El documento detalla varias distribuciones de probabilidad, incluyendo Bernoulli, binomial, Poisson, normal y gamma. Explica cada tipo de distribución, sus características, fórmulas y aplicaciones en situaciones reales, destacando la importancia de la probabilidad y la estadística en la modelización de fenómenos aleatorios. Además, abarca ejemplos prácticos y conclusiones sobre regularidad estadística y comportamiento aleatorio.

1. Distribución de probabilidad,
introducción y conceptos
Bernoulli,Binomial,Poisson,Normal,gamma,t de studen
[Escriba aquí una descripción breve del documento. Una descripción breve es un resumen
corto del contenido del documento. Escriba aquí una descripción breve del documento. Una
descripción breve es un resumen corto del contenido del documento.]
TEODORO ALFREDO ROSALES VÁZQUEZ
18/03/2012

2. Bernoulli concepto.
DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI
En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Bernoulli (o distribución dicotómica), nombrada así por
el matemático y científico suizo Jakob Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, que toma valor 1
para la probabilidad de éxito p y valor 0 para la probabilidad de fracaso q = 1 − p. Por lo tanto, si X es una
variable aleatoria con esta distribución.
Consiste en realizar un experimento aleatorio una sola vez y observar si cierto suceso ocurre o no, siendo p la
probabilidad de que esto sea así (éxito) y q=1-p el que no lo sea (fracaso).
Existen muchas situaciones en las que se presenta una experiencia binomial. Cada uno de los experimentos es
independiente de los restantes (la probabilidad del resultado de un experimento no depende del resultado del
resto). El resultado de cada experimento ha de admitir sólo dos categorías (a las que se denomina éxito y
fracaso). Las probabilidades de ambas posibilidades han de ser constantes en todos los experimentos
Un experimento que tenga dos resultados. Al primero se le llama éxito y al otro fracaso. La probabilidad por
éxito se denota por p. por consecuencia la probabilidad de fracaso es 1-p. lo anterior representa un ensayo de
Bernoulli con probabilidad de éxito p. el mas el mas sencillo de este es el lanzamiento de una moneda. Los
posibles resultados son dos “cara o cruz” si cara se define como éxito, entonces p constituye esa probabilidad.
En una moneda p= ½
N=número de elementos.

3. P=éxito.
q=fracaso.
X=variable aleatoria.
La distribución Bernoulli estada por los únicos dos valores posibles que deben ser 1 y 0; de no cumplirse esta
regla es decir si se quebranta se estaría ablando de que no es una distribución Bernoulli sino otra de las tantas
distribuciones.
Ejemplo:
X p
1 .5
0 .5
Suma 1
 Si se lanza una moneda 5 veces ¿Probabilidad de que se obtenga 3 veces cruz?
N=5
P=.5
q=.5
X=3
P= (1) (.5)3 (.5)2

4. La distribución binomial
La distribución binomial esta asociada a experimentos del siguiente tipo:
- Realizamos n veces cierto experimento en el que consideramos solo la posibilidad de éxito o
Fracaso.
- La obtención de éxito o fracaso en cada ocasión es independiente de la obtención de éxito o
Fracaso en las demás ocasiones.
- La probabilidad de obtener ´éxito o fracaso siempre es la misma en cada ocasión.
Veámoslo con un ejemplo
Tiramos un dado 7 veces y contamos el numero de cincos que obtenemos. ¿Cual es la
probabilidad
De obtener tres cincos?.
Este es un típico ejemplo de distribución binomial, pues estamos repitiendo 7 veces el
experimento
De lanzar un dado. ¿Cual es nuestro ´éxito?
Evidentemente, sacar un 5, que es en lo que nos fijamos.
El fracaso, por tanto, seria no sacar 5, sino sacar cualquier otro número.

5. Por tanto, Éxito = E = “sacar un 5” = ´ ⇒p(E) =
1
6
Fracaso = F = “no sacar un 5” =⇒p(F) =
5
6
Para calcular la probabilidad que nos piden, Fijemonos en que nos dicen que sacamos 3 cincos y
por lo tanto tenemos 3 ´éxitos y 4 fracasos, ¿de cuantas maneras pueden darse estas
posibilidades?.
Podríamos sacar 3 cincos en las 3 primeras tiradas y luego 4 tiradas sin sacar cinco, es decir:
EEEFFFF
Pero también podríamos sacar EFEFFFE, es decir que en realidad estamos calculando de
cuantas

6. Poisson
En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de
probabilidad discreta que expresa, a partir de una frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad
que ocurra un determinado número de eventos durante cierto periodo de tiempo.
La función de masa de la distribución de Poisson es
Donde
 k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de
que el evento suceda precisamente k veces).
 λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el
fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio
4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un
intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40.
 e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828 ...)
Tanto el valor esperado como la varianza de una variable aleatoria con distribución de Poisson
son iguales a λ. Los momentos de orden superior son polinomios de Touchard en λ cuyos

7. coeficientes tienen una interpretación combinatorio. De hecho, cuando el valor esperado de la
distribución de Poisson es 1, entonces según la fórmula de Dobinski, el n-ésimo momento iguala
al número de particiones de tamaño n.
La moda de una variable aleatoria de distribución de Poisson con un λ no entero es igual a , el
mayor de los enteros menores que λ (los símbolos representan la función parte entera). Cuando
λ es un entero positivo, las modas son λ y λ − 1.
La función generadora de momentos de la distribución de Poisson con valor esperado λ es
Las variables aleatorias de Poisson tienen la propiedad de ser infinitamente divisibles.
La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria de Poisson de parámetro λ0 a otra de
parámetro λ es
Para qué sirve conocer que algo es Poisson?

