1. CINEMÁTICA
Física y química 1º Bachillerato
1

2. EL MOVIMIENTO
1 Movimiento y sistemas de referencia
Un cuerpo se mueve, si cambia su posición respecto a un punto de observación
El viajero se equivoca al pensar que se
mueve el vagón de enfrente.
Al mirar al andén, comprueba que es
su vagón el que se mueve
• Si dicho punto está en reposo, el movimiento es absoluto
El conductor está en reposo respecto
al pasajero que transporta, pero está
en movimiento respecto al peatón.
• Si está en movimiento, es relativo
Desde tierra el proyectil cae
describiendo una parábola. Desde el
avión cae en línea recta
2

3. La Cinemática es una parte de la Mecánica, que estudia el movimiento
sin tener en cuenta las causas que lo producen.
Decimos que un cuerpo está en movimiento cuando cambia su posición en el espacio con
respecto a un determinado SISTEMA DE REFERENCIA, que normalmente se considera fijo, y
decimos que está en reposo si su posición respecto a dicho sistema de referencia no cambia.
¿Qué es un sistema de referencia? realmente siempre que realizamos cualquier medida la
hacemos respecto a algo y decimos por ejemplo "desde donde yo estoy hasta la puerta
hay 2 m" al decir esto nos estamos tomando a nosotros mismos como referencia.
Entonces el reposo y el movimiento son conceptos relativos ya que dependen del
sistema de referencia que tomemos, así una casa se encuentra en reposo respecto a
nosotros y respecto a la Tierra que está en movimiento en torno al Sol, pero respecto al Sol
estaría en movimiento junto con la Tierra y si vemos esta casa desde un tren en marcha
parece que se mueve respecto a nosotros.
PARA DESCRIBIR PERFECTAMENTE UN MOVIMIENTO HACE FALTA
INDICAR RESPECTO A QUÉ SISTEMA DE REFERENCIA SE HAN
REALIZADO LAS MEDIDAS.
3

4. →
• El vector de posición r 1 de un móvil, es el
Vector de posición y vector desplazamiento vector con origen en O y extremo en P1.
→ →
Se representa por OP = r1 1
P1
Y ∆s Se denomina Trayectoria al camino seguido por el
→ móvil en su movimiento. Es escalar
∆r El espacio (S) que recorre un cuerpo en su
→
r1 P2 movimiento se define como la longitud de la
→
trayectoria recorrida y es también un escalar. Se
r2 mide en metros
X
Los vectores de posición determinan las
diferentes posiciones del movimiento
y podemos llamarlos r1 y r2 si consideramos las
desplazamiento
posiciones como posición 1 y posición 2.
vectores
Son vectores que van desde el origen del
de trayectoria sistema de referencia a la posición que se
posición
mide.
x
4

5.   
El vector ∆r = r2 − r1 (posición final menos posición inicial) se denomina vector
desplazamiento.
Su módulo representa la distancia entre dos posiciones que ocupa el cuerpo durante el
movimiento.
Se define vector desplazamiento como la distancia en línea recta entre dos posiciones
inicial y final del recorrido.
Se calcula restando los vectores de posición final e inicial. Se mide en metros
Es vectorial.
EL MOVIMIENTO DE CUALQUIER MÓVIL QUEDA PERFECTAMENTE DETERMINADO
SI SE CONOCE COMO VARIAN LAS COMPONENTES DEL VECTOR
DESPLAZAMIENTO EN FUNCIÓN DEL TIEMPO
→
En general, | ∆ r | ≠ ∆s Coinciden desplazamiento y trayectoria cuando el movimiento
es rectilíneo

dr = dS
También coinciden cuando
estudiamos desplazamientos trayectoria
muy pequeñitos , infinitesimales
o diferenciales: 5

