Sd1

Capítulo 1:
Sistemas Numéricos y Códigos.

SISTEMAS DIGITALES I

22/10/2008 Sistemas Digitales I - Ing. S. Ríos

CAPITULO1: CONCEPTOS INTRODUCTORIOS AL
DISEÑO DIGITAL

Representaciones analógicas: Las cantidades análogas pueden
variar gradualmente sobre un intervalo continuo de valores.
Representaciones digitales: Las cantidades varían en etapas
discretas a o largo del tiempo.

Señal Digital Señal Análogica

Sistema Digital: Un sistema digital es una combinación de
dispositivos, diseñada para manipular cantidades físicas o
información que estén representados en forma digital.
Sistema Analógico: Un sistema analógico contiene
dispositivos que manipulan cantidades físicas representadas
en forma analógica.

CAPITULO1: CONCEPTOS INTRODUCTORIOS
AL DISEÑO DIGITAL
Ventajas de las técnicas digitales

Mas fácil de diseñar (V,I,P,Vmax , Vmin, vs Fanout, Vmax).
Facilidad de almacenar información (memorias vs relés)
Control de precisión y exactitud (control de bits en la conversión )
Programación de la operación (en memorias)
El ruido afecta en forma mínima.

Alto grado de integración (Corta, Mediana ---> Larga SI)


AL DISEÑO DIGITAL

Limites en las Técnicas Digitales
“El mundo real es analógico”
Convertidores Digitales Analógicos (DAC) y Analógicos a Digitales
(ADC)
Convertir las entradas analógicas “del mundo real” a la forma
digital.
Procesar la información digital.
Convertir las salidas digitales a la forma analógica “del mundo
real”


AL DISEÑO DIGITAL

Sistemas de Numeración
Un sistema de numeración es un conjunto ordenado de símbolos
llamados dígitos con leyes definidas para la suma, resta,
multiplicación.

(N)r= (parte entera . parte fraccionaria)
Octal
Punto base Binario
N= número Decimal
r= base del sistema
Los números se representan en cualquier sistema de numeración
de 2 formas: Notación Posicional y Notación Polinomial.


AL DISEÑO DIGITAL

Notación Posicional: Implica la colocación de dígitos a ambos
lados del punto base, por ende sus posiciones no se pueden
alterar.
(N)r= (an-1 an-2 an-3…ai…a1a0 . a-1 a-2…a-f…a-m)r base

Parte entera Parte fraccionaria
Punto base
r= base del sistema m= número de dígitos en la parte
fraccionaria
a= los dígitos del set
an-1= dígito más significativo
n= número de dígitos en la
parte entera a-m = dígito menos significativo
Ej.: (1531.75)10 Ej.: (5131.75)10 no son lo mismo

AL DISEÑO DIGITAL

Base del Sistema: Número de dígitos que tiene el sistema.

Sistema Decimal: 10 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Sistema Binario: 2 dígitos: 0, 1
Sistema Octal: 8 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Sistema Hexadecimal: 16 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B,
C, D, E, F

Ej.: Sistema Binario: (110011. 1101)2
Sistema Octal: (1437. 64)8
Sistema Hexadecimal: (AF10. B04)16
Sistema Decimal: (1531. 46)10

AL DISEÑO DIGITAL
Decimal Binario Octal Hexadecimal

0 0000 0 0
1 0001 1 1
2 0010 2 2
3 0011 3 3
4 0100 4 4
5 0101 5 5
6 0110 6 6
7 0111 7 7
8 1000 10 8
9 1001 11 9
10 1010 12 A
11 1011 13 B
12 1100 14 C
13 1101 15 D
14 1110 16 E
15 1111 17 F

AL DISEÑO DIGITAL

Notación Polinomial: Se expresa como una sumatoria de los dígitos
multiplicada por un factor que es la base elevada a un exponente.
n-1
(N)r= ∑ aj rj
J=-m
= an-1rn-1 + an-2rn-2 + … + a1r1 + a0r0+ a-1r-1 + a-2r-2 + …+ a-mr -m

Ej.: (1748.75)10 = 1x103 + 7x102 + 4x101 + 8x100 + 7x10-1 + 5x10-2
n= 4 y m = 2

(1011.101) 2 = 1x1011 + 0x1010 + 1x101 + 1x100 + 1x10-1 + 0x10-10 + 1x10-11
n=4ym=3


AL DISEÑO DIGITAL

Método de Conversión de Base por Sustitución:
Sirve para convertir de cualquier base a decimal. Se usa la notación
polinomial.

