Mate 10 módulo_1( 2021-2022)

Prohibida
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Ministerio
de
Educación
1
Décimo grado EGB
Módulo pedagógico 1
de Matemática
9 Internet sano, seguro
y constructivo 8 Educación para
el cambio
Los granos de trigo del ajedrez
Cuenta la leyenda que Sessa, inventor del ajedrez,
presentó el juego a Sherán, príncipe de la India,
quien quedó maravillado de lo ingenioso que era y
de la variedad de posiciones que en él eran posibles.
Con el fin de recompensarle, le preguntó qué desea-
ba. Sessa le pidió un corto plazo para meditar la res-
puesta. Al día siguiente se presentó ante el soberano
y le hizo la siguiente petición: «Soberano, manda que
me entreguen un grano de trigo por la primera casi-
lla del tablero de ajedrez, dos granos por la segunda,
cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, y así sucesi-
vamente hasta la casilla sesenta y cuatro». Sessa pe-
día, por tanto, que le recompensaran con el siguien-
te número de granos: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + ….
Siseescribenlossumandoscomopotenciasdebase2,
se visualiza mejor el pedido:
20
+ 21
+ 22
+ 23
+ 24
+ … + 263
, lo que da como resul-
tado ¡más de 18 trillones!, que es la cosecha que se
recogería al sembrar 65 veces toda la Tierra. Por su-
puesto que el príncipe no pudo cumplir su promesa.
Fuente: https://bit.ly/2Ip1sbp
Potenciación con
exponente natural 1
Potencias con exponente
entero. Propiedades de la
potenciación de números
reales
2
Notación científica 3
Medidas de posición 4
M
a
t
e
m
á
t
i
c
a
E
s
t
u
d
i
o
s
S
o
c
i
a
l
e
s
C
i
e
n
c
i
a
s
N
a
t
u
r
a
l
e
s
L
e
n
g
u
a
y
L
i
t
e
r
a
t
u
r
a
Valores
7
Producción
de una historieta
Potenciación de números reales
y medidas de posición
Mineduc
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Bloques curriculares: Álgebra y funciones. Geometría y medida. Estadística y probabilidad
Números
reales
6 Reproducción celular
¿Qué ejemplos podemos dar sobre la potenciación
en un contexto real?
Sociedad y familia
5

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2
Pi (π) es la razón entre el períme-
tro de un círculo y su diámetro.
Recordemos
Algunas calculadoras y siste-
mas informáticos utilizan la no-
tación a^n para representar an
.
Dato curioso
Es sumamente importante la
colocación de paréntesis cuan-
do se usan exponentes.
Ejemplo:
(–3)2
≠ –32
porque (–3)2
= 9,
que es positivo, en tanto que
–32
es el inverso aditivo de 32
,
esto es, –32
= –9.
Pensemos
¿Cómo definimos la potenciación?
Potenciación con exponente natural
La potenciación es la operación matemática entre dos términos; la base
a [ ℝ y exponente n [ ℕ. Se escribe an
y se lee “a elevado a la potencia n”
de tal forma que se verifica lo siguiente: para n > 1,
an
= a⋅a⋅a⋅a⋅a⋅!⋅a
n veces
! "
## $
## .
La potenciación se puede considerar una operación abreviada de la mul-
tiplicación reiterada del mismo factor.
Ejemplo 1
a. 23
= 2⋅2⋅2
3veces
! =8
b. −3
( )4
=(−3)⋅(−3)⋅(−3)⋅(−3)
4 veces
! "
##
# $
### = +81
c. −
1
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
3
= −
1
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅ −
1
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ⋅ −
1
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
3veces
! "
##
# $
###
= −
1
8
d. π5
=π ⋅π ⋅π ⋅π ⋅π
5veces
! "
# $
#
Cuando se trata de números irracionales como pi es recomendable dejar
expresada la potencia.
1 Utilizamos la definición de potenciación y simplificamos.
Practiquemos
a. (–2a)4
d. (2x)3
b. –53
e. (–e)5
c. −
2
3
y
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
f.
1
4
xy
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
Bloque curricular: Álgebra y funciones

