El documento describe la fundamentación de las matemáticas en el siglo XIX y la crisis de los fundamentos matemáticos a finales de ese siglo. Se produjo un cambio de paradigma debido a las contradicciones y paradojas en las matemáticas, lo que llevó a un proceso de rigorización y aritmetización para mejorar los fundamentos lógicos. La teoría de conjuntos de Cantor se convirtió en el candidato para fundamentar las matemáticas, pero también generó paradojas que debían resolverse.

1. Paso 4: Transferencia del conocimiento
Presentado Por:
Jeimy Nataly Ayala Aguilar
Código: 1098102587
Grupo: 13
Presentado a:
Walberto José Roca Bechara
Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD
CEAD MÁLAGA
Escuela Ciencias de la Educación
Epistemología de las Matemáticas
Mayo 2022

2. En el presente documento encontrará un análisis acerca de los problemas de la
fundamentación matemática que se llevó a cabo por medio del proceso de
resignificación, verificación y profundización del conocimiento. De esta manera
hallará un estudio de lo que fueron las causas y características de la rigorización
de las matemáticas, y así mismo lo que fue la crisis de los fundamentos de las
matemáticas a finales del siglo XIX.
Introducción

3. General
• Estudiar a fondo la fundamentación de la matemática y como las corrientes
del logicismo y el intuicionismo influyeron en esta fundamentación, y
generan grandes impactos en el mundo matemático.
Específicos
• Detallar la importancia que tuvieron diversos matemáticos no tan conocidos
hoy en día y ver como estos influyeron de manera sumamente importante
en el mundo de las matemáticas.
• Aprender acerca de las distintas causas y características que nos da la
rigorización de las matemáticas.
• Determinar los respectivos avances que nos ofreció la crisis de los
fundamentos matemáticos.
Objetivos

4. Línea de Tiempo
Problema Causa Característica
Las matemáticas en los siglos
XVII y XVIII
El desarrollo de la matemática en
los siglos. XVII y XVIII fue
acelerado por las profundas ideas
del cálculo infinitesimal y de la
geometría analítica; esto fue debido
al estímulo de innumerables
problemas que provenían de la
física, la ingeniería y de la naciente
tecnología Todo fue muy rápido,
con gran descuido en el rigor de las
ideas. El análisis matemático se
encargó de poner claridad y orden
en un amplio universo de ideas.
El siglo XIX es un período de
intensa actividad matemática; se
crearon teorías fundamentales,
algunas de las cuales aún son
estudiadas en nuestros días. La
presencia de matemáticos de la talla
de Gauss, Abel, Galois, Cauchy,
Riemann, Weierstrass, Cantor, entre
otros, fue decisivo para revisar,
formalizar y crear nuevas ideas
matemáticas, con métodos y
concepciones cada vez más
universales. En el análisis, la idea
de función es precisada,
clarificándose las funciones
continuas, derivables e integrables.
Para ello fue necesaria la
construcción de los números reales
bajo modelos que implican la idea
de límite.

5. Rigor: Una perspectiva histórica durante
el siglo XIX
En buena medida, el corazón de los
procesos de aritmetización y rigorización
de las matemáticas durante el siglo XIX
se encontraba en la búsqueda por
eliminar la referencia geométrica e
intuitiva que había predominado, y
subrayar el papel de la aritmética y la
lógica en la construcción y validación de
las matemáticas. Era importante ofrecer
fundamentos lógicos y nociones más
precisas en el edificio de las
matemáticas, a potenciar sus
fundamentos, sin embargo a veces se
aprecia un distanciamiento de estos
mecanismos de fundamentación de
aquellos conceptos e ideas que dieron
origen al cálculo.
Durante el XIX se dio un énfasis en la
aritmética y el álgebra, por encima de la
geometría. Esto fue así tanto por las
inconsistencias del cálculo (en las
definiciones, en las series, etc.) y también
como una respuesta al impacto producido por
las geometrías no euclidianas. Para la mayoría
de los matemáticos, la geometría euclidiana se
aceptó "acríticamente'' por haber asumido la
intuición como punto de referencia. La
emersión de geometrías no euclidianas se leyó
como el reclamo por eliminar la intuición.
El énfasis en procesos demostrativos
algebraicos y aritméticos respondió tanto a las
necesidades conceptuales propiamente de las
matemáticas como a las necesidades de la
comunidad matemática (incluso psicológicas).
Hasta cierto punto, cierto temor, incertidumbre
e inseguridad en los matemáticos, los de carne
y hueso, fue factor central de esta evolución.
Como siempre, en la ciencia y las matemáticas
en particular, los criterios que se aceptan
responden, también, a las percepciones
(incluso temores y rivalidades) de la
comunidad practicantes.

6. Fundamentos de las matemáticas
En la historia de las Matemáticas
encontramos un momento relevante situado
en el siglo XIX en el que se produce un
cambio de paradigma, debido a que el
carácter poco riguroso de las Matemáticas
llevaba a constantes contradicciones y
paradojas, algunas de ellas relacionadas
con el concepto de infinito matemático. Así
pues, comienza un proceso de rigorización
y de aritmetización del análisis que utiliza
mejores condiciones lógicas en sus
fundamentos, lo que únicamente era
posible partiendo de una abstracción nueva
o la introducción explícita de supuestos
teóricos sobre la existencia y la naturaleza
de las entidades.
Se trataba de encontrar una unidad teórica
en la diversidad, exigiendo una adecuación
conciencia de la naturaleza de las
Matemáticas e incluso del propio
conocimiento. Este cambio de paradigma
hizo avanzar las Matemáticas de manera
significativa, y condujo a la creación de
destacadas Sociedades Matemáticas, que
aportaban legitimidad a los nuevos
resultados matemáticos que se iban
obteniendo.

7. Crisis de los fundamentos matemáticos
A partir de 1874, Georg Cantor (1845-1918) inicia la formulación de la teoría de conjuntos. Su punto de partida
son las colecciones de objetos; y rápidamente, aunque no sin resistencias, dicha teoría se convierte en el
candidato ideal para ser usado como fundamento de la matemática. (Cfr. Sabaté, F. 2007).
Con el decidido apoyo de Richard Dedekind (1831-1916) y Karl Weierstrass (1815-1897) y el firme
rechazo por parte de Leopold Kronecker (1823-1891), Cantor sigue con la publicación de sus artículos en
el Journal de Crelle y en Mathematische Annalen, hasta que, finalmente, entre 1895 y 1897, publica su tratado en
dos volúmenes de teoría de conjuntos, en el que sistematiza estas ideas. Cantor sostiene que la matemática
es muy libre y que las únicas condiciones para un nuevo concepto matemático son la no contradicción y su
definición en función de los conceptos previamente aceptados. No tardan en surgir las paradojas sobre la teoría de
conjuntos, y resulta indispensable establecer una teoría libre de contradicciones. Todo acaba en una terrible
decepción y los matemáticos terminan dudando del fundamento último en el que se apoyan.
Durante los primeros años del siglo XX, coexisten diferentes visiones de la matemática que implican distintos
métodos lógicos. Se trata de fundamentar a la matemática como unidad. La fundamentación como una visión
totalizante que intenta racionalizar y justificar una praxis de hacer global. La búsqueda de la consistencia se
convierte en el objetivo para todos, ya que no se puede construir un sistema de conceptos fundamentales que terminen
en contradicciones.
Por otro lado, la lógica matemática, garantiza la validez del método deductivo.

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,Fue%20profesora%20durante%20un%20semestre%20en%20la%20Universidad%20de%20Alcal%C3%A1,An%C3%A1lisis
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