estatica

1. Las armaduras están diseñadas para soportar cargas y por lo general son
estructuras estacionarias que están totalmente restringidas.
Beer y Johnston (2010)
Las armaduras consisten exclusivamente de elementos rectos que están
conectados en nodos localizados en los extremos de cada elemento.
Por tanto, los elementos de una armadura son elementos sujetos a dos fuerzas,
esto es, elementos sobre los cuales actúan dos fuerzas iguales y opuestas que
están dirigidas a lo largo del elemento.
1. Definición de armadura

2. 1.1 Armaduras simples
Una armadura simple es
una armadura plana que
comienza con un elemento
triangular y se puede
expandir al añadirle dos
miembros y un nodo.
Para estas armaduras, el
número de miembros (𝑀) y
el número de juntas (𝐽) se
relacionan por la ecuación
𝑀 = 2𝐽– 3.
(Hibbeler. 2004)

3. 1.2 Análisis de armaduras por el método de los nodos
Este método consiste en imponer la condición
de equilibrio a las fuerzas que se ejercen sobre
el pasador de cada nudo.
Se trata
De un caso de
equilibrio de fuerzas
concurrentes y habrá
únicamente dos
ecuaciones
independientes.
Se inicia el
procedimiento
En cualquier nudo donde
haya al menos una carga
conocida y no más de dos
fuerzas desconocidas.
(Meriam y Kraige. 1999)

4. 1.2 Análisis de armaduras por el método de los nodos
Este método consiste en imponer la condición de
equilibrio a las fuerzas que se ejercen sobre el pasador
de cada nudo.
Se trata, por tanto, de un caso de equilibrio de fuerzas
concurrentes y habrá únicamente dos ecuaciones
independientes.
Se inicia el procedimiento en cualquier nudo donde
haya al menos una carga conocida y no más de dos
fuerzas desconocidas.
(Meriam y Kraige. 1999)

5. Ejemplo:
Utilice el método de los nodos para determinar la fuerza en cada elemento de la armadura
que se muestra en la figura. Establezca si los elementos están en tensión o en compresión.
Se elabora el diagrama de cuerpo libre
Se plantean las condiciones de equilibrio
𝑀𝐸 = 0
𝐹 3 𝑚 − 900 𝑁𝑒𝑤 2,25 𝑚 − 900 𝑁𝑒𝑤 4,5 𝑚 = 0
𝐹 3 𝑚 − 2025 𝑁𝑒𝑤. 𝑚 − 4050 𝑁𝑒𝑤. 𝑚 = 0
𝐹 =
6075 𝑁𝑒𝑤. 𝑚
3 𝑚
𝐹 = +2025 𝑁𝑒𝑤
𝑭 = 𝟐𝟎𝟐𝟓 𝑵𝒆𝒘 ↑

6. 𝐹𝑥 = 0
𝐸𝑥 + 900 𝑁𝑒𝑤 + 900 𝑁𝑒𝑤 = 0
𝐸𝑥 = −1800 𝑁𝑒𝑤
𝑬𝒙 = 𝟏𝟖𝟎𝟎 𝑵𝒆𝒘 ←
𝐹𝑦 = 0
𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
𝐸𝑦 + 2025 𝑁𝑒𝑤 = 0
𝐸𝑦 = −2025 𝑁𝑒𝑤
𝑬𝒚 = 𝟐𝟎𝟐𝟓 𝑵𝒆𝒘 ↓
Se analiza cada nodo
Análisis del nodo A
Se calcula la distancia 𝑑 mediante el teorema
de Pitágoras
𝑑 = 2,25 𝑚 2 + 3 𝑚 2
𝒅 = 𝟑, 𝟕𝟓 𝒎
Se calculan las fuerzas mediante semejanza
de triángulos
𝐹𝐴𝐶
2,25 𝑚
=
𝐹𝐴𝐷
𝑑
=
900 𝑁𝑒𝑤
3 𝑚
𝐹𝐴𝐷
𝑑
=
900 𝑁𝑒𝑤
3 𝑚
𝐹𝐴𝐷 =
900 𝑁𝑒𝑤 3,75 𝑚
3 𝑚
𝑭𝑨𝑫 = 𝟏𝟏𝟐𝟓 𝑵𝒆𝒘 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏
𝐹𝐴𝐶
2,25 𝑚
=
900 𝑁𝑒𝑤
3 𝑚
𝐹𝐴𝐶 =
900 𝑁𝑒𝑤 2,25 𝑚
3 𝑚
𝑭𝑨𝑪 = 𝟔𝟕𝟓 𝑵𝒆𝒘 𝑻𝒆𝒏𝒔𝒊ó𝒏

