Este documento presenta un portafolio de evidencias de estudiantes de ingeniería informática sobre sistemas numéricos. Explica los sistemas numéricos binario, octal y hexadecimal, incluyendo sus propiedades y cómo representan y convierten números entre estos sistemas y el sistema decimal. También cubre operaciones básicas como suma y multiplicación en el sistema binario. El objetivo es que los estudiantes comprendan la representación y conversión de números entre diferentes bases numéricas.

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MATEMATICAS DISCRETAS Instituto tecnológico
De
Chilpancingo
Carrera: ing. en informática
“Portafolio de evidencias”
INTEGRANTES:
MIGUEL ANGEL BELTRAN ABRAJAN.
MANUEL NIÑO NAVARRETE.
ELISAMA MORALES PARRA.
CLAUDIA BERENICE RAMIREZ NIÑO.
PROFR: MARIO HERNANDEZ HERNANDEZ.

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Chilpancingo, Guerrero; Septiembre 5 del 2012.
Índice
Introducción 4
Objetivo 4
Unidad I Sistemas Numéricos 5
1.1 Sistemas Numéricos
1.1.1 Sistema Binario 6
1.1.2 Sistema Octal 6
1.1.3 Sistema Hexadecimal 7
1.2 Conversión entre sistemas
1.2.1 Convertir los números de Decimal a: Binario, octal y hexadecimal 8-11
1.2.2 Convertir los números de Binario a Decimal 12
1.2.3 Convertir los números de Octal a Decimal 13
1.2.4 Convertir los números de Hexadecimal a Decimal 14
1.2.5 Convertir los números de Hexadecimal a: (Binario y Octal) 15
1.2.6 Convertir los números de Binario a Octal 16
1.2.7 Convertir los números de Binario a Hexadecimal 17
1.2.8 Convertir los números de Octal a Binario 18
1.3 Operaciones básicas (Suma, y Multiplicación)
1.3.1 Sumas en Binario 19
1.3.2 Multiplicación en Binario 19
Conclusión 20

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BIBLIOGRAFIA
1. MARIO HERNANDEZ HERNANDEZ
PROFESOR DE MATEMATICAS DISCRETAS
REFERENCIA EN INTERNET
2. http://www.monografias.com

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INTRODUCCIÓN
Desde tiempos remotos el hombre comenzó a desarrollar diferentes sistemas matemáticos con su correspondiente base numérica, para satisfacer sus necesidades de cálculo. Los sistemas numéricos más antiguos son:
• Babilónico
• Romano
• Hindú
• Árabe
Desde el comienzo de nuestra instrucción primaria en la escuela nos enseñan las matemáticas correspondientes al sistema numérico decimal, que continuamos utilizando durante el resto de nuestras vidas para realizar lo mismo cálculos simples que complejos. Debido al extendido uso del sistema decimal muchas personas desconocen la existencia de otros sistemas numéricos como, por ejemplo, el binario ( de base 2 ), el octal ( de base 8 ) y el hexadecimal ( de base 16 ), entre otros.
Con el surgimiento de los ordenadores o computadoras personales (PCs), los ingenieros informáticos se vieron en la necesidad de adoptar un sistema numérico que le permitiera a la máquina funcionar de forma fiable. Debido a que el sistema numérico decimal resultaba complejo para crear un código apropiado, adoptaron el uso del sistema numérico binario (de base 2), que emplea sólo dos dígitos: “0” y “1”.
Con el sistema binario los ingenieros crearon un lenguaje de bajo nivel o “código máquina”, que permite a los ordenadores entender y ejecutar las órdenes sin mayores complicaciones, pues el circuito electrónico de la máquina sólo tiene que distinguir entre dos dígitos para realizar las operaciones matemáticas y no entre diez, como hubiera sucedido de haberse adoptado el sistema numérico decimal para el funcionamiento de los computadores.
OBJETIVOS
• Comprender el manejo de números y saber usar las conversiones
• Repasar los métodos de representación numérica de los sistemas: decimal, binario, octal y hexadecimal, para números enteros y fraccionarios.
• Discutir los métodos de conversión entre los sistemas numéricos de nuestro interés, tanto para números enteros y fraccionarios.
• Comprender la representación de números binarios con signo empleando la notación complemento a 2.
• Repasar las operaciones aritméticas elementales en binario: suma y multiplicación.

