1) El documento describe los conceptos básicos del plano cartesiano, incluyendo la distancia entre puntos, el punto medio, ecuaciones de circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas. 2) Explica cómo calcular la distancia entre puntos en posiciones horizontales, verticales y oblicuas usando la fórmula de distancia y el teorema de Pitágoras. 3) Proporciona las fórmulas y propiedades geométricas para representar diferentes figuras como circunferencias, parábol

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la educación superior
Universidad politécnica territorial del estado Lara Andrés Eloy Blanco
Programa Nacional de Formación Distribución y Logística
Plano numérico
Integrantes:
Amelymar Sucre
Anyeli Hernández
Emily Freitez
Leaudimar Rodríguez
Luisannys Ruiz
14 Diciembre, 2023

2. Plano numérico
Se conoce como plano cartesiano, plano numérico, coordenadas cartesianas son dos rectas
numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto
llamado origen o punto cero. La finalidad del plano cartesiano es descubrir la posición o
ubicación de un punto en el plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas.
El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras geográficas como
la parábola, elipse, hipérbole, línea, y circunferencia las cuales forman parte de la
geometría analítica.
Distancia entre dos puntos
La Distancia entre dos puntos no es más que la longitud del segmento de la recta que los
conecta, el segmento de recta es el pedacito de recta de un punto a otro, puede ser de
manera horizontal, vertical u oblicua (significa inclinada).
Distancia entre dos puntos horizontal
Para calcular la distancia ente dos puntos de una recta numérica, se toma el valor absoluto
de la diferencia de sus coordenadas, por ejemplo, la distancia de AB es igual a la diferencia
entre 5,56 -43. En este ejemplo se trata de la diferencia entre un número positivo y otro
negativo.

3. Distancia entre dos puntos verticales
En general a un (X, Y) del plano se llama pareja ordenadas, porque se trata de dos números
representados con variables que tienen un orden. Este orden es importante, ya que sitúa de
manera inequívoca da cada punto; así por ejemplo, el punto (2, -2) es distinto a (-2, 2). A
las coordenadas cartesianas también se les conoce como coordenadas rectangulares, a las
coordenadas sobre el eje X, se les llama abscisas; y las coordenadas sobre el eje y,
ordenadas.

4. Distancia entre dos puntos oblicua
En cambio, los puntos A y C se encuentran sobre oblicua sobre los ejes, esto hace que no se
pueda calcular, con el procedimiento anterior, la distancia entre ellos. Para encontrar esta
distancia será necesario aplicar la teorema de Pitágoras, el cual establece que en todo
triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de
los catetos. Generalizando lo anterior, se puede considerar que calcular la distancia entre
dos puntos, equivale a determinar la longitud del segmento de recta cuyo extremo son
dichos puntos. Si se representa el segmento en un plano cartesiano y luego, en cada uno de
sus extremos se forma un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el segmento del cual dé a
que medir su longitud
Formula
Distancia entre puntos, sean A=(X1, Y1) y B=(X2, Y2) puntos, la distancia entre A y B
viene dada por:
D (AB) = √
EJEMPLO: Sea A= (1, 2) y B= (5, 4) hallar la distancia entre estos puntos.
D (AB) = √
D (AB) = √
D (AB) = √20
D (AB) = 4.4

5. Punto medio
El punto medio es un punto que se ubica exactamente en la mitad de un segmento de línea
que une a dos puntos. Por ejemplo, si es que tenemos dos puntos y los unimos con un
segmento de línea, el punto medio se ubicará en la mitad de ese segmento y será
equidistante a ambos puntos.
En el siguiente diagrama tenemos los puntos A y B, los cuales están unidos por un
segmento. El punto C es el punto medio, ya que está exactamente en la mitad del segmento.
Para calcular la ubicación del punto medio, simplemente tenemos que medir la longitud del
segmento y dividir por 2.
Un punto medio puede ser calculado solo cuando tenemos a un segmento que une a dos
puntos, ya que tiene una ubicación definida. El punto medio no puede ser calculado para
una línea o un rayo, ya que una línea tiene dos extremos que se extienden indefinidamente
y un rayo tiene un extremo que se extiende indefinidamente.
Fórmula para el punto medio
La fórmula para el punto medio de un segmento es derivada usando las coordenadas de los
puntos extremos del segmento. El punto medio es igual a la mitad de la suma de las
coordenadas en x de los puntos y a la mitad de las coordenadas en y de los puntos.
Entonces, si es que tenemos los puntos A y B con las coordenadas A=(X1, Y1) y B(X2,
Y2), la fórmula del punto medio es:
M=
EJEMPLO:
(X1, Y1)= (-5,-6)
(X2, Y2= (6, -2)
M= +
M= + -4
El punto medio tiene las coordenadas M= (, -4).