7. Análisis del nodo D
𝒅 = 𝟑, 𝟕𝟓 𝒎
𝑭𝑨𝑫 = 𝟏𝟏𝟐𝟓 𝑵𝒆𝒘
Se calculan las fuerzas mediante
semejanza de triángulos
𝐹𝐷𝐹
2,25 𝑚
=
𝐹𝐴𝐷
𝑑
=
𝐹𝐶𝐷
3 𝑚
𝐹𝐷𝐹
2,25 𝑚
=
𝐹𝐴𝐷
𝑑
𝐹𝐷𝐹 =
1125 𝑁𝑒𝑤 2,25 𝑚
3,75 𝑚
𝑭𝑫𝑭 = 𝟔𝟕𝟓 𝑵𝒆𝒘 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏
𝐹𝐶𝐷
3 𝑚
=
𝐹𝐴𝐷
𝑑
𝐹𝐶𝐷 =
1125 𝑁𝑒𝑤 3 𝑚
3,75 𝑚
𝑭𝑪𝑫 = 𝟗𝟎𝟎 𝑵𝒆𝒘 𝑻𝒆𝒏𝒔𝒊ó𝒏
Análisis del nodo E
𝑬𝒙 = 𝟏𝟖𝟎𝟎 𝑵𝒆𝒘 ←
𝑬𝒚 = 𝟐𝟎𝟐𝟓 𝑵𝒆𝒘 ↓
𝑭𝒙 = 𝟎
𝑭𝑬𝑭 − 𝑬𝒙 = 𝟎
𝑭𝑬𝑭 − 𝟏𝟖𝟎𝟎 𝑵𝒆𝒘 = 𝟎
𝑭𝑬𝑭 = 𝟏𝟖𝟎𝟎 𝑵𝒆𝒘 (𝑻𝒆𝒏𝒔𝒊ó𝒏)
𝑭𝒚 = 𝟎
𝑭𝑪𝑬 − 𝑬𝒚 = 𝟎
𝑭𝑪𝑬 − 𝟐𝟎𝟐𝟓 𝑵𝒆𝒘 = 𝟎
𝑭𝑪𝑬 = 𝟐𝟎𝟐𝟓 𝑵𝒆𝒘 (𝑻𝒆𝒏𝒔𝒊ó𝒏)

8. Análisis del nodo F
𝑭𝑪𝑬 = 𝟐𝟎𝟐𝟓 𝑵𝒆𝒘
𝑭𝑬𝑭 = 𝟏𝟖𝟎𝟎 𝑵𝒆𝒘
𝑭𝑫𝑭 = 𝟔𝟕𝟓 𝑵𝒆𝒘
El triangulo de distancias se usa para efectuar una descomposición de la fuerza 𝐹𝐶𝐹 en sus
componentes rectangulares
𝐹𝑦 = 0
𝐹𝐶𝐸 − 𝐹𝐷𝐹 +
2,25
3,75
𝐹𝐶𝐹 = 0
2025 𝑁𝑒𝑤 − 675 𝑁𝑒𝑤 +
2,25
3,75
𝐹𝐶𝐹 = 0
2,25
3,75
𝐹𝐶𝐹 = −1350
𝐹𝐶𝐹 = −2250 𝑁𝑒𝑤
𝑭𝑪𝑭 = 𝟐𝟐𝟓𝟎 𝑵𝒆𝒘 (𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏)

9. 1.3 Análisis de armaduras por el método de las secciones
El método de las
secciones se usa para
determinar las cargas que
actúan dentro de un cuerpo.
Este método se basa en el principio de que si un cuerpo está en
equilibrio, entonces cualquier parte del cuerpo está también en equilibrio.
Por ejemplo,
considere los dos
miembros de
armadura mostrados
en la siguiente figura.

