Este documento define los conceptos básicos de un grafo, incluyendo vértices, aristas, grado de un vértice, caminos y ciclos. También describe teoremas importantes como el de Euler sobre grafos eulerianos y semieulerianos, y aplicaciones de la teoría de grafos en áreas como ingeniería, administración de proyectos y ciencias sociales.

1. GRAFOS
Integrantes
Geraldo Escalona
C.I 20319262
ENERO 2012

2. Un grafo G es un par (V,E) donde V es un conjunto (llamado
conjunto de vértices o nodos) y E un subconjunto de VxV
(conjunto de aristas).
Gráficamente representaremos los vértices por puntos y las
aristas por líneas que los unen.
Un vértice puede tener 0 o más aristas, pero toda arista debe unir
exactamente 2 vértices.
Llamaremos orden de un grafo a su número de vértices, |V|.
Si |V| es finito se dice que el grafo es finito.
Toda arista une dos vértices distintos

3.  Si la arista carece de dirección se denota indistintamente {a,b} o
{b,a}, siendo a y b los vértices que une.
 Si {a,b} es una arista, a los vértices a y b se les llama sus extremos.
 Dos vértices v, w se dice que son adyacentes si {v,w} V (o sea, si
existe una arista entre ellos)
 Llamaremos grado de un vértice al número de aristas de las que es
extremo. Se dice que un vértice es ‘par’ o ‘impar’ según lo sea su
grado.

4.  Sean x, y V, se dice que hay un camino en G de x a y si existe una
sucesión finita no vacía de aristas {x,v1}, {v1,v2},..., {vn,y}. En este
caso.
 x e y se llaman los extremos del camino
 El número de aristas del camino se llama la longitud del camino
 Si los vértices no se repiten el camino se dice propio o simple.
 Si hay un camino no simple entre 2 vértices, también habrá un
camino simple entre ellos
 Cuando los dos extremos de un camino son iguales, el camino se
llama circuito o camino cerrado o ciclo (sin aristas repetidas).
 Llamaremos ciclo a un circuito simple (no existen vertices
repetidos excepto el primero y el ultimo)
 Un vértice a se dice accesible desde el vértice b si existe un
camino entre ellos. Todo vértice es accesible respecto a si mismo

5. Representación de grafos. Matriz de incidencia. Matriz de adyacencia.
Dado un grafo G = (V, E) con n vértices {v1, .. vn} su matriz de
adyacencia es la matriz de orden n n, A(G)=(aij) donde aij es el
número de aristas que unen los vértices vi y vj

6. Se denomina grafo euleriano, a un grafo conexo G que tiene
una cola cerrada que
incluye todas las aristas de G.
Teorema de Euler: Un grafo es euleriano si y sólo si cada vértice
es de grado
par. Si tiene exactamente dos vértices impares es recorrible (la
cola no será cerrada) y se
llama semieuleriano.

7.  Un ciclo o circuito euleriano es aquel camino que recorre todas las
aristas de un grafo cortando cinco veces por cada arco (arista) del
grafo, siendo condición necesaria que regrese al vértice inicial de
salida (ciclo = camino en un grafo donde coinciden vértice inicial o
de salida y vértice final o meta). Una definición más formal lo define
como: "aquel ciclo que contiene todas las aristas de un grafo
solamente una vez".

8.  Un camino hamiltoniano es un camino que recorre todos los vértices
de un grafo sin pasar dos veces por el mismo vértice.
 Si el camino es cerrado se dice un ciclo hamiltoniano
 Un grafo G se dice hamiltoniano si tiene un ciclo hamiltoniano.
 A diferencia de los grafos eulerianos, no hay una caracterización de
cuando un grafo tiene un ciclo o un camino hamiltoniano.
 Si un grafo es conexo con |V| 3 y para cada par de vértices la suma
de sus grados es mayor o igual que el número de vértices entonces es
hamiltoniano.

9.  Un grafo se dice un árbol si es conexo y no tiene ciclos.
 Los primeros dos grafos son árboles:

10.  Gracias a la teoría de grafos se pueden resolver diversos problemas como por ejemplo la
síntesis de circuitos secuenciales, contadores o sistemas de apertura. Se utiliza para
diferentes áreas por ejemplo, Dibujo computacional, en toda las áreas de Ingeniería.
 Los grafos se utilizan también para modelar trayectos como el de una línea de autobús a
través de las calles de una ciudad, en el que podemos obtener caminos óptimos para el
trayecto aplicando diversos algoritmos como puede ser el algoritmo de Floyd.
 Para la administración de proyectos, utilizamos técnicas como PERT en las que se modelan
los mismos utilizando grafos y optimizando los tiempos para concretar los mismos.
 La teoría de grafos también ha servido de inspiración para las ciencias sociales, en especial
para desarrollar un concepto no metafórico de red social que sustituye los nodos por los
actores sociales y verifica la posición, centralidad e importancia de cada actor dentro de la
red. Esta medida permite cuantificar y abstraer relaciones complejas, de manera que la
estructura social puede representarse gráficamente. Por ejemplo, una red social puede
representar la estructura de poder dentro de una sociedad al identificar los vínculos
(aristas), su dirección e intensidad y da idea de la manera en que el poder se transmite y a
quiénes.
 Los grafos son importantes en el estudio de la biología y hábitat. El vértice representa un
hábitat y las aristas (o "edges" en inglés) representa los senderos de los animales o las
migraciones. Con esta información, los científicos pueden entender cómo esto puede
cambiar o afectar a las especies en su hábitat.