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Sistema Numérico En matemáticas, varios sistemas de notación que se han usado o se usan para representar cantidades abstractas denominadas números. Un sistema numérico está definido por la base que utiliza. La base de un sistema numérico es el número de símbolos diferentes o guarismos, necesarios para representar un número cualquiera de los infinitos posibles en el sistema. A lo largo de la historia se han utilizado multitud de sistemas numéricos diferentes. Valores posicionales La posición de una cifra indica el valor de dicha cifra en función de los valores exponenciales de la base. En el sistema decimal, la cantidad representada por uno de los diez dígitos -0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9- depende de la posición del número completo. Para convertir un número n dado en base 10 a un número en base b, se divide (en el sistema decimal) n por b, el cociente se divide de nuevo por b, y así sucesivamente hasta obtener un cociente cero. Sistema binario El sistema binario desempeña un importante papel en la tecnología de los ordenadores. Los números se pueden representar en el sistema binario como la suma de varias potencias de dos. Ya que sólo se necesitan dos dígitos; el sistema binario se utiliza en ordenadores y computadoras.

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Sistema Binario (Base 2)
Utiliza 2 como base y emplea 2 dígitos 0,1.
Propiedades:
Utiliza los dígitos 0,1
Los valores de posición comienzan por 1 para el último digito de la derecha y aumentan en el factor 2 cada vez que nos desplazamos un lugar hacia la izquierda. 128 64 32 16 8 4 2 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1
Sistema Octal (Base 8)
Propiedades:
Utiliza los 8 dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7
Los valores de posición comienzan por 1 para el último digito de la derecha y aumentan en el factor 8 cada vez que nos desplazamos un lugar hacia la izquierda. 512 64 8 1 3 2 7 (64*3)+(8*2)+(7*1) 3278 = 21510 1 1 2 (64*1)+(8*1)+(2*1) 1128= 7310 1 4 2 (64*1)+(4*8)+(2*1) 1428 = 9810 2 4 2 (64*2)+(4*8)+(2*1) 2428 = 16210 1 0 (8*1)+(0*1) 108= 810 1 0 1 (64*1)+(8*0)+(1*1) 1018 = 6510
1010112 = 4310
10101102 = 8610
101011012 = 17310
111011102 = 23810
100110012 = 15310
111010112 = 23510

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Sistema Hexadecimal (Base 16)
Propiedades:
Utiliza los dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,A,B,C,D,E,F.
Los valores de posición comienzan por 1 para el último digito de la derecha y aumentan en el factor 16 cada vez que nos desplazamos un lugar hacia la izquierda. 4096 256 16 1 2 A 4 (2*256)+(16*10)+(4*1) 2A416 = 67610
Operación Contraria de Decimal a Binario. 128 64 32 16 8 4 2 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0
Decimal a Octal. 512 64 8 1 2 3 2 15410 = 2328 Resultado: 154-128=26 26-24=2 3 0 0 4 154010 = 30048 Resultado: 512*3=1536 1540-1536=4
Decimal a Hexadecimal. 4096 256 16 1 2 0 8 52010 = 20816 Resultado: 256*2=512 520-512=8 2 A 0 67210 = 2 A 016 Resultado: 256*2=512 672-512=160
A=10
D=13
B=11
E=14
C=12
F=15
100101012 = 14910 Resultado: 149-128=21 21-16=5
10000102 = 6610Resultado: 66-64= 2

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Conversión de Binario a Octal
010 101 110 101 2 = 25658
2
5
6
5
010 111 011 101 1102 =273568
2
7
3
5
6
011 010 000 1002 = 32048
3
2
0
4
Conversión de Octal a Binario
74218 = 111 100 010 001 2
7
4
2
1
1748 = 001 111 1002
34508 = 011 100 101 0002
Conversión de Binario a Hexadecimal.
a) 0101 0111 01012 = 57516
5
7
5
b) 0010 1110 1110 11102 = 2EEE16
c) 0110 1000 01002 = 68416
6
8
4
8 4 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 1 1 4 0 1 0 0 5 0 1 0 1 6 0 1 1 0 7 0 1 1 1 8 1 0 0 0 9 1 0 0 1 A 1 0 1 0 B 1 0 1 1 C 1 1 0 0 D 1 1 0 1 E 1 1 1 0 F 1 1 1 1
2
E
E
E

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1.- Convertir los siguientes números de decimal a binario
a) 647910R=11001010011112
b) 546310 R=10101010101112
c) 111110 R=100010101112
d) 443010 R=10001010011102
e) 203110 R=111111011112
f) 100010 R=11111010002
g) 101010 R=11111100102
h) 999910 R=100111000011112
i) 107810 R=100001101102
j) 14510 R=100100012
k) 481010 R=10010110010102
l) 2710 R=110112
m) 14910 R=100101012
n) 102410 R=100000000002
ñ) 29910 R=1001010112
8192 4096 2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0
1
0
0
1
0
0
0
1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0
1
1
0
1
1 1 0 0 1 0 1 0 1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 1 0 0 1 0 1 0 1 1

