Notas de clase Algebra Lineal

Mis Notas de Clase
“Una experiencia de aula”
José Francisco Barros Troncoso
Algebra Lineal
Con aplicación a la economía y a la
administración
2015

Mis Notas de Clase José F. Barros Troncoso 2
Algebra Lineal
Con especial cariño a mi
madre Delva por su crianza, por la
semilla que sembraste en mí, a Lilia
mi esposa, por su apoyo, estimulo,
comprensión y sacrificio, a mis hijos
porque son la fuente de inspiración,
todas aquellas personas que han
creído en mi trabajo y que me han
dado la oportunidad de seguir
creciendo cada día y en especial a
mis estudiantes a quienes va
dirigido este trabajo y que son mis
verdaderos pares académicos.
Gracias
José Francisco Barros Troncoso
Mayo 18 de 2014

Algebra Lineal
TABLA DE CONTENIDO
ALGEBRA LINEAL .....................................................................................................................4
ARREGLO ...................................................................................................................................5
MATRICES..................................................................................................................................5
Suma y Diferencia de Matrices.................................................................................................9
Multiplicación de Matrices .....................................................................................................20
Multiplicación entre Matrices ................................................................................................27
REDUCCIÓN DE GAUSS-JORDAN ...........................................................................................44
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ .......................................................................................59
Determinante de una Matriz de orden 2...............................................................................59
Determinante de una Matriz de Orden 3 ..............................................................................60
Regla de Sarrus........................................................................................................................60
Solución de Sistema Lineales de Ecuaciones por Determinante.........................................61
Solución Matricial de un Sistemas de Ecuación lineal de 2x2 (Regla de Cramer).............61
Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales de 𝟑 × 𝟑 por determinante........................66
INVERSA DE UNA MATRIZ .....................................................................................................71
Inversa de una Matriz Cuadrada de Orden Superior a Dos .................................................71
ECUACIONES MATRICIALES ..................................................................................................75
APLICACIÓN DE LAS MATRICES EN LA ECONOMÍA............................................................76
Modelos de Entrada-Salida de Leontief ................................................................................76
Modelo de Salida o Cerrado de Leontief ...............................................................................89
DESIGUALDADES ....................................................................................................................98
INTERVALOS ...........................................................................................................................99
INECUACIONES LINEALES...................................................................................................100
SOLUCIÓN GRÁFICA DE UN SISTEMA DE DESIGUALDADES ............................................110
ESPACIOS VECTORIALES .....................................................................................................122
BIBLIOGRAFÍA.......................................................................................................................136
Web-Grafía.............................................................................................................................136

Algebra Lineal
ALGEBRA LINEAL
La palabra «álgebra» deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad ibn
Musa al-Jwarizmi, titulado Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala (en árabe ‫تاب‬ ‫ك‬ ‫بر‬ ‫ج‬ ‫ال‬ ‫لة‬ ‫قاب‬ ‫م‬ ‫)وال‬
(que significa "Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado"), el cual
proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales
y cuadráticas.
Etimológicamente, la palabra «álgebra» (también nombrado por los árabes Amucabala)
‫بر‬ ‫ج‬ (yebr) (al-dejaber), proviene por lo tanto del árabe y significa "reducción", operación
de cirugía por la cual se reducen los huesos luxados o fraccionados (algebrista era el
médico reparador de huesos).
El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores,
matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios
vectoriales, y transformaciones lineales.
Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las matemáticas
como análisis funcional, ecuaciones diferenciales, investigación de operaciones, gráficas
por computadora, ingeniería, etc.
La historia del álgebra lineal moderna se remonta a los años de 1843 cuando William
Rowan Hamilton (de quien proviene el uso del término vector) creó los cuaterniones; y de
1844 cuando Hermann Grassmann publicó su libro Die lineale Ausdehnungslehre.
Ejemplo de Aplicación del Algebra Lineal
1. Una empresa puede recopilar y almacenar o analizar varios tipos de datos como parte
regular de sus procedimientos de registros. Es posible presentar los datos en forma
tabular. Por ejemplo un contratista de una construcción que construye diferentes
estilos de casa puede catalogar el número de unidades de ciertos materiales necesarios
para construir cada estilo de casa en una tabla de datos así:
De acuerdo a la información suministrada responda
Materiales Rancho Colonial Clásica
Madera 28 35 23
Tablas 34 19 25
Techado 12 25 27

