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1. ,
ALGEBRA
,
, MAXIMO ENTERO
[e] = 2 [1r] =3
o~ .
. -- 1.-.--,
-
. .
lxl
r
1 1
,.
t
m
· ;.¡.: _ [a] ~ [b]
. [Jz] = 1
x-1✓ ➔
lilµerras;
Las Matemáticas son fácíles
Christiom Huertas Nivel UNI

2. ··. x-v
~ IDJµefras

3. ÍNDICE
l. Máximo entero 03
1.1 Propiedades 05
1.2 Otras propiedades adicionales 09
2. Ecuaciones con máximo entero 12
3. Inecuaciones con máximo entero 17
4. Función máximo entero 21
5. Problemas resueltos 26
5.1 Preguntas de examen de admisión UNI 34
6. Problemas propuestos 36
7. Claves 40
11111-;11;m,,;;11m,a,■

4. ·· · ·. . · · ...··. ·· M' . ·. t. ··: . ·· ·. .:./. ··.: _,. .
•· .. . ... ,. ....... . an,mo en ero . . :'. .... . ·
• < • :O • ). ' ,
1
'1 ' ' ' o , , +,/ ' • 1 • '< ◄ ~ • ' •
Si x E ~' el símbolo [x] denota la parte entera de x; es decir, el mayor de los
enteros que es menor o igual a x. Matemáticamente:
[x]: se lee "máximo entero de x".
Glifüi,,¡;¡:;;.4.-

5. •
Ejemplo :
Resolución.
Recuerde: [;ft;;~
~
?
1~a
!~
a~~;;;~!1l[~
:ff~
~
:1
f:
;,
~
,y;y7:x~t~:-5;~
~
;
i~C
,-r:~;;
Calculamos cada máximo entero:
■ [rr] = 3 ■ [e]= 2 ■ [~=2
■ [rre] =[8,539 ... ] =8
Reemplazamos en J:
■ [rr + e] =[5,859 ... ] =5
3-2+5 6
1-------1
- 8-2 -6-
' -~,, ""-::: • ., ... ,1'"" .,, _. ,..''"""'"''"
Halle el valor de- [
2
x~ 1
] si x:E{?-
;3'}.
Resolución.
Por dato:
Es decir,
Multiplicamos por 2:
Restamos 1:
Invertimos:
Multiplicamos por 5:
X E (2; 3)
2<x<3
4 < 2x < 6
3 < 2x -1 < 5
1 1 1
-<-- <-
5 2x - 1 3
5 5
1<--< -
2x-1 3
..__,
1,6
Por lo tanto, [
5
] =1.
2x- l
Resolución.
Recuerde:
En particular: (x - 1)2 > O; 'vx E IR (en particular para x > O)
Desarrollamos: x2 - 2x + 1 > O
_;,,a;;m,¡¡;:¡41;;4

6. Algebra , · MAXIMD ENTERO · ."
Ejemplo
x 2
+ 1 > 2x
2x
Dividimos entre (x2
+ 1): 1 ~ ---
x2 + 1
1 X
Dividimos entre 2: > --- > O
2 - x2 + 1
X 1]
Es decir, xi + 1
e (O;
2
Por lo tanto, [x2 :
1
] =O.
Resolución.
(pues,x > O)
Esta ecuación no tiene solución, pues se sabe que [3x - 1] e 7l.
[3x - 1] =.../2 (absurdo)
Por lo tanto, CS ={ }.
GMMM,,i;¡:;;,u~

7. ,1
· . .·· MAxlMD ENTERO · . Álgebra
(Esta propiedad nos permite resolver ecuaciones con máximo entero)
Ejemplo
-
Resolución.
Se tiene al ecuación:
Aplicamos la propiedad 2:
Sumamos 1:
Dividimos entre 2:
Por lo tanto, CS =[2:~}-
·Resolución.
[2x -1] = 3
3 < 2x -1 < 4
4 < 2x < 5
5
2<x<-
- 2
Se tiene la ecuación: [lxl -:- 2] =---1
Aplicamos la propiedad 2: ·-1 < lxl - 2 < O
Sumamos 2: 1 < lxl < 2
Es decir: 1 < lxl A lxl < 2 ·
(x ~ ---:1 V X~ 1) A -2 <X< 2
(la representamos en la recta real)
-2 -1 1 2
Por lo tanto, CS =(-2;-1] U [1; 2}.

