Este documento describe los poliedros, sus características y clasificaciones. Explica que los poliedros son sólidos cuyas caras son polígonos regulares y describe sus elementos como vértices, aristas y caras. También describe los cinco poliedros regulares conocidos como los sólidos platónicos - el tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro - e incluye información sobre sus caras, aristas y vértices. Además, explica la relación de Euler que relaciona estas características en los

1. POLIEDROS
Lic. Missey Blanca Riveros Huamán

2. El estudio de los poliedros es una de las áreas más
versátiles de las Matemáticas, en lo que respecta
tanto a sus aplicaciones. Los poliedros más comunes
son conocidos por gran parte de la sociedad; sin
embargo, son muchos los que desconocen algunas
de sus propiedades.

3. Los sólidos geométricos.
No creo que nunca hallas
escuchado hablar de los
prismas, cubos o cilindros. Te
preguntaras tambien que son:
tetraedro, octaedro,..., pero en
el planeta en el que nos
movemos vivimos rodeados y
manipulando consecutivamente
sólidos geométricos.

4. Según las características de los
elementos de los sólidos
geométricos, se pueden clasificar en
dos grandes grupos los poliedros y
los cuerpos redondos.

5. Los poliedros son sólidos cuyas caras son
polígonos regulares.
En los poliedros distinguimos:
Vértices: puntos donde concurren tres aristas
Aristas: lados de los polígonos regulares

6. Caras: polígonos regulares
Además podemos fijarnos en:
Ángulos planos: cuyos lados son dos
aristas convergentes.
Ángulos diedros: cuyas caras son dos
polígonos adyacentes.
Ángulos triedros: formados por tres
caras convergentes en un vértice.

7. Poliedro convexo: si todo él está en el mismo
semiespacio respecto al plano de cada una de
sus caras.
Poliedro cóncavo: es el que tiene alguna cara
cuyo plano atraviesa a la figura.
Poliedro simple: es el que no tiene orificios que
lo atraviesen. En todo poliedro simple se cumple
el teorema de Euler.

8. Teorema que relaciona el número de caras,
vértices y aristas de un poliedro simple
(sin orificios) cualquiera.
Establece lo siguiente: en un poliedro simple, el
número de caras, C, más el número de vértices,
V, es igual al número de aristas, A, más dos. Es
decir:
C + V = A + 2

9. En un vértice pueden concurrir m polígonos
regulares de n lados unidos vértice a vértice. La
suma de los ángulos de cada uno de estos
polígonos no debe ser mayor de 360º, pues de
lo contrario no formarían un “ángulo sólido”.
Por tanto debe considerarse que: <360º

10. Un poliedro es regular cuando sus caras son
polígonos regulares de igual número de lados,
Los poliedros regulares ya era conocido por
Euclides (330 a.C.) y estos cinco sólidos
estuvieron acompañados de cierto misticismo.
Se asociaban con los cuatro elementos
supuestos y con el Universo y reciben el
nombre de sólidos platónicos.

11. Los únicos sólidos platónicos son: Sólo existen
cinco poliedros regulares:
- Tetraedro regular, hexaedro regular o cubo,
octaedro regular, dodecaedro regular e icosaedro
regular

12. Formado por tres triángulos equiláteros. Es el que
tiene menor volumen de los cinco en comparación
con su superficie. Representa el fuego. Está
formado por 4 caras, 6 aristas y 4 vértices.

13. Formado por seis cuadrados. Permanece
estable sobre su base. Por eso representa la
tierra. Está formado por 6 caras, 12 aristas y 8
vértices.

14. Formado por ocho triángulos equiláteros. Gira
libremente cuando se sujeta por vértices
opuestos. Por ello, representa al aire en
movimiento. Está formado por 8 caras, 12 aristas
y 6 vértices.

15. Formado por doce pentágonos regulares.
Corresponde al Universo, pues sus doce caras
pueden albergar los doce signos del Zodiaco.
Tiene 12 caras, 30 aristas y 20 vértices.

16. Formado por veinte triángulos equiláteros. Es el
que tiene mayor volumen en relación con su
superficie y representa al agua. Tiene 20 caras,
30 aristas y 12 vértices.

17. En todos ellos se cumple la relación:
CARAS + VÉRTICES – ARISTAS = 2
Nombre Nº de
Caras
Nº de
aristas
Nº de
vértices
Nº de
Ángulos
Diedros
Figuras
que forman
las caras
Tetraedro
4 6 4 6 Triángulo
equilátero.
Cubo 6 12 8 12 Cuadrado
Octaedro
8 12 6 12 Triángulo
equilátero
Dodecaedro 12 30 20 30 Pentágono
Icosaedro
20 30 12 30 Triángulo
equilátero

18. Dos poliedros regulares se llaman conjugados
si cada uno de ellos se obtiene del otro
uniendo mediante segmentos los puntos
medios de cada dos caras contiguas. Así, el
tetraedro es conjugado de sí mismo, el
dodecaedro es conjugado del icosaedro y el
cubo lo es del octaedro:

19. GRACIAS