Algebra Lineal
¿Cuál es el tipo de vivienda que más necesita material?
¿Cuál es el tipo de vivienda que más necesita madera?
¿Cuál es el material que más se gasta?
2. El presupuesto anual de una compañía tiene los siguientes gastos, en miles de
dólares, en los departamentos seleccionados.
Rubro Departamento
Manufac
Oficina
Venta
Distribución
Contabilidad
Admón
Abastecimiento 0.7 8.5 10.2 1.1 5.6 3.6
Teléfono 0.5 0.2 6.1 1.3 0.2 1
Transporte 2.2 0.4 8.8 1.2 1.2 4.8
Salarios 251.8 63.4 81.6 35.2 54.3 144.2
Servicios 30 1 1 1 1 1
Materiales 788 0 0 0 0 0
¿Cuáles fueron los departamentos de menor y mayor gasto? ¿Cuáles fueron los rubros
de menor y mayor gasto?
ARREGLO
Conjunto o agrupación de variables o cantidades de la misma estructura cuyas
posiciones se referencian por medio de sub-índices. Existen arreglos unidimensionales
denominados vectores, los bidimensionales llamados matrices y los multidimensionales.
El subíndice es un entero que indica la posición de un elemento del arreglo. El Rango es el
número de elementos del arreglo.
MATRICES
Es un arreglo rectangular de datos. Las matrices se clasifican en filas y columnas. En la
matriz A que representa el ejemplo del número de unidades de ciertos materiales
necesarios para construir cada estilo de casa, las filas corresponden a los tipos de
materiales y las columnas a los de vivienda.
Columna 1 Columna 2 Columna 3

Algebra Lineal
A=
Una matriz A de m fila y n columnas se dice una matriz de mxn dicho número indica el
tamaño de la matriz y el número de elementos que esta contiene, se puede representar:
𝐴 =
[
𝑎1,1 𝑎1,2 𝑎1,3 … 𝑎1,𝑛
𝑎2,1 𝑎2,2 𝑎2,3 … 𝑎2,𝑛
𝑎3,1 𝑎3,2 𝑎3,3 … 𝑎3,𝑛
: : : … :
𝑎 𝑚,1 𝑎 𝑚,2 𝑎 𝑚,3 … 𝑎1𝑚,𝑛]
Cada elemento aij de A está ubicado en la fila i columna j. Los sub-indices indican la
posición del elemento en la matriz. Una matriz de n filas y n columnas se dice una matriz
cuadrada de orden n.
Consideremos la matriz B de orden 4:
a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
A31 A32 A33 A34
A41 A42 A43 A44
TIPOS DE MATRICES
Matrices Equidimensionales: Son las que tienen el mismo tamaño
Matrices Iguales: Son las que sus elementos correspondientes son iguales
Atendiendo a la forma
Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden
1xn.
A = (a1, a2, a3,…, an)
28 35 23 Fila 1
34 19 25 Fila 2
12 25 27 Fila 3
DIAGONAL
PRINCIPAL
DIAGONAL
SECUNDARIA
TRIANGULAR
SUPERIOR
TRIANGULAR
INFERIOR

Algebra Lineal
Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es
de orden mx1.
A =
Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por At, a
la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera
fila de At, la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.
De la definición se deduce que si A es de orden mxn, entonces At es de orden nxm.
Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = At, es decir, si aij = aji " i, j.
Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –At, es decir, si
aij = –aji " i, j.
Atendiendo a los elementos
a1
a2
a3
an

