Este documento presenta la unidad 3 de cálculo diferencial sobre derivadas. Explica que la derivada mide cómo cambia una función cuando su variable independiente cambia, como la velocidad de un vehículo en función del tiempo. Luego, define formalmente la derivada y presenta diferentes métodos para calcular derivadas de funciones algebraicas, incluyendo la fórmula de los cuatro pasos y reglas para funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. El objetivo es que los estudiantes aprendan a calcular derivadas y comprendan su importancia

1. MATEMATICAS IV – CALCULO DIFERENCIAL
UNIDAD 3
OBJETIVO: Que el estudiante relacione conocimientos de diversas disciplinas (sistemas y reglas o
principios medulares) para estructurar ideas, argumentos y crear modelos que den solución a problemas
surgidos de la actividad humana.
INDICE :
 Derivadas:
Definición
Razón de cambio promedio de interpretación geométrica
Derivadas de funciones algebraicas
Derivadas sucesivas
 Videos y páginas web recomendados para esta unidad
 Bibliografía
1

2. LA DERIVADAD
DEFINICION En cálculo (rama de las matemáticas), la derivada representa cómo una
función cambia (valor de la variable dependiente) a medida que su entrada (valor de la variable
independiente) cambia. En términos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cuánto está
cambiando el valor de una función en un punto dado (o sea su velocidad de variación); por ejemplo,
la derivada de la posición de un vehículo con respecto al tiempo, es la velocidad instantánea con la
cual el vehículo está viajando.
EXPLICACION
1º IMAGINA: tienes que trasladar un carro por estas escaleras hacia arriba (figura 1)
Dispones de unos tablones que irás poniendo de peldaño a peldaño (Figura 2) para poder desplazar tu
carro
Fijate en ellos, observa la figura 2 ¿Qué puedes asumir con relación a su inclinación?
Respuesta: que tendrás que hacer mucho esfuerzo al inicio para desplazar tu carro y menos al final en el
último tramo. La pendiente, aunque subas todo el tiempo, es más elevada al inicio que al final.
Si establecemos el ángulo entre el tablero y la horizontal (Figura 3), vemos que el ángulo se va
reduciendo a medida que vamos avanzando a lo largo de los tablones. Se dice que el coeficiente
director de la pendiente va reduciéndose.
Por ejemplo, en el punto 6, o 7, o 8, y 9 (el tablero azul) tenemos una pendiente con un coeficiente
director de ¼ ya que tiene que recorrer 4 unidades de medida (la profundidad de la escalera) para subir
1 unidad en el punto 10 (altura de la escalera) . La pendiente es la división de lo que ha subido (1 punto)
2

3. sobre lo que ha avanzado (4 unidades), es decir la pendiente es de 1/4= 0,25 (es lo que se llama el
coeficiente director de la recta). La pendiente del tablero amarillo, es de 0,2, ya que hay que recorrer 5
para subir 1. Si, por ejemplo en este mismo punto, en lugar de una unidad se subiese 10 unidades ¿Cuál
sería la pendiente en este caso?
Respuesta: La pendiente en ese caso sería de 10/5= 2.
Eso que acabamos de explicar es la clave de la derivada. Así de sencillo.
La derivada nos muestra la evolución de la inclinación de los tablones a lo largo del trayecto.
Así que la derivada tiene que ver con los cambios de los coeficientes directores o los ángulos de los
tablones con relación a la horizontal. En el ejemplo los coeficientes son positivos hasta el punto 21, a
partir del punto 21 el coeficiente director es 0 ya que el tablón está paralelo al suelo, si a partir de ahí se
fuese avanzando y las escaleras fuesen bajando, en lugar de subir, el coeficiente director sería negativo. Si
fuese bajando de modo simétrico al que ha ido subiendo encontraríamos los mismos índices angulares
pero negativos.
La derivada muestra la evolución de la pendiente, en cada punto de los tablones, a lo largo de la curva.
¿Lo has entendido?
Así que si remplazamos todos esos tablones por una solo tablero flexible que se posiciona sobre la
escalera, podríamos decir que es una subida continua ya que la rueda de mi carro no siente ningún tipo
de discontinuidad a lo largo del trayecto (no hay rupturas entre tablones) y escribiríamos una función
continua f(x) que nos indicaría por cada punto que avanzamos en que punto de la altura nos
encontramos. Mientras que la derivada sería una función f’(x) derivada de la anterior función que ya no
nos da la altura sino que nos dice de cuánto cambia aquella función primitiva y la pendiente que tiene en
cada punto del tablero flexible.
Los matemáticos dicen que la derivada es la función f’(x) que da la tangente en cada punto de la curva
f(x).
De todo esto lo importante es que lleguemos a imaginar y a visualizar con algún ejemplo como la
derivada mide las evoluciones y los cambios de una variable (en el ejemplo, la altura de la escalera del
dibujo) con relación a otra (la profundidad de la escalera del dibujo).
3