6. VELOCIDAD
La velocidad es la magnitud física que estudia la variación de la posición de un cuerpo en
función del tiempo respecto a un determinado sistema de referencia. Sus unidades por tanto
son: m/s cm/s o Km / h etc...
Ambos vehículos salen y llegan a la vez, pero no han
viajado juntos. Tienen en común su velocidad media Rapidez: espacio recorrido
por intervalo de tiempo
∆S S 2 − S1
Vm = =
• Magnitud velocidad media escalar: vm = ∆s ∆t t 2 − t1
∆t
→ Se define velocidad media como
= ∆r
→ el cambio de posición de un
vm
• Vector velocidad media: ∆t cuerpo en un intervalo de
   
tiempo: ∆r r − r
Vm = = 2 1
∆t t2 − t1
→ → → → ∆x → ∆y → = v → + v →
j
• ∆ r = ∆x i + ∆y j ⇒ vm = i + j i xm ym
∆t ∆t 6

7. →
Y 4 ∆r Cuando ∆t → 0 el vector desplazamiento
→
∆r se sitúa tangente a la trayectoria
→ → La velocidad instantánea es la que posee
r 1
→
r ∆r
2 → un móvil en un punto de su trayectoria
r 3
→
r 4
→
v = ∆r
→
cuando ∆ t → 0
∆t
X Cuando el cambio es diferencial el
módulo (valor numérico) de dr es igual
que dS
La velocidad instantánea es el cambio de
posición de un cuerpo en movimiento en V – dr - dS
cada instante. dt dt
V - Lim ∆r - dr
∆ t →0 ∆ t dt
Se representa por un vector tangente a la trayectoria, cuyo origen es el punto
7
considerado, y cuyo sentido es el de avance del móvil

8. Fsica y Q ímica
í u
AC ELERAC I 1º B C IL E A O
AH LR T
Se define la aceleración cómo la variación de la velocidad respecto al tiempo. Sus unidades por
Ó 2N
tanto serán m/s o Km/h etc...
2
Siempre que un cuerpo varía su velocidad ya sea en módulo, dirección o sentido hay aceleración.
→ →
A v A v
• •
1
Y Y 1
→ →
v 2 ∆v
→ •B
r 1 →
v 2
→
r 2
X X
→ 
La aceleración →
a =
∆v
cuando ∆ t → 0  dV
instantánea ∆t a=
dt
→ → →
La aceleración media →
am ∆v v -v 8
= = t -t
2 1
∆t 2 1

9. 
V
La aceleración media estudia el cambio de
velocidad en un intervalo de tiempo.
Es un vector con la misma dirección y sentido que el 
vector resultante de restar la velocidad inicial y final
V
1
  
vectorialmente ,en cierto ∆t se define como : VV V
∆ = 2 – 1 y en esa misma
    
dirección y sentido sale a
 ∆V V2 − V1 V
- m
am = = 2
∆t t 2 − t1 
Se trata por tanto de una magnitud vectorial con la
 V 1
dirección y sentido de ∆V . V 2
Para conocer la aceleración en cada instante, necesitamos conocer intervalos de tiempo dt
cada vez mas pequeños.
La aceleración Instantánea mide el cambio de velocidad en un
instante determinado del movimiento:
a - Lim ∆V - dV es también una magnitud vectorial
∆ t →0 ∆ t dt
9

10. COMPONENTES INTRÍNSECAS DE LA ACELERACIÓN
Puesto que la velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria en cada punto,
cuyo sentido es el del movimiento, a partir de ella se podría obtener un vector unitario
tangente a la trayectoria en cada punto y según el sentido del movimiento.

V  
uT =  V .uT = V
trayectoria
eje
V perpendicular al
movimiento
eje tangente al aN
movimiento
Si usamos el sistema de referencia uN
en función de la trayectoria podemos a
descomponer la aceleración en dos uT
componentes:
aT
aceleración tange
ncial (aT) :
cambio del módulo aceleración normal (a ):
de la
velocidad respecto N
al tiempo cambio de la dirección de
   la velocidad respecto al
 