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3
¿En qué otras situaciones de mi vida cotidiana puedo aplicar
la potenciación de números reales con exponente natural?
• Escribimos en cada literal
el número propuesto como
una potencia de la base
dada.
a. 49; base 7
b. 1 000; base 10
c. –8; base –2
d. 64; base 4
• Los protozoos son organis-
mos unicelulares.
El Paramecium aurelia es un
tipo de protozoo. La can-
tidad de este tipo de para-
mecios se triplica cada 1,25
días. Hace 5 días había un
protozoo sobre el portaob-
jetos. ¿Cuántos hay ahora?
Potenciación con exponente natural
Ejemplo 2
Aplicación a la resolución de problemas
Una bacteria se divide en 2 bacterias cada hora. Hay una bacteria en el por-
taobjetos. Si cada una de las bacterias que está en el portaobjetos se divide
una vez por hora, ¿cuántas bacterias habrá sobre el portaobjetos después
de 5 horas?
Solución
1. Comprendo el problema. Hago una lista con información importante:
Sobre el portaobjetos hay una bacteria que se divide en dos bacterias.
Cada bacteria se divide en dos bacterias más.
2. Hago un plan
Creo un diagrama para mostrar la cantidad de bacterias que habrá des-
pués de cada hora.
3.) Resuelvo.
Después de 1 hora: 1 ∙ 2 = 2 = 21
Después de 2 horas: 2 · 2 = 4 = 22
Después de 3 horas: 4 · 2 = 8 = 23
Se puede, entonces, generalizar que la reproducción de este tipo de bac-
terias tiene un comportamiento de una potencia de base 2, es decir, 2n
,
donde n es el número de horas transcurridas.
Por lo tanto:
Luego de la quinta hora habrá 25
= 32 bacterias.
Desarrollo los siguientes
ejercicios utilizando la
definición de potenciación.
a. 43
=
b. (–1)9
=
c. −
2
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
3
=
d. –82
=
Bacteria (1)
t = 0h
Bacteria (1)
t = 2h
Bacteria (2)
t = 2h
Bacteria (3)
t = 2h
Bacteria (4)
t = 2h
20
= 1
21
= 2
22
= 4
Bacteria (1)
t = 1h
Bacteria (2)
t = 1h
Valor: Educación para el cambio
Interaprendizaje
Cuando aprendemos sobre la
base del diálogo, la crítica, la
autocrítica, la autoevaluación
y la confrontación de ideas y
experiencias estamos favore-
ciendo los hábitos de solidari-
dad, y responsabilidad.
¿Qué otros hábitos consideras
que se fomentan mediante el
interaprendizaje?

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Claro que sí; por ejemplo: el diámetro de una molécula de ADN es 10–8
metros (m), y el tiempo que tarda un electrón en ir desde el origen a la
pantalla de un televisor en un tubo de rayos catódicos es 10–6
segundos (s).
¿Utilizamos números negativos cómo exponentes en el ámbito de la ciencia y tecnología?
Potencia con exponente entero
Exponente cero
Si a es un número real distinto de cero, entonces: a0
= 1.
Ejemplo 1
50
= 1; (–2)0
= 1;
1
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
0
= 1
¿Qué opción completa la serie?
abc/opq/def/rst/ghi/uvw...
a. lmn
b. jkl
c. xyz
Fuente: http://bit.ly/2JJMZZt
Pensemos
Pixabay
/
Arek
Socha
Exponente negativo
Si n es un número entero positivo y a es un número real distinto de cero,
entonces:
a−n
=
1
an
= y 00
no está definido.
Ejemplo 2
a. x−5
=
1
x5
b. 2−4
=
1
24
=
1
16
c. 10−2
=
1
102
=
1
100
= 0.01
d.
3
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−2
=
1
3
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2 =
1
9
16
=
16
9
1 Simplificamos cada expresión numérica.
Practiquemos
4
ADN. El ADN (ácido
desoxirribonucleico) son las
instrucciones que se pasan
de los organismos adultos a
sus descendientes durante la
reproducción.
(National Human Genoma Research
Institute, 1969)
Glosario
a. 24
b. –10–2
c. 10–3
d.
1
3−4
e.
1
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−3
f. −
5
6
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
0
g. 1
4
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−2
Molécula de ADN

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5
Propiedades de la potenciación de números reales
Para todo a, b [ ℝ –{0} y m, n [ ℤ se tiene:
Propiedad Expresión algebraica
Producto de dos potencias
de la misma base
Cociente de dos potencias
de la misma base
Producto de dos potencias
con el mismo exponente
Cociente de dos potencias
con el mismo exponente
Potencia de una potencia
an
⋅ am
= an+m
an
am
= an−m
an
⋅ bn
= a⋅ b
( )n
an
( )
m
= an⋅m
an
bn
=
a
b
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
n
Ejemplo 1
Simplificamos cada una de las siguientes expresiones numéricas utilizando
las propiedades de números reales.
a. 10−3
⋅ 102
b.
10−2
10−4
c. 2−3
( )
−2
d. 2−1
⋅ 32
( )
−1
e.
2−3
3−2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−1
Solución
a. 10−3
⋅ 102
= 10−3+2
= 10−1
=
1
101
=
1
10
Se aplica la propiedad del producto de potencias de igual base (se man-
tiene la base y se suman los exponentes) y se aplica la definición de la
potencia de exponente negativo.
b.
10−2
10−4
= 10−2−(−4)
= 10−2+4
= 102
= 100
Se aplica la propiedad del cociente de potencias con igual base (se man-
tiene la base y se restan los exponentes).
c. 2−3
( )
−2
= 2(−3)⋅(−2)
= 26
= 64
Se aplica la propiedad de la potencia de potencia (se mantiene la base y
se multiplican los exponentes).
d. 2−1
⋅ 32
( )
−1
= 2−1
( )
−1
⋅ 32
( )
−1
= 21
⋅ 3−2
=
2
32
=
2
9
Se aplica la propiedad de la potencia de un producto de igual exponente
(se separan los factores elevados a la potencia indicada) y luego se aplica
la propiedad de la potencia de una potencia y la definición de la poten-
cia de exponente negativo.
e.
2−3
3−2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−1
=
2−3
( )
−1
3−2
( )
−1 =
23
32
=
8
9
Se aplica la propiedad de la potencia de un cociente de igual exponente
(se separan los factores elevados a la potencia indicada) luego se aplica
la propiedad de la potencia de una potencia.
El 365 es un número curioso,
ya que es el único que cumple
con la propiedad:
102
+ 112
+ 122
= 132
+ 142
= 365
Dato curioso
¿Qué propiedades se aplica
para justificar que, para a y b
números reales distintos de
cero y n un entero positivo, se
cumple que, para a y b (núme-
ros reales distintos de cero) y n
(un entero positivo), se cumple
a
b
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
–n
=
b
a
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
n
?
Sí podemos
¿Cómo podemos aplicar la propiedad de la potencia de potencia para
representar el diámetro de la molécula de ADN?

