Este documento presenta las técnicas de integración y propiedades fundamentales de la integración. Enlista 26 propiedades de la integración como la linealidad, integración de funciones elementales como polinomios, exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas. También presenta ejemplos resueltos de integración aplicando dichas propiedades.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre series y integrales de Fourier. En la primera sección se define la serie de Fourier de una función periódica y se describen sus propiedades de diferenciación e integración. Luego, se explican conceptos como convergencia de series, funciones seccionalmente continuas y suaves. Finalmente, se introducen las integrales de Fourier para funciones no periódicas y su aplicación en el análisis de señales.
Este documento describe diferentes aplicaciones del cálculo integral para calcular áreas, volúmenes y longitudes de arco. Explica cómo calcular el área de una región plana entre dos curvas integrando la diferencia de las funciones. También describe métodos como el de los discos y el de las arandelas para calcular volúmenes de revolución, así como el cálculo de áreas y volúmenes en coordenadas polares y paramétricas. Por último, introduce conceptos como integrales impropias y criterios de convergencia.
Este documento contiene 30 problemas de ángulos y geometría para resolver. Cada problema presenta una figura geométrica con ángulos desconocidos y preguntas sobre las medidas de dichos ángulos. El objetivo es calcular las medidas de los ángulos dados la información proporcionada en cada figura como líneas paralelas, perpendiculares, bisectrices y relaciones entre ángulos.
Este documento describe el modelo de máquina de Turing, una máquina abstracta capaz de representar cualquier algoritmo. Una máquina de Turing consiste en un conjunto de estados, símbolos, reglas de transición y una cinta donde se realizan cálculos. Las máquinas de Turing pueden aceptar lenguajes formales recursivamente enumerables y son los reconocedores de lenguaje más poderosos que existen.
Espero sea de utilidad para todos aquellos que cursan C{alculo Diferencial o Matemática I. Recuerden que en la perseverancia esta el exito, y disfruten de cada cosa que hagan, total " a mal tiempo buena cara"
Este documento resume los temas fundamentales del curso de Cálculo Avanzado impartido por el profesor Carlos Silva en la Universidad de Santiago de Chile, incluyendo funciones reales de varias variables, límites y continuidad, derivadas parciales, diferenciabilidad, regla de la cadena, derivación implícita y algunas ecuaciones en derivadas parciales.
Este documento trata sobre la inductancia en circuitos eléctricos. Explica que la inductancia L se opone a los cambios en la corriente y almacena energía magnética. Describe cómo se calcula la inductancia de una bobina en función de su geometría y número de vueltas. También cubre la inductancia mutua entre bobinas y el comportamiento de circuitos RC con inductancia, donde la corriente se establece más lentamente debido a la oposición de L al cambio en la corriente.
Este documento presenta conceptos clave sobre el campo eléctrico y la ley de Gauss, incluyendo: (1) la definición del campo eléctrico y sus ecuaciones para diferentes distribuciones de carga, (2) la introducción de las líneas de fuerza eléctricas y sus características para varias distribuciones de carga, y (3) la definición del flujo eléctrico y la formulación matemática de la ley de Gauss.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre series y integrales de Fourier. En la primera sección se define la serie de Fourier de una función periódica y se describen sus propiedades de diferenciación e integración. Luego, se explican conceptos como convergencia de series, funciones seccionalmente continuas y suaves. Finalmente, se introducen las integrales de Fourier para funciones no periódicas y su aplicación en el análisis de señales.
Este documento describe diferentes aplicaciones del cálculo integral para calcular áreas, volúmenes y longitudes de arco. Explica cómo calcular el área de una región plana entre dos curvas integrando la diferencia de las funciones. También describe métodos como el de los discos y el de las arandelas para calcular volúmenes de revolución, así como el cálculo de áreas y volúmenes en coordenadas polares y paramétricas. Por último, introduce conceptos como integrales impropias y criterios de convergencia.
Este documento contiene 30 problemas de ángulos y geometría para resolver. Cada problema presenta una figura geométrica con ángulos desconocidos y preguntas sobre las medidas de dichos ángulos. El objetivo es calcular las medidas de los ángulos dados la información proporcionada en cada figura como líneas paralelas, perpendiculares, bisectrices y relaciones entre ángulos.
Este documento describe el modelo de máquina de Turing, una máquina abstracta capaz de representar cualquier algoritmo. Una máquina de Turing consiste en un conjunto de estados, símbolos, reglas de transición y una cinta donde se realizan cálculos. Las máquinas de Turing pueden aceptar lenguajes formales recursivamente enumerables y son los reconocedores de lenguaje más poderosos que existen.
Espero sea de utilidad para todos aquellos que cursan C{alculo Diferencial o Matemática I. Recuerden que en la perseverancia esta el exito, y disfruten de cada cosa que hagan, total " a mal tiempo buena cara"
Este documento resume los temas fundamentales del curso de Cálculo Avanzado impartido por el profesor Carlos Silva en la Universidad de Santiago de Chile, incluyendo funciones reales de varias variables, límites y continuidad, derivadas parciales, diferenciabilidad, regla de la cadena, derivación implícita y algunas ecuaciones en derivadas parciales.
Este documento trata sobre la inductancia en circuitos eléctricos. Explica que la inductancia L se opone a los cambios en la corriente y almacena energía magnética. Describe cómo se calcula la inductancia de una bobina en función de su geometría y número de vueltas. También cubre la inductancia mutua entre bobinas y el comportamiento de circuitos RC con inductancia, donde la corriente se establece más lentamente debido a la oposición de L al cambio en la corriente.
Este documento presenta conceptos clave sobre el campo eléctrico y la ley de Gauss, incluyendo: (1) la definición del campo eléctrico y sus ecuaciones para diferentes distribuciones de carga, (2) la introducción de las líneas de fuerza eléctricas y sus características para varias distribuciones de carga, y (3) la definición del flujo eléctrico y la formulación matemática de la ley de Gauss.
1. Se describe el movimiento de una partícula ultrarrelativista sometida a una fuerza central como un movimiento armónico unidimensional. La partícula oscila entre posiciones -L y L, donde L depende de la fuerza y el momento inicial.
2. El movimiento de los quarks dentro de un mesón se modela como dos partículas oscilando entre posiciones -L y L. Cada quark tiene la mitad de la energía del mesón y su movimiento es simétrico respecto del otro quark.
3. Usando las transformaciones de Lore
El documento describe un problema de física sobre la excitación de iones mediante luz láser. 1) Para excitar todos los iones cuya velocidad está entre 0 y 6000 m/s, la longitud de onda del láser debe estar entre 600 y 600.012 nm. 2) El espectro de velocidades de los iones depende del potencial acelerador U aplicado a los iones. 3) Sin aplicar voltaje, la luz de los dos niveles de energía se solapa; el valor mínimo de U para separarlos es 160 V.
Este documento contiene la guía número 2 del curso de Matemática II. Incluye 7 secciones con ejercicios sobre aproximaciones de áreas bajo curvas usando rectángulos, cálculo de integrales definidas, volúmenes de sólidos de revolución, y determinación de convergencia de integrales impropias. Los profesores son Josè Ollarves, Nancy Requena, Aida Ulacio, Arnaldo Mèndez y Ariel Luna en la Universidad Francisco de Miranda.
Este documento presenta varios problemas relacionados con conceptos de cálculo como derivadas, extremos, puntos de inflexión y gráficas. Incluye preguntas verdadero/falso, ejercicios para completar, encontrar extremos y derivadas de funciones, y relacionar gráficas con sus propiedades.
Este documento presenta dos problemas resueltos relacionados con la física de partículas y la relatividad especial. El primer problema involucra un interferómetro de neutrones y calcula el área del rombo formado por los caminos de los neutrones, la diferencia en el camino óptico debido a la gravedad, y el número de ciclos observados al rotar el interferómetro. El segundo problema analiza la contracción de Lorentz de una barra en movimiento al ser fotografiada, calculando la posición aparente de un segmento de la barra y su
Este documento resume los principales conceptos y métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. En primer lugar, explica cómo resolver ecuaciones diferenciales de primer orden separables, exactas y lineales. Luego, presenta ejemplos de aplicación en diversos problemas físicos. Finalmente, detalla métodos como variación de constantes y coeficientes indeterminados para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales y no lineales.
Este documento describe las funciones y operadores relacionados con los números complejos en C++. Estas funciones se implementan a través de la clase compleja y se encuentran en la biblioteca matemática de números complejos de C++. La clase compleja sobrecarga operadores y funciones como exp, log, sen, cos, etc. para trabajar con números complejos. El documento explica cómo usar constructores, funciones polares y cartesianas, funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, e inserción y extracción de números complejos.
Este documento describe las funciones y operadores relacionados con los números complejos en C++. Incluye constructores, funciones para convertir entre coordenadas cartesianas y polares, funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas para números complejos, y operadores aritméticos y de comparación para números complejos. También describe las funciones de entrada y salida para números complejos.