Algebra Lineal
Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0.
Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no
pertenecientes a la diagonal principal son nulos.
Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales.
Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal
principal iguales a 1.
Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que
están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de
dos tipos:
Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son
todos nulos. Es decir, aij =0 " i<j.
Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son
todos nulos. Es decir, aij =0 "j<i.
Ejercicio
Escriba una matriz A de orden 4






jisiji
jisiji
aij
2

Algebra Lineal
Suma y Diferencia de Matrices
La suma de dos matrices A= (aij), B= (bij) equidimensionales, es otra matriz S=(sij) de la
misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por tanto, para
poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.
La suma de las matrices A y B se denota por A+B.
Propiedades de la suma de matrices
1. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)
2. A + B = B + A (propiedad conmutativa)
3. A + 0 = A (0 es la matriz nula)
4. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe
el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.
La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B)
Ejercicio
1. Sean
A= B= C=
Hallar:
a. La traspuesta de A
b. A + B
c. ( 𝐴 + 𝐵) 𝑡
d. C – B
e. A + C – B
f. Halle la matriz D tal que al sumarla con C obtenemos una matriz nula
1 3 5
3 8 7
3 6 1
2 0 1
2 0 6
3 -2 -1

Algebra Lineal
2. Dadas las matrices:
𝐴 = [
2 0 1
3 0 0
5 1 1
] 𝑦 𝐵 = [
1 0 1
1 2 1
1 1 0
]
Calcular: A + B; A - B; At; Bt.
3. Sean las matrices:
𝐴 = [
−2 0 1
0 1 0
] 𝑦 𝐵 = [
1 0
1 2
0 −1
]
Compruebe que 𝐴 + 𝐵 𝑡
= ( 𝐴 𝑡
+ 𝐵) 𝑡
4. Ejercicio encuentre w, x, y y z si:
a. [
𝑥 4
4𝑦 𝑤
] + [
−4𝑥 2𝑧
−3 −2𝑤
] = [
12 8
𝑦 6
]
b. [
2𝑥 −𝑦
𝑧 3𝑤
] + [
𝑥 3𝑦
2𝑧 −2𝑤
] = [
6 −8
−3 1
]
c. [
𝑥 −2
3 𝑦
] + [
−2 𝑧
−1 2
] = [
4 −2
2𝑤 4
]
5. Dadas las matrices
𝐴 = [
1 2 3
−1 0 2
] 𝑦 𝐵 = [
−1 5 −2
2 2 −1
]
Hallar A + B, A – B, B - A
6. Dadas las matrices A, B y C hallar p, q, r, s, t y u de tal manera que A + B + D = 0
𝐴 = [
1 2
3 4
5 6
] 𝐵 = [
−3 −2
1 −5
4 3
] 𝐷 = [
𝑝 𝑞
𝑟 𝑠
𝑡 𝑢
]
http://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap1/ejer5.html
7. Determine los valores de las variables para las cuales las ecuaciones matriciales son
validas

Algebra Lineal
[
𝑥 3 4
2 −1 𝑦
1 𝑧 𝑧
] + [
1 𝑡 −1
3 4 𝑥
𝑢 𝑦 𝑠
] = [
2 7 𝑣 + 1
5 𝑤 − 2 3
0 5 𝑢
]
8. Determine los valores de las variables para las cuales las ecuaciones matriciales son
validas
[
𝑎 4𝑏
𝑐 3𝑑
𝑒 2𝑓
] + 2 [
1 −2
−1 3
2𝑒 𝑎
] = 3 [
−1 −4
1 −2
𝑎 𝑏
]
𝐴 = [
1 −2 3 5
−2 2 −1 1
3 −1 3 −1
5 1 −1 1
] 𝐵 = [
1 2 1 −1
−2 1 3 4
−1 −3 1 1
1 −4 −1 1
]
𝐶 = [
1 0 1
2 1 −1
−2 1 2
1 −2 0
] 𝐷 = [
1 2
0 −1
−2 0
2 1
]
a. ¿Cuáles son los tamaños de cada una de las matrices?
b. ¿Cuáles son cuadradas?
c. De las matrices cuadradas indicar los elementos de la diagonal principal,
secundaria, triangular superior e inferior de cada una.
d. ¿Cuáles son los elementos: A[3,2], B[2,3], C[4,1], D[1,3] y B[3,4]
e. Escribe la traspuesta de C
f. ¿Alguna de las matrices es simétrica, antisimétrica, nula, diagonal, escalar?
¿cuál? ¿por qué?
g. Calcule A+B
10. Sea A la matriz de tamaño 3x2, dada por la expresión Aij=B2i-j. La matriz
correspondiente a esta relación, es
𝐴. [
1 0
3 2
5 4
] 𝐵 = [
1 1
3 2
5 4
] 𝐶 = [
1 0
3 2
5 3
] 𝐷 = [
1 0
3 2
4 5
]
Tecnología: En la página www.macstat.org encuentra el instalador y el manual de un
software MacStat 2.5 beta que permite realizar operaciones con matrices como; suma,

