Este documento introduce varias distribuciones de probabilidad comúnmente usadas. Describe la distribución de Bernoulli como una distribución discreta que toma valores de 1 o 0 dependiendo de si ocurre o no un suceso con probabilidad p. Luego explica la distribución binomial para experimentos repetidos con dos resultados posibles. Finalmente, resume las distribuciones de Poisson y normal, indicando que Poisson modela eventos aleatorios en el tiempo y que la normal tiene una forma de campana.

1. Introducción y conceptos de las
distribuciones comúnmente usadas
Christian Michel Álvarez Ramírez

2. Concepto de Bernoulli
DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI
En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de
Bernoulli (o distribución dicotómica), nombrada así por el
matemático y científico suizo Jakob Bernoulli, es una
distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1 para la
probabilidad de éxito p y valor 0 para la probabilidad de
fracaso q = 1 − p. Por lo tanto, si X es una variable aleatoria
con esta distribución.
Consiste en realizar un experimento aleatorio una sóla vez y
observar si cierto suceso ocurre o no, siendo p la probabilidad
de que esto sea así (éxito) y q=1-p el que no lo sea (fracaso).
Existen muchas situaciones en las que se presenta una
experiencia binomial. Cada uno de los experimentos es
independiente de los restantes (la probabilidad del resultado
de un experimento no depende del resultado del resto). El
resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos
categorías (a las que se denomina éxito y fracaso). Las
probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes
en todos los experimentos

3. Explicación
Un experimento que tenga dos resultados. Al primero se le
llama éxito y al otro fracaso. La probabilidad por éxito se
denota por p. por consecuencia la probabilidad de fracaso es
1-p. lo anterior representa un ensayo de Bernoulli con
probabilidad de éxito p. el mas el mas sencillo de este es el
lanzamiento de una moneda. Los posibles resultados son dos
“cara o cruz” si cara se define como éxito, entonces p
constituye esa probabilidad. En una moneda p= ½
N=número de elementos.
P=éxito.
q=fracaso.
X=variable aleatoria.
La distribución Bernoulli estada por los únicos dos valores
posibles que deben ser 1 y 0; de no cumplirse esta regla es
decir si se quebranta se estaría ablando de que no es una
distribución Bernoulli sino otra de las tantas distribuciones.
Ejemplo:
X p
1 .5
0 .5
Suma 1
 Si se lanza una moneda 5 veces ¿Probabilidad de que
se obtenga 3 veces cruz?
N=5

4. P=.5
q=.5
X=3
P= (1) (.5)3 (.5)2

5. Distribución Binomial
La distribución binomial esta asociada a experimentos del siguiente
tipo:
- Realizamos n veces cierto experimento en el que consideramos solo
la posibilidad de éxito o fracaso.
- La obtención de éxito o fracaso en cada ocasión es independiente de
la obtención de éxito o
Fracaso en las demás ocasiones.
- La probabilidad de obtener ´éxito o fracaso siempre es la misma en
cada ocasión.
Veámoslo con un ejemplo
Tiramos un dado 7 veces y contamos el numero de cincos que
obtenemos. ¿Cual es la probabilidad de obtener tres cincos?.
Este es un típico ejemplo de distribución binomial, pues estamos
repitiendo 7 veces el experimento de lanzar un dado. ¿Cual es nuestro
´éxito?.
Evidentemente, sacar un 5, que es en lo que nos fijamos.
El fracaso, por tanto, seria no sacar 5, sino sacar cualquier otro
número.
Por tanto, Éxito = E = “sacar un 5” = ´ ⇒p(E) =
1
6
Fracaso = F = “no sacar un 5” =⇒p(F) =
5
6
Para calcular la probabilidad que nos piden, observemos que nos
dicen que sacamos 3 cincos y por lo tanto tenemos 3 ´éxitos y 4
fracasos, ¿de cuantas maneras pueden darse estas posibilidades?.

6. Podríamos sacar 3 cincos en las 3 primeras tiradas y luego 4 tiradas
sin sacar cinco, es decir: EEEFFFF
Pero también podríamos sacar EFEFFFE, es decir que en realidad
estamos calculando la E es éxito y la F es fracaso

7. Concepto de Poisson
En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es
una distribución de probabilidad discreta que expresa, a partir de una
frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad que ocurra un
determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.
La función de masa de la distribución de Poisson es
 DONDE k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la
función nos da la probabilidad de que el evento suceda
precisamente k veces).
 λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que
se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por
ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por
minuto y estamos interesados en la probabilidad de que
ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un
modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.
 e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828 ...)
Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con
distribución de Poisson son iguales a λ. Los momentos de orden
superior son polinomios de Touchard en λ cuyos coeficientes tienen
una interpretación combinatoria. De hecho, cuando el valor esperado
de la distribución de Poisson es 1, entonces según la fórmula de
Dobinski, el n-ésimo momento iguala al número de particiones de
tamaño n.
La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un λ
no entero es igual a , el mayor de los enteros menores que λ (los
símbolos representan la función parte entera). Cuando λ es un
entero positivo, las modas son λ y λ − 1.
La función generadora de momentos de la distribución de Poisson con
valor esperado λ es

8. Las variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de
ser infinitamente divisibles.
La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria de
Poisson de parámetro λ0 a otra de parámetro λ es
Para qué sirve conocer que algo es Poisson?
Porque si se tiene caracterizado el comportamiento probabilístico de
un fenómeno aleatorio, podemos contestar preguntas como:
Qué probabilidad hay de que lleguen más de 15 clientes al
banco en un intervalo de 5 minutos de duración?
Qué probabilidad hay de que suceda por lo menos una falla en
un tramo de 1km de tubería de gas?
Qué probabilidad hay de que en un estanque de cultivo de
camarón, haya más de media tonelada?
Qué probabilidad hay de que en un área de 1km se encuentren
más de 3 brotes de una enfermedad?
Por qué algunas cosas supimos de antemano que iban a ser Poisson y
que otras no?
Porque los fenómenos que son procesos de Poisson en la línea o en
el tiempo, en la superficie, o en el espacio, tienen algunas
características que matemáticamente la delatan, como son:
Que se está contando el número de eventos que suceden en un
área (o intervalo de tiempo, o volumen) determinada.
Que la probabilidad de que suceda un evento sobre un área muy
pequeña, es también muy pequeña.
Que en un mismo lugar (o en el mismo tiempo), no pueden
suceder más de uno solo de los eventos que se están contando.
Que si se duplica el tamaño de la superficie (intervalo de tiempo,
etc.), entonces se duplica la probabilidad de registrar ahí un
evento.