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOSEDWIN RONALD CRUZ RUIZ
1. El documento presenta las identidades trigonométricas para la suma y diferencia de dos ángulos.
2. Incluye fórmulas básicas como sen(x+y)=senxcose+senycosx y ejercicios resueltos que aplican estas identidades.
3. El documento concluye con una práctica dirigida de 11 ejercicios para que los estudiantes apliquen lo aprendido.
El documento presenta el algoritmo de optimización por colonia de hormigas (ACO), inspirado en el comportamiento de las hormigas. ACO modela una colonia de agentes que exploran soluciones aplicando reglas probabilísticas basadas en feromonas depositadas, representando la experiencia colectiva. Las hormigas construyen soluciones de forma concurrente y la feromona guía la búsqueda hacia regiones prometedoras, logrando una exploración balanceada entre intensificación y diversificación. ACO se ha aplicado exitosamente a problemas de rute
El documento presenta conceptos básicos de cálculo diferencial como límites, continuidad, derivadas y tangentes. Explica que la derivada proporciona un método para calcular la pendiente de una recta tangente mediante el uso de rectas secantes convergentes a un punto.
i) El documento define ángulos en posición normal, cuadrantales y coterminales. Explica cómo calcular las razones trigonométricas para estos ángulos y sus propiedades.
ii) Se describen las relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos coterminales y negativos.
iii) Se provee información sobre los signos de las razones trigonométricas en cada cuadrante y fórmulas para calcular expresiones trigonométricas.
Este documento define ángulos en posición normal y sus razones trigonométricas. Explica que un ángulo está en posición normal cuando su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con el eje x positivo. Proporciona fórmulas para calcular las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal en función de las coordenadas de un punto en su lado final. También define ángulos cuadrantales y coterminales y proporciona valores de las razones trigonométricas para ángulos cuadrantales comunes.
Este documento presenta una actividad práctica para enseñar proposiciones, operadores lógicos y tablas de verdad usando un robot. Explica estos conceptos lógicos de forma teórica y describe una actividad donde los estudiantes observan el comportamiento de un robot programado para construir tablas de verdad que describan su funcionamiento. El objetivo es que los estudiantes apliquen sus conocimientos lógicos para representar situaciones a través de tablas de verdad usando un robot como herramienta de aprendizaje.
Este documento presenta un examen de tres problemas sobre sistemas lineales para estudiantes de ingeniería. El primer problema involucra muestreo de señales, transformadas de Fourier, respuestas impulso y energía de señales. El segundo problema trata sobre la combinación de subsistemas en cascada, respuestas impulso, estabilidad y respuestas a excitaciones. El tercer problema pide determinar la inversa de una transformada de Fourier dada.
Simulacion de material granular utilizando el metodo de elementos discretos p...Faustino Neri
Este documento describe un método para simular materiales granulares utilizando el método de elementos discretos paralelizado con GPU. El método representa el material como una colección de partículas esféricas rígidas que interactúan a través de colisiones y fuerzas. El método ordena espacialmente las partículas para detectar eficientemente las colisiones utilizando la GPU.
El documento presenta información sobre las razones trigonométricas de ángulos notables. Explica que ciertos triángulos rectángulos tienen proporciones conocidas entre sus lados dependiendo de las medidas de sus ángulos agudos. Luego, muestra los triángulos notables de 45°, 30°-60° y algunos aproximados como 37°-53°. Finalmente, incluye ejercicios resueltos como ejemplos.
1) Este documento introduce conceptos básicos de pruebas de hipótesis estadísticas, incluyendo definiciones de hipótesis estadísticas y pruebas de hipótesis. 2) Explica cómo dividir la variable de prueba en regiones de no rechazo y crítica para determinar si se rechaza o no la hipótesis nula. 3) Discuten los errores tipo I y II y cómo minimizarlos al seleccionar la región crítica.
Este documento describe series de potencias y sus propiedades. Introduce la definición de una serie de potencias y discute su convergencia y radio de convergencia. Presenta ejemplos de series de potencias comunes y teoremas sobre las propiedades de las funciones representadas por series de potencias.
Este documento resume las leyes de Gauss y Coulomb, así como sus aplicaciones. Explica que la ley de Gauss relaciona la densidad de carga eléctrica con el campo eléctrico, mientras que la ley de Coulomb describe la fuerza entre cargas eléctricas puntuales. Luego, presenta un ejemplo de cálculo de la densidad lineal de carga de un hilo infinito a partir de la masa, carga y velocidad final de una partícula cargada. Finalmente, distingue entre conductores, donde el campo eléctrico
Este documento presenta un solucionario de problemas de análisis matemático para estudiantes de ciencia e ingeniería. Contiene la solución detallada de numerosos ejercicios correspondientes a temas como sistemas de números reales, ecuaciones, funciones, límites y derivadas. El autor, Eduardo Espinoza Ramos, busca que este volumen sirva de complemento práctico al texto teórico de análisis matemático para apoyar el aprendizaje de los estudiantes universitarios.
Este documento describe la aplicación de control multivariable avanzado en un horno flash en Codelco Norte. El proyecto involucró el desarrollo de un modelo del proceso y una aplicación de control predictivo para estabilizar variables clave como la temperatura del eje y la concentración de magnetita, logrando mejoras en la disponibilidad y eficiencia del proceso. La implementación requirió trabajo multidisciplinario y capacitación a operadores, obteniendo resultados positivos en términos de estabilidad y rendimiento del horno.
1. Se describe el movimiento de una partícula ultrarrelativista sometida a una fuerza central como un movimiento armónico unidimensional. La partícula oscila entre posiciones -L y L, donde L depende de la fuerza y el momento inicial.
2. El movimiento de los quarks dentro de un mesón se modela como dos partículas oscilando entre posiciones -L y L. Cada quark tiene la mitad de la energía del mesón y su movimiento es simétrico respecto del otro quark.
3. Usando las transformaciones de Lore
El documento describe un problema de física sobre la excitación de iones mediante luz láser. 1) Para excitar todos los iones cuya velocidad está entre 0 y 6000 m/s, la longitud de onda del láser debe estar entre 600 y 600.012 nm. 2) El espectro de velocidades de los iones depende del potencial acelerador U aplicado a los iones. 3) Sin aplicar voltaje, la luz de los dos niveles de energía se solapa; el valor mínimo de U para separarlos es 160 V.
Este documento contiene la guía número 2 del curso de Matemática II. Incluye 7 secciones con ejercicios sobre aproximaciones de áreas bajo curvas usando rectángulos, cálculo de integrales definidas, volúmenes de sólidos de revolución, y determinación de convergencia de integrales impropias. Los profesores son Josè Ollarves, Nancy Requena, Aida Ulacio, Arnaldo Mèndez y Ariel Luna en la Universidad Francisco de Miranda.
Este documento presenta varios problemas relacionados con conceptos de cálculo como derivadas, extremos, puntos de inflexión y gráficas. Incluye preguntas verdadero/falso, ejercicios para completar, encontrar extremos y derivadas de funciones, y relacionar gráficas con sus propiedades.
Este documento presenta dos problemas resueltos relacionados con la física de partículas y la relatividad especial. El primer problema involucra un interferómetro de neutrones y calcula el área del rombo formado por los caminos de los neutrones, la diferencia en el camino óptico debido a la gravedad, y el número de ciclos observados al rotar el interferómetro. El segundo problema analiza la contracción de Lorentz de una barra en movimiento al ser fotografiada, calculando la posición aparente de un segmento de la barra y su
Este documento resume los principales conceptos y métodos para resolver ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. En primer lugar, explica cómo resolver ecuaciones diferenciales de primer orden separables, exactas y lineales. Luego, presenta ejemplos de aplicación en diversos problemas físicos. Finalmente, detalla métodos como variación de constantes y coeficientes indeterminados para resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales y no lineales.
Este documento describe las funciones y operadores relacionados con los números complejos en C++. Estas funciones se implementan a través de la clase compleja y se encuentran en la biblioteca matemática de números complejos de C++. La clase compleja sobrecarga operadores y funciones como exp, log, sen, cos, etc. para trabajar con números complejos. El documento explica cómo usar constructores, funciones polares y cartesianas, funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas, e inserción y extracción de números complejos.
Este documento describe las funciones y operadores relacionados con los números complejos en C++. Incluye constructores, funciones para convertir entre coordenadas cartesianas y polares, funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas para números complejos, y operadores aritméticos y de comparación para números complejos. También describe las funciones de entrada y salida para números complejos.
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOSEDWIN RONALD CRUZ RUIZ
1. El documento presenta las identidades trigonométricas para la suma y diferencia de dos ángulos.
2. Incluye fórmulas básicas como sen(x+y)=senxcose+senycosx y ejercicios resueltos que aplican estas identidades.
3. El documento concluye con una práctica dirigida de 11 ejercicios para que los estudiantes apliquen lo aprendido.
El documento presenta el algoritmo de optimización por colonia de hormigas (ACO), inspirado en el comportamiento de las hormigas. ACO modela una colonia de agentes que exploran soluciones aplicando reglas probabilísticas basadas en feromonas depositadas, representando la experiencia colectiva. Las hormigas construyen soluciones de forma concurrente y la feromona guía la búsqueda hacia regiones prometedoras, logrando una exploración balanceada entre intensificación y diversificación. ACO se ha aplicado exitosamente a problemas de rute
El documento presenta conceptos básicos de cálculo diferencial como límites, continuidad, derivadas y tangentes. Explica que la derivada proporciona un método para calcular la pendiente de una recta tangente mediante el uso de rectas secantes convergentes a un punto.
i) El documento define ángulos en posición normal, cuadrantales y coterminales. Explica cómo calcular las razones trigonométricas para estos ángulos y sus propiedades.
ii) Se describen las relaciones entre las razones trigonométricas de ángulos coterminales y negativos.
iii) Se provee información sobre los signos de las razones trigonométricas en cada cuadrante y fórmulas para calcular expresiones trigonométricas.
Este documento define ángulos en posición normal y sus razones trigonométricas. Explica que un ángulo está en posición normal cuando su vértice coincide con el origen y su lado inicial coincide con el eje x positivo. Proporciona fórmulas para calcular las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal en función de las coordenadas de un punto en su lado final. También define ángulos cuadrantales y coterminales y proporciona valores de las razones trigonométricas para ángulos cuadrantales comunes.