8. Porque si se tiene caracterizado el comportamiento probabilístico de un fenómeno aleatorio,
podemos contestar preguntas como:
• Qué probabilidad hay de que lleguen más de 15 clientes al banco en un intervalo de 5
minutos de duración?
• Qué probabilidad hay de que suceda por lo menos una falla en un tramo de 1km de tubería
de gas?
• Qué probabilidad hay de que en un estanque de cultivo de camarón, haya más de media
tonelada?
• Qué probabilidad hay de que en un área de 1km se encuentren más de 3 brotes de una
enfermedad?
Por qué algunas cosas supimos de antemano que iban a ser Poisson y que otras no?
Porque los fenómenos que son procesos de Poisson en la línea o en el tiempo, en la superficie, o
en el espacio, tienen algunas características que matemáticamente la delatan, como son:
• Que se está contando el número de eventos que suceden en un área (o intervalo de tiempo,
o volumen) determinada.

9. • Que la probabilidad de que suceda un evento sobre un área muy pequeña, es también muy
pequeña.
• Que en un mismo lugar (o en el mismo tiempo), no pueden suceder más de uno solo de los
eventos que se están contando.
• Que si se duplica el tamaño de la superficie (intervalo de tiempo, etc.), entonces se duplica la
probabilidad de registrar ahí un evento.
Notas y conclusiones
• Los ejemplos vistos de procesos de Poisson, son homogéneos en el sentido de que la
probabilidad de que suceda un evento no varía según la posición sobre el espacio. Existen
también procesos de Poisson que son heterogéneos.
• Se concluye que los fenómenos aleatorios no son tan impredecibles como se pudiera pensar.
Que en efecto, muestran un concepto llamado regularidad estadística, que es la que hace que
éstos se puedan estudiar matemáticamente.
• Que un observador de un fenómeno aleatorio, no puede esperar más que cuantificar la
posibilidad de que el mismo suceda.

10. Distribución normal
Se le llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, a una de las distribuciones
de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales.
La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un
determinado parámetro. Esta curva se conoce como campana de Gauss y e es el gráfico de de una función
gaussiana

11. EJEMPLO DE UNA GRAFICA SERIA:

12. DISTRIBUCIÓN GAMMA
Es una distribución adecuada para modelizar el comportamiento de variables aleatorias continuas con
asimetría positiva. Es decir, variables que presentan una mayor densidad de sucesos a la izquierda de la
media que a la derecha. En su expresión se encuentran dos parámetros, siempre positivos, (α) alfa y (β)
beta de los que depende su forma y alcance por la derecha, y también la función Gamma Γ(α), responsable
de la convergencia de la distribución.
Los parámetros de la distribución
El primer parámetro (α) sitúa la máxima intensidad de probabilidad y por este motivo en algunas fuentes se
denomina “la forma” de la distribución: cuando se toman valores próximos a cero aparece entonces un
dibujo muy similar al de la distribución exponencial. Cuando se toman valores más grandes de (α) el centro
de la distribución se desplaza a la derecha y va apareciendo la forma de una campana de Gauss con
asimetría positiva. Es el segundo parámetro (β) el que determina la forma o alcance de esta asimetría
positiva desplazando la densidad de probabilidad en la cola de la derecha. Para valores elevados de (β) la
distribución acumula más densidad de probabilidad en el extremo derecho de la cola, alargando mucho su
dibujo y dispersando la probabilidad a lo largo del plano. Al dispersar la probabilidad la altura máxima de
densidad de probabilidad se va reduciendo; de aquí que se le denomine “escala”. Valores más pequeños de
(β) conducen a una figura más simétrica y concentrada, con un pico de densidad de probabilidad más

13. elevado. Una forma de interpretar (β) es “tiempo promedio entre ocurrencia de un suceso”.
Relacionándose con el parámetro de la Poisson como β=1/λ. Alternativamente λ será el ratio de ocurrencia:
λ=1/β. La expresión también será necesaria más adelante para poder llevar a cabo el desarrollo
matemático.
La distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se está interesado en la ocurrencia de
un evento generado por un proceso de Poisson de media lambda, la variable que mide el tiempo
transcurrido hasta obtener n ocurrencias del evento sigue una distribución gamma con parámetros
a=nXlambda (escala) y p=n (forma). Se denota Gamma(a,p).
Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio de la duración de elementos
físicos (tiempo de vida).
Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de memoria”. Por esta razón, es muy
utilizada en las teorías de la fiabilidad, mantenimiento y fenómenos de espera (por ejemplo en una
consulta médica “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente”), la teoría de la cola,
electricidad, procesos industriales.