4. Ahora vamos a imaginar otras funciones en las que hay una derivada. ¿Se te ocurre alguna?
Por ejemplo el incremento de peso que has ido generando en función de los años. ¿Qué me dará la
derivada? Eso ya lo podéis responder: la evolución de ese incremento de peso que no es otra cosa la
evolución del ángulo de los tablones sobre la horizontal.
¿Para qué sirve entonces la derivada?
La derivada permite ver, a través de la pendiente en todo punto de la curva, la evolución o el cambio de
muchos fenómenos físicos. Permite calcular los puntos clave ahí donde la pendiente es 0 (máximos y
mínimos) para buscar los óptimos.
Ejemplo. Permite hacer otros muchos cálculos asociados a este hecho de la pendiente de la tangente en
cada punto de la curva. En física, electricidad, electrónica, en química, permite estudiar muchos
fenómenos evolutivos asociados como la velocidad, la aceleración, los flujos, las acumulaciones. Las
derivadas están siempre presentes. Se utiliza en economía, se utiliza en gestión, se utiliza en arquitectura.
Los sistemas de cálculo de frenado y de automatización utilizan derivadas, los sistemas y las máquinas
automatizadas para fabricar o para controlar utilizan derivadas. Por ejemplo, los sistemas que controlan
la parada de vuestro ascensor para que ésta sea suave, se controla el “jerk” que es la derivada de la
aceleración con relación al tiempo.
Fermat fue el primero en establecer, el uso de la derivada, aplicándola al estudio de puntos máximos y
mínimos de una curva, pero fue Newton en 1669 quien la integró en un sistema matemático que es una
genialidad y que se llama el Cálculo integral y diferencial y que se puede decir es la base matemática de
la ciencia clásica
TAREA 1: ¿QUE ENTENDISTE POR EL TERMINO DERIVADA?
4

5. RAZÓN DE CAMBIO Y PROMEDIO DE INTERPRETACIÓN GEOMETRICA
La razón de cambio también conocida como taza de cambio, de variación o de transferencia de la
función en el intervalo [a, a+h], que se representa por Δy, es la diferencia entre las ordenadas
correspondientes a los puntos de abscisas a y a+h. Es decir, la medida en que una variable cambia con
respecto a otra, como por ejemplo la velocidad, la cual es una razón de cambio del espacio con
respecto al tiempo: lim(Dx/Dt, t tiende a cero).
RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO es el cociente de las diferencias de f durante el intervalo [a, b]. A
la diferencia en las coordenadas x de los puntos de la gráfica de una función f se le llama incremento
de x, se le denota mediante Δx que es igual a x2 – x1 es decir, Δx = x2 – x1 asimismo, Δy = y2 – y1 al
formar el consiente de cambio en y con los cambios en x
DERIVADA Y LA REGLA DE LOS 4 PASOS
SEA ( )xf una función, se define a su derivada ( )xf ' como:
1. se da incremento ∆ tanto en Y como en X ( ), yx ∆∆
2. Se resta la función origina
3. Se dividen los términos por incremento de x ( x∆ ) a esto se llama razón de cambio
5

6. 4. Calcular el limite donde x∆ = 0 (esto es la derivada de la función)
Ejemplo 1 Encuentra la derivada de la función 65)( −= xxf
Aplicando la regla de los 4 pasos
1. se da incremento ∆ tanto en Y como en X ( ), yx ∆∆
2. Se resta la función origina
3. Se dividen los términos por incremento de x ( x∆ ) a esto se llama razón de cambio
4. Calcular el limite donde x∆ = 0 (esto es la derivada de la función)
Este resultado se obtiene también, cuando se aplica directamente la formula como sigue:
Por lo tanto, la derivada de la función
Ejemplo 2 Encuentra la derivada de la función 957 2
+−= xxy
6

7. Por consiguiente la derivada es:
Ejemplo 3 Encuentra la derivada de la función
5
12
)(
+
−
=
x
x
xf
Simplificando
Entonces
7

