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- 1. Calculo Diferencial Unidad 2: Paso 6 - Análisis de las Derivadas y sus Aplicaciones Presentado por: Johann Alberto Garzón Bonilla-CC 2.234.857 Tutor: Carlos Eduardo Otero Murillo Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Abril de 2018
- 2. Introducción La Derivada es un elemento utilizado en la matemática para calcular respuestas de una función a la que se le están alterando sus valores iniciales. La derivada de una función está representada gráficamente como una línea recta superpuesta sobre cualquier curva (función), el valor de esta pendiente respecto al eje sobre el cual está siendo estudiada la función recibe el nombre de Derivada. Esta línea, está colocada sobre el punto más extremo (superior o inferior) de la curva, por lo que a su vez está determinando un límite al que la función llega, en relación al incremento que consiga la variable estudiada por las alteraciones que reciba.
- 3. FASE 1 DESARROLLO DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS PASO 6 1. Derivada 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 + √𝑥 +3 Derivamos 𝒆𝒙 𝒍𝒊𝒎 𝒉 → 𝟎 𝒆𝒙+𝒉 − 𝒆𝒙 𝒉 𝒍𝒊𝒎 𝒉 → 𝟎 𝒆𝒙 . 𝒆𝒉 − 𝒆𝒙 𝒉 𝒆𝒙 𝒍𝒊𝒎 𝒉 → 𝟎 𝒆𝒉 − 𝟏 𝒉 𝒆𝒙 𝒍𝒊𝒎 𝒉 → 𝟎 𝟏 + 𝒉 − 𝟏 𝒉 𝒆𝒙 𝒍𝒊𝒎 𝒉→𝟎 𝒉 𝒉 = 𝒆𝒙(𝟏) Derivada es: 𝒆𝒙 𝑭(𝒙) = 𝒆𝒙 + 𝒙 𝟏 𝟐 + 𝟑 𝑭(𝒙) = 𝒆𝒙 + 𝒙−𝟏/𝟐 𝟐 + 𝟑 𝑭(𝒙) = 𝒆𝒙 + 𝟏 𝟐√𝒙
- 4. 2. Derivada implícita 𝑥3 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 = 4 Derivamos Ambos miembros con respecto de x: 𝒙𝟑 + 𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 = 𝟒 𝒅𝒚 𝒅𝒙 [𝒙 𝒚] 𝟑𝒙𝟐 + 𝒚 + 𝒙(ý) + 𝟐𝒚 = 𝟎 𝒙ý = −𝟑𝒙𝟐 – 𝒚 −𝟐𝒚 𝒙ý = −𝟑𝒙𝟐 – 𝟑 𝒚 ý = − 𝟑𝒙𝟐 –𝟑 𝒚 𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = − 𝟑𝒙𝟐 –𝟑 𝒚 𝒙 3. Derivadas de Orden Superior f (x) = ln(x) hallar la segunda derivada 𝑭(𝒙) = 𝑰𝒏 (𝒙) 𝒅 𝒅𝒙 = 𝒍𝒏𝑽 = 𝑽´ 𝑽 𝑭´(𝒙) = 𝒙´ 𝒙 𝑭´(𝒙) = 𝟏 𝒙 Primera Derivada 𝒅 𝒅𝒙 ( 𝒖 𝒗 ) = 𝒗𝒖´ − 𝒖𝒗´ 𝒗𝟐
- 5. 𝑭´´(𝒙) = 𝟏 𝒙 𝑭´´(𝒙) = 𝒙(𝟏)´−𝟏(𝒙)´ 𝒙𝟐 𝑭´´(𝒙) = 𝒙(𝟎)−𝟏(𝟏) 𝒙𝟐 𝑭´´(𝒙) = − 𝟏 𝒙𝟐 Segunda Derivada FASE 2 DESARROLLO DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS PASO 6 En Geogebra, graficar la siguiente función encontrar la pendiente de la recta tangente en varios puntos. 𝒇(𝒙)=𝟐𝒄𝒐𝒔(𝒙)
- 7. (𝒙)=𝒆𝒙+4
- 10. FASE 3 ENSAYO SOBRE DERIVADAS La derivada tiene muchas aplicaciones en la vida cotidiana, con la derivada se puede deducir: con la derivada implica se calcula la “razón de cambio” o en palabras más simples, velocidad. También nos ayuda a encontrar valores máximos y mínimos para problemas físicos reales (bajo el mismo principio de razón de cambio). También es empleada en la oficina…con una función que relacione los costos del edificio con el tamaño del mismo. Muchas son las aplicaciones de la derivada en profesiones como la ingeniería, la economía, la administración etc. Las derivadas sirven para solucionar problemas de física y todas las materias que se basan en ella como estática, cinemática, calor, mecánica, ondas, corriente eléctrica, magnetismo, etc. Sirven para explicar el comportamiento de la curva de una función trigonométrica. Es decir tiene un número sin fin de aplicaciones en las cuales toma un papel importante El concepto de derivada es importante comprender y derivar fórmulas, que a su vez tienen una importante aplicación en cualquier campo de trabajo y la ciencia en general. El propósito principal de un derivado es optimizar los sistemas que se expresan por las funciones más o menos complejo. Además, es habitual encontrar la derivada de aplicar los valores máximos y mínimos de ciertas expresiones matemáticas. Finalmente, los derivados son útiles para la búsqueda de los intervalos de aumento o disminución del valor de interés cada vez que se puede expresar por funciones.
- 11. Conclusiones La aplicación de la derivada en la ingeniería representa razones de cambio en su aspecto más simple; así pues, cada vez que prendes tu teléfono celular, cuando vez que un edificio resiste el embate del viento, la aguja que se mueve en el velocímetro del automóvil... todo eso son las derivadas funcionando. Ahora existe otra cuestión fundamental, que es el hecho de que sirve para calcular velocidades; no solo de un cuerpo, sino que velocidades de crecimiento, decrecimiento, enfriamiento, separación, divergentes de fluidos, etc.