Este documento presenta una actividad práctica para enseñar proposiciones, operadores lógicos y tablas de verdad usando un robot. Explica estos conceptos lógicos de forma teórica y describe una actividad donde los estudiantes observan el comportamiento de un robot programado para construir tablas de verdad que describan su funcionamiento. El objetivo es que los estudiantes apliquen sus conocimientos lógicos para representar situaciones a través de tablas de verdad usando un robot como herramienta de aprendizaje.
Este documento presenta un examen de tres problemas sobre sistemas lineales para estudiantes de ingeniería. El primer problema involucra muestreo de señales, transformadas de Fourier, respuestas impulso y energía de señales. El segundo problema trata sobre la combinación de subsistemas en cascada, respuestas impulso, estabilidad y respuestas a excitaciones. El tercer problema pide determinar la inversa de una transformada de Fourier dada.
Simulacion de material granular utilizando el metodo de elementos discretos p...Faustino Neri
Este documento describe un método para simular materiales granulares utilizando el método de elementos discretos paralelizado con GPU. El método representa el material como una colección de partículas esféricas rígidas que interactúan a través de colisiones y fuerzas. El método ordena espacialmente las partículas para detectar eficientemente las colisiones utilizando la GPU.
El documento presenta información sobre las razones trigonométricas de ángulos notables. Explica que ciertos triángulos rectángulos tienen proporciones conocidas entre sus lados dependiendo de las medidas de sus ángulos agudos. Luego, muestra los triángulos notables de 45°, 30°-60° y algunos aproximados como 37°-53°. Finalmente, incluye ejercicios resueltos como ejemplos.
1) Este documento introduce conceptos básicos de pruebas de hipótesis estadísticas, incluyendo definiciones de hipótesis estadísticas y pruebas de hipótesis. 2) Explica cómo dividir la variable de prueba en regiones de no rechazo y crítica para determinar si se rechaza o no la hipótesis nula. 3) Discuten los errores tipo I y II y cómo minimizarlos al seleccionar la región crítica.
Este documento describe series de potencias y sus propiedades. Introduce la definición de una serie de potencias y discute su convergencia y radio de convergencia. Presenta ejemplos de series de potencias comunes y teoremas sobre las propiedades de las funciones representadas por series de potencias.
Este documento resume las leyes de Gauss y Coulomb, así como sus aplicaciones. Explica que la ley de Gauss relaciona la densidad de carga eléctrica con el campo eléctrico, mientras que la ley de Coulomb describe la fuerza entre cargas eléctricas puntuales. Luego, presenta un ejemplo de cálculo de la densidad lineal de carga de un hilo infinito a partir de la masa, carga y velocidad final de una partícula cargada. Finalmente, distingue entre conductores, donde el campo eléctrico
Este documento presenta un solucionario de problemas de análisis matemático para estudiantes de ciencia e ingeniería. Contiene la solución detallada de numerosos ejercicios correspondientes a temas como sistemas de números reales, ecuaciones, funciones, límites y derivadas. El autor, Eduardo Espinoza Ramos, busca que este volumen sirva de complemento práctico al texto teórico de análisis matemático para apoyar el aprendizaje de los estudiantes universitarios.
Este documento describe la aplicación de control multivariable avanzado en un horno flash en Codelco Norte. El proyecto involucró el desarrollo de un modelo del proceso y una aplicación de control predictivo para estabilizar variables clave como la temperatura del eje y la concentración de magnetita, logrando mejoras en la disponibilidad y eficiencia del proceso. La implementación requirió trabajo multidisciplinario y capacitación a operadores, obteniendo resultados positivos en términos de estabilidad y rendimiento del horno.
La Unión Europea ha acordado un embargo petrolero contra Rusia en respuesta a la invasión de Ucrania. El embargo prohibirá la mayoría de las importaciones de petróleo ruso a la UE y se implementará de manera gradual durante los próximos seis meses. Algunos países de la UE aún dependen en gran medida del petróleo ruso y buscarán exenciones al embargo.
El documento presenta un capítulo introductorio de un libro sobre creatividad. Habla sobre la nada como punto de partida para crear, pensar e imaginar. Menciona que abordar el tema de la creatividad es un desafío ya que es impredecible e indefinible. Explica que la creatividad es una característica primordial del ser humano y requiere de una actitud positiva para explorar e innovar.
1) El documento habla sobre las características de la personalidad creadora y las divide en cuatro categorías: características de la personalidad, aptitudes, motivación y actitudes.
2) Dentro de las características de la personalidad se encuentran la preferencia por la complejidad, la apertura a nuevas experiencias y la tolerancia a la ambigüedad.
3) Las aptitudes incluyen el pensamiento divergente con capacidades como la fluidez, la flexibilidad y la originalidad.
Este documento presenta la Unidad 1 de Análisis Matemático II sobre la aproximación de funciones continuas. La unidad cubre series de números, incluyendo criterios de convergencia como el criterio de comparación y el teorema de Leibniz. También introduce el teorema de aproximación de Weierstrass, el cual establece que toda función continua puede aproximarse uniformemente por polinomios. La unidad concluye con actividades para practicar los conceptos aprendidos.
Este documento presenta el sílabo del curso de Análisis Matemático II dictado en la Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo. El curso dura 7 semanas y cubre temas como integrales indefinidas, integrales definidas, integrales de varias variables, integrales de línea e integrales de superficie. Los estudiantes serán evaluados a través de dos exámenes parciales, cuatro prácticas calificadas y su asistencia y participación en clase.
Este documento presenta el silabo de la asignatura de Matemática Básica para estudiantes de Ingeniería Civil. El curso cubre temas como lógica proposicional, teoría de conjuntos, inducción matemática, matrices, determinantes, sistemas de ecuaciones lineales, vectores en R2, R3 y Rn, y geometría analítica plana y del espacio a lo largo de 15 semanas. El objetivo general es que los estudiantes aprendan y apliquen los principios y leyes matemáticas elementales para anal
Este documento describe los procesos pirometalúrgicos para obtener cobre metálico a partir de minerales y concentrados. Explica que la pirometalurgia consta de tres etapas: fusión, conversión y refinación. En la fusión se separan el eje rico en cobre y la escoria usando hornos como el reverbero o hornos de fusión flash. Luego la conversión convierte el eje en cobre blister usando un convertidor. Finalmente la refinación produce cobre electrolítico de alta pureza.
Este documento describe 4 sesiones de aprendizaje sobre temas de formación ciudadana y cívica. Cada sesión incluye datos informativos como el nombre, duración y objetivos de aprendizaje. También presenta las actividades planificadas como organizarse en grupos para investigar en internet y elaborar presentaciones. La evaluación se basa en criterios como la comprensión de la información y el respeto a ideas ajenas. El objetivo general es promover la reflexión sobre temas como la convivencia social, el patrimonio natural del Perú y la educación vial.
diseno-y-seleccion-de-una-viga-para-un-puente-gruaSergio Daniel
Este documento presenta el diseño de un procedimiento para el cálculo y selección de la viga principal de un puente grúa. Describe los cálculos estructurales requeridos para dimensionar la viga considerando las fuerzas externas y los esfuerzos admisibles. Presenta diferentes tipos de vigas como de perfil laminado, de alma llena y de alma llena doble, y analiza su comportamiento estructural mediante métodos como el LRFD y simulaciones por elementos finitos. El objetivo es establecer el proceso para seleccionar la
EOI · 15/12/2011 · http://a.eoi.es/2yt
El objetivo de la jornada es presentar ante los asistentes tres procedimientos distintos sobre como generar innovación en la empresa, celebrando, tras la exposición de cada uno de ellos, el necesario debate para clarificar y consolidar las ideas expuestas.
Dado que todos los sistemas de innovación contienen, como elemento importante de su estructura, la creatividad y puesto que tal elemento es poco conocido y escasamente utilizado por el personal de las empresas, se introducen dos talleres de generación de ideas para que los asistentes puedan, cuando menos, familiarizarse con el concepto de creatividad y su adecuada utilización dentro de los sistemas de innovación.
El documento describe las etapas del proceso pirometalúrgico para la obtención de cobre a partir de minerales sulfurados, el cual incluye concentración, tostación, fundición, conversión y refinación. El objetivo es transformar el cobre contenido en los minerales en cobre metálico puro a través de reacciones químicas mediadas por el calor y la oxidación.
Este documento presenta una guía para la elaboración de presupuestos. Explica que el presupuesto es una herramienta importante para la planeación, organización, dirección y control de una empresa. Define los presupuestos y describe sus funciones, importancia, objetivos, tipos y proceso de elaboración. También cubre temas como la clasificación de presupuestos, principios presupuestarios y la importancia de la coordinación entre departamentos para la integración del presupuesto maestro.
Este documento presenta el plan de estudios para la asignatura de Presupuesto que se dicta en la Universidad Tecnológica del Chocó "Diego Luis Córdoba" para el programa de Administración de Empresas. El documento contiene cinco capítulos que abordan conceptos generales sobre presupuestos, la metodología para elaborar presupuestos, la planeación de mercadeo y presupuestos comerciales, el control de presupuestos y la auditoría de presupuestos. El objetivo es dotar a los estudiantes de herramient
Este documento habla sobre la importancia de la privacidad y la seguridad en la era digital. Explica que debido al gran volumen de datos personales que se comparten en línea, es crucial que las empresas protejan esta información de manera responsable para mantener la confianza de los clientes. También señala que todos debemos ser conscientes de los riesgos potenciales y tomar medidas para salvaguardar nuestra privacidad en Internet.