10. pág. 10
"ASI ES COMO SE RESUELVEN LOS SIGUIENTES EJERCICIOS"
EJEMPLO:
262144
4906
512
64
8
1
RESULTADO 1 145 2 2 1 (64X2=128)(145- 128=17)(2X8=16)(17- 16=1)(1-1=0)
Num.
Problema en decimal
262144
4906
512
64
8
1
resultado en octal 1 6479 1 4 5 8 1 14581
2
5473
1
2
5
2
7
12527 3 1111 2 1 2 7 2127
4
4430
1
0
5
1
6
10516 5 2031 3 7 7 1 3771
6
1000
1
7
5
0
1750 7 1010 1 7 6 2 1762
8
9999
2
3
4
1
7
23417 9 1678 3 2 1 6 3216
10
145
2
2
1
221 11 48 6 0 60
12
27
3
3
33 13 149 2 2 5 225
14
1024
2
0
0
0
2000 15 299 4 5 3 453

11. pág. 11
Convertir los siguientes números DECIMALES al sistema HEXADECIMAL.
Numero
Tabla
Operaciones. 65536 4096 256 16 1
647910----------194F16
1
9
4
F
(1*4096)+(9*256)+(4*16)+(15*1) 546310----------155716 1 5 5 7 (1*4096)+(5*256)+(5*16)+(7*1)
111110----------45116
4
5
1
(4*256)+(5*16)+(1*1) 443010----------114E16 1 1 4 E (1*4096)+(1*256)+(4*16)+(14*1)
203110----------7EF16
7
E
F
(7*256)+(14*16)+(15*1) 100010----------3E816 3 E 8 (3*256)+(14*16)+(8*1)
101010----------3F216
3
F
2
(3*256)+(15*16)+(2*1) 999910----------270F16 2 7 0 F (2*4096)+(7*256)+(0*16)+(15*1)
167810----------68E16
6
8
E
(6*256)+(8*16)+(14*1) 14510----------9116 9 1 (9*16)+(1*1)
4810----------3016
3
0
(3*16)+(0*1) 2710----------1B16 1 B (1*16)+(11*1)
14910----------9516
9
5
(9*16)+(5*1) 102410----------40016 4 0 0 (4*256)+(0*16)+(15*0)
29910----------12B16
1
2
B
(1*256)+(2*16)+(11*1)

12. pág. 12
2. convertir los siguientes números de binario a decimal
"ASI ES COMO SE VAN A RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS"
RESULTADO
EJEMPLO:
128
64
32
16
8
4
2
1
1 11111111 1 1 1 1 1 1 1 1 128+64+32+16+8+4+2+1=255
NUM. Problema en base 2 128 64 32 16 8 4 2 1 Resultado en base 10
1
11111111
1
1
1
1
1
1
1
1
255
2 10000000 1 0 0 0 0 0 0 0 128
3
OOOO1OOO
0
0
0
0
1
0
0
0
8
4 O1111111 0 1 1 1 1 1 1 1 127
5
1111OOOO
1
1
1
1
0
0
0
0
240
6 OOOO1111 0 0 0 0 1 1 1 1 15
7
O1O1O1OO
0
1
0
1
0
1
0
0
84
8 1O1O1O11 1 0 1 0 1 0 1 1 171
9
O1O1O1O1
0
1
0
1
0
1
0
1
85
10 1OOOOOO1 1 0 0 0 0 0 0 1 129
11
111O1111
1
1
1
0
1
1
1
1
239
12 O11OOO11 0 1 1 0 0 0 1 1 99
13
11011O11
1
1
0
1
1
0
1
1
219
14 1OO11OOO 1 0 0 1 1 0 0 0 152
15
11OO1O1O
1
1
0
0
1
0
1
0
202

13. pág. 13
Numero
Tabla
Operaciones 4096 512 64 8 1
4768-----31810
4
7
6
(4*64)+(7*8)+(6*1) 3468-----23010 3 4 6 (3*64)+(4*8)+(6*1)
11118-----58510
1
1
1
1
(512*1)+(1*64)+(1*8)+(1*1) 14308-----79210 1 4 3 0 (512*1)+(4*64)+(3*8)+(0*1)
10108-----52010
1
0
1
0
(512*1)+(0*64)+(1*8)+(0*1) 7778-----51110 7 7 7 (7*64)+(7*8)+(7*1)
16758-----95710
1
6
7
5
(512*1)+(6*64)+(7*8)+(5*1) 1468-----10210 1 4 6 (1*64)+(4*8)+(6*1)
748------6010
7
4
(7*8)+(4*1) 278------2310 2 7 (2*8)+(7*1)
10268------53410
1
0
2
6
(512*1)+(0*64)+(2*8)+(6*1) 2758------18910 2 7 5 (2*64)+(7*8)+(5*1)
12348------66810
1
2
3
4
(512*1)+(2*64)+(3*8)+(4*1) 4308------28010 4 3 0 (4*64)+(3*8)+(0*1)
35708------191210
3
5
7
0
(512*3)+(5*64)+(7*8)+(0*1)
Convertir los siguientes números Octales a Decimal.

