Este documento introduce ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Explica qué son ecuaciones exponenciales y logarítmicas, y presenta varios ejemplos resueltos de ecuaciones de este tipo para ilustrar cómo resolverlas.

1. 183Álgebraytrigonometría
Introducción
En este módulo se introduce, se resuelve y se propone una serie de ejercicios en
que intervienen ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Se utilizan los conceptos
estudiados en los módulos 14 y 15.
Objetivos
1. Definir en qué consiste una ecuación exponencial y una logarítmica.
2. Conocer diversas aplicaciones en que intervienen ecuaciones exponenciales y
logarítmicas.
Preguntas básicas
1. ¿Qué es una ecuación exponencial?
2. ¿Cómo se define una ecuación logarítmica?
Contenido
16.1 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
16.1.1 Ecuación exponencial y logarítmica
Vea el módulo 16 del
programa de televisión
Álgebra y trigonometría
Visite el sitio
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AlgebraTrigonometria/
16
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

2. 184
16.1 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
16.1.1 Ecuación exponencial y logarítmica
Una ecuación que contiene funciones exponenciales o logarítmicas se llama, res-
pectivamente, ecuación exponencial o ecuación logarítmica. Estas ecuaciones son
condicionales en el sentido que se satisfacen sólo para uno o varios valores de la
variable independiente.
Ejemplo17
Resuelva para x y para y el siguiente sistema:
2 2
log log
log log 8,
2 4 .x y
x
xy
y
Solución
De la segunda igualdad se tiene que

3. 2loglog 2 2log log
4 2 2 2 .
yy y y
Como
2
log log
2 2 ,x y se tiene que 2
log logx y y por tanto 2
.x y
Reemplazando en la primera ecuación:

9. 2 3 2
3 3
2
log log 8,
log log log log 8,
3log log 3log log 8,
4log 2log 8,
8log 8.
y y
y y y y
y y y y
y y
y
Por tanto:
log 1y y log 1.y
10y y
1
.
10
y
Como 2
,x y se obtiene que las parejas que satisfacen el anterior sistema de
ecuaciones son:
(100, 10) y
1 1
, .
100 10
§ ·
¨ ¸
© ¹
Ejemplo18
Resuelva para x la siguiente ecuación:

10. log 5 log log 2.x x
Capítulo6:Funcionesexponencialylogarítmica

11. 185Álgebraytrigonometría
Módulo16:Ecuacionesexponencialesylogarítmicas
Solución
Se sabe que

12. 5
log 5 log log .
x
x x
x
§ ·
¨ ¸
© ¹
Por tanto,
5
log log 2.
x
x
§ ·
¨ ¸
© ¹
O sea, 5
2;
x
x
5 2 ;x x 5.x
Si reemplazamos el valor hallado, en la ecución original, se tiene que:

14. log 5 5 log 5 log 2.
Como no están definidos los logaritmos de números negativos, la ecuación original
no tiene una solución en los reales.
Ejemplo19
Resuelva para x la ecuación
2
5
4 · 2 8.x x
Solución
Se sabe que

15. 2
2 2
2 2
4 2 2 .
xx x
La ecuación original, por consiguiente, se convierte en
2
2 5
2 · 2 8.x x
2
2 5 3
2 2 .x x
O sea que:
2
2 5 3 0.x x
Entonces, 3x y
1
.
2
x
Ejemplo20
Resuelva la ecuación 2
6 0.x x
e e
Solución
2
6 0x x
e e es equivalente a la ecuación 2
( ) 6 0.x x
e e
Factorizando se tiene que ( 3)( 2) 0.x x
e e
Si 3 0x
e se tiene que 3x
e y por tanto:
ln ln3,x
e
ln ln3,
ln3.
x e
x

16. 186
Si ex
+ 2 = 0 resulta que ex
= 2 y esta expresión no tiene solución porque 0x
e !
para todo .x
Ejemplo21
Resuelva la ecuación 2 3
3 0.x x
x e x e
Solución
Factorizando el lado izquierdo de la ecuación se tiene:
2 3
2 3
2
3 0,
(3 ) 0,
(3 ) 0.
x x
x
x
x e x e
x x e
x x e
Por tanto:
x2
= 0 o 3 + x = 0 o ex
= 0.
La ecuación ex
= 0 no tiene solución porque 0x
e ! para todo ;x por tanto
x = 0 y x = 3 son las únicas soluciones.
Ejemplo22
Resuelva para x la ecuación 4 + 3 log (2 x) = 16.
Solución
4 + 3 log (2x) = 16 equivale a afirmar que 3 log (2x) = 12.
O sea que log (2x) = 4.
Por tanto,
2x = 104
,
x =5.000.
Ejemplo23
Resuelva para x la ecuación log ( 2) log ( 1) 1.x x
Capítulo6:Funcionesexponencialylogarítmica

17. 187Álgebraytrigonometría
Módulo16:Ecuacionesexponencialesylogarítmicas
Solución
log (x + 2) + log (x – 1) = 1,
log (x + 2) (x – 1) = 1,
(x + 2) (x – 1) = 10,
x2
+ x – 2 = 10,
x2
+ x – 12 = 0,
(x + 4) (x – 3) = 0.
Por tanto x = –4 o x = 3. La solución x = –4 se desecha por no existir logaritmo de
números negativos.
Ejemplo24
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:
2x + y = 4,
log2
(x + 7) + log2
(y – 1) = 3.
Solución
De la ecuación 2x + y = 4 se tiene que y = 4 – 2x que lo reemplazamos en la otra
ecuación para obtener:
log2
(x + 7) + log2
(3 – 2x) = 3,
(x + 7 ) (3 – 2x) = 8,
–2x2
– 11x + 21 = 8,
2x2
+ 11x – 13 = 0.
Resolviendo la ecuación cuadrática se obtiene que x = 1 o
13
.
2
x
Para x = 1 se obtiene y = 2 en la ecuación y = 4 – 2x.
Para
13
2
x se obtiene y = 17 en la ecuación y = 4 – 2x.

18. 188
Capítulo6:Funcionesexponencialylogarítmica
Ejemplo25
Resuelva para x la ecuación log2
(log3
x) = 4.
Solución
Si se llama z = log3
x se tiene que log2
z = 4 y por tanto z = 24
= 16.
Reemplazando este valor en la ecuación original se tiene que:
log3
x = z o sea que log3
x = 16.
Por tanto x = 316
.
Ejemplo26
Resuelva para x la ecuación 4x
– 2x + 1
= 3.
Solución
Como 4x
= (22
)x
= 22x
, la ecuación original se convierte en:
2 1
2 2 3x x
.
Por tanto 2
(2 ) 2.2 3 0.x x
La anterior ecuación es una ecuación cuadrática en 2x
cuya solución se calcula así:
2
2 2 12 2 4
2 .
2 2
x r r
Por tanto 2x
= 3 ó 2 1.x
De lo anterior se sigue que:
x = log2
3.
La expresión 2 1x
no es solución porque 2x
0 para todo .x