Binario a Decimal:

Ej.: (1011.101)2 = 1x23 + 0x22+ 1x21+ 1x20 + 1x2-1 + 0x2-2 + 1x2-3
= 8 + 0 + 2 + 1 + 0.5 + 0 + 0.125
= (11.625)10


AL DISEÑO DIGITAL

Octal a Decimal
Ej.: (150.1)8 = 1x82 + 5x81 + 0x80 + 1x8-1
n=3 = 64 + 40 + 0 + 0.125
m=1 = (104.125)10

Hexadecimal a Decimal
(10x160)
Ej.: (32A)16 = 3x162 + 2x161 + A x 160
= 768 + 32 +10
= (810)10


AL DISEÑO DIGITAL
Método de Conversión de Base por Multiplicación y División para la Base
Utilizado para convertir de decimal a cualquier otra base
(N)10= (E10 . F10)
Por separado la parte entera de la fraccionaria.

De Decimal a Binaria
La parte entera la dividimos sucesivamente para 2 hasta cuando el
cociente sea igual a 0 .
Ej.: (19.75)10 ()2

19 2
LSD -1- 9 2 (19)10 = (10011. )2
-1- 4 2
-0- 2 2
-0- 1 2
-1- 0 Cociente = 0 fin de la conversión
MSD

AL DISEÑO DIGITAL
De Decimal a Octal
La parte entera la dividimos para 8 sucesivamente hasta cuando el cociente
sea igual a 0
Ej.: (19.75)10 ()8

19 8 (19)10 = (23)8
LSD -3- 2 8
-2- 0 Cociente = 0
MSD

De Decimal a Hexadecimal
Dividimos para 16 la parte entera
Ej.: (423)10 ()16
423 16
LSD -7- 26 16 (423)10 = (1A7)16
-10- 1 16
-1- 0
MSD

AL DISEÑO DIGITAL
La parte fraccionaria se la trabaja multiplicando por la base a la cual
queremos llegar. Puede darse conversión exacta e inexacta.
Si es inexacta: racionales – periódicos

= 0 exacta
Cj
≠ 0 inexacta
Cj es el último valor fraccionario
De Decimal a Binario: Multiplicamos por 2
Ej.: (0.75)10 = (0.11)2
MSD

0.75x2 = 1 +0.5
LSD
0.5x2 = 1+ 0 Cj=0 → EXACTA


AL DISEÑO DIGITAL

De Decimal a Octal: Multiplicamos por 8
Ej.: (0.75)10 = (0.6)8
0.75x8 = 6 + 0.0
Cj =0 EXACTA

De Decimal a Hexadecimal: Multiplicamos por 16
Ej.: (19.75)10 = (13.C)16

19 16 0.75x16 = 12 + 0
-3- 1 16 =C+0 EXACTA
-1- 0


AL DISEÑO DIGITAL
Caso: De Binario a Octal: de 3 en 3 porque el mayor dígito octal = 7
se puede escribir con 3 dígitos binarios (7)8 = (111)2
Ej.: ( 100 111 010 .)2 (472)8

4 7 2

Caso: De Binario a Hexadecimal: de 4 en 4 porque el mayor dígito
hexadecimal = 15 se puede escribir con 4 dígitos binarios (F)16 =
(1111)2
Ej.: 00(11 1010 0110. )2 (3A6)16

3 A 6


AL DISEÑO DIGITAL
Caso: (N)7 (N)6: Aplico sustitución y luego multiplicación y división para la
base.
Ej.: (B2F)16 ( )8