8. Álgebra . . ·. · MAxlMD ENTERO .
Ejemplo
;.Éj~~plo
Ejemplo
Resolución. . .
Se tienela ecuacion: •.. .[
· Zx~ 1] =X
· 3 ] 2 ·
. Por la propiedad 3.:·
Por la propiedad 2.:
Multiplicamos por 6:
Restamos 3x:
Sumamos 6:
X
··- E Z; es decir, x debe ser múltiplo de 2
2 . . .
X 2X X
2<3- 1 <2+ 1
3x < 4x - 6 < 3x + 6
0<x-6<6
6 < x < 12 / x múltiplo de 2
Luego, las soluciones son: 6; 8 y 10.
Por lo tanto, CS ={6; 8; 10}.
Resolución.
Se tiene la ecuación: [ [.Jx +..J2]] = 1
Aplicamos la propiedad 4: [.Jx +.Jz] =1 y x > O
Aplicamos la propiedad 2: 1 < .Jx + .../2 < 2 y x > O
G 4,ft~

9. -1· ◄
Restamos ./2: 1-./2~-fx<Z-./2 y-{x~o
(-) (+)
Intersectando se obtiene: o~-lx<2--J2
Elevamos al cuadrado:
2
0 <X< (2 - .../2)
Por lo tanto, CS =[O; (2 .,;.;. .../2)
2
) .
Resolución.
Se tiene la ecuación: [-12+ [x]] = 2019
Aplicamos la propiedad 5: [-v'2] + [x] = 2019 (Pues, [x] E Zl)
1 + [x] =2019
[x] = 2018
Aplicamos la propiedad 2: 2018 ~ x < 2019
Por lo tanto, CS = [2018; 2019).
-

10. Álgebra ·· . . · · ·. · . MAxlMD ENTERO .-. .. . · ·
Ejemplo
9 .,
,,•
Resolución.
Se sabe que:
Multiplicamos por -1:
O~ x - [x] < 1 ; Vx E IR
0 ~ [x] - X> -1
Se puede expresar así: -1 < [x] -x < O
Luego, [ [x] _ x] ={-1 s! - 1 < [x] - x < O
0 SI [x] - X= 0
Porlo tanto, Ran(f) ={O; -1}.
Resolución.
Se tiene la ecuación:
Aplicamos la propiedad 8:
Aplicamos la propiedad 2:
Multiplicamos por 10:
Por lo tanto, CS = [20; 30).
Resolución.
[[x]] =2
[10
[;o] =z
. . X
2 < 10 < ~
20 <x < 30
La expresión S se puede expresar así:
S = [✓3 x 4] + [✓4 x s] + [✓s x 6]
3 4 5
GMfüM,,;;¡:¡;,ft-PIIII

11. Aplicando la propiedad anterior se obtiene:
S = 3 + 4 + S = 12
•
•.a...
rn."W11i,.a.· -.., - . -., ~- p - - [2 i
- - . [ ~ [ i]
_ • •• • •- Dada la expres1on maternatica. (xJ = x - xll - x + z.11
Ejemplo
Calcule el valor de P(ne).
< •
Resolución.
Se sabe que: M + [x+½] =[2x]
Pasamos todo al lado derecho: O= [2x] - [x] - [x+ ½]
Pcx)
Es decir, P(x) = O; 't/x E IRL Por lo tanto, P(rce) = O.
Resolución.
Se tiene la ecuación:
Se puede expresar así: [
2
; -½]+ [~ + i]= O
[23x - ½] + [2;+H
= º
r;-½]+ [(2;-½)+½] = º
Si hacemos el cambio:
se obtiene la ecuación:
Aplicamos la propiedad 1O
:
2x 1
---=y
3 3
[y] + [Y +½] =O
[2yD = o
O~ 2y < 1
Elllll3MMki,iif;iffiíffiii1