6. Ecuaciones y Trazado de Circunferencia
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto
fijo llamado centro.
Una circunferencia queda determinada cuando conocemos:
Tres puntos de la misma, equidistantes del centro
El centro y el radio
El centro y un punto en ella
El centro y una recta tangente a la circunferencia
También podemos decir que la circunferencia es la línea formada por todos los puntos que
están a la misma distancia de otro punto, llamado centro
Dentro del Plano Cartesiano diremos que para cualquier punto, P (x, y), de una
circunferencia cuyo centro es el punto C (a, b) y con radio r, la ecuación ordinaria es
(X ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2
En el contexto de la Geometría Analítica significa que una circunferencia graficada con un
centro definido (coordenadas) en el Plano Cartesiano y con radio conocido la podemos
“ver” como gráfico y también la podemos “transformar” o expresar como una ecuación
matemática.

7. Así la vemos
Así podemos expresarla
Dónde:
(d) Distancia CP = r
y
Fórmula que elevada al cuadrado nos da
(x ─ a) 2
+ (y ─ b) 2
= r 2
También se usa como
(x ─ h) 2
+ (y ─ k) 2
= r 2
Ecuación ordinaria a la ecuación general
Si en esta ecuación ordinaria cuyo primer miembro (lado izquierdo) está formado por la
suma de dos cuadrados de binomio, eliminamos los paréntesis desarrollando dichos
binomios, pasamos todos los términos al primer miembro y la igualamos a cero, tendremos:
X 2 ─ 2ax + a 2 + y 2 ─ 2by + b 2 ─ r 2 = 0 ecuación que ordenada sería
X 2 + y 2 ─ 2ax ─ 2by + a 2 + b 2 ─ r 2 = 0
Si para tener una ecuación más sintetizada hacemos las siguientes asignaciones:
─ 2a = D,
─ 2b = E,
A 2 + b 2 ─ r 2 = F

8. La ecuación quedaría expresada de la forma:
X 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 conocida como Ecuación General de la Circunferencia, la cual
debe cumplir las siguientes condiciones para serlo:
No existe término en xy
Los coeficientes de x 2 e y 2 son iguales.
Si D = ─ 2a
Si E = ─ 2b
Si F = a 2 + b 2 ─ r 2
Otra condición necesaria para que una ecuación dada represente una circunferencia es que:
A 2 + b 2 ─ F > 0 (a 2 + b 2 ─ F debe ser mayor que cero)
Para simplificar la ecuación general de la circunferencia (x 2 + y 2 ─ 2ax ─ 2by + a 2 + b 2
r 2 = 0) algunos textos o docentes utilizan otra convención y hacen:
─ 2a = A,
─ 2b = B,
A 2 + b 2 ─ r 2 = C para tener finalmente
X 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 que es lo mismo que x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
Si conocemos las coordenadas del centro y el radio de una circunferencia, podemos
construir su ecuación ordinaria, y si operamos los binomios cuadrados que la conforman,
obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia.

9. Ecuación reducida de la circunferencia
Volviendo a nuestra ecuación ordinaria (x ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2, debemos consignar que
si el centro de la circunferencia coincide con el origen de coordenadas (0, 0) la ecuación
queda reducida a:
(X ─ a) 2 + (y ─ b) 2 = r 2
(X ─ 0) 2 + (y ─ 0) 2 = r 2
X 2 + y 2 = r 2
Parábola
En matemáticas, una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan
de un punto fijo (llamado foco) y de una recta fija (denominada directriz); Por lo tanto,
cualquier punto de una parábola está a la misma distancia de su foco y de su directriz.
Elementos de una parábola:
Foco: Es el punto fijo
Directriz: Es la recta fija
Parámetro: Es la distancia del foco a la directriz, se designa por la letra
Eje: Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco
Vértice: Es el punto de intersección de la parábola con su eje
Radio vector: Es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco
Propiedades de una parábola
Una parábola se trata de una curva abierta, o dicho de otra forma, consiste en dos ramas sin
puntos comunes que se prolongan ilimitadamente.
Toda parábola tiene un único eje de simetría, donde está situado el vértice de dicha
parábola.
Una parábola de orientación vertical es convexa cuando sus ramas van hacia arriba, por
contra, la parábola es cóncava si sus ramas van hacia abajo.

10. La excentricidad de una parábola es equivalente a la unidad (1). La excentricidad es un
coeficiente que en este caso se calcula dividiendo la distancia desde el foco hasta el centro
de la parábola entre la distancia del vértice a la directriz (y ambas distancias siempre
coinciden en su valor).
De la propiedad anterior, se deriva que todas las parábolas son semejantes o similares.
Una parábola no tiene ninguna asíntota.
La ecuación estándar de una parábola es:
y = ax2 + bx + c.
Pero la ecuación para una parábola también puede ser escrita en la "forma vértice"
y = a (x – h) 2 + k
Elipse
Es una curva cerrada que pertenece a la familia de las cónicas, compuesta además por la
circunferencia, y la parábola. Estas curvas se llaman cónicas, puesto que se obtienen al
cortar un cono circular recto con un plano. En particular, la elipse se obtiene al seccionar el
cono con un plano cuyo vector normal forma un cierto ángulo respecto al eje del cono;
Desde el punto de vista matemático, la elipse se define como el conjunto de puntos que
cumplen la condición de que la suma de sus distancias a los focos, es constante.
Elementos de una elipse:
Focos: Son los puntos fijos y
Eje focal: Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario: Es la mediatriz del segmento
Centro: Es el punto de intersección de los ejes, usualmente denotado por
Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la elipse a los focos: y
Distancia focal: Es el segmento de longitud, donde es el valor de la semidistancia focal.
Vértices: Son los puntos de intersección de la elipse con los ejes: y

