El documento presenta una línea de tiempo de los problemas de fundamentación matemática desde la antigüedad hasta el siglo XX. Aborda figuras clave como Euclides, Arquímedes, Descartes, Newton, Bolzano, Cantor y Frege, y hitos como la geometría analítica, el cálculo infinitesimal, las geometrías no euclidianas y la teoría de conjuntos. Finalmente, explica tres tendencias en los primeros años del siglo XX para fundamentar las matemáticas: logicismo, formalismo e intuicionismo.

1. Línea de tiempo.
Línea del tiempo problemas de la fundamentación matemática.
Grupo: 551103_8

2. Paso 4. Transferencia de conocimiento.
Presentado por:
Cindy J, Solano Cardona
Herly F, Achagua
Marlin T, Mesa
Adriana C, Pabon
Dumar Alfredo Peréz
551103: Historia de las Matemáticas
Grupo: 551103_8
Tutor: Carlos Edmundo Lopez Sarasty
Universidad Abierta a Distancia UNAD
Escuela De Ciencias De la Educación
03 de agosto de 2021

3. Introducción
 En nuestra vida cotidiana, desde nuestros primeros años hemos implementado
conceptos matemáticos numéricos. Sin darnos cuenta, distintas operaciones que nos
ayudan a dar solución a problemas que se presentan en nuestra rutina diaria y a medida
que aprendemos matemáticas vamos adquiriendo conocimientos, principios y
conceptos fundamentales. Por consiguiente, esta actividad nos invita a analizar los
problemas de fundamentación matemática, características de las causas rigorización en
las matemáticas y los fundamentos de las matemáticas. Los cuales, son el estudio de
conceptos matemáticos básicos como números figuras geométricas, conjuntos, etc. que
forman parte del lenguaje matemático.
 Las matemáticas ayudaron en el pensamiento científico, aportando significativamente
como modelo de verdad y rigor. También, las matemáticas desde el siglo XIX, trajeron
paradojas, nuevos pensamientos, desafíos, buscando un criterio de la verdad y
unificación de las diversas ramas de la matemática, empezando una búsqueda de
conocimiento y formando la lógica matemática.

4. Edad antigua:
En la antigua Grecia se pensaba que el universo podía ser explicado a través de los números. Este concepto fue refutado
por grandes pensadores, filósofos y matemáticos griegos.
Filósofos como Zenón y Eudoxio reflexionaron sobre el problema del infinito creando paradojas las cuales fueron
analizadas y refutadas a lo largo de la historia.

5. “El gran mérito de Euclides reside en su labor de sistematización:
partiendo de una serie de definiciones, postulados y axiomas,
estableció por rigurosa deducción lógica todo el armonioso
edificio de la geometría griega. Juzgada no sin motivo como uno
de los más altos productos de la razón humana y admirada como
un sistema acabado y perfecto, la geometría euclidiana
mantendría su vigencia durante más de veinte siglos, hasta la
aparición, ya en el siglo XIX, de las llamadas geometrías no
euclidianas.” (Ruiza, 2004)
 EUCLIDES
 (330 a.C. - 275 a.C.)
ARQUÍMEDES
(Siracusa, actual Italia, h. 287 a.C. - id., 212 a.C.)
“El esfuerzo de Arquímedes por convertir la estática en un
cuerpo doctrinal riguroso es comparable al realizado
por Euclides con el mismo propósito respecto a la geometría.
Tal esfuerzo se refleja de modo especial en dos de sus libros;
en el primero de ellos, Equilibrios planos, fundamentó la ley
de la palanca, deduciéndola a partir de un número reducido
de postulados, y determinó el centro de gravedad de
paralelogramos, triángulos, trapecios y el de un segmento de
parábola.” (Ruiza, Biografías y Vidas. La enciclopedia
biográfica en línea, 2004)