10. Ejemplo:
Aplicando el método de las secciones, determine la fuerza en los elementos 𝑩𝑫 y 𝑫𝑬 de la
armadura que se muestra en la figura
Se elabora el diagrama de cuerpo libre
Se analiza el elemento 𝐵𝐷
𝑀𝐸 = 0
𝐹𝐵𝐷 4,5 𝑚 − 135 𝑘𝑁 4,8 𝑚
− 135 𝑘𝑁 2,4 𝑚 = 0
𝐹𝐵𝐷 =
972 𝑘𝑁. 𝑚
4,5 𝑚
𝑭𝑩𝑫 = 𝟐𝟏𝟔 𝒌𝑵 (𝑻𝒆𝒏𝒔𝒊ó𝒏)
Se analiza el elemento 𝐷𝐸
𝐹𝑥 = 0
135 𝑘𝑁 + 135 𝑘𝑁 − 𝐹𝐷𝐸 = 0
𝑭𝑫𝑬 = 𝟐𝟕𝟎 𝒌𝑵 (𝑻𝒆𝒏𝒔𝒊ó𝒏)

11. 1.4 Bastidores y maquinas
Los bastidores y las
máquinas son dos tipos
comunes de estructuras
que a menudo están
compuestas por miembros
multifuerza conectados
mediante pasadores, es
decir, miembros que están
sometidos a más de dos
fuerzas.
Los bastidores son
generalmente
estacionarios y se usan
para soportar cargas,
mientras que las máquinas
contienen partes móviles y
están diseñadas para
transmitir y alterar el efecto
de las fuerzas.
Siempre que un bastidor o
una máquina estén
apropiadamente
restringidos y no
contengan más soportes o
miembros que los
necesarios para prevenir el
colapso, las fuerzas que
actúen en los nudos y
soportes pueden ser
determinadas aplicando las
ecuaciones de equilibrio a
cada miembro.
(Hibbeler. 2004)

12. Ejemplo de Bastidor
Determine la fuerza que actúa sobre el elemento BD y las componentes de la reacción en C
Se elabora el diagrama de cuerpo libre
Para determinar 𝐹𝐵𝐷 se determina el momento
en el punto 𝐶
𝑀𝐶 = 0
400 𝑁𝑒𝑤 0,135 𝑚 +
0,450
0,510
𝐹𝐵𝐷 0,240 𝑚 = 0
0,450
0,510
𝐹𝐵𝐷 = −
54 𝑁𝑒𝑤. 𝑚
0,240 𝑚
𝐹𝐵𝐷 = −255 𝑁𝑒𝑤
𝑭𝑩𝑫 = 𝟐𝟓𝟓 𝑵𝒆𝒘 (𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏)

13. 𝐹𝑦 = 0
𝐶𝑦 − 400 𝑛𝑒𝑤 +
0,450
0,510
−255 𝑁𝑒𝑤 = 0
𝐶𝑦 − 400 𝑁𝑒𝑤 − 225 𝑁𝑒𝑤 = 0
𝑪𝒚 = 𝟔𝟐𝟓 𝑵𝒆𝒘 ↑
𝐹𝑥 = 0
𝐶𝑥 +
0,240
0,510
−255 𝑁𝑒𝑤 = 0
𝐶𝑥 − 120 𝑁𝑒𝑤 = 0
𝑪𝒙 = 𝟏𝟐𝟎 𝑵𝒆𝒘 →

14. Ejemplo de Máquinas
Un par 𝑴 de 𝟏, 𝟓 𝒌𝑵. 𝒎 de magnitud se aplica en la manivela del sistema motriz mostrado en
la figura. Para cada una de las dos posiciones mostradas, determine la fuerza 𝑷 necesaria para
mantener el equilibrio del sistema.
Para la posición mostrada en la parte (a)
Se elabora el diagrama de cuerpo libre
A partir del diagrama de cuerpo libre se
puede determinar la siguiente identidad
trigonométrica
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝐶𝑂
𝐶𝐴
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
0,05 𝑚
0,175 𝑚
𝒕𝒂𝒏𝜽 =
𝟐
𝟕
Para la figura completa
𝑀𝐴 = 0
0,250 𝑚 𝐶𝑦 − 1,5 𝑘𝑁. 𝑚 = 0
𝐶𝑦 =
1,5 𝑘𝑁. 𝑚
0,250 𝑚
𝑪𝒚 = 𝟔 𝒌𝑵