12. Reemplazamos y:
Dividimos entre 2:
Multiplicamos por 3:
(
2x 1)
o::;2
3 -
3 <1
2x-1 1
O<--<-
- 3 2
3
O< 2x-1 <-
- 2
5
Sumamos 1: · 1 < 2x <-
- 2
Dividimos entre 2:
POr lo tanto, es . H;~)
1 5
-<x<-
2- 4
En general, se tiene la Identidad de Hermite:
., 11 . :
,12· -
Resolución.
Se tiene la ecuación: [x] + [x +½] + [x +¾] =8
Por la propiedad 11: [3x] =8
. Por la propiedad 2: 8 < 3x < 9
8
Dividimos entre 3:
3 < x < 3
·
[ª
Por lo tanto, CS = 3;3)
Gfflfüh,,1;11
14,tt-

13. · ·· · ·_ ._;· · . . .. .' .· MAXIMD ENTERO . . . ·Álgebra
· 13 -
Ejemplo
11111
Resolución.
Nos piden calcular:
s =[v'2] +[{6] +[fil]+ ... +[m:o]
Le damos forma:
S =[vri:z] +[ff-3] +[~ +... + [✓10 · 11]
Aplicando la propiedad anterior con n =10, se obtiene:
S =10(11) = SS
2
Para resolver ecuaciones con máximo entero utilizamos las propiedades vistas
anteriormente. Más que todo, recordar lo siguiente:
't
1

14. Álgebra · . . · MAxlMD ENlERD ·
Ejemplo
Resolución.
Se tiene la ecuación:
Aplicamos el teorema 1:
Sumamos 1:
Dividimos entre 2:
. 5
Por lo tanto, es =[2;
2}
Resolución.
[2x -1] =3
3 < 2x -1 < 4
4 < 2x < 5
2<x<~
~ 2
Se tiene la ecuación: [v'x] =x (x tiene que ser entero)
Se cumple si: x E 71.. / x ~ v'x < x + 1 / x > O
xE'll.. / x<v'x / v'x<x+l / x>O
.
X E 71.. / x 2
< X / X < (x + 1)2
/ X > o
X E 71.. / X < 1 / X < x 2
+ 2x + 1 / X > o
X E 71.. / X < 1 / 0 < X
2
+ X + 1 / X > 0
trinomio (+)
(V)
Intersectando se obtiene:
O<x<l / xE'll..
Es decir, las soluciones son solamente: Oy 1.
Por lo tanto, es ={O; 1}.
Resolución.
Se tiene la ecuación: [3x + 2] =n
Esta ecuación no tiene solución, pues [3x + 2] E 71..; 'vx E ~-
[3x +2] =n (absurdo)
Por lo tanto, CS =</>.
GffiffiM,,UM4,ft-

15. 11
Resolución.
Se tiene la ecuación:
[x] - 1 [x] - 2
2 - 3 =l
Multiplicamos por 6: (
[x] - l [x] - 2)
6
2
-
3
=6(1)
3([x] - 1) - 2([x] - 2) =6
3[x] - 3 - 2[x] +4 =6
[x] + 1 =6
[x] ~ 5
S<x<6
Por lo tanto, es= [5; 6).
Resolución.
Se tiene la ecuación: [x]2
+ 2 = 3[x]
Pasamos todos los términos al lado izquierdo para factorizarlo:
[x]2
- 3[x] +2 =O
[x] --. f ---1
[x]~-2
([x] - l)([x] - 2) =O
[x] - 1 =O V [x] - 2 =O
[x] =1 V [x] = 2
1:s;x<2 V 2:s;x<3
1<x<3
Por lo tanto, es= [1; 3).
Resolución.
Se tiene la ecuación: [x2
- 2x] = -1
-;M{;t;,,¡4:l§üjj .
◄

