El documento explica los conceptos básicos de las integrales triples. Introduce la definición formal de la integral triple como el límite de la suma de productos de volúmenes elementales y valores de la función cuando la partición tiende a cero. También describe cómo calcular integrales triples mediante el uso de coordenadas cilíndricas y esféricas, y algunas aplicaciones como el cálculo de volumen, masa y centro de masa.

1. INTEGRALES TRIPLES

2. INTEGRALES TRIPLES
Sea una función
f:R³→R/w=f(x,y,z) definida en
una caja rectangular
B=[a;b]x[c;d]x[r;s]. Dividimos B
en pequeñas cajas
rectangulares como se
muestra en la figura y
evaluamos la función w en un
punto arbitrario (interior o
frontera) . Formamos los
productos y
los extendemos a todo B
obteniendo
La partición se realiza mediante
planos paralelos a los planos
coordenados. El volumen de cada
paralelepípedo es . .ijk i j kV x y z    
( , , ). . .i j k i j kw x y z x y z  
( , , )i j kx y z
1 1 1
( , , ) . .
n m r
i j k i j k
i j k
w x y z x y z
  
  

3. Llevando esta suma al límite cuando la norma de la partición,
es decir, la longitud de la diagonal más grande, tiende a cero,
obtenemos:
que nos lleva a la definición de la integral triple de w sobre B
Sea w:R³→R una función definida sobre un paralelepípedo B
del espacio. La integral triple de w sobre B, denotada por
, se define como
siempre que el límite exista y sea finito.
La continuidad de w es una condición suficiente para la
existencia de la integral triple. El límite existe también para
muchas funciones discontinuas
0
1 1 1
( , , )
n m r
i j k ijk
P
i j k
lím w x y z V

  

( , , )
B
w x y z dV
0
1 1 1
( , , ) ( , , )
n m r
i j k ijk
P
i j kB
w x y z dV lím w x y z V

  
 

4. PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES
1. Siendo f:R³→R y g:R³→R funciones continuas definidas en
una región B y α y β números reales cualesquiera, se cumple:
2. Siendo f:R³→R y g:R³→R funciones continuas definidas en
una región B, tales que f(x,y,z)≥g(x,y,z) para todo (x,y,z) de B,
se cumple:
3. Si f:R³→R es una función continua en una región B dividida
en n subregiones disjuntas B1 , B2 , … , Bn se cumple:
     ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )
B B B
f x y z g x y z dV f x y z dV g x y z dV       
( , , ) ( , , )
B B
f x y z dV g x y z dV 
1
( , , ) ( , , ) ... ( , , )
nB B B
f x y z dV f x y z dV f x y z dV    

5. CÓMO CALCULAMOS UNA INTEGRAL TRIPLE
Integral iterada:
Sea f:R³→R una función continua definida en el
rectángulo B=[a;b]x[c;d]x[r;s]. La integral iterada de f
sobre B se define como:
Esta integral también puede escribirse de otras cinco
formas diferentes cambiando el orden de integración
( , , ) ( , , )
s d b
B r c a
f x y z dV f x y z dxdydz 

6. CÓMO COLOCAR LOS LÍMITES DE INTEGRACIÓN
1. Trazar un esquema de la región B y
su sombra D sobre el plano xy
identificando las superficies
superior e inferior .
2. Imaginar una recta M paralela al
eje z que pase por un punto de D.
En sentido creciente de z, M entra
por y sale por .
Esos son los límites inferior y
superior, respectivamente.
3. Ahora, queda una integral doble
sobre D. Los límites se obtienen
como ya vimos.
1( , )z z x y2( , )z z x y
2( , )z z x y1( , )z z x y
2 2
1 1
( ) ( , )
( ) ( , )
( , , )
y y x z z x yx b
x a y y x z z x y
f x y z dzdydx
 
  
  

7. Ejemplo 1.
Calcular siendo B=[2;3]x[-2;1]x[0;√2]
Una vez decidido el orden de
integración, debemos colocar
los límites a las integrales. Para
eso, imaginamos una recta
perpendicular al plano donde
se proyectó B e identificamos
superficie de entrada y
superficie de salida que será los
límites inferior y superior,
respectivamente. Luego de
esto, queda una integral doble
sobre el recinto D que se
resuelve según lo visto
anteriormente.
Seleccionamos el orden de
integración decidiendo sobre qué
plano coordenado se proyecta B. En
este caso, se proyecta sobre el plano
xy
3
(1 )
B
xz y dV

8. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES
Volumen de un sólido: Masa de un sólido:
donde δ es la densidad
( , , )
D
M x y z dV 
B
V dV 

9. Momentos estáticos de un
sólido con respecto a un plano:
Coordenadas del centro de masa:
( , , )
( , , )
( , , )
xy
D
xz
D
yz
D
M z x y z dV
M y x y z dV
M x x y z dV









yz
cm
M
x
M

xz
cm
M
y
M

xy
cm
M
z
M


10. Observando las figuras, colocar los límites a la integral triple

11. CAMBIO DE COORDENADAS
Coordenadas cilíndricas:
El jacobiano de la transformación es r
cosx r
y rsen
z z






12. Calcular el volúmen de los siguientes sólidos:

13. Coordenadas esféricas:
ρ: distancia de P al origen
θ: áng. que OP forma con el semieje
positivo de las z
ϕ: áng. de las coordenadas
cilíndricas
Las ecuaciones de
transformación son:
El jacobiano de la
transformación es ρ²senθ
cos
cos
x sen
y sen sen
z
  
  
 




14. Ejemplos:
1. Calcular el volumen del sólido limitado superiormente
por la esfera de radio 3 y centro en el origen e
inferiormente por el cono
2. Calcular el volumen del sólido limitado por la esfera y
el cono definidos en el ejemplo anterior.
2 2 2
2x y z 