6. “En matemáticas el surgimiento de dificultades esenciales dio
lugar a teorías revolucionarias más amplias. Tal es el caso de la
crisis que surgió en la antigua Grecia. La matemática en la
antigüedad llego a niveles de significado y gran profundidad.
Así fueron los trabajos de Tales, Pitágoras, Euclides, Apolonio y
sobre todo Arquímedes. La hipótesis que el universo podía ser
explicado con los números naturales y racionales sufrió un
gran golpe en el seno de la escuela pitagórica.
Zenón y Eudoxo fueron dos pensadores de la antigüedad que
reflexionaron en el problema del infinito, que es precisamente
adonde llegaron los pitagóricos. A ellos se les debe un
conjunto de paradojas que sorprendieron a sus
contemporáneos y a las generaciones del futuro.” (Fernández,
1988)

7. Edad contemporánea siglo XVII-XVIII
 XVI y XVII fue la gran crisis epistemológica que siguió a la creación de la Geometría analítica por Renato
Descartes, hacia 1637.
 El Cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz (hacia fines del siglo XVII) y que prolongándose durante todo
el siglo XVIII, sólo vino a ser superada en el pasado siglo por obra de Cauchy, Weierstrass, Dedekind y otros,
al lograr estos matemáticos establecer, por primera vez, con claridad y precisión, los conceptos de número
real, de límite, de infinitesimal, de continuidad, de convergencia XVII
 Los matemáticos del siglo XVIII, ocupados en desarrollar las consecuencias del nuevo cálculo y sus múltiples
e importantes aplicaciones a la Geometría, a la Mecánica, a la Física y a la Astronomía, casi no se
preocuparon por sus fundamentos y una densa niebla metafísica invadió sus concepciones básicas. Puede
decirse que aplicaban el cálculo diferencial e integral sin tener una idea precisa de sus conceptos
fundamentales y sin percatarse de sus limitaciones y su alcance. En consecuencia, sólo hombres de un fino
espíritu matemático, como Euler, se libraron de cometer errores groseros.

8. Isaac Newton (1642-1727)
“Newton para estableció la fórmula binomial, la cual tuvo la virtud
de hacerle ver el interés de las series infinitas para el cálculo
infinitesimal, legitimando así la intervención de los procesos
infinitos en los razonamientos matemáticos y poniendo fin al
rechazo tradicional de los mismos impuesto por la matemática
griega. La primera exposición sustancial de su método de análisis
matemático por medio de series infinitas la escribió Newton en
1669” Durante este siglo el aporte del cálculo infinitesimal por
Newton y Leibniz desentraño la crisis en los fundamentos de la
geometría y el cálculo. 1637 Modificación a la geometría que
introdujo descartes. En el siglo XVII fue causa de los trances
epistémicos”(Ruiza, 2004)
René Descartes
(La Haye, Francia, 1596 - Estocolmo, Suecia, 1650)
“Filósofo y matemático francés. El primero de
los ismos filosóficos de la modernidad fue el racionalismo;
Descartes, su iniciador, se propuso hacer tabla rasa de la tradición
y construir un nuevo edificio sobre la base de la razón y con la
eficaz metodología de las matemáticas. Su «duda metódica» no
cuestionó a Dios, sino todo lo contrario; sin embargo, al igual que
Galileo, hubo de sufrir la persecución a causa de sus ideas.
Descartes realza el aspecto del análisis geométrico, utilizando
graficas cartesianas, promueve así la geometría analítica
Pitágoras, filósofo y matemático griego, considerado el primer
matemático puro, diferencia la matemática de la filosofía”

9. Bernhard Bolzano
Praga, actual República Checa, 1781 - id., 1848
Las inquietudes científicas de Bolzano resultaron muy avanzadas para su
tiempo, preocupado como estaba por los fundamentos de varias ramas
de la matemática, a saber, la teoría de las funciones, la lógica y la noción
de cardinal. Tras demostrar el teorema del valor intermedio, dio el
primer ejemplo de una función continua no derivable sobre el conjunto
de los números reales. En el campo de la lógica, trató la tabla de verdad
de una proposición e introdujo la primera definición operativa de
deducibilidad. Estudió asimismo, con anterioridad a Cantor, los
conjuntos infinitos.
Leonhard Euler (1707-1783),
El matemático Leonhard Euler (1707-1783), junto con los
hermanos Bernoulli le aportaron a las matemáticas muchos
trabajos importantes desde finales del siglo VII hasta
mediados del siglo XVIII.SIGLO XVII En el año 1741,
Federico el Grande lo invitó a la Academia de Berlín, donde
depura los métodos del cálculo integral, convirtiéndola en
una de las herramientas de aplicación en la física,
configurando de esta forma las matemáticas aplicadas que
sirvieron de base a los siguientes matemáticos para el
desarrollo de las ecuaciones diferenciales, las funciones
trigonométricas y logarítmicas.