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6
Practiquemos
1 Simplificamos cada expresión numérica usando las
propiedades de la potenciación.
2 Expresamos los resultados finales usando solo ex-
ponentes enteros positivos.
a. 3–4
∙ 36
b. 104
∙ 10–6
c. (2–2
)–4
d. (2–2
)–4
e. (2–2
∙ 3–1
)–3
f.
2−1
3−2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
2
g.
33
3−1
h.
10−2
102
i. 2–4
+ 5–1
j. 3
2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−1
−
1
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−1
a. (2xy–1
)(3x–2
y4
)
b. (–7a2
b–5
)(–a–2
b7
)
c.
28x−2
y−3
4x−3
y−1
d.
−72a2
b−4
6a3
b−7
e.
35x−1
y−2
7x4
y3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−1
f.
−36a−1
b−6
4a−1
b4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−2

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7
¿Para qué utilizamos la notación científica?
Notación científica
La astronomía es una ciencia que fundamenta sus estudios y análisis en
números muy grandes. Por ejemplo, la distancia del Sol a la Tierra es de
150 millones de kilómetros, es decir, 150 000 000 km. Por otro lado, la
velocidad a la que se desplaza la radiación solar hacia la Tierra en forma de
ondas electromagnéticas es de 300 000 km/s. Resulta muy complicado tra-
bajar con números en esta forma (notación decimal), por lo que conviene
trabajar en notación científica.
Un número está en notación científica si se escribe en la forma:
m × 10n
, donde: 1 ≤ m < 10 y n [ ℤ.
En los siguientes ejemplos se puede observar la comparación entre nota-
ción decimal (ordinaria) y notación científica.
Procedimiento para pasar un número de notación
decimal a notación científica
Trabajamos paso a paso
Ejemplo 1
a. Distancia del Sol a la Tierra: 150 000 000 km = 1,5 × 108
km
b. Velocidad de la luz: 300 000 km/s = 3,0 × 105
km/s
Paso 1: Se escribe el número dado como el producto de un número mayor
o igual que 1 y menor que 10, y una potencia de base 10.
Paso 2: El exponente de la base 10 se determina al contar el número de
lugares que se movió el punto decimal.
Paso 3: Este exponente es: a) positivo, si se movió a la izquierda; b) negati-
vo, si se movió a la derecha; c) 0, si no se movió el punto decimal.
Notación
decimal
Notación
científica
No. de espacios que
recorrió el decimal
Dirección que
recorrió el decimal
6,2 6,2 × 100
0 No se mueve
91 9,1 × 101
1 Izquierda
3 400 3,4 × 103
3 Izquierda
0,549 5,49 × 10–1
1 Derecha
0,019 1,9 × 10–2
2 Derecha
0,000791 7,91 × 10–4
4 Derecha
¿Cómo utilizaríamos la notación científica en la vida cotidiana?
Sistema solar
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ondas electromagnéticas.
Son ondas compuestas
por campos magnéticos y
eléctricos oscilantes; pueden
propagarse por cualquier
medio o por el vacío, en el
cual se mueven a la velocidad
de la luz.
Glosario