(1011 0010 1111.)2 ( 101 100 101 111.)2 (5457)8
5 4 5 7
Ej.: (4310.3)5 ( )8

(4310.3)5 = 4x53 + 3x52 + 1x51 + 0x50 + 3x5-1
= 500 + 75 +5 + 0.6
= (580.6)10 MSD
0.6x8 = 4+ 0.8
580 8 0.8x8 = 6 + 0.4 (1104.4631…)8
-4- 72 8 0.4x8 = 3 + 0.2
-0- 9 8 0.2x8 = 1 + 0.6
- 1- 1 8 0.6x8 = 4 + 0.8
-1- 0 LSD Inexacta Periódica

AL DISEÑO DIGITAL
Operaciones Aritméticas
Suma
De números Decimales De números Binarios
1111 1 acarreo 1111 11 acarreo
Ej.: 2954.764 Ej.: 10111.1011
+ 3875.643 10110.1110
0 6830.407 1 01110.1001
acarreo final acarreo final

De números Octales De números Hexadecimales
111 1
Ej.: 134.76 Ej.: F 0 1 . A
+ 257.34 +13C.1
0 414.32 103D.B
acarreo final acarreo final

AL DISEÑO DIGITAL
Resta
Se realiza de 2 formas diferentes: -Tradicional
- Por complementos

Ej.: 1958.03 Minuendo Si préstamo final = 0 => Resultado positivo
- 1767.96 Sustraendo Si préstamo final = 1 => Recomplementamos
0 0190.07 (Negativo)
Repuesta +
Préstamo final

Ej.: 1011.11 Minuendo
- 1001.01 Sustraendo
0 0010.10
Repuesta +
Préstamo final

AL DISEÑO DIGITAL

Complemento
Tenemos 2 tipos: - Complemento a la base
- Complemento a la base -1

Complemento a la Base (Complemento a la r):
(N)r,c = r n – (N) r (Complemento a r de un número N en una base r)

r: base n: número de dígitos de la parte entera de N

Decimal:

Ej.: ( 1958.03)10 ( 1958.03)10,c = 104 -1958.03
r = 10 n = 4 = 8041.97


AL DISEÑO DIGITAL

Binario:

Ej.: (10001.11)2 (10001.11)2,c = 25 - 10001.11
= 32 -10001.11
= 100000- 10001.11
r=2 n=5 = 01110.01

Regla en Binario

De derecha a izquierda escribo igual los números binarios hasta que
encuentro al 1er “1” lo escribo igual y los demás números los invierto.


AL DISEÑO DIGITAL

Complemento a la Base -1 (Complemento a la r-1):
(N)r-1,c = rn – r-m - (N)r

Decimal:
Ej.: ( 1958.03)10 (1958.03)9,c = 104 - 10-2 - 1958.03
n =4 r =10 m=2 = 8041.96
Regla: Para cada dígito se coloca un número que sumado de 9.

Binario:
Ej.: (10001.11)2 (10001.11)1,c = 25 - 2-2 – 10001.11
n =5 r =2 m =2 = 100000 – 0.01 – 10001.11
= 01110.00
Regla: Para cada dígito se coloca un número que sumado de “1”

AL DISEÑO DIGITAL

Resta de Números por complemento a r (a la base)

Cuando restamos números sin signo por complemento a la base
si el resultado nos da acarreo = “1”, a este 1 se lo ignora y los
restantes dígitos son la respuesta con signo +. Por otro lado si la
respuesta da acarreo = 0 el resultado es negativo y deberá
recomplementarse. La única diferencia con el complemento a r-
1, es que es valor del acarreo los sumamos al dígito menos
significativo.


