1. CÁLCULO EN UNA VARIABLE
GRUPO # 2
SEBASTIAN BAHAMONDE
JORDI DIAZ
HENRY GERRA
CARLOS POGO

2. VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE
REVOLUCIÓN
• La definición del área de una región plana llevo a la
determinación de la integral definida partiendo del área
de una figura conocida la cual fue el rectángulo.
• Nuestro trabajo se centrara en un proceso semejante,
pues el propósito es comprender y llevar a la práctica la
integral definida, para hallar los volúmenes de diferentes
tipos de sólidos producidos por la rotación de una
determinada área limitada por una curva.
• Uno de estos sólidos es el cilindro recto.

3. DEFINICION DE CILINDRO RECTO
• El cilindro recto está formado por dos regiones planas
congruentes A1 y A2, que pertenecen a planos paralelos, y por
una área lateral producida por un segmento rectilíneo que tiene
sus extremos en los límites de A1 y A2, el cual se encuentra
siempre perpendicular a los planos A1 y A2.

4. • Si el área de la base de un cilindro recto es A, su altura el h y si V es
su volumen, entonces:
• Con esta fórmula obtendremos un método que proporcione la
medida del volumen de un sólido para el cual el área de cualquier
sección plana perpendicular a un eje es una función de la distancia
perpendicular de la sección plana desde el punto fijo del eje.

5. • En la figura se muestra un sólido S q
está entre los ejes perpendiculares el eje
x en a y b. Sea A(x) unidades cuadradas
el área de la sección plana S
perpendicular al eje x en x. A tiene que
ser continua en [a,b].
• Sea Δ una partición del intervalo
cerrado [a,b] dada por
• Entonces existen n intervalos, los cuales
forman n cilindros rectos.
• Se puede observar en la figura el i-
ésimo cilindro recto el cual recibe el
nombre de elemento de volumen.
• Si unidades cubicas es el volumen
del i-ésimo elemento, entonces
•

6. • La suma de los n volúmenes es
• Esta suma es la aproximación de lo que intuitivamente
pensamos como el número de unidades cubicas del volumen
del sólido. Cuanto más pequeña se tome la norma de la
partición, de modo que dicha aproximación estará mas cerca
del numero V que deseamos asignar a la medida del volumen.
• Por lo que se define a V como el limite de la suma de Riemann
cuando se aproxima a cero, ya q A es continua en [a,b].

7. Sea S un sólido tal que este está entre dos planos perpendiculares al eje x en a y
b. Si la medida de área de la sección plana S, perpendicular al eje x en x, está
dada por A(x), donde A es continua en [a, b], entonces la medida del volumen
de S esta dado por:

8. VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN-
MÉTODO DE DISCOS
• Aplicando la definición anterior vamos a determinar el
volumen de un sólido de revolución que gira una región de un
plano alrededor de una recta del plano, llamada eje de
revolución, la cual puede intersecarse o no la región.
• Para empezar vamos a considerar que el eje de revolución es
un límite de la región que se girara.
• Sea f una función cualquiera continua en un intervalo [a, b], y
que el eje x y unas rectas

9. • En la figura se muestra la
región R y el i-ésimo
rectangular. Cuando el i-ésimo
rectángulo empieza a girar
alrededor del eje x se obtiene
un volumen el cual es un disco
y cuya base es un círculo de
radio unidades y su altura
es unidades, Si
unidades cubicas es el
volumen de este disco,
entonces:

10. VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE
REVOLUCIÓN MÉTODO DE DISCOS

11. • METODO DE LOS DISCOS:
• Generalmente se emplean
sólidos revolución en ingeniería
y manufactura. Como ejemplos
se tiene ejes, pistones, embudos,
botellas, píldoras.
• Si una región en el plano gira
alrededor de una recta, el solido
resultante es un SÓLIDO DE
REVOLUCIÓN; la recta se llama
eje de REVOLUCIÓN. El volumen V del disco es:
• El solido de revolución más V= (área del disco) (ancho del disco)
simple es un cilindro circular Donde R: radio de la base
recto o disco que se forma al W: ancho de la base
girar un rectángulo entero a uno
de sus lados como se muestra en
la figura.

12. • Para encontrar el volumen de
un sólido general de
revolución, se considera un
sólido de revolución formado
al girar una región plana
alrededor del eje horizontal.
• Para determinar el volumen de
este solido, se considera un
rectángulo representativo en la
región plana.
• Cuando este rectángulo gira
alrededor del eje de
revolución, genera un disco
representativo cuyo volumen
es:

13. • Aproximando el volumen del sólido con los n discos de ancho y
Radio f(x) se tiente:
Esta aproximación mejora cuando . Se define el volumen del
sólido como:

14. • Una fórmula similar se puede encontrar si el eje de revolución es
vertical.
• Para encontrar el volumen (V) de un sólido de revolución con este
método se usa una de las formulas siguientes:
• Eje de revolución horizontal:
• Eje de revolución vertical:
• En el método de discos el rectángulo representativo siempre es
perpendicular al eje de revolución.

15. VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE
REVOLUCIÓN MÉTODO DE
ARANDELAS

16. • El método de los discos se lo puede extender para
calcular el volumen de sólidos de revolución huecos; esto
se consigue reemplazando el disco por un anillo.
• Si r y R son los radios interior y exterior del anillo o
arandela y w es el ancho, el volumen es:

17. Este concepto se puede usar para encontrar el volumen de un
sólido de revolución con un hueco en la parte central.
Para ello se considera una región acotada por un radio exterior
R(x) y un radio interior r(x).

18. Si la región se gira alrededor de su eje de revolución, el volumen del solido resultante
es:
La integral que contiene el radio inferior representa el volumen del hueco.