14. pág. 14
Convertir de Hexadecimal a Decimal
convertir los números de base 16(hexadecimal) a base 10(decimal) usando la tabla hexadecimal
Ejemplo:
D1F9₁₆ =
Paso 1. Colocar la cantidad que vaya a resolver en la tabla, empezando de derecha a izquierda
tal como se hizo en la tabla de abajo.
16⁴
16³
16²
16¹
16⁰
65.5536
4096
256
16
1
D
1
F
9
Paso 2. multiplicar la letra o numero con el numero que haya quedado, ejemplo : D x 4096, 1 x 256...
y asi hasta terminar con el ultimo numero.
Paso 3. Sumar los resultados de las multiplicaciones, para sacar la respuesta.
Respuesta:
D1F9₁₆ = 53753₁₀
Ejercicios
Num.
4096
256
16
1
Resultados
1
A
1
(A x 16) + (1 x 1) = 161₁₀
2
3
4
(3 x 16) + (4 x 1) = 52₁₀
3
1
7
9
(1 x 256) + (7 x 16) + (9 x 1) = 377₁₀
4
A
D
A
(A x 256) + (D x 16) + (A x 1) = 2,778₁₀
5
F
4
5
(F x 256) + (4 x 16) + (5 x 1) = 3,909₁₀
6
1
3
4
(1 x 256) + (3 x 16) + (4 x 1) = 308₁₀
7
1
0
0
1
(1 x 4096) + (1 x 1) = 4,097₁₀
8
1
0
2
4
(1 x 4096) + (2 x 16) + (4 x 1) = 4,132₁₀
9
5
7
4
A
(5 x 4096) + (7 x 256) + (4 x 16) + (A x 1) = 22,346₁₀
10
7
4
D
8
(7 x 4096) + (4 x 256) + (D x 16) + (8 x 1) = 29,912₁₀
11
F
E
A
(F x 256) + (E x 16) + (A x 1) = 4,074₁₀
12
1
5
4
(1 x 256) + (5 x 16) + (4 x 1) = 340₁₀
13
7
1
1
1
(7 x 4096) + (1 x 256) + (1 x 16) + (1 x 1) = 28,945₁₀

15. pág. 15
Conversión de hexadecimal a binario
AF416= 1010111101002
101016= 00010000000100002
1AOE16= 00011010000011102
Conversión de octal a hexadecimal
25658 = 010101110101= 57516
273568= 010111011101110= 2EEE16
6748= 000110111100= 1BC16
Conversión de hexadecimal a octal
F4516= 111101000101= 75058
1A416=000110100100= 06448
AD1416=001010110100010100= 1264248
Convertir a decimal
a) 111012 =2910
b) 1101102 =5410
c) 1748 =12410
d) 32218 =168110
e) F1216 =385810
f) 1A816 =42410
f)
1x16=16+10=26
26x16=3856+2=3858
a)
1x2=2+1=3
3x2=6+1=7
7x2=14+0=14
14x2=28+1=29
b)
1x2=2+1=3
3x2=6+0=6
6x2=12+1=13
13x2=26+1=27
27x2=54+0=54
c)
1x8=8+7=15
15x8=120+4=124
d)
3x8=24+2=26
26x8=208+2=210
210x8=1680+1=1681
e)
FX16=240+1=241
241X16=3856+2=3858

16. pág. 16
NUMERO EJEMPLO: PROCEDIMIENTO, AQUÍ SE MUESTRA COMO SE LE AGREGA EL CERO RESULTADO
1
10101101
(010)=2(101)=5(101)=5
255
NUMERO
PROBLE MA EN BASE 2
RESPUESTA EN BASE 8
1 10101101 255
2
10010010
222
3 11001100 314
4
O1010101
125
5 11100111 347
6
10111011
273
7 10000001 201
8
11011011
333
9 11111011 372
10
10001000
210
11 OOOO1111 17
12
O1100110
146
13 11000101 305
14
O0111011
73
15 10111010 272
¿Como Hacerlo?
Ejemplo tenemos el número 176 para pasarlo en binario solo es necesario ir tomando de la tabla morada los valores de cada numero como se muestra a continuación:
1768= 001 111 110
1 7 6

