Epistemología de las matemáticas.

1. Epistemología de las Matemáticas
Los problemas de fundamentación matemática
Miguel Ángel Guevara Moriano
Licenciatura en Matemáticas
Xiomara Patricia Gouriyu
Daniel de Jesús Candelario
Jairo Luis De León
Portada

2. Introducción
En esta presentación se pueden evidenciar los problemas de fundamentación
matemática, a lo largo de la historia, teniendo en cuenta:
▪ Descripción del contexto
▪ Definición de la problemática
▪ Fundamentación teórica
▪ Descubrimientos a partir del siglo XVII al XX
Indicando los autores de los descubrimientos hechos a través de la historia.

3. Objetivos
Objetivo general
Comprender los problemas de fundamentación matemática.
Objetivos específicos
Desarrollar los puntos propuestos en la guía para adquirir un conocimiento de la evolución que ha tenido las
matemáticas después del siglo XVII después de la aparición de los postulados de la geometría euclidiana.
Analizar y comparar los conceptos para obtener un conocimiento significativo que nos lleve a poder
transferir más adelante este conocimiento a nuestros estudiantes.

4. Descripción del contexto
La crisis matemática de la historia viene siendo una lucha intermitente
entre la validez filosófica y la razón matemática, se ha dicho que en
nuestros tiempos ya se puede decir que ya se ha resuelto parcial o
completamente la fundamentación matemática que durante siglos ha
perdido validez entre los matemáticos con sus fallidos métodos, en el caso
de Spinoza, de crear una ética de More geométrica, Kant con su segunda
edición de crítica pura, ha hecho creer que la certeza de ciertos enunciados
matemáticos han sido problemática en su carencia de validez.
En el siglo XIX empezaron a cambiar enunciados matemáticos por otros
más comprensibles, como también se intentó reducir el enunciado de los
números reales que son muy extensos.

5. Tanto ha sido la crítica a la fundamentación matemática que un joven inglés
encontró una contradicción plena al sistema Frege, este problema de
fundamentación, es un problema metodológico y con ella viene a competencias
de la filosofía.
La primera propuesta de fundamentación para las proposiciones matemáticas
fue hecha por Christian Huygens en 1960, este procedimiento fue exitoso en las
matemáticas, aunque esta propuesta no es todavía incompleta porque no se
dicen cómo se justifican las consecuencias mismas. La concepción más amplia
de la actualidad es la fundamentación axiomática, En lógica y matemáticas, un
sistema axiomático consiste en un conjunto de axiomas que se utilizan, mediante
deducciones, para demostrar teoremas. Ejemplos de sistemas axiomáticos
deductivos son la geometría euclidiana compilada por Euclides en los Elementos
y el sistema axiomático de la lógica proposicional.
Descripción del contexto

6. Las matemáticas siempre jugaron un rol especial en el pensamiento científico, sirviendo desde tiempos
antiguos como modelo de verdad y rigor para la inquisición racional, dando herramientas o incluso
fundamentos para otras ciencias, especialmente la física. Pero la matemática ya hacía abstracciones muy
elevadas en el siglo XIX, que trajeron paradojas y nuevos desafíos, exigiendo un examen más profundo y
sistemático de la naturaleza y del criterio de la verdad matemática, así también como una unificación de las
diversas ramas de la matemática en un todo coherente.
La búsqueda sistemática de los fundamentos de las matemáticas empezó a finales del siglo XIX, y formó
una disciplina nueva llamada lógica matemática con fuertes vínculos con la ciencia de la computación
teórica. Fue mediante una serie de crisis con resultados paradójicos, que los descubrimientos se
estabilizaron durante el siglo XX con un amplio y coherente cuerpo de conocimiento matemático con
muchísimos aspectos y componentes (teoría de conjuntos, teoría de modelos, teoría de pruebas, etc.),
cuyas detalladas propiedades y posibles variantes aún están en campo de investigación. Su alto nivel de
sofisticación técnica inspiró a muchos filósofos a conjeturar que podrían servir de modelo para los
fundamentos de otras ciencias.
Definición de la problemática

7. La fundamentación teórica de la matemática busca dar razón a la teoría del conocimiento matemático, es
por eso que es sometido a un análisis constante.
Los aportes de los matemáticos griegos fue la de transformar la matemática empírica de las civilizaciones
mesopotámica y egipcia, en una matemática teórica y deductiva, por ello se dice que los griegos crearon
una teoría matemática en la que se demostraba sus construcciones por deducción a partir de un conjunto
de axiomas, postulados, definiciones.
Como Pitágoras había desarrollado la forma de encontrar la magnitud del lado de mayor longitud del
triángulo rectángulo, en este teorema se encontró con el problema de hallar la hipotenusa de un triángulo
rectángulo cuando dos de sus lados tenían magnitud una unidad, el problema fue que esta magnitud le
daba como resultado un número que hasta el momento los pitagóricos no habían tratado, es decir raíz
cuadrada de dos, los pitagóricos se alarmaron por la existencia de este tipo de números que se
consideraban “tan raros”, ya que contradecían sus teorías porque ellos consideraban a los números como
entes perfectos, además que gobernaba el universo y lo que en él existía.
Fundamentación Teórica

8. Línea de Tiempo
Siglo XVII Siglo XVIII Siglo XIX
La introducción de
la Geometría
analítica por René
Descartes
El descubrimiento
del cálculo por
Isaac Newton y
Gottfried Leibniz
Los avances en la
formalización de los
fundamentos del cálculo
siglos XVIII y XIX, por
Bernhard Bolzano, Augustin
Cauchy, Bernhard Riemann,
Karl Weierstrass y Richard
Dedekind
El descubrimiento de las
geometrías no euclidianas en
el siglo XVIII y comienzos del
siglo XIX, por Nikolái
Lobachevski, Karl Friedrich
Gauss, János Bolyai, entre
otros
La introducción del Álgebra Booleana
en el siglo XIX, por George Boole.
El desarrollo de la Lógica Matemática
también en el siglo XIX, por George
Boole, Gottlob Frege, Giuseppe
Peano, Alfred Whitehead, David
Hilbert, entre otros.
El desarrollo de la teoría elemental de
conjuntos, por Georg Cantor, en el
siglo XIX.
Siglo XX
El descubrimiento de
paradojas en la teoría de
conjuntos de Cantor, por
Bertrand Russell y otros a
comienzos del siglo XX.
Los intentos para superar las
paradojas y desarrollo de las
teorías axiomáticas de
conjuntos, Ernest Zermelo,
Abraham Fraenkel, John
Neumann, Paul Bernays, Kurt
Godel, en el siglo XX..

9. Referencias Bibliográficas
Gualdron Romero, M, (2016). La bibliografía y el rigor científico.
Ímaz, C, (2010). La génesis y la enseñanza del Cálculo. Las trampas del
rigor.
Kline, M, (2000). Matemáticas: La pérdida de la certidumbre.
Dalachet, M, (1973). Análisis matemático.
Miró Quesada, F, (1954). Filosofía de las matemáticas.
Vidal Abascal, E, (1961). La nueva matemática.