Los metales se dividen en ferrosos y no ferrosos. Los metales ferrosos contienen hierro como elemento principal e incluyen acero, hierro y fundiciones. Los metales no ferrosos no contienen hierro y se subdividen en pesados, ligeros y ultraligeros como el cobre, estaño, plomo, zinc, aluminio y magnesio. Los documentos describen las propiedades y usos de varios metales importantes.
La Unión Europea ha acordado un paquete de sanciones contra Rusia por su invasión de Ucrania. Las sanciones incluyen restricciones a las transacciones con bancos rusos clave y la prohibición de la venta de aviones y equipos a Rusia. Los líderes de la UE esperan que las sanciones aumenten la presión económica sobre Rusia y la disuadan de continuar su agresión contra Ucrania.
Este documento presenta una guía teórica y ejercicios sobre integrales definidas directas y por sustitución. Explica los pasos a seguir para resolver cada tipo de integral definida y provee ejemplos ilustrativos. Luego, enlista una serie de 11 ejercicios para que el estudiante resuelva aplicando los métodos explicados.
El documento presenta conceptos fundamentales sobre carga eléctrica. Explica que la carga es una propiedad de la materia y describe sus características como la polarización y cuantización. Presenta la ley de Coulomb y ecuaciones para calcular la fuerza eléctrica entre cargas discretas y distribuciones de carga continua. Incluye ejemplos de problemas y su solución.
El documento trata sobre la carga eléctrica y sus propiedades. Explica que la carga es una propiedad fundamental de la materia y que puede ser positiva o negativa. Describe la cuantización de la carga y la conservación de la misma. También presenta la ley de Coulomb y cómo se puede aplicar a distribuciones de carga discretas, volumétricas, superficiales y lineales. Finalmente, incluye algunos problemas de física resueltos sobre fuerzas eléctricas.
El documento trata sobre la carga eléctrica y sus propiedades. Explica que la carga es una propiedad fundamental de la materia y que puede ser positiva o negativa. Describe la cuantización de la carga y la conservación de la misma. También presenta la ley de Coulomb y cómo se puede aplicar a distribuciones de carga discretas, volumétricas, superficiales y lineales. Finalmente, incluye algunos problemas de física resueltos sobre fuerzas eléctricas.
Este documento presenta una guía de estudio sobre técnicas de integración para el cálculo integral. Incluye ejercicios para evaluar integrales usando diferentes métodos como sustitución, partes, trigonométrica y aproximación. También propone situaciones para aplicar los conceptos de integración y evalúa la comprensión del estudiante identificando el método adecuado para diferentes integrales.
Este documento describe las funciones trigonométricas y sus propiedades fundamentales. Introduce las funciones seno, coseno y tangente y explica que son periódicas y fueron sistematizadas por Newton, Leibniz y Euler. Define el dominio y rango de una función y ofrece sugerencias para calcularlos. También define funciones pares, impares, crecientes y decrecientes y explica la notación gráfica de ampliaciones, reflexiones y desplazamientos de funciones sinusoidales.
Este documento presenta conceptos fundamentales sobre carga eléctrica y su interacción. Explica que la carga eléctrica es una propiedad de la materia que puede ser positiva o negativa y que se cuantiza. Describe la ley de Coulomb sobre la fuerza eléctrica entre cargas puntuales y cómo se puede generalizar para distribuciones de carga discretas, volumétricas, superficiales y lineales. Finalmente, proporciona ejemplos para ilustrar estas ideas.
1. El documento habla sobre el cálculo diferencial y la derivada. Explica conceptos como la recta tangente, la pendiente de una curva en un punto, y cómo calcular la derivada de una función.
2. También cubre reglas para calcular derivadas como la derivada de funciones constantes, polinómicas, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.
3. Finalmente, presenta conceptos como valores críticos y cómo usar derivadas para encontrar máximos y mínimos relativos.
1. El documento habla sobre el cálculo diferencial y la derivada. Explica conceptos como la recta tangente, la pendiente de una curva en un punto, y cómo calcular la derivada de una función.
2. También presenta fórmulas para calcular derivadas como la derivada de funciones polinómicas, exponenciales, logaritmos y trigonométricas.
3. Finalmente, cubre temas como valores críticos, máximos y mínimos relativos, y el procedimiento para resolver problemas de optimización.
El documento presenta una definición y propiedades sobre el cálculo de primitivas. Explica que una función F es primitiva de otra f si la derivada de F es igual a f. Luego, detalla algunas primitivas inmediatas como la integral de funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y racionales.
Este documento define las funciones, sus propiedades y operaciones básicas. Una función asigna un único valor de llegada a cada valor de salida en su dominio. Las funciones pueden ser pares, impares o periódicas dependiendo de sus simetrías. Se pueden sumar, multiplicar por un número o componer funciones. No todas las funciones tienen inversa.
1. El documento presenta fórmulas para calcular integrales de funciones elementales como potencias, logaritmos, exponenciales y trigonométricas. También incluye métodos para integrales más complejas mediante sustitución, partes o identidades trigonométricas.
Este documento describe el método de Crank-Nicholson para resolver la ecuación de difusión. El método discretiza el espacio en elementos finitos y el tiempo en pasos discretos. Se aproxima la solución mediante funciones lineales por elementos. Esto conduce a un sistema de ecuaciones matriciales que relaciona los valores de la solución en los nodos en cada paso de tiempo. El método proporciona una aproximación numérica estable y precisa de la solución de la ecuación de difusión.
Este documento introduce el concepto de integral indefinida o antiderivada. Explica que una antiderivada F(x) de una función f(x) cumple que F'(x) = f(x). Presenta varias técnicas para calcular antiderivadas como el uso de fórmulas estándares, propiedades de linealidad e integración directa. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular antiderivadas algebraicamente usando estas técnicas.
Este documento presenta una introducción a la integral indefinida. Explica que la integral indefinida de una función f(x) es el conjunto de todas sus primitivas de la forma F(x)+C. Luego lista varias integrales inmediatas como ∫dx, ∫xndx, ∫senxdx, y explica métodos como el cambio de variable y la integración por partes.
1) Los espacios métricos son conjuntos donde se ha definido una función de distancia entre puntos que cumple con tres axiomas. 2) Se presentan ejemplos de espacios métricos como los números reales con la métrica usual, el espacio euclidiano y el espacio de funciones continuas. 3) También se describen otras métricas como la métrica del ascensor, la métrica de correos y la métrica del taxi.
Este documento resume los problemas resueltos de la XIV Olimpiada Internacional de Física celebrada en Rumania en 1983. En el primer problema se analiza el movimiento de una partícula bajo la acción de dos fuerzas. En el segundo problema se estudia un circuito RC serie-paralelo y se calcula su impedancia, potencia y frecuencia de resonancia. El documento proporciona detalles matemáticos y gráficos para explicar las soluciones a ambos problemas.
Este documento describe varias aplicaciones de la integral definida, incluyendo el cálculo de áreas, volúmenes de revolución y áreas entre curvas. Explica que la integral puede usarse para calcular áreas de forma más rápida que los métodos griegos antiguos. Luego, detalla fórmulas para calcular el área bajo una curva, el área entre dos curvas, el volumen de un sólido de revolución usando discos o arandelas, y provee ejemplos ilustrativos de cada aplicación.
(1) La tabla presenta fórmulas para integrales inmediatas, incluyendo integrales de funciones racionales, trigonométricas y exponenciales. (2) Se proporcionan ejemplos para ilustrar cada fórmula. (3) El documento ofrece una guía rápida para calcular integrales comunes.
Este documento presenta una guía de estudio para la asignatura de Cálculo Integral. La guía incluye competencias y resultados de aprendizaje relacionados con la derivación de funciones y el análisis de funciones reales. También contiene actividades como trazar gráficas de funciones, derivar funciones, y verificar identidades trigonométricas.
Similar a Nuevo 2010 i_tecnicas de integracion_utp(2) (20)
1. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWARE
Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN
INTEGRACIÓN DIRECTA
De cada regla de derivación se puede deducir una regla correspondiente de
integración. La integración directa es aplicable cuando identificamos la función primitiva
de forma inmediata; esto es, cuando conocemos la regla de derivación que al aplicarla
nos permite hallar el integrando a partir de la función primitiva.
EJEMPLO: 2xdx x2 c, c ; porque D x2 c 2x
x
PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LA INTEGRACIÓN
P2. Si f y f están definidas en el mismo dominio, entonces
1 2
P1. k f x dx k f x dx, k
f x f x dx f x dx f x dx
1 2 1 2
Esta propiedad indica que podemos sacar un factor
constante de la integral. Esta propiedad indica la linealidad de la integración
P3. Si f , f , … y f están definidas en el mismo
1 2 n
dominio, entonces
n n
k .f x dx k. f x dx , k P4. Si k , entonces kdx k.x c, c ,
i i i i i
i 1 i 1
Esta propiedad indica la linealidad de la integración
P6. Sea r diferente de 1 , entonces
xr 1
P5. dx x c, c xr dx c, c .
r 1
xr 1
También k.xr dx k c, k y c
r 1
1
P7. x 1dx dx Ln x c, c P8. e x dx ex c, c
x
ax
P10. a 0 a 1: a x dx c, c
Ln a
P9. Ln x dx xLn x x c, c
x '
SUG.: a a x Ln a
1
2. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWARE
Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
P11. sen x dx cos x c, c
P12. cos x dx sen x c, c
P13. sec 2 x dx tan x c, c P14. csc 2 x dx cot x c, c
P16. csc x cot x dx csc x c, c
P15. sec x tan x dx sec x c, c
1 1
P17. dx arcsen x c, c P18. dx arctan x c, c
1 x2 1 x2
1 P20. senh x dx cosh x c, c
P19. dx arc sec x c, c
x x2 1
P21. cosh x dx senh x c, c P22. sec h2 x dx tanh x c, c
P23. csc h2 x dx coth x c, c P24. sec h x tanh x dx sec h x c, c
f' x
P25. csc h x coth x dx csc h x c, c P26. dx Ln f x c, c
f x
PRACTICA DIRIGIDA DE AULA
Calcule las integrales indefinidas que se indican, aplique las propiedades en cada caso.