8. Ejemplo 4 Encuentra la derivada de la función 2)( += xxf
Se debe racionalizar
El resultado
TAREA 2: DESARROLLA UNA PRESENTACIÓN EN POWER POINT DE CÓMO SE RESUELVE LAS DERIVADA
UTILIZANDO LA FORMULA DE LOS 4 PASOS. SE DEBERÁ RESOLVER DOS EJERCICIOS COMO MÍNIMO. LA
PRESENTACIÓN DEBERÁ SER ENVIADA AL CORREO DEL DOCENTE. FINALMENTE ESTA EXPOSICIÓN SERÁ
EXPUESTA EN CLASE.
ANEXO: 1 LA RÚBRICA PARA EVALUAR ESTA PRESENTACIÓN SE ENCUENTRA AL FINAL DE ESTE CUADERNILLO
Deriva las siguientes funciones utilizando la definición.
8

9. DERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS
Reglas para determinar la derivada de una función algebraica
dx
dv
v
v
dx
d
2
1
)9 =
x
x
dx
d
2
1
)10 =
( )
dx
du
v
dx
dv
uuv
x
d
+=)11
2
)12
v
dx
dv
u
dx
du
v
v
u
dx
d
−
=





dx
dv
v
c
v
c
x
d
2
)13 −=





9

10. dx
dv
cc
v
x
d 1
)14 −=





FORMULA 1
1. 10−=y
2. 5=y
3. 2
ay =
4. 2
)( bts =
EJEMPLO FORMULA 2 Y 3
1. xy 6=
2. xy
4
3
=
3. ( ) axxf =
4. tbts 2
)( =
5. ( ) 25xxf =
10

11. FROMULA 5
5+=xy
32 −+= xxy
542 23
+−+= xxxy
FORMULA 6 y FROMULA 4
( ) 5
xxf =
5/2
)( xxf =
( ) 5
7xxf =
2
3xy −=
4
5
1
)( tts =
11

12. 4/1
)( xxf =
FORMULA 7
1. ( )2
23 += xy
2. ( )4
43 += xy
3.
3
4
12





 +
=
x
y
Nota:
4
1
4
2
4
12
+=




 + xx
esto es lo que derivamos
4 . ( )2
3 xxy +=
FORMULA 8
12

13. 4 2
23)( ttts +−−=
3 3
42)( xxxs ++=
FORMULA 9
dx
dv
v
v
dx
d
2
1
)9 =
23 −= xy
xxy +−= 5
FORMULA 10
x
x
dx
d
2
1
)10 =
xxf =)(
tts =)(
FORMULA 11
( )
dx
du
v
dx
dv
uuv
x
d
+=)11
13

14. 1. )2)(3( xxy +−=
2. ( )( )xxy +−= 34
3. )3)(1( 32
xxxy +−=
FORMULA 12
2
)12
v
dx
dv
u
dx
du
v
v
u
dx
d
−
=





1.
13
3
+
−
=
x
xx
y =
2.
15
23
2
3
+
++
=
x
xx
y
3.
1
1
+
−
=
x
x
y
14

15. 4. x
y
2
=
FORMULA 13
dx
dv
v
c
v
c
x
d
2
)13 −=





1. 1
4
+
=
x
y =
2.
xx
xf
+
= 2
2
)( =
NOTA = (am
)n
= am · n
3. 44
2
ax
y
−
=
NOTA = am
· a n
= am + n
4 x
xf
42
6
)(
−
−= =
FROMULA
dx
dv
cc
v
x
d 1
)14 −=





3
73
)(
−
=
x
xf
15

16. 2
3 2
xx
y
−
=
ADAPTACIONES
Ejemplo 1 derivar la función 3 2
xy =
dx
dx
dx
xd
dx
dy 3
2
3 2
==
Aplicando la formula 6
3
3
1
3
1
3
32
1
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
x
x
xxx ====
−−
−
Ejemplo 2 deriva la función 5
1
t
s =
Ejemplo 3 deriva la función
x
y
4
=
Se utiliza la formula 6
16

17. Ejemplo 4
x
xy
7
23
−=
Formula 6
Ejemplo 5
( )3
5
xx
y
−
−=
( )
=








−
−= 3
5
xxdx
d
dx
dy
( ) =



 −−
−3
5 xx
dx
d
( ) =−−
−3
5 xx
dx
d
Formula
( ) ( ) =





−−−−
−−
xx
dx
d
xx *35
13
( ) =





−−− x
dx
d
x
x
d
xx *15
4
Formula
x
x
dx
d
2
1
)10 =
17

18. ( ) 





