Este documento describe un algoritmo para calcular potencias modulares de forma eficiente. El algoritmo involucra descomponer el exponente en suma de potencias de 2, calcular potencias modulares individuales elevando al cuadrado y reduciendo, y multiplicar las potencias para obtener el resultado final. El documento también discute cómo implementar este algoritmo en una hoja de cálculo usando sucesiones por recurrencia.

1. C´lculo de potencias modulares
a
Jes´s Garc´ de Jal´n de la Fuente
u ıa o
IES Avenida de los Toreros
Madrid
2009-11-02
C´lculo de potencias modulares
a

2. Introducci´n
o
El problema que consideramos consiste en el c´lculo de potencias
a
modulares:
an (m´d m)
o
esto es, el resto de dividir an entre m.
C´lculo de potencias modulares
a

3. Introducci´n
o
El problema que consideramos consiste en el c´lculo de potencias
a
modulares:
an (m´d m)
o
esto es, el resto de dividir an entre m.
Tanto a como n y m son enteros positivos muy grandes.
C´lculo de potencias modulares
a

4. Introducci´n
o
El problema que consideramos consiste en el c´lculo de potencias
a
modulares:
an (m´d m)
o
esto es, el resto de dividir an entre m.
Tanto a como n y m son enteros positivos muy grandes.
Por ejemplo el n´mero 65418914 es un n´mero gigantesco de m´s
u u a
de 30000 cifras.
C´lculo de potencias modulares
a

5. Introducci´n
o
El problema que consideramos consiste en el c´lculo de potencias
a
modulares:
an (m´d m)
o
esto es, el resto de dividir an entre m.
Tanto a como n y m son enteros positivos muy grandes.
Por ejemplo el n´mero 65418914 es un n´mero gigantesco de m´s
u u a
de 30000 cifras.
Imaginemos cu´ntas cifras puede tener la potencia si la base y el
a
exponente tienen 50 cifras.
C´lculo de potencias modulares
a

6. El problema
Vamos a calcular una potencia con n´meros de cuatro cifras. Por
u
ejemplo:
65418914 (m´d 7789)
o
C´lculo de potencias modulares
a

7. El problema
Vamos a calcular una potencia con n´meros de cuatro cifras. Por
u
ejemplo:
65418914 (m´d 7789)
o
En un criptosistema real, estos n´meros deber´ ser mucho
u ıan
mayores (cincuenta o m´s cifras).
a
C´lculo de potencias modulares
a

8. El problema
Vamos a calcular una potencia con n´meros de cuatro cifras. Por
u
ejemplo:
65418914 (m´d 7789)
o
En un criptosistema real, estos n´meros deber´ ser mucho
u ıan
mayores (cincuenta o m´s cifras).
a
Veremos que, en cualquier caso, existe un algoritmo que permite
calcular la potencia.
C´lculo de potencias modulares
a

9. Estrategias err´neas
o
Se podr´ pensar en calcular la potencia 65418914 y despu´s
ıa e
dividir por 7789. Pero:
C´lculo de potencias modulares
a

10. Estrategias err´neas
o
Se podr´ pensar en calcular la potencia 65418914 y despu´s
ıa e
dividir por 7789. Pero:
La potencia tiene m´s de 30000 cifras.
a
C´lculo de potencias modulares
a

11. Estrategias err´neas
o
Se podr´ pensar en calcular la potencia 65418914 y despu´s
ıa e
dividir por 7789. Pero:
La potencia tiene m´s de 30000 cifras.
a
Si la base y el exponente son n´meros muy grandes, el c´lculo se
u a
vuelve imposible.
C´lculo de potencias modulares
a

12. Estrategias err´neas
o
Se podr´ pensar en calcular la potencia 65418914 y despu´s
ıa e
dividir por 7789. Pero:
La potencia tiene m´s de 30000 cifras.
a
Si la base y el exponente son n´meros muy grandes, el c´lculo se
u a
vuelve imposible.
Tampoco servir´ calcular la potencia mediante productos y a la
ıa
vez ir reduciendo m´dulo 7789:
o
C´lculo de potencias modulares
a