16. Álgebra · · · . MAxlMO ENTERO .
Por propiedad: -l<x2
-2x<O
Recuerde:
Luego, la inecuación anterior se puede expresar así:
-1 < x2
- 2x / x2
- 2x < O
O < x2
- 2x + 1 / x(x - 2) < O
______,
Trinomio cuadrado Aplicamos el método
perfecto de los puntos críticos
Ü < (X - 1)2
/ Q < X < 2
,-,--_____, .
xEIR{. / 0 ,
<x<2
0<x<2
Por lo tanto, es = (O; 2).
Resolución.
. .
Se tiene la ecuación: 1[2x + 1] --- 3I = O
Recuerde:
Luego, la ecuación es equivalente a:
Restamos 1:
Dividimos entre 2:
Por lo tanto, ·es =[1; ~)
Resolución.
Se tiene la ecuación:
[2x + 1] - 3 =O
[2x + 1] = 3
3 < 2x + 1 < 4
2 < 2x < 3
3
l<x<-
- 2
[x] = lxl
La ecuación tiene sentido si lxl es un número entero. Luego, la
ecuación se cumple si: lxl < x < lxl + 1 / lxl E 'll.
•◄Mm,,;;i:m,u.-m

17. Desdoblamos la inecuación: lxl ~ x A x < lxl +1 A lxl El
(Tiene sentida si x ~ O)
Luego la inecuación se expresa así:
X < X / X < X + 1 A X E ZÓ
.._._..,
x E IRl A X E IRl A X E Zó
X E Zó
Por lo tanto, CS =zt ={O; 1; 2; 3; 4; ...... }.
..................... ...... .. ·•• .. .
Resolución.
Hallamos el CVA: x - 1 > O / 5 - x > O
x~l A S~x
l<x<S
Es decir, el conjunto de valores admisibles (CVA) es: [1; 5].
Se tiene la ecuación: _ [✓x - 1+-V5 - x] =✓x - 1 +-VS - X
Aplicamos el teorema 2: · -vx - 1 + ✓s - x E Z
Esto se cumple si: Jx - 1 E Z y -VS - X E Z
Por lo tanto, CS ~ {1; 5}.
Resolución.
x=l
x=2
x=S
. ., [X+ 3] X+ 2
Se tiene la ecuac10n: - - =·,_
_--
. 2 ., · 3
x~l
x=4
x=S
x+2
Como [a] E Z; 'va E IRl, entonces - - debe ser un entero.
3
x+2
Supongamos que -
3
- = k. Es decir, x + 2 = 3k ➔ x = 3k - 2
C•)
Lo reemplazamos en la ecuación:
e

18. Álgebra ·_ . . · .· · · ·.. · . MAxlMO ENTERO . ··. . · .
[(3k -t+ 3] = k
[3k;1] = k
3k + 1
k<
2
<k+l
Multiplicamos por~: 2k < 3k +1 < 2k +2
2k < 3k + 1 / 3k + 1 < 2k + 2
-1 < k / k < 1
-1 < k < 1
k =-1 V k =O
■ Si k =-1, reemplazando en (*) se obtiene x =-5
■ Si k = O, reemplazando en (*)se obtiene x = -2
Por lo tanto, CS ={-5; -2}.
Para resolver inecuaciones con máximo entero utilizamos las propiedades vistas
anteriormente y los siguientes teoremas.
Para todo n E l, se cumple:
Resolución.
Se tiene la inecuación: [3x - 2D < 5
Aplicamos el teorema 1: 3x - 2 < 5
Sumamos 2: 3x < 7
GMffifii,,¡;

19. Ejemplo
·: ,· '·: ,MAXIMO ENTERO -
Dividimos entre 3:
7
Por lo tanto, es = (-00;
3)
Resolución.
7
x<-
3
Se tiene la inecuación: [x2
- 3x] < -2
Aplicamos el teorema 1: x2
- 3x < -2
x 2
- 3x + 2 < O
Factorizamos por aspa simple: (x - l)(x - 2) < O
Aplicando el método de los puntos críticos se obtiene:
+
Por lo tanto, es =(1; 2).
R~solpción.
...
Se tiene la inecuación:
Aplicamos el teorema 2:
Sumamos 1:
Dividimos entre 4:
[4x-1] < 2
4x -1 < 3
4x < 4
x<l
Por lo tanto, CS =(-oo; 1).
Resolución.
Se tiene la inecuación:
Aplicamos el teorema 2:
Lo factorizamos:
[3x2
- Sx] < 7
3x2
- Sx < 8
3x2
- Sx - 8 < O
3xx-8
X 1
(3x - 8)(x + 1) < O
+
ElllAd&fM@lrtmfflN
Álgebra