AL DISEÑO DIGITAL

Decimales Complemento a 10

Ej.: 1958.03 Minuendo Se la realiza sacando el complemento al
- 1767.96 Sustraendo sustraendo y sumando ese valor al minuendo
=>
1958.03
+ 8232.04 (1767.96)10,c = 104 – 1767.96 = 8232.04
1 0190.07
acarreo Final = 1 => Respuesta = + (0190.07)10


AL DISEÑO DIGITAL

Decimales Complemento a 10


1767.96
+ 8041.97 (1958.03)10,c = 104 – 1958.03 = 8041.97
0 9809.93
acarreo Final = 0 => Respuesta = - y recomplementada
(9809.93)10,c = 104 – 9809.93 = 0190.07
Respuesta = - (0190.07)10


AL DISEÑO DIGITAL

Binarios por Complementos a 2

100111.01
+ 011011.01
1 000010.10
acarreo Final = 1 => R = + (000010.10)

Ej.: 10001.11
- 10111.10

10001.11
+ 01000.10
0 11010.01
Recomplementar R= - (00101.11)2

AL DISEÑO DIGITAL

Resta de Números por Complemento a r-1 (a la base -1)

Decimales: Complemento a 9: El complemento sale colocando un
número que sumando sea = 9

Ej.: 1767.96 Minuendo 1767.96
- 1958.03 Sustraendo + 8041.96
0 9809.92
acarreo final = 0 => Recomplemento
Respuesta = - 0190.07


AL DISEÑO DIGITAL

Producto:

Ej.: 0101 = 5
x 1101 = 13
0101
0000
0101
0101
1000001 = 65

Números con signo
0 + Convención
1 -

AL DISEÑO DIGITAL

Sobrecarga
Cuando un resultado se va fuera del rango. El rango en binario se
define como: -2n + 1 ≤ (N)10 ≤ 2n – 1

Ej.: n = 7 => -27 + 1 ≤ (N)10 ≤ 27 – 1

- 127 ≤ (N)10 ≤ 127
Para sobrecarga en binario nos fijamos en el acarreo final y el acarreo
sobre el dígito del signo. Si los 2 acarreos son iguales => no hay
sobrecarga y analizo el resultado tanto en signo como en magnitud.

Si ambos acarreos son diferentes => sobrecarga => añada una
columna más => expando con 0 para que siga siendo +
1 para que siga siendo -

AL DISEÑO DIGITAL

Suma con Signos

En las sumas con signo se trabaja con la columna del signo normalmente y se
procede a la suma binaria. Para analizar el resultado primero nos fijamos si hay
o no sobrecarga.

Si no hay sobrecarga observamos el bit del signo en la respuesta. Si el bit es 0
=> la respuesta es positiva y es la encontrada. Si el bit del signo es 1 => la
respuesta es negativa y debe recomplementarse.

Ej.: (+6)10 + (+10)10 = +(16)10
111 0111
(+6)10 = 0110 00110 000110 No hay
(+10)10 = 01010 + 01010 + 001010 Sobrecarga
(+16)10 = 010000 0 10000 0 010000
Sobrecarga = expando bit signo R= +(10000)2

AL DISEÑO DIGITAL
Ej.: (+6)10 + (-10)10 = -(4)10
(-10)10 = 10110

011
00110
+ 10110
0 11100
bit del signo R = -(0100)2
No hay sobrecarga
Ej.: Realice la siguiente suma. Las cantidades indicadas ya contienen el signo.
11111 1 011111 1
01110101 001110101
+ 01011101 + 001011101
0 11010010 0 011010010
Sobrecarga => expando Signo + R= +(11010010)2

AL DISEÑO DIGITAL
Restas con Signo
Se realiza la resta con complemento a la base 2. Se analiza si existe
sobrecarga. Si no la hay => se estudia el bit del signo y se escribe el
resultado. Si hay sobrecarga se expande una columna.
Ej.: Realice la siguiente resta de números con signo por complemento:
0 111
01010111 Minuendo 01010111
- 11011111 Sustraendo + 00100001
0 01111000
Signo +
No hay sobrecarga

R= + (1111000)2


AL DISEÑO DIGITAL
Ej: Realice la siguiente resta de números con signo por complemento:
0
11001001 11001001
- 01111111 + 10000001
1 01001010
Sobrecarga => expando
1
111001001 111001001
- 001111111 + 110000001
No hay 1 101001010
Sobrecarga
Signo - => recomplemento

R= - (10110110)2

AL DISEÑO DIGITAL
Códigos

Codificar es dar un orden, es traducir una información
Código: es un grupo de dígitos que representan una información.
Existe códigos binario, BCD, de reflexión, etc.
Código Binario: 2n = número de combinaciones
n = número de dígitos del código
Ej.: 23 = 8 combinaciones con 3 dígitos
+ - . , *
001 011 010 100 101
¿Y si quiero codificar más de 8 símbolos distintos?