10. Siglo XIX-XX
 En el siglo XIX, la imagen tradicional de las matemáticas fue cuestionada. Dicha crisis se originó
principalmente por las geometrías no euclidianas y la teoría de los conjuntos.
 La crisis del siglo XIX, muestra el esfuerzo por introducir rigor lógico en matemáticas, la línea del
tiempo nos muestra cambios sorprendentes no solo en la crisis, rigorización de las matemáticas,
filosofía a través de la historia hasta el día de hoy trayendo importantes contribuciones, avances que
nos han permitido evolucionar no solo en nuestro planeta tierra si no también en la búsqueda de
infinitas respuestas en el universo permitiéndonos avances científicos.
 El siglo XIX es un periodo de intensa actividad matemática, se crearon teorías fundamentales, alguna
de las cuales aún son estudiadas en nuestros días. La presencia de matemáticos como Gauss, Abel,
Galois, Cauchy, Riemann, Weierstrass, Cantor entre otros fue decisivo para revisar, formalizar y crear
nuevas ideas matemáticas, con métodos y concepciones cada vez mas universales. En el análisis, la
idea de función es precisada clasificándose las funciones continuas, derivables e integrables.
 A principios del siglo XIX se evidenciaron elementos de la matemática que rompían supuestamente el
esquema de la coincidencia matemática-naturaleza dando origen al surgimiento de las geometrías no
euclidianas y la existencia de números volcaron las mentes sobre los fundamentos lógicos. La
emersión de “lo nuevo” en las matemáticas del siglo XIX, afirmaba una separación entre las
matemáticas y la realidad.

11.  Durante los primeros años del siglo XX, coexisten diferentes visiones de la matemática que implican
distintos métodos lógicos. Se trata de fundamentar a la matemática como unidad.
 La teoría de conjuntos establece los fundamentos, esto es los conceptos primitivos sobre lo que se debe
desarrollar la totalidad de la matemática; por otro lado, la lógica matemática, garantiza la validez del
método deductivo. Desde hay aparecen posiciones que pueden agruparse, en al menos tres tendencias:
logicismo, formalista, e intuicionismo.
 El logicismo se debe casi totalmente a Gottlob Frege (1848-1925) el programa de Frege usa la teoría de
conjuntos como uno de sus principales recursos para reducir la matemática a la lógica. Los objetos
matemáticos son objetos puramente lógicos y los principios matemáticos son leyes lógicas o derivado de
leyes lógicas.
 El formalismo se desarrolló bajo la dirección de David Hilbert (1862-1943) cuando plantea los 23 problemas
no resueltos, que según su pensar, constituirían el gran desafío para los matemáticos del siglo XX. Para
Hilbert la teoría es un esquema de conceptos que puede ser llenado de material por parte de la
interpretación del sujeto.
 La aparición de una nueva escuela matemática tiene sus raíces en algunas controversias que se suscitaron a
comienzos del siglo XX, tales como la aceptación que la matemática sea una extensión de la lógica, y la
consistencia sea un requisito suficiente de la existencia de objetos matemáticos.