13. Estrategias err´neas
o
Se podr´ pensar en calcular la potencia 65418914 y despu´s
ıa e
dividir por 7789. Pero:
La potencia tiene m´s de 30000 cifras.
a
Si la base y el exponente son n´meros muy grandes, el c´lculo se
u a
vuelve imposible.
Tampoco servir´ calcular la potencia mediante productos y a la
ıa
vez ir reduciendo m´dulo 7789:
o
Por una parte, se evita que los n´meros se hagan grandes
u
(siempre ser´n menores que el m´dulo)
a o
C´lculo de potencias modulares
a

14. Estrategias err´neas
o
Se podr´ pensar en calcular la potencia 65418914 y despu´s
ıa e
dividir por 7789. Pero:
La potencia tiene m´s de 30000 cifras.
a
Si la base y el exponente son n´meros muy grandes, el c´lculo se
u a
vuelve imposible.
Tampoco servir´ calcular la potencia mediante productos y a la
ıa
vez ir reduciendo m´dulo 7789:
o
Por una parte, se evita que los n´meros se hagan grandes
u
(siempre ser´n menores que el m´dulo)
a o
Si la base y el exponente son muy grandes el n´mero de
u
multiplicaciones y divisiones ser´ enorme (en nuestro ejemplo
a
8913 multiplicaciones y el mismo n´mero de divisiones).
u
C´lculo de potencias modulares
a

15. El algoritmo I
Expresamos el exponente 8914 como suma de potencias de 2. Esto
se puede conseguir a partir de la expresi´n binaria del n´mero:
o u
8914 = 10001011010010(2)
C´lculo de potencias modulares
a

16. El algoritmo I
Expresamos el exponente 8914 como suma de potencias de 2. Esto
se puede conseguir a partir de la expresi´n binaria del n´mero:
o u
8914 = 10001011010010(2)
Esto significa que:
8914 = 2 + 16 + 64 + 128 + 512 + 8192
C´lculo de potencias modulares
a

17. El algoritmo I
Expresamos el exponente 8914 como suma de potencias de 2. Esto
se puede conseguir a partir de la expresi´n binaria del n´mero:
o u
8914 = 10001011010010(2)
Esto significa que:
8914 = 2 + 16 + 64 + 128 + 512 + 8192
Por consiguiente:
65418914 = 65412+16+64+128+512+8192
= 65412 · 654116 · 654164 · 6541128 · 6541512 · 65418192
C´lculo de potencias modulares
a

18. El algoritmo II
Seg´n hemos visto, basta calcular las potencias cuyo exponente
u
sea una potencia de 2.
Estas potencias se pueden calcular cada una de la anterior
elevando al cuadrado. Para evitar que este n´mero se haga
u
grande se reduce m´dulo 7789.
o
Por ejemplo (los c´lculos son m´dulo 7789):
a o
65412 ≡ 42784681 ≡ 7493 (m´d 7789)
o
4 2
6541 ≡ 7493 ≡ 56145049 ≡ 1937 (m´d 7789)
o
8 2
6541 ≡ 1937 ≡ 3751969 ≡ 5460 (m´d 7789)
o
El resto de potencias puede verse en la p´gina siguiente.
a
C´lculo de potencias modulares
a

19. El algoritmo III
65412 ≡ 42784681 ≡ 7493 (m´d 7789)
o
4 2
6541 ≡ 7493 ≡ 56145049 ≡ 1937 (m´d 7789)
o
8 2
6541 ≡ 1937 ≡ 3751969 ≡ 5460 (m´d 7789)
o
16 2
6541 ≡ 5460 ≡ 29811600 ≡ 3097 (m´d 7789)
o
32 2
6541 ≡ 3097 ≡ 9591409 ≡ 3150 (m´d 7789)
o
64 2
6541 ≡ 3150 ≡ 9922500 ≡ 7103 (m´d 7789)
o
128 2
6541 ≡ 7103 ≡ 50452609 ≡ 3256 (m´d 7789)
o
256 2
6541 ≡ 3256 ≡ 10601536 ≡ 707 (m´d 7789)
o
512 2
6541 ≡ 707 ≡ 499849 ≡ 1353 (m´d 7789)
o
1024 2
6541 ≡ 1353 ≡ 1830609 ≡ 194 (m´d 7789)
o
2048 2
6541 ≡ 194 ≡ 37636 ≡ 6480 (m´d 7789)
o
4096 2
6541 ≡ 6480 ≡ 41990400 ≡ 7690 (m´d 7789)
o
8192 2
6541 ≡ 7690 ≡ 59136100 ≡ 2012 (m´d 7789)
o
C´lculo de potencias modulares
a