15. Para el pistón
𝐹𝑦 = 0
𝐶𝑦 − 𝐹𝐵𝐶𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0
𝐹𝐵𝐶 =
𝐶𝑦
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑭𝑩𝑪 =
𝟔 𝒌𝑵
𝒔𝒆𝒏𝜽
𝐹𝑥 = 0
𝐹𝐵𝐶𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑃 = 0
𝑃 = 𝐹𝐵𝐶𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑃 =
6 𝑘𝑁
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑃 =
6 𝑘𝑁
𝑡𝑎𝑛𝜃
𝑃 =
6 𝑘𝑁
2
7
𝑷 = 𝟐𝟏 𝒌𝑵 ←
Para la posición mostrada en la parte (b)
Se elabora el diagrama de cuerpo libre
A partir del diagrama de cuerpo libre se
puede determinar la siguiente identidad
trigonométrica
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝐶𝑂
𝐶𝐴
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
0,05 𝑚
0,175 𝑚
𝒕𝒂𝒏𝜽 =
𝟐
𝟕

16. Para la figura completa
𝑀𝐴 = 0
0,100 𝑚 𝐶𝑦 − 1,5 𝑘𝑁. 𝑚 = 0
𝐶𝑦 =
1,5 𝑘𝑁. 𝑚
0,100 𝑚
𝑪𝒚 = 𝟏𝟓 𝒌𝑵
Para el pistón
𝐹𝑦 = 0
𝐶𝑦 − 𝐹𝐵𝐶𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0
𝐹𝐵𝐶 =
𝐶𝑦
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑭𝑩𝑪 =
𝟏𝟓 𝒌𝑵
𝒔𝒆𝒏𝜽
𝐹𝑥 = 0
𝐹𝐵𝐶𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑃 = 0
𝑃 = 𝐹𝐵𝐶𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑃 =
15 𝑘𝑁
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑃 =
15 𝑘𝑁
𝑡𝑎𝑛𝜃
𝑃 =
15 𝑘𝑁
2
7
𝑷 = 𝟓𝟐, 𝟓 𝒌𝑵 ←

17. 2. Fuerzas internas en vigas: Cortante, axial y momento flector. Ejemplo práctico con
diagrama.
Cortante
La fuerza cortante
representa una fuerza
interna en el plano de la
sección y su resultante
debe ser igual a la carga
soportada. Esta magnitud
es el cortante en la
sección; se obtiene
dividiendo la fuerza
cortante entre el área 𝑨 de
la sección.
Los esfuerzos cortantes
se presentan
normalmente en pernos,
pasadores y remaches
utilizados para conectar
varios miembros
estructurales y
componentes de
máquinas.
Representa la suma
algebraica de todas las
fuerzas externas
perpendiculares al eje de la
viga (o elemento estructural)
que actúan a un lado de la
sección considerada. La
fuerza cortante es positiva
cuando la parte situada a la
izquierda de la sección tiende
a subir con respecto a la
parte derecha.

18. 2. Fuerzas internas en vigas: Cortante, axial y momento flector. Ejemplo práctico con
diagrama.
Axial
Por su parte, una fuerza axial es aquella que actúa
directamente sobre el centro axial de un objeto en la
dirección del eje longitudinal.
Estas fuerzas pueden ser de compresión o de
tensión, dependiendo de la dirección de la fuerza.
Cuando una fuerza axial actúa a lo largo del eje
longitudinal y este eje pasa por el centro geométrico del
objeto, será además una fuerza concéntrica; en caso
contrario será una fuerza excéntrica.