8 x4 3 x2 9
1. 3 x 4 dx 2. cos x 5sen x 7 dx 3. dx
3 x3
4 2
4. cot 2 x 1 tan2 x dx 5. x x 3 dx 6. 7 dx
x5 x2
sec x 2 se n x
7. dx 8. dx 9. dx
cos2 x
3
tan x cot x x
6 x2 8 x
10. x 2 dx 11. ex 3 x 2 dx 12. dx
x3 2x 2
2
3. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWARE
Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
SOLUCIONARIO
1. SOLUCIÓN: 3x 4 dx
Propiedad 2: 3x 4 dx 3 xdx 4dx
x1 1
Propiedad 4 y 6: 3x 4 dx 3 4 x c, c
1 1
Por lo tanto:
3 x2
3x 4 dx 4 x c, c
2
2. SOLUCIÓN: cos x 5sen x 7 dx
Propiedad 3:
cos x 5sen x 7 dx cos x dx 5 sen x dx 7 dx
Propiedad 11, 12 y 5:
cos x 5sen x 7 dx sen x 5 cos x 7 x c, c
Por lo tanto:
cos x 5sen x 7 dx sen x 5 cos x 7 x c, c
3
4. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWARE
Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
8 x4 3 x2 9
3. SOLUCIÓN: dx
3 x3
Efectuando la división, se obtiene:
8 x4 3 x2 9 8x
dx x 1 3 x 3 dx
3 x3 3
Propiedad 3:
8 x4 3 x2 9 8
dx xdx x 1dx 3 x 3 dx
3 x3 3
Propiedad 6 y 7:
8 x4 3 x2 9 8 x1 1 x 3 1
dx Ln x 3 c, c
3 x3 3 1 1 3 1
Por lo tanto:
8 x4 3 x2 9 8 x2 3x 2
dx Ln x c, c
3 x3 6 2
4. SOLUCIÓN: cot 2 x 1 tan2 x dx
Simplificando el integrando, se obtiene:
cot 2 x 1 tan2 x dx cot 2 x 1 dx csc 2 x dx
Por lo tanto, por la propiedad 14:
cot 2 x 1 tan2 x dx cot x c, c
4
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Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
5. SOLUCIÓN: x x 3 dx
Arreglando el integrando, se obtiene:
1/ 2 3/2 1/ 2
x x 3 dx x x 3 dx x 3x dx
Propiedad 3 y 6:
3/2 1 1/ 2 1
3/2 1/ 2 x x
x x 3 dx x dx 3 x dx 3 c, c
3/2 1 1/ 2 1
Por lo tanto:
5/2
2x 3/2
x x 3 dx 2x c, c
5
4 2
6. SOLUCIÓN: 7 dx
x5 x2
4 2
Arreglando el integrando, se obtiene: 7 dx 7 4x 5 2x 2 dx
x5 x2
Propiedad 3 y 6:
4 2 x 5 1 x 2 1
7 dx 7 dx 4 x 5 dx 2 x 2 dx 7x 4 2 c, c
x5 x2 5 1 2 1
Por lo tanto:
4 2
7 dx 7x x 4 2x 1 c, c
x5 x2
5
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Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
sec x
7. SOLUCIÓN: dx
tan x cot x
Arreglando el integrando, se obtiene:
sec x sec x sec x cos x s en x
dx dx dx sen x dx
tan x cot x sen x cos x sen2 x cos2 x
cos x s en x
Por lo tanto, por la Propiedad 11:
sec x
dx cos x c, c
tan x cot x
2
8. SOLUCIÓN: dx
3x
2 2 1/ 3
Arreglando el integrando, se obtiene: dx dx 2x dx
3x x1/ 3
Por lo tanto, por la Propiedad 6:
2 2/3
dx 3x c, c
3x
sen x
9. SOLUCIÓN: dx
cos2 x
sen x
Arreglando el integrando, se obtiene: dx tan x sec x dx
cos2 x
Por lo tanto, por la Propiedad 15:
sen x
dx sec x c, c
cos2 x
6
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Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
10. SOLUCIÓN: x 2 dx
Por lo tanto, por la Propiedad 6:
x 2 1
x 2 dx c x 1 c, c
2 1
11. SOLUCIÓN: ex 3 x 2 dx .
Por la Propiedad 3:
ex 3 x 2 dx e x dx 3 x 2 dx
Por lo tanto, por la Propiedad 6 y 8:
x2 1
ex 3 x 2 dx ex 3 c ex x3 c, c
2 1
6 x2 8 x
12. SOLUCIÓN: dx
x3 2x 2
Arreglando el integrando, se obtiene:
2 3 x2 4x
6 x2 8 x
dx dx
x3 2x 2 x3 2x 2
Por lo tanto, por la Propiedad 1 y 26:
6 x2 8x 3 x2 4x
dx 2 dx 2Ln x3 2x 2 c, c
3 2 3 2
x 2x x 2x
7
8. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
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INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN
En muchas ocasiones, cuando la integración directa no es tan obvia, es posible resolver
la integral simplemente con hacer un cambio de variable adecuado; este procedimiento se
conoce como integración por sustitución.
PRACTICA DIRIGIDA DE AULA
Calcule las siguientes integrales:
10 4/3
1. 1 4 y dy 2. x 2 x3 1 dx 3. x2 4x 4 dx 4. x x 2 dx
t 5
5. x 2 3 2xdx 6. cos 4 d 7. sen 4t 2 dt 8. cos x 2 sen x dx
2
θ cos θ dθ
1 1 sec 2 3 t
9. 1 dx 10. 2sen x 3 1 cos x dx 11. sen3 12. dt
3x x2 t
y 3 x3
13. dy 14. dx 15. tan x dx
2/3 16. ekx dx, k
3 y 1 2x 2
t3
17. sec x dx 18. cot x dx 19. csc x dx 20. dt
5
1 2t 4
2r x2 2x 4 y2 1
3/2
t2 1
21. dr 22. dx 23. dy 24. t dt
1 r
2/3 x3 3 x2 1 1 y 3 2/3 t t2
2x 1 s 1/ 2 x2 2
25. dx 26. ds 27. x x2 9 dx 28. dx
x2 x 1 2s 3 x3 6 x 1
3 x2 6
29. dx 30. x 2 sen x3 4 dx 31. e x dx
x3 6x
8
9. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
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SOLUCIONARIO
1. SOLUCIÓN: 1 4 y dy
1/ 2
Se expresa el integrando en la forma de potencia : 1 4 y dy 1 4y dy
1
Sea u 1 4 y du 4dy dy du
4
De tal manera que al hacer la sustitución, queda:
1 1 1 u3 / 2 u3 / 2
1 4 y dy u1/ 2 du u1/ 2 du c c, c
4 4 4 3/2 6
Por lo tanto:
3/2
1 4y
1 4 y dy c, c
6
10
2. SOLUCIÓN: x 2 x3 1 dx
Sea u x3 1 du 3 x 2 dx
De tal manera que al hacer la sustitución, queda:
10 1 10 1 u11
x 2 x3 1 dx x3 1 3 x 2 dx u10 du c, c
3 3 33
Por lo tanto:
11
10 x3 1
x 2 x3 1 dx c, c
33
9
10. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
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Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
4/3
3. SOLUCIÓN: x2 4x 4 dx
Arreglando el integrando:
4/3 2 4/3 8/3
x2 4x 4 dx x 2 dx x 2 dx
Sea u x 2 du dx
De tal manera que al hacer la sustitución, queda:
4/3 u11/ 3 3u11/ 3
x2 4x 4 dx u8 / 3 du c c, c
11/ 3 11
Por lo tanto:
4/3 11/ 3
3 x 2
x2 4x 4 dx c, c
11
4. SOLUCIÓN: x x 2 dx
1/2
Arreglando el integrando: x x 2 dx x x 2 dx
Sea u x 2 du dx
De tal manera que al hacer la sustitución, queda:
2u5/2 4u3/2
x x 2 dx u 2 u1/2 du u3/2 2u1/2 du c, c
5 3
Por lo tanto:
5/2 3/2
2 x 2 4 x 2
x x 2 dx c, c
5 3
10
11. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
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Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
5. SOLUCIÓN: x 2 3 2xdx
1/ 2
Arreglando el integrando: x 2 3 2xdx x 2 3 2x dx
1
Sea u 3 2x du 2dx du dx
2
De tal manera que al hacer la sustitución, queda:
2
3 u 1 1 2 1/ 2 1
x 2 3 2xdx u1/ 2 du 3 u u du 9 6u u2 u1/ 2 du
4 2 8 8
1 1 12 5 / 2 2 7/2
x 2 3 2xdx 9u1/ 2 6u3 / 2 u5 / 2 du 6u3 / 2 u u c, c
8 8 5 7
Por lo tanto:
3 3/2 3 5/2 1 7/2
x 2 3 2xdx 3 2x 3 2x 3 2x c, c
4 10 28
θ dθ
6. SOLUCIÓN: cos 4
θ du 4dθ dθ du
1
Sea u 4
4
De tal manera que al hacer la sustitución, queda:
θ dθ cos u du sen u c sen 4θ c, c
1 1 1
cos 4
4 4 4
Por lo tanto: θ dθ sen 4θ c, c
1
cos 4
4
11
12. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
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t
7. SOLUCIÓN: sen 4t 2 dt
2
1
Sea u 4t 2 du 8t dt du t dt
8
De tal manera que al hacer la sustitución, queda:
t 1 1 1 1
sen 4t 2 dt sen 4t 2 t dt sen u du sen u du
2 2 2 8 16
t 1 1
sen 4t 2 dt cos u c cos 4t 2 c, c
2 16 16
Por lo tanto:
t 1
sen 4t 2 dt cos 4t 2 c, c
2 16
5
8. SOLUCIÓN: cos x 2 sen x dx
Sea u 2 sen x du cos x dx
De tal manera que al hacer la sustitución, queda:
5 5 u6
cos x 2 sen x dx 2 sen x cos x dx u5 du c, c
6
Por lo tanto:
6
5 2 sen x
cos x 2 sen x dx c, c
6
12
13. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
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Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
1 1
9. SOLUCIÓN: 1 dx
3x x2
1 1 1
Sea u 1 du dx 3du dx
3x 3 x2 x2
De tal manera que al hacer la sustitución, queda:
1 1 u3 / 2
1 dx u 3du 3 u1/ 2 du 3 c, c
3x x2 3/2
Por lo tanto:
3/2
1 1 1
1 dx 2 1 c, c
3x x2 3x
10. SOLUCIÓN: 2sen x 3 1 cos x dx
1/ 3