 dV d ( V .uT ) d V   duT tiempo
a= = = .uT + V .
dt dt dt dt
   
a = aT .uT + a N .u N a = aT + a N
2 2
10

11. LA ACELERACIÓN TANGENCIAL ES UNA COMPONENTE DE LA ACELERACIÓN
INSTANTÁNEA QUE ESTUDIA EL CAMBIO DEL MÓDULO DE LA VELOCIDAD
RESPECTO AL TIEMPO. Es la responsable del cambio de la magnitud velocidad, es decir,
del módulo de la velocidad. Si aT = 0 el módulo de la velocidad es constante; es decir el
movimiento es uniforme.
En movimientos Uniformes donde la velocidad es constante en módulo no existe la
aceleración tangencial.
LA ACELERACIÓN NORMAL ES UNA COMPONENTE DE LA ACELERACIÓN INSTANTÁNEA QUE ESTUDIA
EL CAMBIO DE DIRECCIÓN DE LA VELOCIDAD RESPECTO AL TIEMPO.
Existe siempre que el movimiento es curvilíneo. Es la responsable del cambio de dirección de la
velocidad. Si el movimiento es rectilíneo esta componente se hace cero. O lo que es lo mismo
si aN =0 la dirección del vector velocidad es constante, es decir, el movimiento es rectilíneo.
aT – d V (m /s2) a N – V2 (m/s2)
dt R
Se obtiene derivando Se obtiene con la velocidad, en
el módulo de la un instante dado, al cuadrado
velocidad entre el radio de giro
11

12. MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORME (MRU)
6
Como la trayectoria es recta, la velocidad no cambia en ningún momento de dirección y no
hay aceleración normal.
Como es un movimiento uniforme la velocidad no cambia de valor (módulo) por lo que
tampoco existe aceleración tangencial.
Luego este movimiento no tiene aceleración.
Tiempo Al ser la trayectoria rectilínea el desplazamiento
50 100 150 200 250 ( r ) y la trayectoria (S) coinciden.
(s)
Como la velocidad es constante la velocidad
Posición A B C D E
media y la instantánea coinciden.
Distancia al
200 400 600 800 1000
hangar (m)
Velocidad pendiente de
s (m) la gráfica
1000 • v (m/s)
•
600 • 4 • • • • •
• S=V.t
200 •
50 100 150 200 250 t (s) 50 100 150 200 250 t (s)
Gráfica x-t Gráfica v-t
→ → →
→ ∆r r -r
v= = t-t
0
⇒ → = → + → (t - t )
r r v En forma escalar: s = s + v (t - t )
0 0
12
∆t 0
0 0

13. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE
Fsica y Q ímica
í u
7 2
ACELERADO (MRUA) 1º B C IL E A O
AH LR T
Al ser un movimiento rectilíneo no tiene aceleración
v (m/s) normal, pero la velocidad va cambiando en módulo
(aceleramos o frenamos) y por lo tanto hay aceleración
v
tangencial.
tg α = a • La aceleración media coincide con la
v0 α
aceleración instantánea ya que la
aceleración es constante
→
t0 t t (s) • La ecuación a = ∆ v se transforma en:
→
Gráfica v-t ∆t
∆v v − v
a= = ⇒ v = v + a (t - t )
0
∆t t−t
0 0
0
v (m/s)
v • El área A bajo la gráfica velocidad-tiempo es
el espacio recorrido
v0 A =v0(t-t0) + v + v0 (t − t )
0
2
t0 t t (s) Sustituyendo v por su valor resulta:
Gráfica v-t 1 13
S = S0 + v0 (t − t0) + a (t − t0)2
2

14. Ecuación del movimiento uniformemente acelerado: S = V0 .t + 1. a.t2 si hay espacio inicial S0 se añade
2
Derivando se obtiene la velocidad V = dS V = V0 + a. t
dt
ACELERACIÓN A FAVOR DEL MOVIMIENTO ACELERACIÓN EN CONTRA DEL MOVIMIENTO.
(acelerar) (frenar)
S V S V
(m) (m/s) (m) (m/s)
V0
S0 V0 S0
t (s) t (s) t (s) t (s)
La aceleración es la pendiente de la gráfica velocidad –tiempo.
El signo de la aceleración y de la velocidad depende del sistema de referencia que tomemos no
de que el cuerpo acelere o frene.
Si consideramos positivo el sentido de avance del cuerpo una aceleración es negativa si va en
contra del avance del cuerpo y positiva si va a favor. Pero si el avance va en sentido negativo
una aceleración positiva lo frenaría.
Un cuerpo frena si su aceleración va en sentido contrario a la velocidad y acelera si ambas van
en el mismo sentido. 14

15. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME.mcu
Es aquel movimiento que describe una trayectoria circular con velocidad constante en módulo
Al ser un movimiento uniforme el módulo de la velocidad es constante luego no hay aceleración
tangencial.
Su trayectoria es una circunferencia por lo que el desplazamiento y la trayectoria no coinciden.
La velocidad va cambiando constantemente de dirección por lo que existe aceleración normal.
Si la única aceleración que existe es la normal y la aceleración es constante, la aceleración
media es igual que la instantánea en su única componente en este caso que es la aceleración
normal.
Ecuación del movimiento uniforme : S= V . t Si hay espacio inicial queda S = V . t + S0
Aceleración normal o centrípeta a N – V2
R
Las gráficas de este movimiento serán las mismas que las de cualquier movimiento
uniforme luego A PARTIR DE LAS GRÁFICAS S/t Y V / t NO ES POSIBLE
DISTINGUIR EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME DEL CIRCULAR
UNIFORME YA QUE NO NOS PERMITEN SABER LA TRAYECTORIA, SOLO
INFORMAN DE LAS RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD ENTRE LAS
DIFERENTES MAGNITUDES QUE DEFINEN EL MOVIMIENTO, PARA SABER
LA TRAYECTORIA NECESITAMOS EL VECTOR DE POSICIÓN EN FUNCIÓN
DEL TIEMPO Y REPRESENTARLO EN UN SISTEMA DE EJES DE REFERENCIA 15
X,Y.

16. • Su trayectoria es una circunferencia de • El vector de posición
→
r cambia de
→
radio R 11 dirección. Cumple que | r | = R
→
v
→
P2 ∆s • El vector velocidad v es siempre tangente
• →
→
r a la trayectoria y normal al vector r
• P1
2
∆φ →
r 1
Magnitudes angulares
• Si ∆s = R, se dice que el ángulo ∆ φ mide
→
ri un radián.
→ • Una circunferencia completa 360°≡ 2π rad
• v
∆s
• Por definición ∆φ = Se mide en rad
R
∆s
R
=R
∆φ
=1
ra d ω= (rad/s) ó bien 1 rpm = 2π rad/s
∆φ ∆t 60
R VELOCIDAD ANGULAR ω es el ángulo recorrido
por unidad de tiempo.
Como es lógico puede estudiar este cambio en un
intervalo, velocidad angular media, o en un instante, 16
velocidad angular instantánea.

17. ∆s ∆φ R
v= = = ω R = cte
∆t ∆t
V=ω.R
ω = cte (por ser R cte)
• La ecuación del movimiento es: ∆φ = ω ∆t ⇒ φ = φ + ω( t − t )
0 0
• Periodo T del movimiento, es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta
completa y se mide en segundos
• Frecuencia f del movimiento, es el número de vueltas que que tarda el móvil
por unidad de tiempo. Es la inversa del período. Se mide en seg-1 que también
se llaman Herzios (Hz)
El período y la frecuencia son inversos: La relación de estas dos magnitudes con la
velocidad angular se puede determinar
Tiempo (s) número de vueltas pensando que si el móvil da una vuelta
T (periodo) 1 vuelta completa recorre un ángulo de 2пrad y el
1 segundo f (frecuencia) tiempo que tardó en recorrerlo es el período T
despejando T= 1 luego como la velocidad angular relaciona el
f ángulo recorrido con el tiempo empleado en
recorrerlo :
ω = 2п
T 17

