Este documento presenta la resolución de un ejercicio de cálculo que involucra derivadas para determinar la velocidad a la que se eleva el nivel de agua en un tanque cónico. Se vierte agua a razón de 9 pies cúbicos por minuto en un tanque con una altura de 10 pies y un radio de base de 5 pies. El documento detalla los 6 pasos para resolver el problema: 1) dibujar el tanque y definir variables, 2) obtener datos numéricos, 3) hallar la derivada de la fórmula del vol

1. UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR
FACULTAD DE INGENIERÍA QUÍMICA
CARRERA DE INGENIERÍA QÚIMICA
Asignatura: Cálculo Diferencial
Paralelo : 1
Profesor : Ing. Araque
Autor: Roger Tacuri Saraguro

2. Aplicaciones de las derivadas

3. Ejercicio:
Se vierte en un tanque cónico a razón de 9
/min. El tanque tiene su vértice abajo, y tiene
una altura de 10 pies y un radio de base de 5 pies.
¿Con qué rapidez se está elevando el nivel de agua
cuando la profundidad es de 6 pies?

4. Solución:
PASOS PARA LA RESOLUCIÓN
• PASO 1: Dibujo y variables.
• PASO 2: Información numérica.
• PASO 3: Hallar la derivada:
• PASO 4: Cómo se relacionan las variables;
• PASO 5: Diferencial con respecto a t;
• PASO 6: Evaluar los datos.

5. PASO 1: Dibujo y variables.
Dibujamos un tanque cónico parcialmente lleno. Las variables del problema
son:
V = volumen de agua (en ) en el tanque en el instante t (en min),
x = radio (en pies) de la superficie del agua en el instante t,
y = profundidad (en pies) del agua en el tanque en el instante t.
Suponemos que V, x, y son funciones diferenciales de t, las constantes son
las dimensiones del tanque.

6. PASO 2: Información numérica.
En el instante dado,
y = 6 pies

7. PASO 3: Hallar la derivada:

8. PASO 4: Cómo se relacionan las
variables.
En esta ecuación aparece x, así como V y y. Como no tenemos información alguna
sobre x y en el instante dado, necesitamos eliminar x. La semejanza de los
triángulos no permite expresar x en términos de y:
o .
Por tanto

9. PASO 5: Diferencial con respecto a t.
Diferenciamos la ecuación (3), y tenemos
Entonces despejamos para expresar la razón de cambio pedida
en términos de la razón que conocemos :

10. PASO 6: Evaluar, con y = 6 y
En el instante dado, el nivel de agua se eleva a razón de 0.32 ,
aproximadamente.