Este documento describe un estudio realizado sobre los conocimientos adquiridos en cálculo por estudiantes de ingeniería química en sus últimos semestres de la universidad. El estudio aplicó un cuestionario a una muestra de 25 estudiantes para evaluar su nivel de conocimientos en cálculo y su habilidad para aplicarlos en la resolución de problemas. El documento también presenta una introducción al cálculo para ingeniería química, cubriendo temas como tratamiento de datos experimentales, integración numérica y métodos iterativos para

1. FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS
ESCUELA PROFESIONAL DE ING. QUÍMICA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE PIURA
TÍTULO:
“CÁLCULO PARA INGENIERÍA QUÍMICA".
CURSO:
METODOLOGÍA DE LOS ESTUDIOS SUPERIORES UNIVERSITARIOS.
DOCENTE:
Mg. JOSÉ ANTONIO MENDOZA PAUTA.
ALUMNO:
EDDY PALOMINO BALMACEDA.

2. Resumen.
Hoy en día, en el desarrollo académico de los ingenieros, dos de las problemáticas que se
tienen en su formación en el área de las ciencias básicas es, por un lado, que no están
recordando los conocimientos adquiridos en los primeros semestres de sus carreras,
estando próximos al egresar de ellas, y como segunda situación, el que los estudiantes que
muestran tener conocimientos, no logran hacer un análisis de su uso para aplicarlos en la
resolución de problemas, habilidad que es fundamental para aquellos ingenieros que
continuarán sus estudios en diferentes posgrados del área de ingeniería. El estudio que se
reporta en el presente documento se enfoca en el análisis de los conocimientos adquiridos
en la disciplina de Cálculo por estudiantes que cursaban sus últimos semestres; para lo cual
se tomó una muestra de 25 alumnos de la Ingeniería Química de la Facultad de Ingeniería
de Minas de la UNP. La metodología empleada en este estudio consistió en el diseño y
aplicación de un cuestionario, el cual se dividió en dos partes: En la primera se hizo una
revisión del estado académico en el que se encontraban y el nivel de conocimientos que
creían tener en la disciplina de Cálculo.

3. Índice.

4. Introducción
Los ingenieros han marcado los avances de la civilización a lo largo de toda la historia, y su presencia
e influencia se ha acrecentado a partir de la Revolución Industrial. En las últimas décadas se han
generado avances procedentes de la ingeniería que han mejorado cada aspecto de la vida humana.
Por otro lado, todos estos avances han dado paso a una serie de desafíos sin precedentes, a medida
que la población crece y necesita expandirse, el problema de la sostenibilidad sigue aumentando, al
igual que la necesidad de mejorar la calidad de vida. Los desafíos para el ingeniero del siglo XXI son los siguientes:
• Conseguir que la energía solar sea accesible
• Suministrar energía a partir de la fusión
• Desarrollar métodos de secuestración del carbono
• Gestionar el ciclo del nitrógeno
• Suministrar acceso al agua potable
• Restaurar y mejorar las infraestructuras urbanas

5. Cálculo para la ingeniería química.
1. Tratamiento de datos experimentales: Cuando uno realiza el análisis de los datos
experimentales, lo primero que se pregunta es ¿en qué grado puedo creer en las
mediciones efectuadas? En otras palabras, se necesita saber si se han cometido errores
experimentales que dependen de uno y que pueden distorsionar las conclusiones a que
arribamos sobre un hecho dado, digamos una muestra que analizamos en el laboratorio, o
si los errores que afectan nuestra experimentación son los que pueden ocurrir normalmente
debido a la probabilidad de desviaciones o fluctuaciones de los valores por la conjunción de
fenómenos casuales. También es necesario presentar nuestros resultados de manera que
cualquier otra persona pueda saber el error experimental de los mismos. Las herramientas
de la estadística nos proporcionan los medios para resolver estos aspectos de una forma
normalizada y aceptada universalmente. Aunque un tratamiento profundo de este tema
excede el objetivo de este texto, veamos algunos conceptos básicos de la misma muy
utilizados en el tratamiento de los datos experimentales y que en el trabajo de laboratorio se
emplean con frecuencia (Navarro, 2017).