18. E L M O V IM IE N T O C IR C U L A R U N IF O R M E M E N T E
13 AC ELERADO (MC UA)
t=1s
α = 2 rad/s2 α = 2 rad/s2
ω1 = 2 rad/s
t=0s
ω0 = 0 rad/s
t=2s
ω2 = 4 rad/s t=4s
ω4 = 8 rad/s
t=3s
α = 2 rad/s2 ω3 = 6 rad/s α = 2 rad/s2
• Es aquel movimiento que describe una trayectoria circular con velocidad, lineal y
angular, que varían de forma constante con el tiempo
1
• La ecuación del movimiento es: φ=φ +ωt+ αt 2
0
2 0
ω=ω +α t 0
18

19. LA ACELERACIÓN EN LOS MOVIMIENTOS CURVILÍNEOS
14
Z →
P → aτ
• v
→ •
r →
a
→
a
X →
aη
Y
→
• Un móvil tiene aceleración a si varía al menos algún factor (módulo o dirección) del
→
vector velocidad v
→ → →
• Sus componentes tangencial y normal se llaman intrínsecas, a = a τ + a η
→
aτ = ∆v cuando ∆ t → 0 está relacionada con la variación del módulo | v |
∆t
a η = v está relacionada con la variación de la dirección de la velocidad
2
R
19

20. Ecuación lineal del movimiento uniformemente acelerado: S = V0 .t + 1. a.t2
2
Ecuación angular del movimiento uniformemente acelerado: ϕ = ω 0 .t + 1.α.t2
2
Movimientos Movimientos Derivando se obtiene la velocidad V = dS V = V0 + a. t
rectilíneos circulares dt
Derivando se obtiene la velocidad ω = dϕ ω = ω 0 + α. t
aN = 0 aN≠ 0 y R = cte dt
Movimiento Movimiento
rectilíneo circular
uniforme uniforme α . R = aT
aτ = 0 aτ = 0
Movimiento Movimiento
rectilíneo circular magnitud lineal= magnitud angular por radio
uniformemente uniformemente S(espacio en metros)= ϕ( ángulo en rad ) .R
acelerado acelerado
V(velocidad)= ω(velocidad angular ).R
aT ≠0 aτ = cte aT (aceleración tangencial) =α (aceleración angula). R
Movimiento Movimiento
rectilíneo circular
acelerado acelerado
aτ≠ cte aτ ≠ cte
20

21. COMPOSICIÓN DE MRU EN LA MISMA DIRECCIÓN
2 18
• La velocidad del niño al correr sobre la cinta,
crece o decrece según el sentido elegido
• El principio de superposición dice que si un
objeto está sometido a la vez a dos o más
movimientos, se cumple que:
→ → → → →
r = r1 + r 2 + r3 + ... + ri
→ → → → →
v = v1 + v2 + v3 + ... + vi
→ → → → →
a = a1 + a 2 + a 3 + ... + ai
• En este caso, su composición será:
x1 = x01 + v1x t
O O′ x2 = x02 + v2x t
→ →
x x 2
x1 + x2 = (x01 + x02) + (v1x + v2x) t
Trayectoria
1
La suma es un MRU en la misma dirección
21

22. COMPOSICIÓN DE MRU
PERPENDICULARES
19
Y
• Sean dos movimientos rectilíneos
y uniformes en las direcciones de los
→ →
→
y x+y ejes X e Y con velocidades respectivas
y0 → →
→
vt
vx y vy
→
vy →
x
O →
vx x0 x X
→ → →
• Si un móvil experimenta solo el primer movimiento: x= x0 + vx t
→ → →
• Si un móvil experimenta solo el segundo movimiento: y = y0 + v y t
→ → → → → →
• Cuando experimenta la superposición de ambos: x + y = (x 0 + y0) + (v x + v y)
→ → →
• El resultado es un MRU en la dirección determinada por: vt = vx + vy
22