20. Aplicando el método de los puntos críticos se obtiene:
+
-1 8/3
8
Por lo tanto, C~ =(-1;
3)
··•··•·· ......................,................. •· ... ....... ........,........ ,................... ·········· ·· •··•• ·•·••···· ··••· •··••· ·'· .......... .
Resolución.
Se tiene la inecuación: [Sx - 8] > 1
AplicaJ?OS el teorema 3: Sx - 8 > 2
Sumamos 8: Sx > 10
Dividimos entre 5: x > 2
Por lo tanto, CS =[2; +oo).
Resolución.
Se tiene la inecuación: [(x - l)(x + 2)(x - 3)] > -1
Aplicamos el teorema 3: (x - l)(x + 2)(x - 3) > O
Aplicapios el método de los puntos críticos:
-2 1
Por lo tanto, CS =[-2; 1] u [3; +oo).
Resolución.
Se tiene la inecuación:
Aplicamos el teorema 4:
Multiplicamos por 2:
r~l] > 4
3x-1
--->4
2 -
3x -1 > 8
3
r,¡;;;;,,;;;114,;;--

21. Sumamos 1: •
Dividimos entre 3:
3x > 9
x>3
Por lo tanto, es= [3; +oo).
Resolución.
Se tiene la inecuación: [l2x - 11- 3] > 8
Aplicamos el teorema 4: l2x - 11 - 3 > 8
Sumamos 3: l2x - 11 > 11
Recuerde:
Luego;
Sumamos 1:
2x - 1 < -11 V 2x - 1 > 11
Zx<-10 V 2x>12
Dividimos entre 2: X < -5 V x > 6
Por lo tanto, es= (-,oo; -5] u [6; +oo).
Resolución.
Se tiene la inecuación: (e[x] - z)(rr[x] - 3).J[x] - x > O
Hallamos el CVA: .J[x] - x está bien definido en Iffi. si:
[x] - X> 0
[x] > x, pero se sabe que: x > [x]; Vx E l. .
Luego, [x] > x > [x]
Es decir, [x] =x
Esto se cumple si x E l. Luego, CVA =I.
Lo reemplazamos en la inecuación:
(ex - 2)(nx - 3)✓x - x > O
(ex - 2)(nx - 3)../o > O
O> O (Verdadero)
Por lo tanto, CS =CVA =l.
e

22. Álgebra ···· ·
-· Ejemplo 1
Resolución.
Se tiene la inecuación: x - 3[x] > 1
Dividimos entre 3:
Es equivalente a:
X -1 > 3[x]
x-1
3 > [x]
x-1
[x] <-3- (x 3
1
tiene que ser entero)
Esta inecuación se verifica si:
x-1 x-1
x<--+1 A --=nE7l
3 3
Multiplicamos por 3: 3x < x - 1 + 3 A x - 1 = 3n
Dividimos entre 3:
2x < 2
X < 1
'----'
3n + 1 < 1
3n < O
A X= 3n + 1
n<O A nE7l
n=-1;-2;-3; ...
Es decir, las soluciones son de la forma:
x = 3n +1 tal que n E {-1; - 2; -3; ... }
(reemplazando los valores a n se obtienen todas las soluciones)
Por lo tanto, CS ={-2; -5; -8; -11; ... }.
Regla de correspondencia:
La gráfica de la función f: Ill -➔ 71. tal que fcx) =[x] =n; n E 7l la obtenemos
dando valores al entero n, pues para cada valor de n se obtiene un intervalo de
valores para x; intervalo en el cual tendremos una función constante de rango {n}.
Recuerde:
Í(x) = [x] =n ~ n < x < n + 1
Luego:
r,¡;;;;.,;;GMtflllllll