Algebra Lineal
resta, multiplicación, obtención de determinantes, transpuestas, adjuntas e inversas.
Recomiendo dicha herramienta para verificar los resultados de los ejercicios que usted
indague por bibliografía o web-grafía.
http://ima.ucv.cl/hipertexto/alineal/cap1/ejer5.html
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/matrices/ejercicios.htm
Problemas de Aplicación
1. Suponga que en un organismo del estado la información fluye constantemente entre
oficinas de acuerdo con el siguiente diagrama
a. Construya la matriz A con los elementos
1 Si el flujo de información fluye directamente de i a j
aij
0 Si el flujo de la información no fluye directamente de i a j
b. Construya una matriz B con los elementos
1 Si la información fluye de i a j a través de no más de un intermediario, con
i≠j
aij
0 En caso contrario
c. La persona de la oficina i tiene mayor poder de influencia si la suma de los elemento
de la fila i en la matriz A+B es la mayor ¿cuál es el número de la oficina de esta
persona?
2. La administración trata de identificar a la persona más activa en los esfuerzos
laborales para la sindicalización. El siguiente diagrama muestra como fluye la
influencia de empleado hacia otro entre los cuatro empleados más activos
1 2
5
3 4
1 2
3 4

Algebra Lineal
a. Construya la matriz A con los elementos
1 Si i fluye directamente a j
aij
0 de otra manera
b. Construya una matriz B con los elementos
1 Si i fluye a j a través de no más de un 1 persona, con i≠j
aij
0 En caso contrario
c. La persona i es más activa en la influencia con otras si la suma de los elementos de
la fila i de la matriz A +B es la más grande ¿quién es la persona más activa?
3. Una fábrica produce tres tipos de productos, A, B y C, que distribuye a cuatro clientes.
En el mes de enero el primer cliente compró 9 unidades de A, 5 de B y 2 de C; el segundo
cliente, 3 unidades de A, 8 de B y ninguna de C; el tercer cliente no compró nada y el
cuarto cliente compró 6 de A, 7 de B y 1 de C. En el mes de febrero, el primer cliente y
el segundo duplicaron el número de unidades que habían comprado en enero; el tercer
cliente compró 4 unidades de cada artículo, y el cuarto cliente no hizo pedido alguno.
a. Construye las matrices correspondientes a las ventas de enero y febrero.
b. ¿cuál fue el producto que incremento más la venta en febrero?
c. Halla la matriz correspondiente a las ventas de enero y febrero.
a. Las matrices de enero y febrero serían
𝐸 𝑛𝑒𝑟𝑜 = [
𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4
𝐴 9 3 0 6
𝐵 5 8 0 7
𝐶 2 0 0 1
] ; 𝐹𝑒𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜 = [
𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4
𝐴 18 6 4 0
𝐵 10 16 4 0
𝐶 4 0 4 0
]
b. Para saber cuál fue el producto que incremento más su venta en febrero se tiene que
sumar las ventas de cada producto en los dos meses

