1. Para calcular el área de un triángulo, por determinantes, se utiliza la siguiente
fórmula:
𝐴 =
1
2
|
𝑥1 𝑦1 1
𝑥2
𝑥3
𝑦2
𝑦3
1
1
|
Donde cada dupla (x,y) corresponde a los puntos a, b y c del triángulo a
calcular, ubicado en un plano cartesiano. Por ejemplo:
Donde
a=(𝑥1, 𝑦1)
b=(𝑥2, 𝑦2)
c=(𝑥3, 𝑦3)
Ahora, ¿cómo llegamos a esta fórmula?
A esta fórmula, llegamos calculando el área del triángulo, pero por otro
camino, esto es, calcular el área del triángulo como el resultado de la
operatoria del área de 3 trapecios, en los cuales dividiremos el triángulo.
Comenzaremos mostrando el triángulo en un plano cartesiano:
Donde
a=(x1,y1)
b=(x2,y2)
c=(x3,y3)
d=(x1,0)
e=(x3,0)
f=(x2,0)

2. Sabiendo esto, calcularemos el área del triángulo, como la operatoria de las
áreas de 3 trapecios, estos son: adec, cefb y acfb.
Trapecio adec
Trapecio cefb
Trapecio acfb
El área de un trapecio se calcula como la altura sobre 2, por la suma de los 2
lados.

3. Esto es:
ℎ
2
. (𝐿𝑎𝑑𝑜1 + 𝐿𝑎𝑑𝑜2)
Una imagen para identificar los lados de cualquier trapecio:
Con esta información, calcularemos el área de los 3 trapecios que definimos
anteriormente:
Area adec=
ℎ
2
. (𝐿𝑎𝑑𝑜1 + 𝐿𝑎𝑑𝑜2)
Donde:
h=c1-a1
Lado1=a2
Lado2=c2
Entonces, area adec =
(𝑐1−𝑎1)
2
. (𝑎2 + 𝑐2) =
(𝑐1−𝑎1).(𝑎2+𝑐2)
2
Area cefb =
(𝑏1−𝑐1).(𝑏2+𝑐2)
2
Area acfb =
(𝑏1−𝑎1).(𝑎2+𝑏2)
2
Ahora, el área abc, será igual a la siguiente operatoria con estos 3 trapecios:

4. Area abc = Area adec + Area cefb – Area adfb
Esto es la suma de las áreas de los trapecios adec y cefb, menos el área adfb,
dándonos por resultado el área del triángulo abc.
Area abc =
(𝑐1−𝑎1).(𝑎2+𝑐2)
2
+
(𝑏1−𝑐1).(𝑏2+𝑐2)
2
-
(𝑏1−𝑎1).(𝑎2+𝑏2)
2
=
𝑐1 𝑎2+𝑐1 𝑐2−𝑎1 𝑎2−𝑎1 𝑐2+𝑏1 𝑏2+𝑏1 𝑐2−𝑐1 𝑏2−𝑐1 𝑐2−𝑏1 𝑎2−𝑏1 𝑎2+𝑎1 𝑎2+𝑎1 𝑏2
2
=
𝑐1 𝑎2+𝑏1 𝑐2+𝑎1 𝑏2−𝑎1 𝑐2−𝑐1 𝑏2−𝑏1 𝑎1
2
=
𝑐1 𝑎21+𝑏1 𝑐21+𝑎1 𝑏21−𝑎1 𝑐21−𝑐1 𝑏21−𝑏1 𝑎11
2
=
1
2
|
𝑎1 𝑎2 1
𝑏1
𝑐1
𝑏2 1
𝑐2 1
|
Entonces, aquí vemos como a través del cálculo de 3 trapecios, llegamos a la
formula, o mejor dicho, a la matriz, que nos permitirá a través del cálculo de
su determinante, obtener el área de un triángulo.