12. Georg Ferdinand Cantor
San Petersburgo, 1845 - Halle, Alemania, 1918
Partiendo de las ideas contenidas en una obra póstuma de Bernhard
Bolzano, Paradojas de lo infinito (1851), en 1874 publicó su primer
trabajo sobre teoría de conjuntos. Entre 1874 y 1897, demostró que el
conjunto de los números enteros tenía el mismo número de elementos
que el conjunto de los números pares, y que el número de puntos en un
segmento es igual al número de puntos de una línea infinita, de un plano
y de cualquier espacio. Es decir, que todos los conjuntos infinitos tienen
«el mismo tamaño».
Cantor consideró estos conjuntos como entidades completas con un
número de elementos infinitos completos. Llamó a estos números
infinitos completos «números transfinitos» y articuló una aritmética
transfinita completa. Por este trabajo fue ascendido a profesor en 1879.
Gottlob Frege
(Wismar, actual Alemania, 1848 - Bad Kleinen, id., 1925)
se le considera hoy el padre de la lógica moderna. Fue el primero
que abordó de manera orgánica el problema de los fundamentos
de las matemáticas, al establecer una estrecha relación entre la
definición filosófica de la esencia del conocimiento matemático
y la rigurosa descripción de los procesos demostrativos; también
fue el pionero del análisis lógico del lenguaje. En todo momento
un objetivo inspiró su actividad: probar que la aritmética es una
rama de la lógica y que no necesita extraer una fundamentación
demostrativa ni de la experiencia ni de la intuición.

13. Bertrand Russell
(Trelleck, 1872 - Plas Penrhyn, 1970)
“hizo revolucionarias contribuciones a los fundamentos de las matemáticas y al
desarrollo de la lógica formal contemporánea, así como a la filosofía analítica. Sus
contribuciones relativas a las matemáticas incluyen el descubrimiento de la
paradoja de Russell, su defensa del logicismo (la visión de que las matemáticas, en
cierto grado, pueden reducirse a la lógica formal), su introducción a la teoría de
tipos y el haber refinado y popularizado el cálculo predicado de primer orden.
Junto con Kurt Gödel se le considera como uno de los dos lógicos más importantes
del siglo veinte.
Russell descubrió la paradoja que lleva su nombre en mayo de 1901. La paradoja
surgió en conexión con el conjunto de todos los conjuntos que no son elementos
de sí mismos. Tal conjunto, de existir, sería elemento de sí mismo si y sólo si no es
elemento de sí mismo. El significado de la paradoja se obtiene puesto que en la
lógica clásica todas las afirmaciones involucran una contradicción. (Castro, s.f.)”
David Hilbert
(Wehlan, actual Alemania, 1862 - Gotinga, id., 1943)
Hilbert presentó una lista de veintitrés problemas que a la sazón no
habían sido resueltos todavía; a su juicio, las probables líneas de
desarrollo que iba a seguir la matemática del siglo XX habrían de estar
en buena medida vinculadas a la resolución de dichas cuestiones. Sus
trabajos posteriores desembocaron en la concepción de los espacios de
infinitas dimensiones llamados espacios de Hilbert, base del moderno
análisis funcional.
A partir del año 1904 empezó a desarrollar un programa para dotar de
una base axiomática a la lógica, la aritmética y la teoría de conjuntos,
con el objetivo último de axiomatizar toda la matemática.

14. Paul Isaak Bernays
(Londres, 1888-Zurich, 1977)
Profesor en Gotinga y en el Instituto Federal de
Tecnología de Suiza, orientó sus estudios hacia la lógica
matemática y la metamatemática y colaboró con D.
Hilbert en la elaboración de los Fundamentos de la
matemática (1934-1939). Se le deben notables
aportaciones a la axiomatización de la teoría de
conjuntos.

15. Características de las causas de la
rigorización y de la crisis de los
fundamentos.
 La crisis matemática de la historia fue una lucha entre la validez filosófica y la razón matemática.
 Siglo VII: inauguración de la era a partir de los análisis matemáticos a partir de los métodos infinitesimales, la
diferenciación e integración.
 1770: Euler desarrolla los métodos de integración y de resoluciones diferenciales. 1831: Galois, tras profundizar en
el estudio del algebra desarrolla la teoría de grupos. 1872: Después de fundamentar el análisis numérico a partir
de los racionales.
 1874: Cantor desarrolla a partir de la teoría de los números irracionales, su trabajo sobre la teoría de conjuntos.
 Siglo XIX: Karl Weierstrass y Cauchy comienzan a utilizar la definición formal de limite matemático. Peano;
propone un sistema de axiomas de segundo orden utilizando en investigaciones matemáticas. Gauss,
Lobachevsky, Ferdinand, Schweickard desarrollaron la teoría no euclídea, logrando construir la geometría
hiperbólica. Algebra de Boole; estructuras que esquematiza las operaciones lógicas.
 1904: Integral de Lebesgue, es la extensión y reformulación del concepto de la integral de Riemann. Siglo XX: Loa
problemas de Hilbert conforman una lista de 23 problemas matemático.
 1931: problemas de incompletitud de Gödel son los célebres teoremas de lógica matemática. Siglo XIX: Con la
aritmetización y la rigorizacion surge la importancia de ofrecer fundamentos lógicos y esclarecer conceptos con
nociones más precisas. Se enfatiza la aritmética y el algebra por encima de la Geometría. Se estabiliza la crisis con
un amplio conocimiento matemático.