6. Cálculo para la ingeniería química.
1.1 Interpolación: La interpolación es un método estadístico por el que se utilizan valores
conocidos relacionados para estimar un precio desconocido o el rendimiento potencial de un
valor, por ejemplo. La interpolación se consigue utilizando otros valores establecidos que se
encuentran en secuencia con el valor desconocido.
De esta manera, la interpolación es, en el fondo, un simple concepto matemático. Si existe
una tendencia generalmente coherente en un conjunto de puntos de datos, se puede estimar
razonablemente el valor del conjunto en los puntos que no se han calculado. En el caso de
los inversores y los analistas bursátiles, quienes utilizan este método a menudo, estos suelen
crear un gráfico de líneas con puntos de datos interpolados. Estos gráficos les ayudan a
visualizar los cambios en el precio de los valores y son una parte importante del análisis
técnico (Bastis, 2022).

7. Cálculo para la ingeniería química.
1.1.1 Polinomios de interpolación con diferencias finitas de Newton: En el caso
particular de que las abscisas de los nodos de interpolación sean equidistantes la
expresión
del polinomio de interpolación de Newton en diferencias divididas adopta otras formas
que se han usado mucho, la fórmula en diferencias progresivas y la fórmula en diferencias
regresivas. Antes de desarrollarlas necesitamos de algunas definiciones previas. Dado un
conjunto de puntos (𝑥𝑖, 𝑦𝑖), 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 donde , se define diferencia progresiva de orden 1 en
𝑦𝑘 y se denota por ∆𝑦𝑘 a :
∆𝑦𝑘 = 𝑓(𝑥𝑘 + ℎ) − 𝑓(𝑥𝑘) = 𝑓(𝑥𝑘+1) − 𝑓(𝑥𝑘) = 𝑦𝑘+1 − 𝑦𝑘 = ∆𝑦𝑘 (García, 2000).

8. Cálculo para la ingeniería química.
1.1.2 Polinomios de interpolación de Lagrange: El polinomio de interpolación de
Lagrange es una reformulación del polinomio de interpolación de Newton que el método
evita el cálculo de las diferencias divididas. El método tolera las diferencias entre distancias
x de los puntos de muestra.
El polinomio de Lagrange se construye a partir de las fórmulas:
Donde una vez que se han seleccionado los puntos a usar que generan la misma cantidad
de términos que puntos (Del Rosario, 2017).

9. Cálculo para la ingeniería química.
1.2 Regresión polinomial: La realidad es que la Regresión Polinomial extiende el modelo
lineal al agregar predictores adicionales, que se obtienen al elevar cada uno de los
predictores originales a una potencia. Por ejemplo, una regresión cúbica utiliza tres
variables independientes, como predictores. Este enfoque proporciona una forma sencilla
de proporcionar un ajuste no lineal a los datos.
El método estándar para extender la Regresión Lineal a una relación no lineal entre las
variables dependientes e independientes ha sido reemplazar el modelo lineal con una
función polinomial (Gonzáles, 2019).

10. Cálculo para la ingeniería química.
1.2.1 Regresión lineal múltiple: La regresión lineal múltiple permite generar un modelo
lineal en el que el valor de la variable dependiente o respuesta (𝑦 ) se determina a partir de
un conjunto de variables independientes llamadas predictores (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3…). Es una
extensión
de la regresión lineal simple, por lo que es fundamental comprender esta última. Los
modelos
de regresión múltiple pueden emplearse para predecir el valor de la variable dependiente o
para evaluar la influencia que tienen los predictores sobre ella (esto último se debe que
analizar con cautela para no malinterpretar causa-efecto).
Los modelos lineales múltiples siguen la siguiente ecuación:
𝑦𝑖 = (𝛽0 + 𝛽1Xij+ 𝛽2 X2𝑗 + 𝛽3𝑥3𝑗 + ⋯ + 𝛽𝑛𝑥𝑛𝑗) + 𝑒𝑖
(Amat, 2017).

