para Federico II de Prusia, en
Berlín, durante veinte años. Lagrange demostró el
teorema del valor medio, desarrolló la mecánica
Lagrangiana y tuvo una importante contribución en
astronomía.

3. MÉTODO DE MULTIPLICADORES DE
LAGRANGE
En los problemas de optimización, el método de los multiplicadores de Lagrange, llamado así
en honor a Joseph Louis Lagrange, es un procedimiento para encontrar los máximos y
mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones.
Este método reduce el problema restringido con n
variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde
k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones
pueden ser resueltas más fácilmente. Estas nuevas
variables escalares desconocidas, una para cada
restricción, son llamadas multiplicadores de Lagrange.

4. MÉTODO DE MULTIPLICADORES DE
LAGRANGE
El método dice que los puntos donde la función tiene un extremo condicionado con k
restricciones, están entre los puntos estacionarios de una nueva función sin restricciones
construida como una combinación lineal de la función y las funciones implicadas en las
restricciones, cuyos coeficientes son los multiplicadores.
La demostración usa derivadas parciales y la regla de la
cadena para funciones de varias variables. Se trata de
extraer una función implícita de las restricciones, y
encontrar las condiciones para que las derivadas
parciales con respecto a las variables independientes de
la función sean iguales a cero.

5. ÁREAS IMPORTANTES DONDE ES APLICADO
Economía:
La optimización reprimida desempeña un papel central en la
economía. Por ejemplo, el problema selecto para un consumidor se
representa como uno de maximizar una función de utilidad sujeta a
una coacción de presupuesto. El multiplicador Lagrange tiene una
interpretación económica como el precio de la oposición asociado
con la coacción, en este ejemplo la utilidad marginal de ingresos .
Otros ejemplos incluyen la maximización de la ganancia para una
firma, junto con varias aplicaciones macro-económicas.

6. ÁREAS IMPORTANTES DONDE ES APLICADO
Teoría de control:
En la teoría de control óptimo, los multiplicadores de
Lagrange se interpretan como constantes variables, y
los multiplicadores de Lagrange se formulan de nuevo
como la minimización del hamiltoniano, en el
principio mínimo de Pontryagin.

7. OBJETIVOS DEL MÉTODO
 Visualizar algunas superficies cuádricas y curvas de nivel para distintos valores de la
variable z.
 Ø Identificar, a través de los simuladores, los puntos (x,y) sobre la curva correspondiente a
la función restricción donde la función principal tiene extremos.
 Ø
Interpretar gráficamente los resultados obtenidos empleando el método de
multiplicadores de Lagrange.
 Ø Aproximar las soluciones del problema a partir de la observación en el simulador, de las
curvas de nivel de la función principal y la curva correspondiente a la función
condicionante.
 Ø Adquirir habilidad en la resolución de problemas de optimización en un ambiente
computacional.

8. APLICACIÓN DEL MÉTODO I/II
Sea f (x) una función definida en un conjunto abierto n-dimensional {x ∈ Rn}.
Se definen s restricciones gk (x) = 0, k=1,..., s, y se observa (si las restricciones
son satisfechas) que:
Se procede a buscar un extremo para h
Lo que es equivalente a:

9. APLICACIÓN DEL MÉTODO II/II
 Para entender mejor explicaremos el procedimiento de la siguiente
manera:
 Se tiene una función y una restricción.
 Se iguala la restricción a 0.
 La restricción se multiplica por lambda y se resta de la función principal
 Se obtienen las derivadas parciales de la función resultante.
 Se construye un sistema de ecuaciones con estas derivadas.
 A continuación se obtienen los valores críticos desarrollando el sistema
de ecuaciones, en donde siempre el valor debe eliminarse para que se
puedan obtener los valores críticos de las variables.
 Se sustituyen los valores necesarios para sacar los puntos críticos.

10. CONDICIONES DE KARUSH-KUHN-TUCKER
Albert William Tucker
Albert William Tucker (28 de noviembre de 1905 – 25
de enero de 1995) fue un matemático estadounidense
nacido en Canadá que realizó importantes
contribuciones a la Topología, Teoría de juegos y a la
Programación no lineal.

11. CONDICIONES DE KARUSH-KUHN-TUCKER
En programación matemática, las condiciones de
Karush-Kuhn-Tucker (también conocidas como las
condiciones KKT o Kuhn-Tucker) son condiciones
necesarias y suficientes para que la solución de un
problema de programación matemática sea óptima.
Es una generalización del método de los
Multiplicadores de Lagrange

12. PROBLEMA GENERAL DE OPTIMIZACIÓN
Consideremos el siguiente problema general:
donde f(x) es la función objetivo a minimizar, gi(x) son las restricciones de
desigualdad y hj(x) son las restricciones de igualdad, con m y l el número de
restricciones de desigualdad e igualdad, respectivamente.
Las condiciones necesarias para problemas con restricciones de desigualdad
fueron publicadas por primera vez en la tesis de máster de W. Karush, aunque
fueron renombradas tras un artículo en una conferencia de Harold W. Kuhn y
Albert W. Tucker.

13. APLICACIÓN DEL MÉTODO I/II
¿Qué Queremos hacer?
 Queremos optimizar una función sujeta a una o más restricciones.
 El elemento más característico del método de Kuhn-Tucker es que
utilizaremos restricciones con desigualdad.
 Analíticamente queremos:
Opt f(xi) s.a. g(xi) ≤ ci

14. APLICACIÓN DEL MÉTODO II/II
Opt f(xi) s.a. g(xi) ≤ ci
para cualquier i =1, … n.
Si queremos Max f(xi)
Si Min f(xi)
λ>0
λ<0
Teniendo en cuenta que Max f(xi) = - Min f(xi)
Podremos construir la función lagranjiana de la forma:
L (xi , λi)= f(xi) - ∑λi( g(xi) – ci )

15. CONDICIONES DE KUHN-TUCKER I/II
A
B
CONDICIONES DE PRIMER ORDEN
∂ L (xi , λi)
∂ xi
=0
CONDICIONES DE HOLGURA
COMPLEMENTARIA
λi( g(xi) – ci ) = 0

16. CONDICIONES DE KUHN-TUCKER II/II
C
En todos los casos debemos
comprobar que se cumple:
g(xi) ≤ ci
D
Los multiplicadores de Lagrange deben
coincidir con el problema de
optimización:
Si maximizamos, es λ > 0 ?
Si minimizamos, es λ < 0 ?

17. IMPORTANCIA DEL MÉTODO
La importancia de este teorema radica en que nos
muestra que podemos asociar una función de utilidad
a unas preferencias, esto nos abre la puerta de la
potente herramienta del análisis matemático para el
estudio del comportamiento.

18. CAMPO DE APLICACIÓN
Básicamente el procedimiento consiste en resolver el problema no lineal como uno sin
restricciones, luego si la solución óptima de dicho problema no cumple la totalidad o parte
de las restricciones del problema se activan dichas restricciones (en conjunto y/o
secuencialmente) y se resuelve nuevamente. Esto se repite hasta llegar a un conjunto de
restricciones activas cuya solución también satisface las restricciones omitidas. Esta
característica particular de los modelos no lineales permite abordar problemas donde
existen economías o de economías de escala o en general donde los supuestos asociados a
la proporcionalidad no se cumplen.