Algebra Lineal
𝐸 𝑛𝑒𝑟𝑜 = [
𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4
𝐴 9 3 0 6
𝐵 5 8 0 7
𝐶 2 0 0 1
]
𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎
18
20
3
; 𝐹𝑒𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜 = [
𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4
𝐴 18 6 4 0
𝐵 10 16 4 0
𝐶 4 0 4 0
]
𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎
28
30
8
Los productos A y B incrementaron la venta en la misma cantidad
c. Las ventas de los dos meses fueron
𝐸 𝑛𝑒𝑟𝑜 + 𝐹𝑒𝑏𝑟𝑒𝑟𝑜 = [
𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4
𝐴 27 9 4 6
𝐵 15 24 4 7
𝐶 6 0 4 1
]
4. Cierta compañía tiene sus reportes de ventas mensuales dados por medio de matrices
cuyas filas, en orden representan el número de modelos regular, de lujo y de extra lujo
vendidos, mientras que las columnas dan el número de unidades rojas, blancas, azules
y amarillas vendidas. Las matrices para enero (E) y febrero (F) son
𝐸 = [
2 6 1 2
0 1 3 5
2 7 9 0
] , 𝐹 = [
0 2 8 4
2 3 3 2
4 0 2 6
]
a. Se pregunta: ¿Cuántas unidades de modelos extra lujos se vendieron? ¿En qué mes
se vendieron más modelos regulares amarillos? ¿De qué modelo y color se vendió
el mismo número de unidades en ambos meses? ¿Cuántos artículos se vendieron
en enero?
b. F – E ¿Qué encuentra?
5. Una empresa que fabrica televisores produce tres modelos con distintas
características en tres tamaños diferentes. La capacidad de producción (en miles) en
su planta número uno está dada por la matriz A.
𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝐼 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝐼𝐼 𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝐼𝐼𝐼
𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 1 (20´) 5 3 2
𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 2 (23´) 7 4 5
𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 3 (26´) 10 8 4
La capacidad de producción de la planta número 2 está dada por la matriz
𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 1 (20´) 4 5 3
𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 2 (23´) 9 6 4
𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 3 (26´) 8 12 2

Algebra Lineal
¿Cuál es la capacidad de producción total en las dos plantas? ¿Cuáles son los modelos
que más y menos se producen en las dos plantas? ¿Cuáles son los tamaños de televisor
que más y menos se producen en las dos plantas?
6. Un fabricante de zapatos los produce de color negro blanco, y café para niños damas
y caballeros. La capacidad de producción (en miles de pares) en la planta 1 está dada
la siguiente matriz
Hombres Mujeres Niños
Negro 30 34 20
Café 45 20 16
Blanco 14 26 25
La producción en la planta 2 está dada por
Negro 35 30 26
Café 52 25 18
Blanco 23 24 32
Determine la producción matricial de la producción total de cada tipo de zapato en
ambas plantas
7. Una compañía que fabrica televisores LCD, PLASMA y 3D en dos plantas, A y B. La
matriz X representa la producción de las dos plantas en el mes de enero y la matriz Y
la producción de las dos plantas para el mes de febrero. Las matrices X y Y son como
sigue
A B A B
LCD 20 40 LCD 28 35
X= PLASMA 45 30 Y= PLASMA 40 25
3D 15 10 3D 25 18
a. Calcule Y – X
b. De a. responda:
 ¿Qué pasa con la producción de televisores durante los dos meses?
 ¿Qué pasa con la producción de las plantas durante los dos meses?
8. Un agricultor que posee tres fincas, muestra en el siguiente cuadro las pérdidas o
ganancias de sus productos, medidas en toneladas, en los dos últimos años:

Algebra Lineal
Trigo Arroz Frijol Maíz Café
Finca 1 -0,5 10 3 7 2
A2009= Finca 2 -3 0,6 0 12 -1
Finca 3 4 -2 -1 15 13
Trigo Arroz Frijol Maíz Café
Finca 1 3 2 -4 3 5
A2010= Finca 2 1,6 1 -2 0 4
Finca 3 8 -3 4 7 10
a. ¿Cuál considera usted fue el mejor año para el agricultor? ¿por qué?
b. Calcule A2009 + 2010
c. ¿Cuál fue la finca que arroja mayores ganancias y cuál la que arrojo mayores
pérdidas? En los dos años
d. ¿Cuál fue el producto que arroja mayores ganancias y cuál la que arrojo mayores
pérdidas? En los dos años
e. ¿Cuál fue el producto y en que finca que arrojo más ganancias? y ¿Cuál fue el
producto y en que finca que arrojo más perdidas? En los dos años
9. Las exportaciones, en millones de euros, de 3 países A, B, C a otros tres X, Y, Z, en los
años 2009 y 2010 vienen dadas por las matrices:
X Y Z
A 11 6,7 0,5
A2009= B 14,5 10 1,2
C 20,9 3,2 2,3
X Y Z
A 13,3 7 1
A2010= B 15,7 11,1 3,2
C 21 0,2 4,3
a. Calcula y expresa en un matriz B el total de exportaciones para el conjunto de
los dos años.
b. Si se proyecta para el 2011 un incremento en las exportaciones en un 6% halla
el escalar y la nueva matriz con dicho incremento
c. Calcule e indique el país que más exportaría en el 2011
10. Una compañía de artículos electrónicos fabrica TV, VCR y reproductores de CD en dos
plantas, A y B. La matriz X representa la producción de las dos plantas para el
minorista X, y la matriz Y la producción de las dos plantas para el minorista Y. Escriba
una matriz que represente la producción total en las dos plantas para ambos
minoristas. Las matrices X y Y son como sigue

Algebra Lineal
A B A B
TV 20 40 TV 20 40
X= VCR 45 30 y= VCR 45 30
CD 15 10 CD 15 10
11. El inventario de la librería universitaria es:
Pasta dura: libros de texto, 5280; ficción, 1680; no ficción, 2320; consultas, 1890.
Rústica: ficción, 2810; no ficción, 1490; consultas, 2070; libros de texto, 1940.
El inventario de la librería académica es:
Pasta dura: libros de texto, 6340; ficción, 2220; no ficción, 1790; consultas, 1980.
Rústica: no ficción, 1720; ficción, 3100; libros de texto, 2050; consultas, 2710.
a. Represente el inventario de la librería universitaria como una matriz A.
b. Represente el inventario de la librería académica como una matriz B.
c. Si las dos librerías deciden unirse, escriba una matriz C que represente el inventario
total de la nueva empresa.
12. La matriz A representa las cantidades de tres tipos de cuentas bancarias existentes
hasta el primero de enero en un banco
Cuentas
Corrientes Ahorro Depósito
Principal 2820 1470 1120
A= Sucursal uno 1030 520 480
Sucursal dos 1170 540 460
La matriz B representa los números y tipos de cuentas abiertas durante el primer
trimestre del año y la matriz C se refiere a los números y tipos de cuentas cerradas
durante el mismo periodo. Así
𝐵 = [
260 120 110
140 60 50
120 70 50
] 𝑦 𝐶 = [
120 80 80
70 30 40
60 20 40
]
Encuentre la matriz D que represente el número de cada tipo de cuenta al final del
primer trimestre en cada local.

Algebra Lineal
13. Suponga que la matriz A representa las ventas (en miles de millones de pesos) de una
compañía en el 2006 en varias ciudades y que la matriz B representa las ventas (en
miles de millones de pesos) para la misma compañía en el 2007 en las mismas
ciudades.
𝐴 = ⌈
𝐵𝑜𝑔𝑜𝑡á 𝑀𝑒𝑑𝑒𝑙𝑙í𝑛 𝐶𝑎𝑙𝑖
450 280 850
400 350 150
⌉
𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑜
𝑀𝑒𝑛𝑢𝑑𝑒𝑜
𝐵 ⌈
𝐵𝑜𝑔𝑜𝑡á 𝑀𝑒𝑑𝑒𝑙𝑙í𝑛 𝐶𝑎𝑙𝑖
375 300 710
410 300 200
⌉
𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑜
𝑀𝑒𝑛𝑢𝑑𝑒𝑜
a. Escriba la matriz que representa el total de ventas por tipo y ciudad para ambos
años.
b. Escriba la matriz que representa el cambio en ventas por tipo y por ciudad de 2007
a 2006.
c. Determine cuáles son las ciudades de mayor venta al por mayor y la de mayor venta
al menudeo
14. A partir de los datos de las siguientes tabla:
Importaciones
PAISES 83 84 85
Desarrollados 122 822 135 884 134 018
En vías de desarrollo 72 342 74 421 72 673
Comunistas 5 085 7 214 7 091
Otros 289 369 365
Exportaciones
PAISES 83 84 85
Desarrollados 152 117 200 714 223 314
En vías de desarrollo 102 266 119 790 116 161
Comunistas 3 604 5 221 5 801
Otros 1 1 0
a. Elabore una matriz A que dé el valor (en millones de dólares) de las
importaciones de diversas agrupaciones de países en los años 1983-1985
b. Elabore una matriz B que dé el valor (en millones de dólares) de las
exportaciones de las mismas agrupaciones en los mismos años.
c. Encuentre la balanza comercial para cada agrupación de países en cada año
encontrando B – A