Arreglando el integrando: 2sen x 3 1 cos x dx 2 1 cos x sen x dx
Sea u 1 cos x du sen x dx du sen x dx
De tal manera que al hacer la sustitución, queda:
6u4 / 3 3 4/3
2sen x 3 1 cos x dx 2 u1/ 3 du c 1 cos x c, c
4 2
Por lo tanto:
3 4/3
2sen x 3 1 cos x dx 1 cos x c, c
2
13
14. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
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θ cos θ dθ
11. SOLUCIÓN: sen3
θ du cos θ dθ
Sea u sen
De tal manera que al hacer la sustitución, queda:
θ cos θ dθ u du c, c
u4
sen3 3
4
Por lo tanto:
θ cos θ dθ θ c, c
sen4
sen3
4
sec 2 3 t
12. SOLUCIÓN: dt
t
3 2 1
Sea u 3 t du dt du dt
2 t 3 t
De tal manera que al hacer la sustitución, queda:
sec 2 3 t 1 2 2
dt sec 2 3 t dt sec 2 u du tan u c, c
t t 3 3
Por lo tanto:
sec 2 3 t 2
dt tan 3 t c, c
t 3
14
15. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
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y 3
13. SOLUCIÓN: dy
2/3
3 y
y 3 2/3
Arreglando el integrando: dy y 3 3 y dy
2/3
3 y
Sea u 3 y du dy du dy
De tal manera que al hacer la sustitución, queda:
y 3
dy 3 u 3 u 2/3 du
2/3
3 y
y 3 u1/ 3 u4 / 3
dy 6 u u 2 / 3 du 6u 2 / 3 u1/ 3 du 6 c, c
2/3 1/ 3 4/3
3 y
y 3 3 4/3
dy 18u1/ 3 u c, c
2/3 4
3 y
y 3 3 4/3 1/ 3 3 4/3
dy 18u1/ 3 u c 18 3 y 3 y c, c
2/3 4 4
3 y
Por lo tanto:
y 3 3 4/3 1/ 3
dy 3 y 18 3 y c, c
2/3 4
3 y
15
16. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWARE
Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
x3
14. SOLUCIÓN: dx
1 2x 2
x3 1/2
Arreglando el integrando: dx x3 1 2x 2 dx
1 2x 2
1
Sea u 1 2x2 du 4 xdx du xdx
4
De tal manera que al hacer la sustitución, queda:
x3 1/2 1 u 1
dx x 2 1 2x 2 xdx u 1/2 du
1 2x 2 2 4
x3 1 1 u1/2 u3/2
dx u 1/2 u1/2 du c, c
1 2x 2 8 8 1/ 2 3/2
x3 1 1/2 1 3/2 1 1/2 1 3/2
dx u u c 1 2x2 1 2x2 c, c
1 2x 2 4 12 4 12
Por lo tanto:
x3 1 1/2 1 3/2
dx 1 2x2 1 2x 2 c, c
1 2x 2 4 12
16
17. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWARE
Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
15. SOLUCIÓN: tan x dx
tan x sec x
Arreglando el integrando: tan x dx dx
sec x
Sea u sec x du tan x sec x dx
De tal manera que al hacer la sustitución, queda:
tan x sec x du
tan x dx dx Ln u c, c
sec x u
Por lo tanto:
tan x dx Ln sec x c, c
16. SOLUCIÓN: ekx dx, k
1
Sea u kx du kdx du dx
k
De tal manera que al hacer la sustitución, queda:
1 1 1 u 1 kx
ekx dx eu du eu du e c e c, c
k k k k
Por lo tanto:
1 kx
ekx dx e c, c
k
17
18. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
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Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
17. SOLUCIÓN: sec x dx
Arreglando el integrando
sec x sec x tan x sec 2 x sec x tan x
sec x dx dx dx
sec x tan x sec x tan x
Sea u sec x tan x du sec x tan x sec 2 x dx
De tal manera que al hacer la sustitución, queda:
du
sec x dx Ln u c Ln sec x tan x c, c
u
Por lo tanto:
sec x dx Ln sec x tan x c, c
cos x
18. SOLUCIÓN: cot x dx dx
sen x
Sea u sen x du cos x dx
De tal manera que al hacer la sustitución, queda:
du
cot x dx Ln u c Ln sen x c, c
u
Por lo tanto:
cot x dx Ln sen x c, c
18
19. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
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Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
19. SOLUCIÓN: csc x dx
Arreglando el integrando:
csc x csc x cot x csc x cot x csc 2 x
csc x dx dx dx
csc x cot x csc x cot x
Sea u csc x cot x du csc x cot x csc 2 x dx
De tal manera que al hacer la sustitución, queda:
du
csc x dx Ln u c Ln csc x cot x c, c
u
Por lo tanto:
csc x dx Ln csc x cot x c, c
t3
20. SOLUCIÓN: dt
5
1 2t 4
t3 5
Arreglando el integrando: dt t3 1 2t 4 dt
5
1 2t 4
1
Sea u 1 2t 4 du 8t 3 dt du t 3 dt
8
19
20. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWARE
Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
De tal manera que al hacer la sustitución, queda:
t3 1 1 1
dt u 5 du u 5 du u 4 c, c
5 8 8 32
1 2t 4
Por lo tanto:
t3 1 4
dt 1 2t 4 c, c
5 32
1 2t 4
2r
21. SOLUCIÓN: dr
2/3
1 r
2r 2/3
Arreglando el integrando: dr 2 r 1 r dr
2/3
1 r
Sea u 1 r du dr du dr
De tal manera que al hacer la sustitución, queda:
2r 3 4/3
dr 2 1 u u 2 / 3 dr 2 u 2/3 u1/ 3 du 6u1/ 3 u c, c
2/3 2
1 r
Por lo tanto:
2r 1/ 3 3 4/3
dr 6 1 r 1 r c, c
2/3 2
1 r
20
21. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWARE
Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
x2 2x
22. SOLUCIÓN: dx
x3 3 x2 1
x2 2x 1/ 2
Arreglando el integrando: dx x2 2x x3 3 x2 1 dx
x3 3 x2 1
1
Sea u x3 3 x2 1 du 3 x2 6 x dx 3 x2 2x dx du x2 2x dx
3
De tal manera que al hacer la sustitución, queda:
x2 2x 1 1 2 1/ 2
dx u 1/ 2 du u 1/ 2 du u c, c
x3 3 x2 1 3 3 3
Por lo tanto:
x2 2x 2 1/ 2
dx x3 3 x2 1 c, c
x3 3 x2 1 3
4 y2
23. SOLUCIÓN: dy
1 y 3 2/3
4 y2 2/3
Arreglando el integrando: dy 4 y 2 1 y3 dy
1 y 3 2/3
1
Sea u 1 y3 du 3 y 2 dy du y 2 dy
3
De tal manera que al hacer la sustitución, queda:
4 y2 1 4
dy 4 u 2/3 du u 2 / 3 du 4u1/ 3 c, c
1 y 3 2/3 3 3
Por lo tanto:
4 y2 1/ 3
dy 4 1 y3 c, c
2/3
1 y3
21
22. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWARE
Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
3/2
1 t2 1
24. SOLUCIÓN: t dt
t t2
3/2 3/2
1 t2 1 1 1
Arreglando el integrando: t dt t 1 dt
t t2 t t2
1 1
Sea u t du 1 dt
t t2
De tal manera que al hacer la sustitución, queda:
3/2 5/2
1 t2 1 2 5/2 2 1
t dt u3 / 2 du u c t c, c
t t2 5 5 t
Por lo tanto:
3/2 5/2
1 t2 1 2 1
t dt t c, c
t t2 5 t
2x 1
25. SOLUCIÓN: dx
x 2 x 1
Sea u x2 x 1 du 2x 1 dx
De tal manera que al hacer la sustitución, queda:
2x 1 du
dx Ln u c Ln x2 x 1 c, c
x 2 x 1 u
Por lo tanto:
2x 1
dx Ln x 2 x 1 c, c
x 2 x 1
22
23. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWARE
Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
s
26. SOLUCIÓN: ds
2s 3
1
Sea u 2s 3 du 2ds du ds
2
De tal manera que al hacer la sustitución, queda:
s u 3 1 1 3 1
ds du 1 du u 3Ln u c, c
2s 3 2u 2 4 u 4
Por lo tanto:
s 1 3
ds 2s 3 Ln 2s 3 c, c
2s 3 4 4
1/ 2
27. SOLUCIÓN: x x2 9 dx
1
Sea u x2 9 du 2xdx du xdx
2
De tal manera que al hacer la sustitución, queda:
1/ 2 1 1 1 3/2
x x2 9 dx u1/ 2 du u1/ 2 du x2 9 c, c
2 2 3
Por lo tanto:
1/ 2 1 3/2
x x2 9 dx x2 9 c, c
3
23
24. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWARE
Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
x2 2
28. SOLUCIÓN: dx
3
x 6x 1
1
Sea u x3 6x 1 du 3 x2 2 dx du x2 2 dx
3
De tal manera que al hacer la sustitución, queda:
x2 2 1 1 1 1 1 1
dx du du Ln u c Ln x3 6 x 1 c, c
x3 6 x 1 u 3 3 u 3 3
Por lo tanto:
x2 2 1
dx Ln x3 6 x 1 c, c
x3 6 x 1 3
3 x2 6
29. SOLUCIÓN: dx
x3 6x
3 x2 6 1 2
Arreglando el integrando: dx 3 x2 6 x3 6x dx
x3 6x
Sea u x3 6x du 3 x2 6 dx
De tal manera que al hacer la sustitución, queda:
3 x2 6 1/ 2
dx u 1/ 2 du 2u1/ 2 c 2 x3 6x c, c
x3 6x
Por lo tanto:
3 x2 6 1/ 2
dx 2 x3 6x c, c
x3 6x
24
25. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWARE
Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
30. SOLUCIÓN: x 2 sen x3 4 dx
1
Sea u x3 4 du 3 x 2 dx du x 2 dx
3
De tal manera que al hacer la sustitución, queda:
1 1 1 1
x 2 sen x3 4 dx sen u du sen u du cos u c cos x 3 4 c, c
3 3 3 3
Por lo tanto:
1
x 2 sen x3 4 dx cos x3 4 c, c
3
INTEGRACIÓN POR PARTES.