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8
1 Escribimos cada una de las siguientes expresiones
en notación científica.
a. 4 290
3 El número de Avogadro es:
602 000 000 000 000 000 000 000 y corresponde
al número de átomos en un mol de sustancia. Ex-
presemos este número en notación científica.
4 La primera computadora de Luis tenía una veloci-
dad de procesamiento de 1,2 × 106
hercios. Des-
pués de dos años se compra una computadora por-
tátil con una velocidad de procesamiento de 2,4 x
109
hercios. ¿Aproximadamente cuántas veces
mayor es la rapidez de procesamiento de su nueva
portátil en comparación con la primera computa-
dora? Expresamos el resultado en forma decimal.
2 Cambiamos cada una de las siguientes expresio-
nes en notación científica a notación decimal.
a. 7,631 × 104
Practiquemos
b. 72 400 000
b. 9,14 × 10–5
c. 0,00005
c. 3,14 × 1010
d. 0,00000082
d. 6 × 10–9
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Valor: Internet sano, seguro y constructivo
Prevención del delito informático
Para prevenir los delitos informáticos se recomien-
da: no abrir archivos adjuntos de correo electrónico
de cuyas fuentes no estemos totalmente seguros.

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9
Medidas de posición
Cuartiles
Los cuartiles son las medidas estadísticas de posición, que se utilizan habi-
tualmente para determinar estratos o grupos correspondientes a fenóme-
nos socio-económicos, monetarios o teóricos. Estos permiten identificar
valores ubicados en la posición del 25 %, 50 % y 75 % de la totalidad de
los datos previamente ordenado de manera ascendente. Estos valores se
representan mediante los siguientes símbolos: Q1
para el primer cuartil, Q2
para el segundo y Q3
para el tercero. Estos valores dividen la totalidad de
datos en cuatro grupos iguales.
Posición de los cuartiles
a. Si el número de datos es par, la posición de Qk
es
Qk →
k⋅n
4
.
b. Si el número de datos es impar, la posición de Qk
es
Qk →
k⋅(n+1)
4
.
Donde:
k: número de cuartil, k = 1,2,3
n: número de datos
Trabajemos paso a paso
Aplicación a un número impar de datos
Se realiza una encuesta a 11 jóvenes sobre la edad que tienen y se obtienen
los siguientes datos:
15; 17; 16; 16; 15; 17; 15; 18; 14; 16; 15.
Se calcula los cuartiles.
Paso 1: Ordeno los datos de manera ascendente.
14; 15; 15; 15; 15; 16; 16; 16; 17; 17; 18.
Paso 2: Ubico la posición de cada cuartil.
Como el número de datos es n=10, tenemos
Q1 →
1⋅(11+1)
4
= 3 ; Q2 →
2⋅(11+1)
4
= 6 ; Q3 →
3⋅(11+1)
4
= 9 .
Paso 3: Encuentro los valores de cada cuartil.
Como la posición del Q1
es 3, cuento en la serie de datos ordenada tres
posiciones. Por lo tanto, Q1
= 15.
es 6, cuento en la serie de datos ordenada seis
= 16.
es 9, cuento en la serie de datos ordenada nueve
= 17
¿Para qué usamos los cuartiles?
Bloque curricular: Estadística y probabilidad
Ejemplo 1
25%
25%
25%
25%
Q1
Q2
Q3
Mínimo
Máximo
Datos
El cuartil 2 (Q2
) coincide con
el valor de la mediana de
los datos.
Recordemos
Se desea realizar un estudio
del peso en kilogramos de
12 personas y se obtuvieron
estos datos:
55; 56; 57; 58; 58; 59; 60; 62;
62; 63; 64; 66.
a. Calculamos las posiciones
que ocupan el primer cuartil
(Q1
), el segundo cuartil (Q2
) y
el tercer cuartil (Q3
).
b. Calculamos el valor del
primer cuartil (Q1
), el segundo
cuartil (Q2
) y el tercer cuartil
(Q3
).
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10
Deciles
Los deciles son nueve valores que dividen la serie de datos, ordenada de
forma creciente, en diez conjuntos de datos iguales. Se suele representar a
los deciles de la siguiente manera: Dk
. Los deciles corresponden al 10 %, 20
%, 30 %, …, 90 % de los datos. El decil quinto (D5
) coincide con la mediana.
Si para la posición de un decíl no se obtiene un número entero, el decíl
se calcula usando interpolación. Para esto, se toma xi
y xi
+1 los datos más
cercanos a la posición obtenida y d la parte fraccionaria de la posición obte-
nida, como lo expresa la siguiente fórmula:
Dk
= xi
+ (xi+1
− xi
) · d.
Posición de los deciles
a. Si el número de datos es par, la posición de Dk
es k⋅n
10
.
b. Si el número de datos es impar, la posición de Dk
es
k⋅n
10
.
Donde:
k: número del decíl, k = 1, 2, 3
n: número de datos
En un salón de clase de colegio con jornada nocturna se registraron las
edades de los 20 alumnos que regularmente asisten. Los datos registrados
son los siguientes:
25, 36, 40, 48, 28, 37, 40, 50, 30, 37, 40, 30, 38, 40, 35, 40, 41, 35, 40, 43.
a. Calculo el decil cuatro (D4
)
b. ¿Qué representa este valor de la serie D4
?
a.
Paso 1: Ordeno la serie de datos.
25, 28, 30, 30, 35, 35, 36, 37, 37, 38, 40, 40, 40, 40, 40, 40, 41, 43, 48, 50.
Paso 2: Determinolaposicióndeldecil4.Cómon=20esnúmeropartenemos:
k⋅n
10
=
4⋅20
10
= 8.
Paso 3: Ubico D4
en la posición 8.
25,28,30,30,35,35,36,37
8 posición
! "
#### $
#### ,37,38,
40,40,40,40,40,40,41,43,48,50
Por tanto D4
= 37.
b. D4
= 37 representa que el 40 % de los alumnos de la clase tienen 37
años o menos.
¿Qué son los deciles?
Ejemplo 1
Solución
10%
10%
10%
10%
10%
10%
10%
10%
10%
10%
D1
D2
D3
D4
D5
D6
D7
D8
D9
Mínimo
Máximo
Datos
parte fraccionaria. Son
los dígitos que aparecen
después de la coma decimal
de un número positivo, por
ejemplo, la parte fraccionaria
de 4,4 es 0,4.
Glosario
Si agregamos el dato 44 a la
serie del ejemplo, comproba-
mos, utilizando interpolación,
que D2
= 32.
Sí podemos
k⋅ n+1
( )
100
=
80⋅ 13+1
( )
100
= 11.
k⋅ n+1
( )
100
=
80⋅ 13+1
( )
100
= 11

