Las matrices se introdujeron en 1850 y se utilizan para resolver sistemas de ecuaciones lineales y en otras áreas como geometría y física. Existen diferentes tipos de matrices como cuadradas, triangulares, nulas y matrices inversas. Se pueden realizar operaciones con matrices como suma, producto por un escalar, producto de matrices y cálculo de la inversa. El rango de una matriz indica el número máximo de líneas linealmente independientes.

1. Introducción
Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe
al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir
un sistema de m ecuaciones lineales con nincógnitas.
Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones
diferenciales y de las derivadas parciales. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices
aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc...
La utilización de matrices (arrays) constituye actualmente una parte esencial dn los lenguajes de programación, ya que la
mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas : hojas de cálculo, bases de
datos
f
Cl asificación de matrices
Matriz fila
Una matriz fil a está con stituida p or un a sol a fil a.
Matriz column a
La matriz col um na tien e una sola column a
Matriz rectan gular
La matriz rectangular tien e distinto núme ro de filas que de col umn as, sie ndo sudime nsión mxn.
Matriz cuadrada
La matriz cuadrada tien e e l m ismo núme ro de filas que de col umn as.
Los el em entos de l a forma a i i con stituye n l a diagonal princip al.
La diag on al secun daria la form an los el em entos con i+j = n +1.
Matriz nula
En una matriz n ula todos l os elem en tos son ceros.
Matriz triang ul ar supe rior
En una matriz triang ul ar sup erior l os elem en tos situados por deb ajo de la diag on al prin cipal son ceros.
Matriz triang ul ar in fe rior
En una matriz triang ul ar inferior l os elem en tos situados por en cima de la diag on al princip al son ce ros.
Matriz diag on al
En una matriz diagonal todos l os elem en tos situados por en cima y p or de bajo de l a diagonal princip al son
nul os.
Matriz escalar

2. Una matriz e scal ar e s un a matriz diag on al en la que l os elem en tos de la diag on al princip al son ig uale s.
Matriz iden tidad o unidad
Una matriz ide ntidad e s un a matriz diag on al en la que l os elem en tos de la diag on al princip al son ig uale s a
1.
Matriz traspuesta
Dada una matriz A , se ll ama matriz trasp ue sta de A a la matriz q ue se obtie ne camb iando orden adam en te
las filas por las col um nas
Matriz regul ar
Una matriz regular e s un a matriz cuadrada q ue tien e inversa.
Matriz sing ul ar
Una matriz sin gular n o tien e matriz in ve rsa.
Matriz idem pote nte
Una matriz, A , es ide mpote nte si:
A2 = A.
Matriz in volutiva
Una matriz, A , es invol utiva si:
A 2 = I.
Matriz simé trica
Una matriz sim étrica es una matriz cuadrada que verifica:
A = At.
Matriz an tisimé trica o hem isim étrica
Una matriz antisim étrica o hemisimé trica es una matriz cuadrada que verifica:
A = -A t .
Matriz ortogonal
Una matriz e s ortogonal si ve rifica que :
A·A t = I.
Op eracione s con m atrice s
Sum a de matrices
Dadas dos matrices de la m isma dime nsión, A =( a i j ) y B =(b i j ), se defin e la matriz sum a como: A +B =( a i j +b i j ) .
La matriz sum a se obtie ne n sum an do los el emen tos de las dos matrice s que ocupan l a m isma mism a
posición .
Producto de un escalar por una matriz
Dada una matriz A =( a i j ) y un núme ro real k R, se defin e el producto de un núm ero real p or un a matriz: a
la matriz del mism o orde n q ue A, en la que cada el eme nto está m ultipl icado p or k.
kA =(k a i j )
Producto de matrice s
Dos matrices A y B son multipl icab le s si e l n úme ro de column as de A coincide con eln úm ero de fil as de B .

3. Mm x n x Mn x p = M m x p
El elem en to c i j de la matriz producto se obtie ne m ultipl ican do cada el em ento de l a fil a i de la matriz A por
cada elemen to de la column a j de la matriz B y sumándol os.
Matriz in ve rsa
El producto de un a matriz por su inversa e s ig ual al matriz ide ntidad.
A · A-1 = A-1 · A = I
Cálcul o de l a matriz in ve rsa p or el método de G auss
Sea A una matriz cuadrada de orde n n. Para calcul ar l a matriz in ve rsa de A, que de notare mos com o A - 1 ,
seguirem os los sig uien te s pasos:
1º Con struir un a matriz del tipo M = (A | I) , es decir, A e stá en la mitad izquie rda de M y la matriz
iden tidad I en la de re cha.
Considerem os un a matriz 3x 3 arbitraria
La ampl iamos con l a matriz iden tidad de orden 3.
2º U tilizando el mé todo Gauss vam os a transform ar la mitad izquie rda, A , en la m atriz iden tidad, que
ahora está a la de re cha, y la matriz q ue re sulte en el lado derecho será la matriz inversa: A - 1 .
F2 - F1
F3 + F2
F2 - F3
F1 + F2
(-1) F 2
La matriz inversa es:

4. Cálcul o de l a matriz in ve rsa p òr de te rm in an te s
Rang o de una matriz
Rang o de una matriz: es e l n úme ro de lín eas de esa matriz (fil as o column as) q ue son line alme nte
in depen dien te s.
Una línea e s lin ealme nte dep endie nte de otra u otras cuan do se puede establ ecer una comb in ación l ine al
entre el las.
Una línea e s lin ealme nte indep endie nte de otra u otras cuan do no se pue de e stab le ce r un a com binación
lin eal entre ell as.
El rang o de una matriz A se sim boliza: rang( A) o r( A).
Tamb ién p odem os de cir q ue el rang o es: el orde n de l a mayor sub matriz cuadrada n o nul a. U tilizando esta
definición se puede calcul ar el rango usando de te rm in antes.
Se puede cal cular el rang o de una matriz p or dos mé todos:
Cálcul o del rang o de una matriz por el mé todo de Gauss
Podemos descartar una lín ea si:
Todos sus coe ficien te s son ceros.
Hay dos lín eas ig uale s.
Una línea e s proporcional a otra.
Una línea e s comb in ación l ine al de otras.
F 3 = 2F 1
F 4 es nul a
F 5 = 2F 2 + F 1
r(A) = 2.
En general con siste en hace r nul as e l máxim o núm ero de lín eas posibl e, y e l rang o se rá e l n úme ro de filas
no nulas.
F 2 = F 2 - 3F 1
F 3 = F 3 - 2F 1
Por tan to r( A) = 3.