11. Cálculo para la ingeniería química.
2. Integración numérica: La integración numérica es una técnica que se puede
usar para aproximar el valor de la integral de una función que no sea posible anti
diferenciar (integrar).
Con el objeto de integrar numéricamente la integral comprendida en el intervalo
cerrado [𝑎, 𝑏 ], lo podemos hacer a través de dos métodos de integración
numérica: la Regla del trapecio y la Regla de Simpson (“JManuelCaste”, 2014).

12. Cálculo para la ingeniería química.
2.1 Regla del trapecio: Es un método para integrar numéricamente se denomina así porque
el área descrita por la integral definida se aproxima mediante una suma de áreas de trapecios.
Se aproxima la función dividiendo el intervalo [a, b] en n intervalos de igual longitud y
formando entonces trapecios por encima de cada intervalo.
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥=∆𝑥/2[𝑓(𝑥𝑥) + 2𝑓(𝑥1) + 2𝑓(𝑥2) + ⋯ + 2𝑓(𝑥𝑛−1) + 𝑓(𝑥𝑛)] (“JManuelCaste”, 2014).

13. /
Cálculo para la ingeniería química.
2.2 Regla de Simpson: La regla de Simpson reemplaza la suma de áreas de los trapecios
por la suma de las áreas situadas por debajo de las parábolas para aproximar la integral en
un intervalo definido.
Al igual que en la regla de los trapecios dividimos el intervalo [𝑎, 𝑏 ] en 𝑛 intervalos de igual
longitud (𝑛 deberá ser un numero par).
Usualmente este método da una mayor precisión que la de los trapecios.
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =∆𝑥/3[𝑓(𝑥𝑥) + 4𝑓(𝑥1) + 2𝑓(𝑥2) + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛)] (“JManuelCaste”, 2014).

14. Cálculo para la ingeniería química.
2.3 Método de Gauss: El método de Gauss consiste en transformar un sistema de
ecuaciones en otro equivalente de forma que este sea escalonado.
Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que pondremos
los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta)
(Flores, s/f).

15. Cálculo para la ingeniería química.
3. Métodos iterativos de resolución de ecuaciones: Un método iterativo para
resolver un sistema de ecuaciones lineales A𝑥 =𝑏 comienza con una
aproximación inicial 𝑥0, a partir de la cual se construye una sucesión {𝑥0}𝑘=0∞ de
vectores que se espera converja a la solución exacta 𝑥 = 𝐴−1𝑏 (Burgos, s/f).

16. Cálculo para la ingeniería química.
3.1 Método de Newton: Es otro método que se utiliza para calcular los ceros de una
función real de variable real. Aunque no sea siempre el mejor método para un problema
dado, su simplicidad formal y su rapidez de convergencia hacen que, con frecuencia, sea
el
primer algoritmo a considerar para esta tarea.
El método de Newton-Raphson se basa en el desarrollo de Taylor de la función cuya raíz
se
quiere calcular. Consideremos la ecuación 𝑓(𝑥) = 0, y supongamos que posee una y sólo
una solución 𝛼 ∈ [𝑎, 𝑏]. Partiendo de un punto 𝑥0 suficientemente cercano a dicha raíz,
podemos escribir:
𝑓(𝛼) = 𝑓(𝑥0) + (𝛼 − 𝑥0)𝑓′(𝑥0) +(𝛼−𝑥0)/2𝑓′′(𝑥0 + 𝜃ℎ), con 0 < 𝜃 < 1 , ℎ = 𝛼 − 𝑥0 (ULPGC, s/f).

17. Cálculo para la ingeniería química.
3.2 Método de la falsa posición: El método de la falsa posición pretende conjugar la
seguridad del método de la bisección con la rapidez del método de la secante. Este
método,
como en el método de la bisección, parte de dos puntos que rodean a la raíz f(x) = 0, es
decir, dos puntos x0 y x1 tales que f(x0)f(x1) < 0. La siguiente aproximación, x2, se calcula
como la intersección con el eje X de la recta que une ambos puntos (empleando la
ecuación) del método de la secante). La asignación del nuevo intervalo de búsqueda se
realiza como en el método de la bisección: entre ambos intervalos, [x0,x2] y [x2,x1], se
toma
aquel que cumpla f(x)f(x2) < 0 (UV, s/f).