17. pág. 17
Convertir de Binario a Hexadecimal
Convertir los números de binario a hexadecimal usando la tabla binario/hexadecimal
Ejemplo:
Paso 1. Tienes que ir separando los números de cuatro, en cuatro dígitos, de derecha
a izquierda.
1OOO 1OOOOO111111₂ =
Paso 2. Buscar la cantidad dada de los cuatros dígitos, y pondrás el numero equivalente
al hexadecimal.
RESPUESTA:
1OOO 1OOO OO11 1111₂ = 883F₁₆
1.- 100110110101₂ =9B5₁₆
HEXADECIMAL
BINARIO
2.- 100101001100₂= 94C₁₆
O
OOOO
3.- 110011100011₂= CE3₁₆
1
OOO1
4.- 111001011001₂ = 659₁₆
2
OO1O
5.- 111001011011₂ = E5B₁₆
3
OO11
6.- 101101010110₂= B56₁₆
4
O1OO
7.- 100101011001₂ = 959₁₆
5
O1O1
8.- 110111011111₂ = DDF₁₆
6
O11O
9.- 111110110101₂= FB5₁₆
7
O111
10.- 100010010001₂ = 891₁₆
8
1OOO
11.- 000011111100₂ = 0FC₁₆
9
1OO1
12.- 011001100101₂ = 665₁₆
A
1O1O
13.- 110001011100₂ = C5C₁₆
B
1O11
14.- 0011010111012= 35D₁₆
C
11OO
15.- 101110101111₂= BAF₁₆
D
11O1
E
111O
F
1111

18. pág. 18
Numero en Sistema Octal
Numero en Sistema Binario 235 010011101
272
010111010 214 010001100
1125
001001010101 307 011000111
173
001111011 210 010001000
343
011100011 362 011110010
217
010001111 174 001111100
1046
001000100110 505 101000101
763
111110011 176 001111110
Convertir de hexadecimal a binario
RESULTADO 9A516 1001101001012
92C16
1001001011002 CEA16 1100111010102
65016
0110010100002 E5D16 1110010111012
B2616
1011001001102 95716 1001010101112
DF116
1101111100012 FB316 1111101100112
88116
1000100000012 FCO16 1111110000002
66616
0110011001102 B5B16 1011010110112
25D16
0010010111012 BAE16 1011101011102
Tabla de Valores. 4 2 1
0
0
0
0 1 0 0 1
2
0
1
0 3 0 1 1
4
1
0
0 5 1 0 1
6
1
1
0 7 1 1 1
Octal a Binario

19. pág. 19
DECIMAL
a) .11012= 0.812510
b) .001112= 0.2187510
c) 0.37510= 0.0112
Convertir de binario a decimal
1011.011= 11.375
10101.1011= 21.6875
15.7516= 1111.11
45.35010= 101101.01011
OPERACIONES
SUMA BINARIA
Multiplicación Binaria
0
1
0
1
X
0
x
0
x
1
x
1
0
0
0
1
0.5
0.25
0.125
0.0625
0.03125
64
32
16
8
4
2
1
2-1
2-2
2-3
3-4
2-5
0.5
0.25
0.125
0.0625
0.03125
0
1
0
1
+
0
+
0
+
1
+
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
+
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
+
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
+
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
X
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
X
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
2
4
1
6
+
1
1
0
1
5
4

20. pág. 20
Suma Octal
Conclusión: En conclusión, el sistema de numeración es el conjunto de símbolos utilizados para la representación de cantidades, así como las reglas que rigen dicha representación. En la informática se usan muchos sistemas de numeración como lo el sistema binario, decimal, octal y hexadecimal ya que son muy útiles para la realización de varios programas pero la tecnología ha avanzado tanto que ya estos sistemas están si se puede decir obsoleto.  El sistema decimal que es uno de los denominados sistemas posicionales.  El Sistema binario que utiliza internamente el hardware de las computadoras actuales.  El sistema de numeración Octal cuya base es 8.  El hexadecimal que utiliza 16 símbolos para la representación de cantidades. Para la realización de estos programas se tenia que realizar algunas conversiones numéricas que son de decimal-binario (se divide el número entre dos) y binario-decimal (se suma en el número binario las diversas posiciones que contengan 1).
4
2
6
1
2
4
0
7
5
+
1
1
5
1
0
0
4
3
6

21. pág. 21