colaborativo de calculo

1. Grupo: 1000411 - 80
Calculo diferencial – Trabajo colaborativo tres - Unad Página1
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
Modulo
Calculo Diferencial
Actividad
Trabajo colaborativo tres
Tutor
LUIS GERARDO ARGOTY HIDALGO
Estudiantes
JOSE ARMANDO BOLIVAR
ALEXANDER MEJIA
GROSBER SALCEDO AMORTEGUI
NEPOMUCENO VEGA
Grupo: 1000411 - 80
Campus virtual - Universidad nacional abierta y a distancia - Unad.
Mayo 19 de 2013

2. Grupo: 1000411 - 80
Calculo diferencial – Trabajo colaborativo tres - Unad Página2
Introducción
Derivada es la pendiente de una recta la cual es tangente a una curva que es
continúa en (a,b), pero si esta curva no es continua no es posible hallar la
derivada.
La derivada de una función, no es más que otra función que nos permite
cuando reemplazamos puntos en la función, saber cuál es la pendiente de la
recta tangente a dicho punto sobre la función original.
La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas, de
razonamientos, todos sencillos y fáciles.
René Descartes

3. Grupo: 1000411 - 80
Calculo diferencial – Trabajo colaborativo tres - Unad Página3
Desarrollo de actividad
Fase 1
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva:
1.
Punto de corte
Valores críticos
Puntos críticos
Punto crítico x=1 Y=-4 Máximo Mínimo F”(vc)>0 Mínimo <0 máximo
Y”=2>0 minino
2.
Hallar la derivada de las siguientes funciones
3.

4. Grupo: 1000411 - 80
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FASE 2
Hallar la derivada de las siguientes funciones:
7
3
4.
Ln x
f x
Ln x
TEOREMA 1: Derivada de cociente de funciones
Sea f x y g x funciones diferenciales en x y 0g x dado:
f x
c x
g x
Entonces:
2
' '
'
g x f x f x g x
c x
g x
TEOREMA 2: Derivada de función Logarítmica Base Euler e
Dada la función log ( )ef x x Ln x .Para el número de Euler, Entonces:
1
'f x
x
PROPIEDAD DE LOS LOGARITMOS:
log logr
a ax r x
Para resolver el ejercicio aplico el teorema 1 y 2 y la propiedad de los
logaritmos para las derivadas:
3 7
23
7 3
'
Ln x Ln x
x x
f x
Ln x
3 7
23
7 3
'
Ln x Ln x
x xf x
Ln x
Separo las fracciones de la resta:

5. Grupo: 1000411 - 80
Calculo diferencial – Trabajo colaborativo tres - Unad Página5
33 7
23
77 3
'
Ln xLn x Ln x
x xf x
Ln x
23
x
Ln x
7
23
3Ln x
x
Ln x
Realizo producto de extremos y medios:
7 7
2 3 23 3 3
7 3 7 3
'
1 1
Ln x Ln x
x x x xf x
Ln xLn x Ln x Ln x
7
23 3
7 3
'
Ln x
f x
xLn x x Ln x
5. x
x
f x
e
TEOREMA 3: Derivada de una función exponencial
'x x
f x e f x e
Aplico el teorema 1 y teorema 3:
2 2
1
'
x x x x
x x
e x e e xe
f x
e e
Separo las fracciones de la resta:
'
x
e
f x 2x
e
x
x e
2x
e
1
x x
x
e e
Factorizó
1
x
e
:
1
' 1x
f x x
e
' 1x
f x e x

6. Grupo: 1000411 - 80
Calculo diferencial – Trabajo colaborativo tres - Unad Página6
Derivadas de Orden Superior
6. Hallar la tercera derivada de: 2 2f x sen x
TEOREMA 4: Regla de la cadena
Sea y f u y sea u g x . Si g es diferenciable en x y f diferenciable
en u, entonces f og x es diferenciable en x. Entonces:
' '
d
f g x f g x g x
dx
Aplicando el teorema 4, realizamos la derivada tres veces:
' 2cos 2 2 4cos 2f x x x
'' 8 2f x sen x
''' 16cos 2f x x
7. Hallar la segunda derivada de:
x
f x e Lnx
TEOREMA 5: Derivada de producto de Funciones
Sea f x y g x funciones diferenciales en x , dado p x f x g x ,
entonces:
' ' 'p x f x g x f x g x
Se resuelve con el teorema 5 y se realiza la primera derivada:
1
'
x
x x xe
f x e e Ln x e Ln x
x x
Observamos que existen dos términos
x
e
x
y
x
e Lnx en la función resultante,
para cada uno de estos términos hacemos la derivada:
Por derivada de un cociente:
2
1x xx x e ed e x
dx x x 2
x
e
x
2 2 2
1 1x x x
xe e e
e
x x x x x
Por derivada de un producto:

7. Grupo: 1000411 - 80
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1 x
x x x xd e
e Ln x e e Ln x e Ln x
dx x x
Ahora sumamos estas dos derivadas y agrupamos términos:
2
1 1
''
x
x xe
f x e e Lnx
x x x
2
2 1
'' x x
f x e Lnx e
x x
Fase 3
1) Usando L’Hopital hallar el límite de:
Suponiendo que el límite de la función tiende a 2 (el archivo con el
ejercicio no es claro)
Aplicando L’Hopital:
Hallando el límite:
2) De la curva hallar:
a. Las coordenadas del punto crítico.
Para hallar el punto crítico, la ecuación anterior se iguala a cero:

8. Grupo: 1000411 - 80
Calculo diferencial – Trabajo colaborativo tres - Unad Página8
Despejando X:
Ahora reemplazando este valor en la función original:
Las coordenadas del punto crítico son:
b. Los puntos de inflexión si los hay.
Para determinar si hay puntos de inflexión se debe tomar el
criterio de la segunda derivada:
Basados en esto, no hay puntos de inflexión ya que su segunda
derivada es una constante.
3) En la construcción de una obra se debe hacer un pedido de
cemento. ¿Qué cantidad de bultos (x) debo solicitar a la fábrica, tal
que el costo total de ese pedido sea el mínimo?
Formula del costo total del pedido C(x)
La cantidad de bultos que minimiza el costo del pedido, esta última
ecuación se iguala a cero y se despeja el valor de x:

9. Grupo: 1000411 - 80
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Para finalizar se debe verificar que ese si sea un valor crítico,
reemplazando con valores que no alcancen y superen el valor del punto
hallado, para este caso se usaran los valores 850 y 1200:
= 30,5

10. Grupo: 1000411 - 80
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Conclusiones
 La aplicación de las derivadas sirve para resolver problemas de
optimización de resultados, cuando debemos encontrar los extremos de
una función, es decir donde una función alcanza sus máximos y mínimos
relativos o si no es en un extremo.
 Las derivadas se utilizan para optimizar sistemas que se expresan
mediante funciones más o menos complejas
 Podremos hallar los intervalos de crecimiento o decrecimiento de valores
de interés siempre y cuando estos se puedan representar por medio de
funciones.
 El concepto de derivada es fundamental para comprender y derivar
fórmulas que luego van a tener una aplicación importante.
 En nuestra vida nos la pasamos derivando sin darnos cuenta,
Referencias
 Módulo de Calculo diferencial Unad