19. 2. Fuerzas internas en vigas: Cortante, axial y momento flector. Ejemplo práctico con
diagrama.
Momento flector
Adicionalmente, se
denomina momento flector
a un momento de fuerza
resultante de una
distribución de tensiones
sobre una sección
transversal de un prisma
mecánico flexionado o una
placa que es perpendicular
al eje longitudinal a lo largo
del eje donde se produce la
flexión.
El momento flector
puede aparecer cuando las
vigas y pilares se someten
a la acción de un torque o
también de fuerzas
puntuales o distribuidas.
Representa la suma
algebraica de los
momentos producidos por
todas las fuerzas externas
a un mismo lado de la
sección respecto a un
punto de dicha sección. El
momento flector es positivo
cuando considerada la
sección a la izquierda tiene
una rotación en sentido
horario.

20. Ejemplo:
Para la viga y las cargas mostradas en la figura:
• Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento flector
• Determine los valores absolutos máximos de la fuerza cortante y del momento flector.
Se elabora el diagrama de cuerpo libre
A la derecha del punto 𝑨
𝐹𝑦 = 0
𝑽𝟏 = +𝟏𝟓 𝒌𝑵 ; 𝑴𝟏 = 𝟎
A la izquierda del punto 𝑪
𝐹𝑦 = 0
𝑽𝟐 = +𝟏𝟓 𝒌𝑵
𝑀2 = +15 𝑘𝑁 1 𝑚
𝑴𝟐 = +𝟏𝟓 𝒌𝑵. 𝒎

21. A la derecha del punto 𝑪
𝐹𝑦 = 0
𝑽𝟑 = +𝟏𝟓 𝒌𝑵
𝑀3 = +15 𝑘𝑁 1 𝑚 − 10 𝑘𝑁. 𝑚
𝑴𝟐 = +𝟓 𝒌𝑵. 𝒎
A la derecha del punto 𝑫
𝐹𝑦 = 0
𝑉4 = +15 𝑘𝑁 − 30 𝑘𝑁
𝑽𝟒 = −𝟏𝟓 𝒌𝑵
𝑀4
= 15 𝑘𝑁 1,5 𝑚 − 10 𝑘𝑁. 𝑚
𝑴𝟒 = +𝟏𝟐, 𝟓 𝒌𝑵
A la derecha del punto 𝑬

22. 𝐹𝑦 = 0
𝑉5 = 15 𝑘𝑁 − 30 𝑘𝑁 − 20 𝑘𝑁
𝑽𝟓 = −𝟑𝟓 𝒌𝑵
𝑀5 = 15 𝑘𝑁 2 𝑚 − 10 𝑘𝑁. 𝑚 − 30 𝑘𝑁 0,5 𝑚
𝑴𝟓 = +𝟓 𝒌𝑵. 𝒎
Se calcula el momento en el punto 𝑩
𝑀𝐵 = 15 𝑘𝑁 2,5 𝑚 − 10 𝑘𝑁. 𝑚 − 30 𝑘𝑁 1 𝑚 − 20 𝑘𝑁 0,5 𝑚
𝑴𝑩 = −𝟏𝟐, 𝟓 𝒌𝑵. 𝒎
Se elabora los diagramas de Fuerza cortante y
momento flector con los resultados obtenidos

23. Bibliografía
Bedford, A., y Fowler, W. (2008). Mecánica para Ingeniería. Quinta Edición. Editorial Pearson
Educación. México.
Beer, F., y Johnston, E. (2010). Mecánica Vectorial para Ingenieros. Estática. Novena Edición.
Editorial McGraw Hill. México.
Facultad de Estudios a Distancia (FAEDIS). (1996). Fuerzas internas. Portal electrónico de la
Universidad Militar Nueva Granada. Recuperado de:
http://virtual.umng.edu.co/distancia/ecosistema/ovas/ingenieria_industrial/mecanica_d
e_solidos/unidad_6/medios/documentacion/p7h1.php [Consulta: 21 de diciembre de
2021]
Hibbeler, R. (2004). Mecánica Vectorial para Ingenieros. Estática. Décima Edición. Editorial
Pearson Educación. México.
Meriam, J., y Kraige, L. (1999). Mecánica para Ingenieros. Estática. Tercera Edición. Editorial
Reverté, S.A. Barcelona, España.
Pytel, A., y Kiusalaas, J. (2012). Ingeniería Mecánica. Estática. Tercera Edición. Editorial
Cengage Learning. México.