La fórmula para la "integración por partes", se deduce a partir de la regla de la derivada
de un producto de funciones. Veamos:
Si f y g son funciones diferenciables, entonces por derivada de un producto:
'
f x g x ' f' x g x f x g' x f x g' x f x g x f' x g x
Integrando cada término de la ecuación
f x g' x dx f x g x ' dx f ' x g x dx f x g x f ' x g x dx...... 1
Ahora, sea
u f x du f ' x dx
v g x dv g ' x dx
Sustituyendo en 1 , se obtiene la fórmula de integración por partes:
udv uv vdu
25
26. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
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PRACTICA DIRIGIDA DE AULA
En los ejercicios siguientes efectúe la integral indefinida:
1. Ln x dx 2. xe3 x dx 3. cos x dx 4. xe x dx
2
5. x sec x tan x dx 6. Ln x dx 7. x 2 Ln x dx 8. e x cos x dx
2
9. cos2 x dx 10. 3 x cos 2x dx 11. ex 2x dx 12. xsen x dx
SOLUCIONARIO
1. SOLUCIÓN: Ln x dx
1
u Ln x du dx
Sea x .
dv dx v x
De tal modo, que al aplicar la fórmula de integración por partes, se obtiene
1
Ln x dx x Ln x x dx x Ln x dx x Ln x x c, c
x
Por lo tanto:
Ln x dx x Ln x x c, c
26
27. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWARE
Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
2. SOLUCIÓN: x e3 x dx
u x du dx
Sea 1 3x .
dv e3 x dx v e
3
De tal modo, que al aplicar la fórmula de integración por partes, se obtiene
x 3x 1 x 3x 1 x 3x 1 3x
x e3 x dx e e3 x dx e e3 x dx e e c, c
3 3 3 3 3 9
Por lo tanto:
x 3x 1 3x
x e3 x dx e e c, c
3 9
3. SOLUCIÓN: cos x dx
1
Sea w x dw dx 2 xdw dx 2wdw dx
2 x
Luego: cos x dx 2 w cos w dw
u w du dw
Sea .
dv cos w dw v sen w
De tal modo, que al aplicar la fórmula de integración por partes, se obtiene
2 w cos w dw 2 wsen w s en w dw 2 wsen w cos w c, c
Como w x , concluimos que: cos x dx 2 xsen x cos x c, c
27
28. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
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Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
4. SOLUCIÓN: x e x dx
u x du dx
Sea .
dv e x dx v e x
De tal modo, que al aplicar la fórmula de integración por partes, se obtiene
x e x dx x e x e x dx x e x e x c, c
Por lo tanto:
x e x dx x e x e x c, c
5. SOLUCIÓN: x sec x tan x dx
u x du dx
Sea .
dv sec x tan x dx v sec x
De tal modo, que al aplicar la fórmula de integración por partes, se obtiene
x sec x tan x dx x sec x sec x dx x sec x Ln sec x tan x c, c
Por lo tanto:
x sec x tan x dx x sec x Ln sec x tan x c, c
28
29. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
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Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
2
6. SOLUCIÓN: Ln x dx
2 2Ln x
u Ln x du dx
Sea x .
dv dx v x
De tal modo, que al aplicar la fórmula de integración por partes, se obtiene
2 2 2Ln x 2
Ln x dx x Ln x x dx x Ln x 2 Ln x dx
x
Por lo tanto:
2 2
Ln x dx x Ln x 2x Ln x 2x c, c
7. SOLUCIÓN: x 2Ln x dx
1
u Ln x du dx
x
Sea .
x3
dv x 2 dx v
3
De tal modo, que al aplicar la fórmula de integración por partes, se obtiene
x3 x3 1 x3 1
x 2Ln x dx Ln x dx Ln x x 2 dx
3 3 x 3 3
Por lo tanto:
x3 x3
x 2Ln x dx Ln x c, c
3 9
29
30. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
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Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
8. SOLUCIÓN: e x cos x dx
u cos x du s en x dx
Sea .
dv e x dx v ex
De tal modo, que al aplicar la fórmula de integración por partes, se obtiene
e x cos x dx e x cos x e x s en x dx
u s en x du cos x dx
Sea .
dv e x dx v ex
De tal modo, que al aplicar la fórmula de integración por partes, se obtiene
e x cos x dx e x cos x e x s en x e x cos x dx
2 e x cos x dx e x cos x e x s en x e x cos x s en x
Por lo tanto:
ex
e x cos x dx cos x s en x c, c
2
9. SOLUCIÓN: cos2 x dx
u cos x du sen x dx
Sea .
dv cos x dx v sen x
De tal modo, que al aplicar la fórmula de integración por partes, se obtiene
cos2 x dx sen x cos x sen2 x dx sen x cos x 1 cos 2 x dx
30
31. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
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Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
cos2 x dx sen x cos x dx cos2 x dx
1
2 cos2 x dx sen x cos x x sen 2x x
2
Por lo tanto:
sen 2x x
cos2 x dx c, c
4 2
10. SOLUCIÓN: 3 x cos 2x dx
u 3x du 3dx
Sea 1 .
dv cos 2x dx v sen 2x
2
De tal modo, que al aplicar la fórmula de integración por partes, se obtiene
3 3 3 3
3 x cos 2x dx xsen 2x sen 2x dx xsen 2x cos 2x c, c
2 2 2 4
Por lo tanto:
3 3
3 x cos 2x dx x sen 2x cos 2x c, c
2 4
2
11. SOLUCIÓN: ex 2x dx
Arreglando el integrando:
2 1 2x 4 3
ex 2x dx e2x 4 x2 4 xe x dx e x 4 xe x dx
2 3
31
32. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
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Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
Calculemos la siguiente integral: x e x dx........... *
u x du dx
Sea .
dv e x dx v ex
De tal modo, que al aplicar la fórmula de integración por partes en * , se obtiene
xe x dx xe x e x dx xe x ex c x 1 ex c, c
Por lo tanto:
2 1 2x 4 3
ex 2x dx e x 4 x 1 ex c, c
2 3
12. SOLUCIÓN: x sen x dx
u x du dx
Sea .
dv sen x dx v cos x
De tal modo, que al aplicar la fórmula de integración por partes, se obtiene
x sen x dx x cos x cos x dx x cos x sen x c, c
Por lo tanto:
x sen x dx x cos x sen x c, c
32
33. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
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Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
POTENCIAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS m,n
En esta sección aprenderemos a integrar expresiones que presentan potencias
trigonométricas, es decir, integrandos con alguna de las siguientes formas:
senn u cosn u senm u cosn u
tann u cotn u secn u
cscn u tanm u secn u cotm u cscn u
Para tal efecto es conveniente conocer las siguientes identidades trigonométricas:
sen2 u cos2 u 1 cos 2u cos2 u sen2 u
sen2 u 1 cos2 u cos2 u 1 sen2 u
1 cos 2u 1 cos 2u
sen2 u cos2 u
2 2
1
sec 2 u 1 tan2 u sen A cos B sen A B s en A B
2
1
csc 2 u 1 cot 2 u cos A cos B cos A B cos A B
2
1
sen 2u 2sen u cos u sen A sen B cos A B cos A B
2
Después de hacer las sustituciones trigonométricas adecuadas, el integrando queda
expedito para aplicar la integración por sustitución. En otros casos debemos recurrir a
la integración por partes.
