Este documento presenta conceptos básicos sobre series de Fourier. Explica que una función periódica puede representarse mediante una serie trigonométrica de Fourier, cuyos coeficientes se calculan usando fórmulas de Euler. También cubre temas como simetrías par e impar, convergencia de la serie, y desarrollos de medio rango para funciones definidas en intervalos parciales.

1. SERIES DE FOURIER

2. CONCEPTOS BASICOS
g Función Periódica
f ( x) es PERIODICA si está definida ∀x ∈ ¡ y si ∃T > 0
tal que f ( x + T ) = f ( x), donde T se llama período.

3. g SERIE TRIGONOMETRICA
a0 ∞ nπ x nπ x
+ ∑ an cos( ) + bn sen( ) donde an , bn ∈ ¡ se
2 n =1 L L
llaman coeficientes de la serie.

4. gSIMETRIAS
∗ f ( x) es PAR si f ( − x) = f ( x) , ∀x. En este caso :
a a
G f es simétrica respecto al eje Y. Además, ∫
−a
f ( x )dx = 2 ∫ f ( x )dx
0

5. ∗ g ( x) es IMPAR si g ( − x) = − g ( x) , ∀x. En este caso :
a
Gg es simétrica respecto al origen. Además, ∫ g ( x)dx = 0
−a

6. g RELACIONES DE ORTOGONALIDAD
L mπ x nπ x
∫− L sen( L ) cos( L )dx = 0
L mπ x nπ x  0 si m ≠ n
∫− L sen( L ) sen( L )dx =  L si m = n

L mπ x nπ x  0 si m ≠ n
∫− L cos( L ) cos( L )dx =  L si m = n


7. INTERROGANTES QUE SURGEN
Dada una función f ( x)
¿ Será posible representarla mediante una serie trigonométrica ?
¿ Qué condiciones debe cumplir la función f ( x) ?
¿ Bajo qué hipótesis se puede garantizar convergencia de la serie
trigonométrica ?
¿ Converge la serie trigonométrica a la función f ( x) ?
¿ Cuándo se habla de Serie de Fourier ?

8. TEOREMA Sea f ( x) una función tal que :
i) Es periódica de período T = 2 L
ii) f ( x) y f ' ( x) son seccionalmente continuas en [ − L, L ]
entonces f ( x) se puede representar por la Serie de Fourier
a0 ∞ nπ x nπ x
f ( x) = + ∑ an cos( ) + bn sen( )
2 n =1 L L
cuyos coeficientes están dados por las fórmulas de Euler
nπ x
L
1
an = ∫ f ( x) cos( )dx, n = 0,1, 2,...
L −L L
nπ x
L
1
bn = ∫ f ( x ) sen( )dx, n = 0,1, 2,...
L −L L

9. OBSERVACION
a0 ∞ nπ x
i) Si f ( x) es par entonces f ( x) = + ∑ an cos( )
2 n =0 L
nπ x
L
2
donde an = ∫ f ( x) cos( ) dx , n = 0,1, 2,...
L0 L
∞
nπ x
ii) Si f ( x) es impar entonces f ( x) = ∑ bn sen( )
n=0 L
nπ x
L
2
donde bn = ∫ f ( x) sen( ) dx , n = 1, 2,3,...
L0 L

10. TEOREMA ( DE CONVERGENCIA )
Sea f ( x) una función tal que :
i) Es periódica de período T = 2 L
ii) Es seccionalmente continua en [ − L, L ]
iii) Admite derivada por la izquierda y por la derecha
en cada punto de [ − L, L ] . Entonces :
a0 ∞ nπ x nπ x
la Serie de Fourier + ∑ an cos( ) + bn sen( ) converge :
2 n=0 L L
(a) Al valor f ( x) en cada punto en el cual f es continua.
f ( x− ) + f ( x+ )
(b) Al valor en cada punto en el que f es discontinua.
2

11. DESARROLLOS DE MEDIO RANGO
Sea f ( x) una función definida solamente en [ 0, L ] .
Es posible realizar una prolongación de f ( x ) en todo ¡ que
tenga características de periodicidad.
Pueden realizarse dos tipos de prolongaciones :
PAR
IMPAR

12. i) EXTENSION PERIODICA PAR DE f ( x)
En este caso :
a0 ∞ nπ x
f ( x ) = + ∑ an cos( )
2 n =0 L
2 L nπ x
con an = ∫ f ( x) cos( ) dx , n = 0,1, 2,...
L 0 L

13. ii) EXTENSION PERIODICA IMPAR DE f ( x)
En este caso :
∞
nπ x
f ( x) = ∑ bn sen( )
n=0 L
2 L nπ x
con bn = ∫ f ( x)sen( ) dx , n = 1, 2,...
L 0 L

14. SERIE DE FOURIER GENERALIZADA
Un conjunto de funciones { φn ( x)} n =0 se llama ORTOGONAL en [ a,b ] si
∞
b
∫
a
φn ( x)φm ( x)dx = 0,si n ≠ m
b 2
Si n = m ⇒ ∫ φ ( x) dx = φn ( x)
2
n es la norma cuadrada de φn ( x)
a
Un conjunto de funciones { φn ( x)} n =0 se llama ORTOGONAL CON
∞
RESPECTO A UNA FUNCION DE PESO w( x) en [ a,b ] si
b
∫ a
φn ( x)φm ( x) w( x)dx = 0 ,si n ≠ m

15. ¿ Es posible determinar un conjunto de coeficientes Cn para los cuales
∞
(∗) f ( x) = ∑ Cnφn ( x) ?
n =0
USE LA
ORTOGONALIDAD
PARA DEDUCIR
QUE
b
(∗∗) Cn =
∫
a
f ( x)φn ( x) w( x)dx 2 b
; donde φn ( x ) = ∫ φn2 ( x ) w( x )dx
2
φn ( x ) a
La serie (∗) con coeficientes dados por ( ∗∗) se llama SERIE
DE FOURIER GENERALIZADA DE f ( x)