La distribución de Poisson describe la probabilidad de que ocurran un número determinado de eventos en un intervalo de tiempo, cuando la frecuencia promedio de ocurrencia de los eventos es conocida. La función de masa de Poisson depende del número de ocurrencias k y del parámetro λ, que representa la frecuencia promedio de eventos. La distribución de Poisson es útil para predecir la probabilidad de sucesos como el número de clientes que llegan a un banco o fallas en una tubería, cuando los eventos son independientes y ocurren a una tasa constante en

1. Poisson
En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es
una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia
de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un determinado número de
eventos durante cierto periodo de tiempo.
La función de masa de la distribución de Poisson es
donde
 k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la
probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces).
 λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera
que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso
estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados
en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos,
usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.
 e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828 ...)
Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución
de Poisson son iguales a λ. Los momentos de orden superior son polinomios de
Touchard en λ cuyos coeficientes tienen una interpretación combinatorio. De
hecho, cuando el valor esperado de la distribución de Poisson es 1, entonces
según la fórmula de Dobinski, el n-ésimo momento iguala al número
de particiones de tamaño n.
La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un λ no entero
es igual a , el mayor de los enteros menores que λ (los símbolos representan
la función parte entera). Cuando λ es un entero positivo, las modas son λ y λ − 1.
La función generadora de momentos de la distribución de Poisson con valor
esperado λ es
Las variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de ser infinitamente
divisibles.
La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria de Poisson de
parámetro λ0 a otra de parámetro λ es

2. Para qué sirve conocer que algo es Poisson?
Porque si se tiene caracterizado el comportamiento probabilístico de un fenómeno
aleatorio, podemos contestar preguntas como:
Qué probabilidad hay de que lleguen más de 15 clientes al banco en un
intervalo de 5 minutos de duración?
Qué probabilidad hay de que suceda por lo menos una falla en un tramo de
1km de tubería de gas?
Qué probabilidad hay de que en un estanque de cultivo de camarón, haya
más de media tonelada?
Qué probabilidad hay de que en un área de 1km se encuentren más de 3
brotes de una enfermedad?
Por qué algunas cosas supimos de antemano que iban a ser Poisson y que otras
no?
Porque los fenómenos que son procesos de Poisson en la línea o en el tiempo, en
la superficie, o en el espacio, tienen algunas características que matemáticamente
la delatan, como son:
Que se está contando el número de eventos que suceden en un área (o
intervalo de tiempo, o volumen) determinada.
Que la probabilidad de que suceda un evento sobre un área muy pequeña,
es también muy pequeña.
Que en un mismo lugar (o en el mismo tiempo), no pueden suceder más de
uno solo de los eventos que se están contando.
Que si se duplica el tamaño de la superficie (intervalo de tiempo, etc.),
entonces se duplica la probabilidad de registrar ahí un evento.
Notas y conclusiones
Los ejemplos vistos de procesos de Poisson, son homogéneos en el
sentido de que la probabilidad de que suceda un evento no varía según la
posición sobre el espacio. Existen también procesos de Poisson que son
heterogéneos.
Se concluye que los fenómenos aleatorios no son tan impredecibles como
se pudiera pensar. Que en efecto, muestran un concepto llamado
regularidad estadística, que es la que hace que éstos se puedan estudiar
matemáticamente.