33
34. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
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Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
PRACTICA DIRIGIDA DE AULA
En los siguientes ejercicios evalúe la integral indefinida:
3. cos2 x sen5 x dx
1. sen3 x dx 2. cos3 4 x sen 4 x dx
5. cos2 3 x sen2 3 x dx
4. cos4 x dx 6. cos 5 x sen 3 x dx
7. cos 3 x cos 4 x dx
8. cot3 x dx 9. sec 4 x dx
10. csc 3 x dx 11. tan6 x sec 4 x dx 12. tan3 x sec 5 x dx
13. sec 3 x dx 14. tan2 x sec 3 x dx 15. sen6 t cos2 t dt
SOLUCIONARIO
1. SOLUCIÓN: sen3 x dx
Arreglando el integrando:
sen3 x dx sen x sen2 x dx sen x 1 cos 2 x dx
sen3 x dx sen x dx cos2 x sen x dx cos x cos2 x sen x dx
Sea u cos x du sen x dx
34
35. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWARE
Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
Luego:
3
u3 cos x
cos2 x sen x dx u2 du c c, c
3 3
Por lo tanto:
cos3 x
sen3 x dx cos x c, c
3
2. SOLUCIÓN: cos3 4 x sen 4 x dx
Sea u cos 4 x du 4sen 4 x dx
1 1 4 cos4 4 x
Luego: cos3 4 x sen 4 x dx u3 du u c c, c
4 16 16
Por lo tanto:
cos4 4 x
cos3 4 x sen 4 x dx c, c
16
3. SOLUCIÓN: cos2 x sen5 x dx
Arreglando el integrando:
2
cos2 x sen5 x dx cos2 x sen4 x sen x dx cos 2 x sen 2 x sen x dx
2
cos2 x sen5 x dx cos2 x 1 cos2 x sen x dx
cos2 x sen5 x dx cos2 x 1 cos 4 x 2 cos 2 x sen x dx
cos2 x sen5 x dx cos2 x sen x dx cos 6 x sen x dx 2 cos 4 x sen x dx
35
36. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWARE
Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
Sea u cos x du sen x dx
Luego:
u3 u7 2u5
cos2 x sen5 x dx u2 du u6 du 2 u4 du c, c
3 7 5
Por lo tanto:
cos3 x cos7 x 2 cos5 x
cos2 x sen5 x dx c, c
3 7 5
4. SOLUCIÓN: cos4 x dx
Arreglando el integrando:
2 2
1 cos 2x 1
cos4 x dx cos2 x dx dx 1 2cos 2x cos2 2x dx
2 4
1 1 cos 4 x 1
cos4 x dx 1 2cos 2x dx cos 4 x 4 cos 2x 3 dx
4 2 8
Luego:
1 1
cos4 x dx sen 4 x 2sen 2x 3x c, c
8 4
Por lo tanto:
1 1 3
cos4 x dx sen 4 x sen 2x x c, c
32 4 8
36
37. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWARE
Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
5. SOLUCIÓN: cos2 3 x sen2 3 x dx
Arreglando el integrando:
1 1 1
cos2 3 x sen2 3 x dx 4 cos2 3 x sen2 3 x dx sen2 6 x dx 2sen 2 6 x dx
4 4 8
1
cos2 3 x sen2 3 x dx 1 cos 12x dx
8
Luego:
1 1
cos2 3 x sen2 3 x dx x sen 12x c, c
8 12
Por lo tanto:
1 1
cos2 3 x sen2 3 x dx x sen 12x c, c
8 96
6. SOLUCIÓN: cos 5 x sen 3 x dx
Arreglando el integrando:
1 1
cos 5 x sen 3 x dx 2cos 5 x sen 3 x dx sen 8 x sen 2x dx
2 2
1
cos 5 x sen 3 x dx sen 8 x sen 2x dx
2
Luego:
1 1 1
cos 5 x sen 3 x dx cos 8 x cos 2x c, c
2 8 2
Por lo tanto:
1 1
cos 5 x sen 3 x dx cos 8 x cos 2x c, c
16 4
37
38. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWARE
Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
7. SOLUCIÓN: cos 3 x cos 4 x dx
Arreglando el integrando:
1 1
cos 3 x cos 4 x dx 2cos 3 x cos 4 x dx cos 7 x cos x dx
2 2
1 1
Luego: cos 3 x cos 4 x dx s en 7 x sen x c, c
2 7
1 1
Por lo tanto: cos 3 x cos 4 x dx s en 7 x sen x c, c
14 2
8. SOLUCIÓN: cot3 x dx
Arreglando el integrando:
cot3 x dx cot 2 x cot x dx csc 2 x 1 cot x dx csc 2 x cot x dx cot x dx
1
Por lo tanto: cot3 x dx cot 2 x Ln sen x c, c
2
9. SOLUCIÓN: sec 4 x dx
Arreglando el integrando:
sec 4 x dx sec 2 x 1 tan2 x dx sec 2 x dx sec 2 x tan 2 x dx
1
Por lo tanto: sec 4 x dx tan x tan3 x c, c
3
38
39. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWARE
Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
10. SOLUCIÓN: csc 3 x dx
Arreglando el integrando: csc 3 x dx csc x csc 2 x dx
Aplicando integración por partes:
u csc x du csc x cot x dx
Sea:
dv csc 2 x dx v cot x
Luego:
csc 3 x dx csc x csc 2 x dx csc x cot x csc x cot 2 x dx
csc 3 x dx csc x cot x csc x csc 2 x 1 dx
csc 3 x dx csc x cot x csc 3 x dx csc x dx
2 csc 3 x dx csc x cot x csc x dx csc x cot x Ln csc x cot x k, k
1 1
Por lo tanto: csc 3 x dx csc x cot x Ln csc x cot x c, c
2 2
11. SOLUCIÓN: tan6 x sec 4 x dx
Arreglando el integrando:
tan6 x sec 4 x dx tan6 x sec 2 x sec 2 x dx tan6 x 1 tan 2 x sec 2 x dx
39
40. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWARE
Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
tan6 x sec 4 x dx tan6 x sec 2 x dx tan8 x sec 2 x dx
Por lo tanto:
1 1
tan6 x sec 4 x dx tan7 x tan9 x c, c
7 9
12. SOLUCIÓN: tan3 x sec 5 x dx
Arreglando el integrando:
tan3 x sec 5 x dx tan2 x sec 4 x tan x sec x dx
tan3 x sec 5 x dx sec 2 x 1 sec 4 x tan x sec x dx
tan3 x sec 5 x dx sec 6 x sec 4 x tan x sec x dx
tan3 x sec 5 x dx sec 6 x tan x sec x dx sec 4 x tan x sec x dx
Por lo tanto:
1 1
tan3 x sec 5 x dx sec 7 x sec 5 x c, c
7 5
13. SOLUCIÓN: sec 3 x dx
Arreglando el integrando: sec 3 x dx sec x sec 2 x dx
Aplicando integración por partes:
40
41. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWARE
Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
u sec x du s e c x tan x dx
Sea:
dv sec 2 x dx v tan x
Luego:
sec 3 x dx s e c x tan x sec x tan2 x dx s e c x tan x sec x sec 2 x 1 dx
sec 3 x dx s e c x tan x sec 3 x dx sec x dx
2 sec 3 x dx s e c x tan x sec x dx
Por lo tanto:
1 1
sec 3 x dx s e c x tan x Ln s e c x tan x c, c
2 2
14. SOLUCIÓN: tan2 x sec 3 x dx
Arreglando el integrando:
tan2 x sec 3 x dx sec 2 x 1 sec 3 x dx sec 5 x dx sec 3 x dx
Calculemos sec 5 x dx , pues en el ejercicio 13 ya se halló sec 3 x dx .
Arreglando el integrando: sec 5 x dx sec 3 x sec 2 x dx
41
42. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWARE
Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
Aplicando integración por partes:
u s e c3 x du 3 s e c 3 x tan x dx
Sea:
dv sec 2 x dx v tan x
Luego:
sec 5 x dx s e c 3 x tan x 3 sec 3 x tan2 x dx
sec 5 x dx s e c 3 x tan x 3 sec 3 x sec 2 x 1 dx
sec 5 x dx s e c 3 x tan x 3 sec 5 x dx 3 sec 3 x dx
1 3
sec 5 x dx s e c 3 x tan x sec 3 x dx
4 4
Por consiguiente:
1 3
tan2 x sec 3 x dx s e c 3 x tan x sec 3 x dx sec 3 x dx
4 4
1 1 1 1
tan2 x sec 3 x dx s e c 3 x tan x s e c x tan x Ln s e c x tan x c ,c
4 4 2 2
Por lo tanto:
1 1 1
tan2 x sec 3 x dx s e c 3 x tan x s e c x tan x Ln s e c x tan x k, k
4 8 8
42
43. FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA,
AERONAUTICA, AUTOMOTRIZ Y SOFTWARE
Análisis Matemático I CICLO: 2010 – II
15. SOLUCIÓN: sen6 t cos2 t dt
Arreglando el integrando:
1 1 2
sen6 t cos2 t dt sen4 t 4sen2 t cos2 t dt sen2 t sen 2 2t dt
4 4
2
1 1 cos 2t 1 cos 4t
sen6 t cos2 t dt dt
4 2 2
1
sen6 t cos2 t dt 1 cos2 2t 2cos 2t 1 cos 4t dt
32
1 1 cos 4t
sen6 t cos2 t dt 1 2cos 2t 1 cos 4t dt
32 2
1
sen6 t cos2 t dt 3 cos 4t 4 cos 2t 1 cos 4t dt
64
1
sen6 t cos2 t dt 3 2cos 4t cos2 4t 4 cos 2t 4 cos 2t cos 4t dt
64
1 1 cos 8t
sen6 t cos2 t dt 3 2cos 4t 4 cos 2t 2cos 6t 2cos 2t dt
64 2
1
sen6 t cos2 t dt 6 4 cos 4t 1 cos 8t 4 cos 2t 4 cos 6t dt
128
Por lo tanto:
1 1 1 1 5t
sen6 t cos2 t dt sen 8t sen 6t sen 4t sen 2t c, c
1024 192 128 64 128
43