11. Eje mayor: Es el segmento de longitud, donde es el valor del semieje mayor.
Eje menor: Es el segmento de longitud, donde es el valor del semieje menor.
Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje menor.
Centro de simetría: Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de intersección de
los ejes de simetría.
Propiedades de una elipse
La suma de distancias de un punto de la curva a los focos es constante e igual a la magnitud
del eje mayor o eje real y se designa “2a”. Los focos están situados sobre este eje y a igual
distancia de su punto medio.
El eje menor o imaginario se designa “2b” y es normal (perpendicular) al real, ambos se
cortan en el centro de la elipse y en sus respectivos puntos medios.
La distancia entre focos se denomina distancia focal (La distancia focal se designa 2c).
Las rectas que unen un punto de la curva con los dos focos se denominan radios vectores y
se designan r y r’.
Ecuación cuando el centro está ubicado en el origen:
X2 + Y 2 = 1
A2 B2
Si el centro no está ubicado en el origen, la ecuación de la elipse es:
(X – H) 2 + (Y- K) 2 = 1
A2 B2

12. Hipérbola
Se puede definir como un conjunto de puntos en el plano de coordenadas. Una hipérbola es
el conjunto de todos los puntos (x, y) en un plano tal que la diferencia de las distancias
entre (x, y) y los focos es una constante positiva. Es el lugar geométrico de los puntos o una
unión de puntos, cuya diferencia de distancias hacia los puntos fijos siempre es constante.
Se presentan en dos curvas, lo que cambia entre ellas es la distancia pero el grafico siempre
será similar y su eje principal podrá estar vertical o horizontal
Elementos:
Se pueden indicar dos puntos (F1 y F2) que se denominan focos. Además de los focos, en
la hipérbola es posible reconocer otros elementos. Entre ellos aparecen el eje focal (la recta
que pasa por ambos focos), el eje secundario (la mediatriz que une el segmento que va de
un foco a otro), el centro (el punto de intersección de estos ejes) y los vértices.
Ecuación canónica de la Hipérbola
La ecuación canónica de la hipérbola entre muchas ecuaciones se reconoce porque la
ecuación de la hipérbola debe tener dos variables que generalmente van a ser las letras (X,
Y). Algunas de las ecuaciones denominadas de manera común como ecuación canónica o
forma normal de la ecuación de una hipérbola son:
X2
- 3y2
+ 2x – 5y – 5 = 0
Ecuaciones de las Cónicas
Parábola
X
𝑥
9
𝑦
5
=
Y
d(P,D)
P(x,y)
d(P,D)

13. Circunferencia
Foco F
Directriz D
X
d(P,F) = e d(P,D) (e =1)
0 h x
k
y
C (x - h) A
(y - k)
P(x,y)
(x - h)2
+ (y – k)2
= r2
Elipse
𝑥
𝑎
𝑦
𝑏
=
y
x
Hipérbola
𝑥
𝑎
𝑦
𝑏
=
𝑦
𝑎
𝑎
𝑏
=
y
x
R1
F1
L1
V1
V2
F2
L2
R2
B2
C
B1
l2
l1

14. Referencias bibliográficas
Recuperado de: https://www.geometriaanalitica.info/parabola-matematicas-definicion-ecuacion-
ejemplos-ejercicios-resueltos-elementos/#aplicaciones-de-la-parabola
Recuperado de: https://dibujotecni.com/geometria-plana/elipse/
Recuperado de: https://openstax.org/books/prec%C3%A1lculo-2ed/pages/10-2-la-
hiperbola#:~:text=Al%20igual%20que%20la%20elipse,focos%20es%20una%20constante%20posit
iva.
Recuperado de: https://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%A9rbola
Recuperado de: https://www.fisimat.com.mx/ecuacion-de-la-circunferencia-con-centro-fuera-del-
origen/
Recuperado de: https://www.fisimat.com.mx/ecuacion-de-la-hiperbola-con-centro-en-el-origen/
Recuperado de: http://www.geoan.com/conicas/ecuacion_circunferencia.html
Ejercicio propuesto
Sea A= (2,3) Y B= (7,5). Hallar la distancia entre estos puntos.
D (AB)=
D (AB)=
D (AB)=
D (AB)=
D (AB)= 5,38