9. Notas y conclusiones
Los ejemplos vistos de procesos de Poisson,
son homogéneos en el sentido de que la probabilidad de que
suceda un evento no varía según la posición sobre el espacio.
Existen también procesos de Poisson que son heterogéneos.
Se concluye que los fenómenos aleatorios no son tan
impredecibles como se pudiera pensar. Que en efecto, muestran
un concepto llamado regularidad estadística, que es la que hace
que éstos se puedan estudiar matemáticamente.
Que un observador de un fenómeno aleatorio, no puede esperar
más que cuantificar la posibilidad de que el mismo suceda.

10. Distribución normal
Se le llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a
una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más
frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.
La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica
respecto de un determinado parámetro. Esta curva se conoce como campana de
Gauss y e es el gráfico de de una función gaussiana.
Ejemplo de alguna grafica seria:
Distribución Gamma
Es una distribución adecuada para modelizar el comportamiento de
variables aleatorias continuas con asimetría positiva. Es decir,
variables que presentan una mayor densidad de sucesos a la

11. izquierda de la media que a la derecha. En su expresión se
encuentran dos parámetros, siempre positivos, (α) alfa y (β) beta de
los que depende su forma y alcance por la derecha, y también la
función Gamma Γ(α), responsable de la convergencia de la
distribución.
Los parámetros de la distribución
El primer parámetro (α) situa la máxima intensidad de probabilidad y
por este motivo en algunas fuentes se denomina “la forma” de la
distribución: cuando se toman valores próximos a cero aparece
entonces un dibujo muy similar al de la distribución exponencial.
Cuando se toman valores más grandes de (α) el centro de la
distribución se desplaza a la derecha y va apareciendo la forma de
una campana de Gauss con asimetría positiva. Es el segundo
parámetro (β) el que determina la forma o alcance de esta asimetría
positiva desplazando la densidad de probabilidad en la cola de la
derecha. Para valores elevados de (β) la distribución acumula más
densidad de probabilidad en el extremo derecho de la cola, alargando
mucho su dibujo y dispersando la probabilidad a lo largo del plano. Al
dispersar la probabilidad la altura máxima de densidad de probabilidad
se va reduciendo; de aquí que se le denomine “escala”. Valores más
pequeños de (β) conducen a una figura más simétrica y concentrada,
con un pico de densidad de probabilidad más elevado. Una forma de
interpretar (β) es “tiempo promedio entre ocurrencia de un suceso”.
Relacionándose con el parámetro de la Poisson como β=1/λ.
Alternativamente λ será el ratio de ocurrencia: λ=1/β. La expresión
también será necesaria más adelante para poder llevar a cabo el
desarrollo matemático.
La distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se
está interesado en la ocurrencia de un evento generado por un
proceso de Poisson de media lambda, la variable que mide el tiempo
transcurrido hasta obtener n ocurrencias del evento sigue una
distribución gamma con parámetros a=n×lambda (escala) y p=n
(forma). Se denota Gamma(a,p).

12. Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza el
estudio de la duración de elementos físicos (tiempo de vida).
Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de
memoria”. Por esta razón, es muy utilizada en las teorías de la
fiabilidad, mantenimiento y fenómenos de espera (por ejemplo en una
consulta médica “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo
paciente”), la teoría de la cola, electricidad, procesos industriales.
T STUDENT
La distribución normal es una distribución de probabilidad. Lo que
significa que podemos decir cuál es la probabilidad de ocurrencia de un
evento aleatorio proveniente de una población normal.
Por ejemplo, mirando el gráfico 1, podemos decir que la probabilidad de
extraer aleatoriamente un caso que se encuentre entre la media y -1
desviación estandar es de 34,13%. ¿Cierto? Si lo que se sabe es la
probabilidad de un evento, digamos que sabemos que el caso elegido
tenía menos de un 2,15% de probabilidades de ocurrir eso significa que
debe haber obtenido una puntuación Z mayor a 2 o menor que -2.
Siguiendo esta lógica y usando el Gráfico 1, ¿Cuál sería la probabilidad
de ocurrencia de un caso con una puntuación Z igual 1,5? ¿Cuál sería el
puntaje z de un caso que está encima del 84.26% del resto de la
población? ¿Cuál es la probabilidad de ocurrencia de dicho caso?
Estas estimaciones pueden hacerse con mucha mayor precisión si se
ocupan las computadoras o las tablas de probabilidades y puntuaciones
Z. Abajo tenemos una de estas tablas (Tabla 1). Esta tabla permite
identificar el puntaje Z para una probabilidad dada. La probabilidad se
obtiene sumando al valor de la columna izquierda el valor del
encabezado de la columna. Por ejemplo, la probabilidad del 8% se
obtiene al elegir el valor .00 de la columna izquierda y buscar el valor .08
en el encabezado de la columna. Se considera este 8% distribuido en los
dos extremos de la desviación, 4% en el extremo inferior y 4% en el
extremo superior.