16. La aparición de la geometría no
euclidiana
 Se puso en duda el quinto postulado, el cual se refiere que solo puede pasar una sola línea paralela por un punto externo a una
línea recta. Este teorema no se podía reducir a otros postulados y su veracidad era poco confiable. Se fueron desarrollando
geometrías que dejaban de lado dicho postulado y a su vez partían de postulados diferentes.
 Con la teoría de la relatividad queda claro que es espacio es curvo y no plano como supone la geometría euclidiana.
 Este fue un golpe duro para la imagen tradicional de las matemáticas. Se llegó a concluir que todos los sistemas axiomáticos
son meramente convencionales, ninguno en sí mismo verdadero que los axiomas no son verdades autoevidentes, sino
enunciados que se eligen de modo arbitrario y que se aceptan sin prueba para poder demostrar otros.
 Se puso en duda los conceptos y principios de las matemáticas. también, se puso en duda los métodos que se empleaban para
obtener conclusiones derivadas de ellos, pues se temía que debido a esos fundamentos se produjeran contradicciones,
poniendo en riesgo toda la estructura de las matemáticas y las ciencias que se apoyan de esta.
 Los formalistas estaban convencidos de que todo era alcanzable a través de las matemáticas. Aspiraban a refundar las bases de
las matemáticas para evitar las paradojas planteadas derivadas de falta de precisión en los planteamientos
 En 1874 el matemático conjuntista Georg Cantor propone la teoría de los conjuntos que creyó que podía servir para
fundamentar lógicamente a la matemática, definiendo todos los conceptos matemáticos por medio de conceptos lógicos y
reducir todos los teoremas matemáticos a principios lógicos.

17. La aparición de las paradojas.
 La búsqueda sistemática de los fundamentos de las matemáticas empezó a finales del siglo XIX formando la lógica matemática.
 Mediante una serie de crisis con resultados paradójicos los descubrimientos se estabilizaron durante el siglo xx con un amplio y
coherente cuerpo de conocimiento matemático.
 La paradoja de Bertrand Russell demuestra que la teoría de los conjuntos de Cantor y Frege es contradictoria.
 Godel mostro en cierto modo las limitaciones de la matemática, es decir esta no puede probarlo todo; en particular no puede
probar su propia existencia. El teorema de incompletitud de Godel indica que no hay ningún método de prueba formal que
pueda demostrar tosas las verdades de la matemática, y ni siquiera de la teoría elemental de los enteros positivos. Con esto se
produjo un giro en la filosofía de la matemática, pues se había supuesto que la verdad matemática consistía en la
demostrabilidad.
 Se obtuvieron dos geometrías la hiperbólica y la elíptica distintas de la euclídea, pero sin contradicciones.

18. Referencias.
Castro, C. P. (s.f.). Instituto de Matemáticas UNAM. Obtenido de Instituto de Matemáticas UNAM: https://paginas.matem.unam.mx/cprieto/biografias-de-matematicos-p-
t/230-russel-bertrand
Fernández, A. O. (1988). Crisis en los fundamentos de la matemática. Pro Mathematica, 32.
Ruiza, M. F. (2004). Biografías y Vidas. La enciclopedia biográfica en línea. Obtenido de Biografías y Vidas. La enciclopedia biográfica en línea:
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