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Percentiles
Los percentiles son 99 valores que dividen a un conjunto de datos en 100
partes iguales y se denotan por Pk
. La OMS establece una serie de tablas
con los percentiles de peso y longitud considerados normales a lo largo de
la infancia. Así, basándose en estas mediciones comunes, los padres pue-
den saber si su hijo está creciendo dentro de los parámetros normales o si
por el contrario, existe algún problema que deba tratarse con el pediatra.
Posición de los percentiles
a. Si el número de datos es par, la posición de Pk
es .
b. Si el número de datos es impar, la posición de Pk
es .
Donde:
k: número del percentil, k = 1, 2, 3,...,99
n: número de datos
¿En qué utilizamos los percentiles?
La serie de datos que se muestra a continuación representan las edades de
los alumnos de la clase de artes marciales en el horario de 16h00 a 18h00.
10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 15, 17, 18, 20.
Calcular:
a. El percentil 80, P80
. b. ¿Que representa este valor?
a.
Paso 1: En este caso la serie está ordenada.
Paso 2: Encuentro la posición del percentil 80. Cómo n = 13 es número
impar tenemos:
k⋅ n+1
( )
100
=
80⋅ 13+1
( )
100
= 11.2
Paso 3: Como la posición calculada no es un número entero hago una inter-
polación, como se indicó anteriormente.
10,11,11,12,12,13,13,13,14,15, 17,18
posición11.2
! "
##
,20
El percentil 80 se encuentra entre los valores 17 y 18. Por tanto, tomamos
xi = 17; xi+1 = 18; d = 11.2−11= 0.2 .
Con esto P = xi + xi+1 − xi
( )⋅d =
P80 = 17+ 18−17
( )⋅0.2 =
P80 = 17.2.
b. P80
= 17,2 representa que el 80 % de los alumnos de la clase de artes
marciales tienen 17,2 años o menos.
Ejemplo 1
(Reproducción Asistida ORG, 2016)
Solución
P80 = 17.2
1. La serie de datos propues-
ta muestran el tiempo en
horas que 20 alumnos utili-
zan su celular en el día.
3,4,5,5,5,6,6,4,4,1,7,7,7,7,
2,2,1,6,8,8.
a. Ordenamos la serie de
datos de mayor a menor.
b. Calculamos el percentil
sesenta P60
.
c. ¿Es correcto decir que
el 60 % o menos de los
alumnos utilizan su celúlar
6 horas diarias? Justifico mi
respuesta.
2. Se realizó un estudio esta-
dístico en el cual se midió
la estatura en centímetros
de los 21 jugadores de un
equipo de baloncesto en la
NBA, los resultados fueron:
184, 190, 201, 195, 192,
192, 198, 196, 190, 210,
192,196,193,199,199,199,
205, 200, 190, 190, 201.
Calculamos:
a. El cuartil dos Q2
b. El decil cinco D5
c. El percentil cincuenta P50
d. El valor que representa
la mediana.
¿Qué relación encontramos entre los cuartiles, deciles y percentiles?
k⋅ n+1
( )
100
=
80⋅ 13+1
( )
100
= 11.2
k⋅ n+1
( )
100
=
80⋅ 13+1
( )
100
= 11.2
Qk →
k⋅n
4
xi = 17; xi+1 = 18; d = 11.2−11= 0.2
xi = 17; xi+1 = 18; d = 11.2−11= 0.2
xi = 17; xi+1 = 18; d = 11.2−11= 0.2
xi = 17; xi+1 = 18; d = 11.2−11= 0.2
Nacimiento
Sobrepeso
Peso
(kg)
1 año
4
12
18
24
2 años 3 años 4 años 5 años
p 3
p 15
p 50
p 85
p 97
Riesgo de sobrepeso
Percentiles de crecimiento relacionado
con el peso del bebé
Normal
Bajo peso
10, 11, 11, 12, 12, 13, 13, 13, 14, 15, 17, 18, 20.