AL DISEÑO DIGITAL
Códigos BCD (o NBCD): Cuando cada dígito de un número decimal se
representa con su equivalente binario => BCD. Ya que el mayor dígito
decimal es el 9 => se utilizan 4 bits siempre.

Ej.: ( 8 7 4 )10 () BCD
1000 0111 0100
(1000 0111 0100 ) NBCD

Ej.: ( 0110 1000 0011 1001) BCD
6 8 3 9
(6839)10

No es lo mismo un binario que un BCD o NBCD
Ej.: (137)10 = (10001001)2
8 bits
= (000100110111) BCD
12 bits

AL DISEÑO DIGITAL

Código de Exceso de 3
Es un código NBCD porque la conversión se la hace para cada dígito.
A cada uno de los bits se le suma 3 antes de codificarlo en binario.

Ej.: (48)10 ( )xs3

4 8
+3 +3
7 11
(0111)2 (1011)2 (0111 1011)xs3

De Reflexión: se repiten ciertos dígitos y se cambia el primero


AL DISEÑO DIGITAL

Código de Distancia Unitaria: Ocurre cuando de uno a otro código
cambia solo un bit a la vez

Código Gray: Es un código de distancia unitaria

De Gray a Binario: de izquierda a derecha busco el 1er “1” y lo
escribo igual. Luego escribo 1´s hasta que el siguiente 1 es
encontrado, en cuyo caso escribo un “0”. Entonces escribo 0´s
hasta encontrar el siguiente 1 en cuyo caso escribo un “1” y así
sucesivamente.

Ej.: (101010)Gray

(110011)2


AL DISEÑO DIGITAL

De Binario a Gray: Colocar un “0” al lado del MSD y comenzando por
la izquierda realice EXOR entre los bits adyacentes.

2 iguales => 0 A B A+ B
2 diferentes => 1 0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Ej.: 0(1 1 0 0 1)2 => (10101)GRAY

10 101

Ej.: 0(1 0 1 0 1 0 0)2 => (1111110)Gray

1 1 1 1 1 10

AL DISEÑO DIGITAL

Códigos Alfanuméricos:

ASCII(American Standar Code for Information Interchange) 7 dígitos

EBCDIC (Extended Binary Coded Decimal Interchange Code) 8 dígitos

Ej.: A 1000001 ASCII 7 dígitos

A 1 1000001 EBCDIC 8 dígitos

Extendido


AL DISEÑO DIGITAL

Código de Detección de Errores:
Se añade un dígito más a una palabra

X Y

Transmisión Medio de Recepción
transmisión

Paridad Par: se añade un cero en caso par de unos
Ej.: 01000001 A con paridad par

Paridad Impar: se añade un cero en caso de que exista un número
impar de unos
Ej.: 11000001 A con paridad impar

AL DISEÑO DIGITAL

Bloque de información (con paridad par):

Ej.: 1 00100 Bloques Par x Par
1 10000 ó Impar x Impar
0 01010
1 10101
1 10000
0 11011


AL DISEÑO DIGITAL

Ej.: Realice la operación indicada
(1100 0110)xs3 + ( 10 10 11 11)gray = ( )2
12 6 (11001010)2
- 3 -3 1 11
9 3 01011101
(93)10 = (1011101)2 + 11001010
1 00100111
93 2
LSD -1- 46 2
-0- 23 2
-1- 11 2 R= ( 100100111)2
-1- 5 2
-1- 2 2
-0- 1 2
-1- 0
MSD

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