23. Cuándo una partícula se encuentra sometida a dos movimientos simultáneos e independientes,
el movimiento que realiza es un movimiento compuesto. Dicho de otro modo, hay movimientos
en apariencia complejos que se pueden estudiar de forma mucho más simple como
superposición de dos movimientos más sencillos. Entonces se habla de Composición de
movimientos.
El caso más corriente de composición de movimientos es el lanzamiento de proyectiles,
ya sea vertical, horizontal u oblicuo.
En primer lugar es necesario tener claro que al lanzar un proyectil lo que hacemos es
dispararlo con una cierta velocidad inicial, desentendiéndonos inmediatamente de él y
dejándolo a merced de la fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra y le hace caer sometido
a la aceleración de la gravedad, g=9,8 m/s2, que es vertical y hacia abajo.
En todos los casos vamos a considerar despreciable la resistencia del aire.
Debemos establecer en primer lugar un sistema de referencia que mantendremos siempre
igual en todos los movimientos, el sistema de referencia más sencillo es aquel que sitúa EL
EJE Y EN LA VERTICAL DEL PUNTO DE LANZAMIENTO Y EL EJE X EN EL SUELO.
Los lanzamientos los vamos a clasificar según la dirección en que
lanzamos (la dirección del vector velocidad inicial) en tiros:
verticales, horizontales y oblicuos:
23

24. TIRO VERTICAL
Tenemos dos movimientos, el debido a nuestro lanzamiento (hacia arriba o hacia
abajo) y el de la gravedad que tira del cuerpo hacia abajo. Vamos a ver los vectores
de posición que se obtienen cuando el tiro es hacia arriba y cuando es hacia abajo:
Y Vectorialmente la aceleración de la gravedad queda: g = - 9,8 j m/s2
V final = 0 con el sistema de referencia que hemos tomado.
Si el cuerpo sube es frenado por la atracción gravitatoria terrestre
que acaba por pararle y le hace caer (sube y luego baja). En todo
momento la gravedad actúa hacia abajo y es la velocidad la que
h máxima
V0 g cambia de sentido (primero sube y luego baja).
Como la aceleración de la gravedad es un valor constante estamos con
h0 un movimiento uniformemente acelerado y su ecuación de movimiento
es : S = V0 .t + 1. a.t2
2
X
Como la trayectoria es rectilínea el valor del desplazamiento y el
espacio recorrido coinciden por lo que el vector de posición del móvil
en cada instante es:
r = ( h0 + V0 .t - 1. g.t2 ) j (m)
2
y la velocidad se saca derivando: V = (V0 – g.t ) j m/s
24

25. Y En este caso la velocidad inicial tiene diferente sentido ya
que va hacia abajo y por lo tanto diferente signo:
V0 r = ( h0 - V0 .t - 1. g.t2 ) j (m)
2
y la velocidad se saca derivando: V = (- V0 – g.t ) j m/s
h0 La gravedad acelera en todo momento al movimiento.
Si en lugar de lanzarlo hacia abajo lo dejamos caer la
velocidad inicial es cero:
X r = ( h0 - 1. g.t2 ) j (m)
2
y la velocidad se saca derivando: V = ( – g.t ) j m/s
En los dos casos si se deriva la velocidad sale siempre la misma aceleración , la de
la gravedad:
 
g = −9,8 j (m / s )
2
25

26. ESTUDIO DEL TIRO HORIZONTAL
21
Trayectorias descritas por la pelota según el sistema de referencia
Para un observador en tierra, la trayectoria es
parabólica
Para un pasajero del avión, el movimiento es
vertical y en caída libre
Para el observador en caída libre, el móvil posee un
MRU horizontal
26

27. La velocidad de lanzamiento es horizontal, el cuerpo queda sometido a dos movimientos
simultáneos:
SOBRE EL EJE X: (mru) un movimiento horizontal rectilíneo y uniforme debido a la
velocidad de lanzamiento, ninguna aceleración actúa horizontalmente, este es el
MOVIMIENTO DE AVANCE (si no hubiera ninguna otra acción sobre el cuerpo este
seguiría indefinidamente en línea recta).
SOBRE EL EJE Y: (mrua) un movimiento vertical rectilíneo y hacia abajo, sin velocidad
inicial porque la velocidad inicial es horizontal y uniformemente acelerado
(aceleración de la gravedad) debido a la atracción que la Tierra ejerce sobre el cuerpo
haciéndolo caer, MOVIMIENTO DE CAÍDA.
Y
El vector de posición tiene:
V0 2) componente x (m r u S= V. t avance del
proyectil)
3) componente y donde se mide la caida y por lo
tanto las alturas (m ru a sin velocidad inicial
h0
S= S0 + 1. a.t2 )
2
r r = (V0 . t ) i + ( h0 - 1. g.t2 ) j (m)
2
y la velocidad se saca derivando: V = (V0 ) i +( -g.t ) j m/s
X
alcance 27