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¿Cuántos primos tienes?
Los humanos tenemos más primos de lo que creemos.
En efecto, cada uno de nosotros tiene dos padres, quie-
nes son nuestros antepasados más próximos, los de la
primera generación hacia atrás: G1
= 21
= 2. Cada uno
de nuestros padres tiene otros dos padres, que son
nuestros abuelos. Por eso, cada uno de nosotros tiene
cuatro abuelos, que son nuestra segunda generación de
antepasados: G2
= 22
= 4.
Cada uno de nuestros abuelos tiene también dos pa-
dres, que son nuestros bisabuelos, la tercera genera-
ción de antepasados: G3
= 4 × 2 = G2
× 2 = 23
= 8. Y así
sucesivamente. Por lo tanto, nuestra quinta generación
hacia atrás consta de G5
= 25
= 32 antepasados. Es de-
cir, 32 personas que vivían hace cien años o poco más
son antepasados nuestros, todas con la misma pro-
babilidad de influencia en nuestros genes. La décima
generación de nuestros antepasados está formada por
G10
= 210
= 1 024 personas.
Ahora pensemos en un pueblo del Ecuador de hace cin-
cuenta años, en el que las personas apenas salían de
allí y se casaban entre sí. Si hace doscientos años había
trescientos o cuatrocientos habitantes, significa que
casi todos formaban parte de la octava o novena ge-
neración de los antepasados de una persona nacida en
ese pueblo. Siguiendo el mismo patrón, llegamos a la
generación G30
= 230
= 1 073 471 824. Y si continuamos
hacia la generación G50
= 250
= 1 125 899 906 842 624.
Una cantidad superior a la de habitantes de la tierra.
Eso significa que, entre los antepasados de cada uno
de nosotros hay necesariamente múltiples cruces. Por
esta razón, todos somos más parientes de lo que cree-
mos; todos somos primos.
Fuente: Redondo y Redondo 2007. Adaptado por el autor con fines pedagógicos.
Sociedad y Familia
Ciencias Sociales
Generación Antepasados Vivieron hace...
1 2 0 años
2 4 25 años
3 8 50 años
4 16 75 años
5 32 100 años
6 64 125 años
7 128 150 años
8 256 175 años
9 512 200 años
10 1024 225 años
11 2048 250 años
12 4096 275 años
13 8192 300 años
14 16384 325 años
15 32768 350 años
16 65536 375 años
17 131072 400 años
18 262144 425 años
19 524288 450 años
20 1048576 475 años
25 33554432 600 años
30 1073741824 725 años
35 34359738368 850 años
40 1099511627776 975 años
45 35184372088832 1100 años
50 1125899906842624 1225 años
¿Cuántas veces se puede doblar una hoja? ¿Qué
altura tendría si la doblamos 54 veces? Lo descu-
bro en: https://youtu.be/nc5okMs_ss0

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Dado que las bacterias son organismos unicelulares microscópicos presen-
tes en el medio ambiente, resulta imposible cuantificarlas de manera sim-
ple usando notación decimal (común). De ahí la importancia de utilizar la
notación científica y la potenciación. A continuación se exponen algunos
datos interesantes sobre este tema.
• Las bacterias no son del todo malas. Por el contrario, se les considera de
gran importancia para la vida humana porque son una fuente de equili-
brio para la salud.
• Hay más bacterias en la boca de un ser humano que personas en el mun-
do. Se estima que existen unos 20 mil millones de bacterias en la boca
de un ser humano; es decir, 20 000 000 000 = 2 × 1010
bacterias en la
boca (la población mundial de personas es de 7.35 × 109
).
• Si se lograra calcular la masa todas las bacterias del cuerpo, el valor
aproximado sería de 1 500 g = 1,5 × 103
g o 1,5 kg.
• La masa de cada bacteria se encuentra alrededor de 1 × 10-12
y 1 × 10-11
kg; es decir, alrededor de 0.000000000001 y 0.00000000001 kg.
• En nuestro cuerpo tenemos aproximadamente 3,8 × 1013
bacterias, es
decir, 38 000 000 000 000 de bacterias.
• Existen más bacterias que células humanas en el cuerpo de una perso-
nas. Se estima una persona posee 3 × 1012
células humanas, es decir,
3000 000 000 000 de células.
Fuente: Sender, Fuchs y Milo, 2016.
Reproducción celular
Ciencias Naturales
Producción de una historieta
Elaboramos una historieta que habla de la estructura de la potenciación y evidencia sus propiedades y defini-
ción: “Producto que resulta de multiplicar una cantidad por sí misma una o más veces”. Pero primero recorda-
mos los pasos que normalmente siguen los creadores de historietas.
1. Damos rienda suelta a nuestra imaginación para tejer la historieta que vamos a escribir.
2. Planificamos el número de viñetas y redactamos el texto para cada una de ellas.
3. Ponemos un título a la historieta y seleccionamos el texto adecuado para cada viñeta.
4. Escribimos el texto de cada globo de diálogo o bocadillo. No olvidamos utilizar los signos de puntua-
ción adecuados en cada caso.
5. Al escribir el texto, utilizamos nombres adecuados, comparaciones, ironías, etc.
6. Para terminar, comentamos en un tono humorístico –utilizando nuestras propias palabras– y sociali-
zamos con nuestros compañeros.
7. No olvidamos firmar al final de la historieta, puesto que nosotros somos los autores.
Lengua y Literatura