23. l MAXIMD ENTERO . . . Álgebra
Sin= -2 --+ Í(x) = -2; -2<x<-1
Si n = -1 --+ Í(x) = -1; -1 <X< 0
Sin= O --+ Í(x) = O; O<x<1
Sin= 1 --+ Í(x) = 1; 1<x<2
Sin= 2 --+ Í(x) = 2; 2<x<3
A continuación se muestra la gráfica de la función Í(x) =[x]:
3 ------- , ---~
1 I 1
1 I 1
2 --- ---~----1
1 ¡ 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 --~--~---~
I 1 1 1
-3 -2 -1 1
1 1 1
1 1 o 1 2 3 4
1 1
1 1
r----------'"'-1
1 ¡, . 1
1 I 1
~---H--- -2
1 I 1
1 I 1
.......,¿____1
____ -3
Para la función Í(x) =[x] se obtiene:
Eje111plo
Dom(f) =Ill y Ran(f) = 7l
Resolución.
1
La función Í(x) =[x] está bien definida en Ii si:
[x] * O
Es equivalente a: ~([x] =O)
~(O< x < 1)
x<O V x>l
Es decir, x E (-oo; O) V x E [1; +oo)
Por lo tant~, Dom([)= (-oo; O) u [1; +oo).
. •·••····· ..,.... . .......,.... ~
·.......~
... .. -·
◄

24. Resolución.
Por dato: Dom(f) =[-1; 1]
El dominio se puede expresar así:
Dom(f) =[-1; O) u [O; 1]
ter caso: x E [.....1; O)
Esto implica que: lxl ..:.. -x. Luego, la función se expresa así:
[
-x - 2] ~~ +2] [ 5]
Í(x) = 3 - X = lix=3 = l +X - 3
Partimos de la desigualdad: -1 < x < O, para formar la función.
Restamos 3: -4 < x - 3 < -3
1 1 1
Invertimos: - - < -- < - -
3 x-3- 4
5 5 5
Multiplicamos por 5: - - < -- < --
3 x-3- 4
2 5 1
Sumamos por 1: --<1+--<--
3 x-3- 4.
Luego, [1 + ~] =-1; 'vx E [-1; O)
Í(x)
2do caso: x E [O; 1]
Esto implica que: lx1=x. Luego, la función se expresa así:
[X- 2] [X - 2] [ 1]
Í(x) = 3 - X = 3 - X = - l + 3 - X
Partimos de la desigualdad: O< x < 1, para formar la función.
Multiplicamos por -1: --1 < -x < O
Sumamos 3: 2 < 3 - x < 3
1 1 1
Invertimos:
3<
3
_ x <
2
2 1 1
Restamos 1: - - < -1 +-- < --
3 - 3-x- 2
r,;;;;¡,,;;¡:¡g.4 -

25. · MAXlMO ENTERO Álgebra ·
Ejemplo
Luego, [-1 + ~] = -1; Vx E [O; 1]
f (x)
De] primer y segundo caso, se obtiene:
fcx) =[';1
_-xz] =-1; Vx E [;-1; l]
Por lo tanto, Ran(f) ={-1}.
-~ ir;{arn,tí .. . é~ó~; f<x) ~· ¡; •
L,. -~~-" ,.dvc•· -~~~~~~,; htet.- ~ ~ ~ "'- - -
Resolución.
Recuerde: [x] =n H n<x <.n_
+ 1; n Ei
La función f se puede expresar de la sig1úente manera:
f(x) =X - n
Luego:
• Sin= -2: f(x) =X+ 2; -2 <X< -1
• Sin= -1: f(x) =X+ 1; -1 <X< 0
• Sin= O: fcx) =x; O<x<l
• Sin= 1: f(x) =X- 1; 1:s;x<2
• Sin= 2: Í(x) =X - 2; 2<x<3
A continuación se muestra la gráfica de la función fcx) =x - [x]:
1
¡---
1
1
...
-3 -2 -1 1 2 3
Para la función Í(x) =x - [x] se obtiene:
Dom(!) =II? y Ran(f) = [O; 1)
i!Wil1mmm1;1,1
,llít