20. El algoritmo IV
Ahora puesto que:
65418914 = 65412 · 654116 · 654164 · 6541128 · 6541512 · 65418192
C´lculo de potencias modulares
a

21. El algoritmo IV
Ahora puesto que:
65418914 = 65412 · 654116 · 654164 · 6541128 · 6541512 · 65418192
Sustituimos las potencias y reducimos cada producto m´dulo
o
7789:
65418914 = 65412 · 654116 · 654164 · 6541128 · 6541512 · 65418192
≡ 7493 · 3097 · 7103 · 3256 · 1353 · 2012
≡ 23205821 · 23127368 · 2722236
≡ 2390 · 1827 · 3875
≡ 4366530 · 3875
≡ 4690 · 3875
≡ 18173750 ≡ 2013 (m´d 7789)
o
C´lculo de potencias modulares
a

22. El algoritmo IV
Ahora puesto que:
65418914 = 65412 · 654116 · 654164 · 6541128 · 6541512 · 65418192
Sustituimos las potencias y reducimos cada producto m´dulo
o
7789:
65418914 = 65412 · 654116 · 654164 · 6541128 · 6541512 · 65418192
≡ 7493 · 3097 · 7103 · 3256 · 1353 · 2012
≡ 23205821 · 23127368 · 2722236
≡ 2390 · 1827 · 3875
≡ 4366530 · 3875
≡ 4690 · 3875
≡ 18173750 ≡ 2013 (m´d 7789)
o
Han sido suficientes 18 multiplicaciones y divisiones para obtener
el resultado.
C´lculo de potencias modulares
a

23. Conclusi´n
o
El algoritmo para calcular potencias modulares consiste en lo
siguiente:
1 Descomponer el exponente en suma de potencias de 2.
C´lculo de potencias modulares
a

24. Conclusi´n
o
El algoritmo para calcular potencias modulares consiste en lo
siguiente:
1 Descomponer el exponente en suma de potencias de 2.
2 Calcular las potencias modulares cuyo exponente es una potencia
de 2. Estas potencias pueden obtenerse cada una de la anterior
elevando al cuadrado y reduciendo.
C´lculo de potencias modulares
a

25. Conclusi´n
o
El algoritmo para calcular potencias modulares consiste en lo
siguiente:
1 Descomponer el exponente en suma de potencias de 2.
2 Calcular las potencias modulares cuyo exponente es una potencia
de 2. Estas potencias pueden obtenerse cada una de la anterior
elevando al cuadrado y reduciendo.
3 Multiplicar las potencias cuyos exponentes aparezcan en la
descomposici´n del apartado 1 y reducir cada producto con el
o
m´dulo.
o
C´lculo de potencias modulares
a

26. Implementaci´n en una hoja de c´lculo I
o a
El c´lculo de la potencia ae (m´d p) puede programarse f´cilmente
a o a
en una hoja de c´lculo definiendo las siguientes sucesiones por
a
recurrencia:
xn
x1 = e, xn+1 = int 2
2
y1 = a, yn+1 = yn mod p
zn si xn es par
z1 = 1, zn+1 =
yn zn si xn es impar
El valor de zn cuando xn = 0 es el valor de la potencia.
C´lculo de potencias modulares
a

27. Implementaci´n en una hoja de c´lculo II
o a
C´lculo de potencias modulares
a