28. ALCANCE DEL PROYECTIL : es la distancia horizontal que recorre hasta llegar al suelo.
En el suelo la altura es cero luego y=0 entonces: 0 = h0 - 1. g.t2
2
sacando el valor de t es posible obtener el alcance X= V0. t
La trayectoria se obtiene del vector de posición despejando el tiempo de cada, ES
UNA TRAYECTORIA PARABÓLICA.
X = V0. t
X = t sustituyendo en y queda
V0
Y = h0 - 1. g.t2
2
Y = h0 - g . X 2
2 V02
Ecuación de la trayectoria
28

29. Fsica y Q ímica
í
ESTUDIO DEL LANZAMIENTO OBLICUO
u
24 1º B C IL E A O
AH LR T
Unas trayectorias muy comunes
1,4
1,2 → →
a =−g j
1
0,8
→
0,6 v01 →
v02 →
0,4 v03
0,2
αi
0
0 1 2 3 4 5 6
• Son las descritas, por ejemplo, por el lanzamiento de distintos proyectiles
disparados desde el suelo.
→
• Dependen de la velocidad inicial de salida v0 i y del ángulo de lanzamiento α i
29

30. Si el tiro es oblicuo hacia arriba el vector de posición entonces es:
Y V El vector de posición tiene:
1) componente x (m ru S = V. t avance del proyectil)
2)componente y donde se mide la caida y por lo
V0 tanto las alturas (m ru a S= S0 + V0. t + 1. a.t2 )
h V0y
máxima 2
V0x r = (V0X . t ) i + ( h0 + V0Y . t - 1. g.t2 ) j (m)
2
h0 y la velocidad se saca derivando:
r V = (V0X ) i + ( VoY - g.t ) j m/s
X
alcance
ALCANCE DEL PROYECTIL : es la distancia horizontal
que recorre hasta llegar al suelo. Al llegar al suelo la
VoX = V0. cos α altura es cero luego Y =0.
h0+V0Yt-1gt2=0
V0Y = V0. sen α 2
V0Y Resolviendo la ecuación de segundo grado se saca el
tiempo. El recorrido en horizontal es X y por tanto con el
α
valor de tiempo obtenido se saca X que es el alcance:
V0X X= V0X . t
30

31. La trayectoria se obtiene del vector de posición despejando el tiempo, ES UNA TRAYECTORIA
PARABÓLICA
X = V0X. t
X= t Y = h0 + V0Y . X - g . X 2
V0X V0X 2 V02
Y = h0 + V0Y. t - 1. g.t2 Ecuación de la trayectoria
2
La ALTURA MÁXIMA se obtiene teniendo en cuenta que en ese punto el vector
velocidad resulta horizontal luego la componente y de la velocidad es cero.
VoY - g.t = 0 de aquí sacamos el tiempo y para determinar la altura vamos a la
componente Y del vector de posición que mide las diferentes alturas e
introducimos el valor de tiempo obtenido :
Y = h0 + V0Y. t - 1. g.t2
2
31

32. Para un tiro oblicuo hacia abajo: V0X
α
V0Y
Y V0
V0x
V0y V0
El vector de posición tiene
r
h0 1)componente x (m r u S = V. t avance del proyectil)
2)componente y donde se mide la caida y por lo tanto las
alturas (m ru a S= S0 + V0. t + 1. a.t2 )
2
r = (V0X . t ) i + ( h0 -V 0Y . t - 1. g.t2 ) j (m)
alcance
2
la velocidad se saca derivando: V = (V0X ) i + ( -VoY - g.t ) j m/s
Y = h0 - V0Y . X - g . X 2
V0X 2 V02
Ecuación de la trayectoria
32