Este documento describe diferentes aplicaciones del cálculo integral para calcular áreas, volúmenes y longitudes de arco. Explica cómo calcular el área de una región plana entre dos curvas integrando la diferencia de las funciones. También describe métodos como el de los discos y el de las arandelas para calcular volúmenes de revolución, así como el cálculo de áreas y volúmenes en coordenadas polares y paramétricas. Por último, introduce conceptos como integrales impropias y criterios de convergencia.

1. [AYUDANTE: FRANCISCO VALENZUELA RIQUELME] Cálculo Aplicado
Observación: Algunas veces es más conveniente
RESUMEN APLICACIONES DE LA calcular el área integrando respecto a la variable y en
INTEGRAL vez de la variable x.
1.2.- ÁREA DE REGIONES EN COORDENADAS
1.- CÁLCULO DE ÁREAS PLANAS
POLARES
DEFINICIÓN DEL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA 1

A    2 ( )d
f continua en [a,b], con f ( x)  0 ; R es la región 2
limitada por la curva y=f(x), el eje x y las rectas x=a y
x=b. 1.3.- ÁREA DE REGIONES EN FORMA
n
PARAMÉTRICA
A  Lim f (ci )x t2
x  i 1
A   y (t ) x' (t )dt
(b  a) t1
Con: x  ; i-ésimo subintervalo = [xi-1,xi] ;
n
f(ci) valor de función mínimo absoluto en el i-ésimo 2.- CÁLCULO DE VOLÚMENES
subintervalo.
SUMATORIAS IMPORTANTES 2.1.- VOLÚMENES DE REVOLUCIÓN: EL MÉTODO
DE LOS DISCOS
b bc b b c
 f (i) 
i a
 f (i  c) y
i a c
 f (i) 
i a
 f (i  c)
i  a c
Si giramos una región del plano alrededor de un eje
obtenemos un sólido de revolución. El más simple de
n ellos es el cilindro circular recto o disco.
[ f (i)  f (i  1)]  f (n)  f (0)
i 1 2.1.1 DEFINICIÓN DEL VOLUMEN DE UN SÓLIDO
n
n(n  1) Sea S un sólido tal que la medida del área de la sección
i 
i 1 2 plana está dada por A(x), donde A es continua en [a,b],
entonces:
n
n(n  1)(2n  1)
i
i 1
2

6
b
V   A( x)dx
a
n
n (n  1)
2 2
i 3

4
*Un cilindro circular recto de radio r y altura h tiene un
i 1 área de su sección plana de:
1.1.- ÁREA DE UNA REGIÓN ENTRE 2 CURVAS A( x)    r 2 Entonces:
Si f y g son funciones continuas en [a,b] y se verifica que h
g ( x)  f ( x) xe[a, b] , entonces el área de la región V   A( x)dx    r 2  h
0
limitada por las gráficas de f y g, las rectas verticales
x=a y x=b es: Para ver cómo usar el volumen del disco para calcular
b
el volumen de un sólido de revolución general,
A   [ f ( x)  g ( x)]dx consideremos una función continua f(x) definida en el
a
intervalo [a,b], cuya gráfica, junto con las rectas x=a,
x=b, y=0, conforman el recinto R. Si giramos R
Observaciones: alrededor del eje OX, obtenemos un sólido de
revolución.
-Cómo suele ocurrir, unas veces se cumple que
g ( x)  f ( x) y otras veces que g ( x)  f ( x) , entonces el Eligiendo una partición regular de [a,b]:
área de la región comprendida entre f y g sobre el a=x0<x1<…..< xn-1< xn=b
intervalo [a,b], viene dado por la fórmula:
Se obtienen n discos cuya suma se aproxima al volumen
b
de sólido por:
A   f ( x)  g ( x) dx
a n
Lim  f (ci )( xi xi 1 )
2
*No se suele trabajar con el valor absoluto, puesto que x  i 1
es más fácil dibujar las gráficas de f y g, calculando los
puntos de intersección de ambas, y sumar una o más Por lo tanto, recordando la definición de la integral
integrales para obtener el área deseada. definida de Riemann se obtiene que:

2. [AYUDANTE: FRANCISCO VALENZUELA RIQUELME] Cálculo Aplicado
b
3.2.- COORDENADAS PARAMÉTRICAS
V     f 2 ( x)dx
a t1
l   [ x' (t )]2  [ y ' (t )]2 dt
Además, si se toma el eje de revolución vertical, es decir t0
giramos alrededor del eje OY, tenemos:
d 3.2.- COORDENADAS POLARES
V     f 2 ( y )dy
c 
l 

[  ' ( )]2  [  ( )]2 d
2.2.- VOLÚMENES DE REVOLUCIÓN: EL MÉTODO
DE LAS ARANDELAS
4.- ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE
Si tenemos 2 funciones continuas f(x) y REVOLUCIÓN
g(x) definidas en [a,b], con
0  g ( x)  f ( x) y las rectas x=a y x=b,
GIRO EJE HORIZONTAL
el volumen engendrado se calcula por:
b
A( s)  2  y ( x) 1  [ y ' ( x)]2 dx
d
V     [ f 2 ( x)  g 2 ( x)]dx
a
c
2.3.- VOLÚMENES DE REVOLUCIÓN: EL MÉTODO GIRO EJE HORIZONTAL
DE CAPAS CILÍNDRICAS b
A( s)  2  y ( x) 1  [ y ' ( x)]2 dx
EJE HORIZONTAL DE REVOLUCIÓN a
b
V  2  ( x 2  x1 ) ydy
5.- INTEGRALES IMPROPIAS
0
EJE VERTICAL DE REVOLUCIÓN Definición 1(de integrales impropias): Si f es
continua en (, ) , y c es cualquier número real
a
entonces:
V  2  ( y 2  y1 ) xdx
0  c b
 f ( x)dx  Lim  f ( x)dx  Lim  f ( x)dx
a  a b  c
2.4.- VOLÚMENES DE REVOLUCIÓN: 
COORDENADAS PARAMÉTRICAS Y POLARES Si el límite existe, se dice que la integral impropia
converge; de lo contrario, la integral impropia diverge.
EJE HORIZONTAL DE REVOLUCIÓN (OX)
b Definición 2(de integrales impropias con
V    y (t ) x' (t )dt
2 discontinuidad) : Si f es continua en [a, b] excepto en c
0 entonces:
EJE VERTICAL DE REVOLUCIÓN (OY) b t b
b  f ( x)dx  Lim  f ( x)dx  Lim  f ( x)dx
t c  t c 
V    x (t ) y ' (t )dt
2 a a t
0
5.1.- CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA
INTEGRALES IMPROPIAS
3.-LONGITUD DE ARCO
3.1.- COORDENADAS CARTESIANAS
Si la función y=f(x) representa una curva suave en el
intervalo [a,b], la longitud del arco de f entre a y b viene
dada por:
b
l   1  [ f ' ( x)]2 dx
a