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Actividades evaluativas
14
Nivel de logro 2 - Resolución de problemas
Actividad individual
Se calcula que las reservas mundiales de petróleo ascienden a 6,28 × 1011
barriles.
La producción equivale a 2,0 × 1011
barriles al año.
5
Nivel de logro 1 - Comprensión
Actividad individual
a. 3−3
b.
1
2−6
c.
2
7
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−2
d. −
3
4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
0
e. 27
⋅2−3
f. 10−5
⋅102
g. 3−1
( )
3
h.
32
5−1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−1
i.
2−2
23
j.
10−2
10−5
k. 1
3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−1
−
2
5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−1
l. 2−3
+3−2
( )
−1
1
Simplifico cada expresión. Expreso los resultados finales sin usar cero o enteros
negativos como exponentes.
a. x2
⋅x−8
b. b−2
⋅b3
⋅b−6
c. a−4
( )
2
d. x5
⋅ y−1
( )
−3
e. a3
⋅b−3
⋅c−2
( )
−5
f.
y3
x−4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−2
g.
3a−2
2b−1
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−2
h.
2xy2
5a−1
b−2
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−1
i. a3
b−2
a−2
b−4
j.
x−3
y−4
x2
y−1
2
Resuelvo los productos y cocientes indicados. Expreso los resultados finales
usando solamente exponentes enteros positivos.
a. 2xy−1
( ) 3x−2
y4
( ) b. −7a2
b−5
( ) −a−2
b7
( ) c.
28x−2
y−3
4x−3
y−1
d.
108a−5
b−4
9a−2
b
e.
35x−1
y−2
7x4
y3
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−1
f.
−48ab2
−6a3
b5
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−2
g.
−8xy3
−4x4
y
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−3
h.
−36a−1
b−6
4a−1
b4
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−2
3
La serie de datos muestra las notas del examen final de 20 estudiantes de álgebra.
Las notas sobre un máximo de 10 son:
6, 7, 8, 8, 5, 9, 9, 9, 4, 4, 6, 6, 3, 5, 7, 9, 10, 10, 8, 6.
a. Ordeno la serie de datos de menor a mayor.
b. Calculo la posición del cuartil 3
c. Calculo el cuartil 3, Q3
.
4
Simplifico cada expresión numérica utilizando definición y propiedades de la potenciación.

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15
Módulo pedagógico Potenciación de números reales y medidas de posición
Nivel de logro 3 - Innovación
Actividad colectiva
Consideramos el siguiente cálculo:
3−2
( )
−1
=
1
32
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−1
=
1
9
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−1
=
1
1
9
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1 = 9 .
a. ¿Es correcto el siguiente proceso de simplificación?
b. ¿Podríamos sugerir una mejor forma de resolver el ejercicio?
c. Organizamos, junto con el docente, un concurso interno de solución de
ejercicios sobre lo aprendido.
7
a. Explico qué operación y propiedades de la potenciación se deben aplicar para
encontrar la disponibilidad de este recurso en el tiempo.
b. ¿Cuánto durarían las reservas mundiales de petróleo? (Doy la respuesta del
año más próximo).
c. Observo y analizo la limitación de este recurso natural. Señalo las posibles
soluciones menos perjudiciales que ya se están dando en la industria para
resolver este problema.
Con los datos del ejercicio 4 del nivel de logro 1, analiza qué representa el
valor Q3
en relación a las notas del examen final.
6
Leemos la siguiente premisa y respondemos la pregunta.
Premisa: se puede decir que un grupo de alumnos tiene un mínimo de conocimientos
en álgebra solo si el 70 % de los ellos alcanza una nota de 7/10 o más.
Pregunta: ¿el grupo del ejercicio 4 del nivel de logro 1 alcanza un mínimo de
conocimientos en álgebra? Argumentamos nuestras respuestas y analizamos
qué representa el valor Q3
en relación a las notas del examen al que
alude dicho ejercicio.
8
Marco con el aprendizaje alcanzado
Reflexiones
Sí, lo hago muy
bien
Sí, pero puedo
mejorar
Lo hago
con dificultad
Necesito ayuda
para hacerlo
¿Puedo simplificar expresiones algebraicas utilizando
la definición y propiedades de la potenciación?
¿Identifico aplicaciones prácticas de la potenciación
en mi entorno?
¿He desarrollado habilidades sociales que me han
permitido vincularme con mi comunidad?
Realizo mi autoevaluación a partir de lo estudiado en el módulo.