−
−
−
1
2
115
4
xxx
=
( ) 





−
−
−
1
2
115
4
xxx
=
( )4
2
)21(15
xxx
x
−
−−
VIDEOS Y SITIOS WEB RECOMENDADOS PARA ESTA UNIDAD
TEMA VIDEOS DE MATH2ME
¿Qué es la derivada? - Definición. https://www.youtube.com/watch?v=CG7mQgmgXC0
Aplicación de la derivada en la caída de una
escalera
https://www.youtube.com/watch?v=3yQRVIb0108
Razon de cambio https://www.youtube.com/watch?v=QMik3hHNHys
Derivadas de funciones algebraicas https://www.youtube.com/watch?v=-91UZ9S19Oo
Derivadas de funciones algebraicas ejemplo
17
https://www.youtube.com/watch?v=KSNaaSkM8g0
Derivadas sucesivas y regla de la cadena -
Cálculo - Educatina
https://www.youtube.com/watch?v=6iK706xmSC8
18

19. ANEXOS
ECA3_2015
Asignatura: Cálculo Diferencial Instrumento de evaluación: Rubrica 1 para
evaluar la TAREA 2(presentación de power point:
Derivación por el método de los 4 pasos.
Alumno: Plantel:
CETis No. 47
Grupo:
Profesor: Fecha: Puntaje
obtenido:
Competencia a evaluar:
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de
medios, códigos y herramientas apropiados.
4.2 Aplica distintas estrategias comunicativas según quienes sean sus interlocutores, el contexto en el
que se encuentra y los objetivos que persigue.
Elementos a Evaluar Calificación
10 - 9 8 -7 6 5
Dominio del tema Demuestra un gran
dominio del tema.
Demuestra un buen
conocimiento del tema
No parece conocer muy
bien el tema
No conoce el tema
Seguimiento del
tema
Las ideas se exponen
con precisión,
ordenadamente y con
coherencia.
Las ideas se exponen con
buen orden.
Existe poca claridad que
genera confusión. Difícil
seguimiento del tema
Fue difícil saber
cuál fue el tema
Fundamento
personal
Da a conocer su
opinión respecto al
tema, respaldado en la
investigación realizada.
Duda al dar su opinión
respecto al tema
Da a conocer su opinión
en forma no clara o
entendible
No da a conocer su
opinión personal
Comprensión del
tema
Puede con precisión
contestar todas las
preguntas planteadas
sobre el tema, ya sea
por sus compañeros o
por su profesor
Puede con precisión
contestar la mayoría de las
preguntas planteadas
sobre el tema, ya sea por
sus compañeros o por su
profesor
Puede con precisión
contestar pocas
preguntas planteadas
sobre el tema, ya sea por
sus compañeros o por su
profesor
No puede
contestar las
preguntas
planteadas sobre
el tema, ya sea por
sus compañeros o
por su profesor
Seguridad en la
exposición de su
trabajo
Habla con voz clara y
pausada, ve
directamente a su
audiencia, buena
expresión corporal y
entusiasmo.
Habla con voz clara y
pausada, mantiene la vista
en la presentación y
ocasionalmente ve a la
audiencia, muestra
nerviosismo en su
expresión corporal pero es
entusiasta.
Habla rápido con voz
media, se enfoca en el
profesor o en las
diapositivas. Muestra
nerviosismo en su
expresión corporal.
No se escucha
cuando habla, se
enfoca en su
presentación y
muestra
nerviosismo.
Calidad de las
Diapositivas
Las diapositivas tienen
un buen balance en su
contenido y en el
diseño. Un buen
balance en el contraste
de colores que hace
aprecia la
Las diapositivas tienen un
buen balance en su
contenido y en el diseño,
pero la gama de colores y
el tipo de letra no
permiten apreciar bien la
información del tema.
Las diapositivas
muestran “copia y pega”,
están saturadas de
información, lo que
dificulta apreciar la
información.
Las diapositivas
muestran “copia y
pega”, están
saturadas, mala
elección de colores
y la información
no es legible.
19

20. información.
Calificación /60 =
BIBLOGRAFIA
Conamat (2009), Cálculo diferencial Primera edición, México: Editorial Pearson.
http://calculocbta127.blogspot.mx/2015/03/24-operaciones-con-funciones.html
20