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Fuentes
• ANIMALESDE.NET. (10 de marzo de 2018). Enciclopedia del
reino animal. Obtenido de https://animalesde.net/protozoos/
• Castaño, O. (s.f.). Ejercicios de Razonamiento Abstracto.
Obtenido de http://bit.ly/2JJMZZt
• National Human Genoma Research Institute. (31 de Diciembre
de 1969). Genome. Obtenido de https://www.genome.gov/
about-genomics/fact-sheets/acido-desoxirribonucleico
• Redondo, F., y Redondo, R. (15 de junio de 2007). Curiosidades
con potencias de 2. Obtenido de https://bit.ly/2EWStxh
• Redondo Quintela, F., & Redondo Melchor, R. (15 de junio
de 2007). Universidad de Salamanca. Obtenido de Ingeniería
eléctrica: http://electricidad.usal.es/Principal/Circuitos/
Comentarios/Temas/CuriosidadPotencia2.php
• Reproducción Asistida ORG. (21 de noviembre de 2016).
Reproducción Asistida ORG. Obtenido de https://www.
reproduccionasistida.org/desarrollo-del-bebe/percentiles-de-
crecimiento/
• Sender, R., Fuchs, S. y Milo, R. (2016). Revised Estimates for
the Number of Human and Bacteria Cells in the Body. PLoS
Biol 14(8): e1002533.
• Sinalefa. (25 de febrero de 2010). La leyenda del ajedrez.
Obtenido de https://bit.ly/2Ip1sbp
Un acto desesperado:
el bolso veloz
Por: Aline Guevara
Hora: 7:00 a.m. La estación del metro Chilpancingo se
encuentra atiborrada. En cuanto llega el tren, la gente
se arremolina. No trata de alcanzar un asiento libre,
sino, sencillamente, de entrar a los vagones. Todo mun-
do sube a empellones. El convoy avanza. Una señora se
percata de que un muchacho deja libre un asiento. Por
un instante todos miran hacia el espacio vacío.
Un hombre hace el gesto de ocupar el asiento... pero
ya no es posible. La señora ha lanzado un bolso que
ha dado justo en el blanco. El hombre refunfuña pero
no se atreve a reclamar. Los testigos de esta acción
vuelven a posar la mirada en ninguna parte. Solo uno
de ellos se queda pensando en lo ocurrido: “El bolso
voló un metro y medio, aproximadamente... —piensa
el testigo silencioso— y tardó un segundo en caer en el
asiento. Pero ¿y si alguien hubiera visto la acción desde
el exterior? Si, por ejemplo, alguien estuviera parado a
un lado de las vías, ¿habría visto exactamente lo mis-
mo que yo?”
Nuestro testigo silencioso intuye que, vista desde el
interior del vagón, el bolso de la señora se desplazaría,
en un segundo, el metro y medio mencionado antes.
Pero al observar el vuelo del bolso desde fuera —con el
tren en movimiento—, este recorrería la distancia que
el tren cubrió durante un segundo —digamos unos
veintitrés metros— más el metro y medio que voló
desde la mano de la señora al asiento. Para el testigo
del interior del vagón, el bolso recorrió metro y medio.
Visto desde fuera, en cambio, voló veinticuatro metros
y medio.
Entonces, ¿qué distancia es la correcta? La velocidad
a la que va el bolso también depende del lugar desde
donde se mida: al verla desde dentro, vuela a un metro
y medio por segundo, pero vista desde fuera, lo hace a
veinticuatro metros y medio por segundo.
Galileo, en un tiempo en que no había trenes, formu-
ló una respuesta para esta pregunta. Para él, el movi-
miento es relativo a quien lo observa. Esto significa
que, en un caso como el del tren, dependiendo del si-
tio desde donde los veamos, los objetos recorren cier-
ta distancia. Y eso quiere decir que ambas distancias
son correctas.
Tomado de Guevara Villegas, A. (2005). Un viaje especial.
Mexico: Ediciones Castillo.
Aline Guevara Villegas (1974). Científica mexicana especialista en comunica-
ción visual de la ciencia. Escribe textos y artículos, participa en programas de
radio, y en el desarrollo de acciones para llevar el saber científico y tecnológico a
grandes sectores de la población.
Para enriquecer nuestra cultura, ¡LEAMOS!
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