Algebra Lineal
d. Haga un análisis de la matriz resultante
http://fresno.pntic.mec.es/~jvaamond/rango.htm
15. Durante el 2012 y 2013 una fábrica distribuyó sus excedentes en tres productos
alimenticios 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶 a cuatro países de África 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3 𝑦 𝑃4 según se describen en las
matrices 𝑀2012 y 𝑀2013 (cantidades en toneladas).
𝑀2012 =
𝑃1
𝑃2
𝑃3
𝑃4
[
𝐴 𝐵 𝐶
200 100 120
110 130 200
220 200 100
150 160 150]
; 𝑀2013 =
𝑃1
𝑃2
𝑃3
𝑃4
[
𝐴 𝐵 𝐶
250 120 120
110 110 200
250 200 100
170 150 100]
Se pregunta
a. ¿En qué año se distribuyeron más excedentes? ¿Cuál fue el país que recibió más
excedentes durante los dos años? ¿Cuál fue el país que recibió igual cantidad del
mismo producto durante los dos años?
b. Calcule 𝑀2013 − 𝑀2012 ¿qué encuentra?

Algebra Lineal
Multiplicación de Matrices
Producto de una matriz por un Escalar
Para multiplicar una matriz por un escalar, se multiplica el escalar por cada elemento de
la matriz
Ejercicio:
1. 5 × [
3 2
4 1
6 9
] = [
15 10
20 5
30 45
]
2. 0.5 × [
−2 3 0
6 −1 4
] = [
−1 1.5 0
3 −0.5 2
]
3. Obtener las matrices 𝐴 y 𝐵 que verifiquen el sistema:
2𝐴 + 𝐵 = [
1 2 2
−2 1 0
] ①
𝐴 − 3𝐵 = [
−4 −3 −2
−1 0 −1
] ②
Multiplicamos la matriz ① por 3:
3 × (2𝐴 + 𝐵) = 3 × [
1 2 2
−2 1 0
]
6𝐴 + 3𝐵 = [
3 6 6
−6 3 0
] ③
Sumando ② y ③
7𝐴 = [
−1 3 4
−7 3 −1
]
Multiplicamos por 1/7
1
7
× 7𝐴 =
1
7
× [
−1 3 4
−7 3 −1
]
𝐴 = [
−1/7 3/7 4/7
−1 3/7 −1/7
]

Algebra Lineal
En la ecuación ① restamos 2𝐴 en ambos lados de la igualdad
−2𝐴 + 2𝐴 + 𝐵 = −2𝐴 + [
1 2 2
−2 1 0
]
𝐵 = −2𝐴 + [
1 2 2
−2 1 0
]
Remplazando A:
𝐵 = −2 × [
−1/7 3/7 4/7
−1 3/7 −1/7
] + [
1 2 2
−2 1 0
]
𝐵 = [
2/7 −6/7 −8/7
2 −6/7 2/7
] + [
1 2 2
−2 1 0
]
𝐵 = [
9/7 8/7 6/7
0 1/7 2/7
]
Luego
𝐴 = [
−1/7 3/7 4/7
−1 3/7 −1/7
] 𝑦 𝐵 = [
9/7 8/7 6/7
0 1/7 2/7
]
Veámoslo
En ①
2𝐴 + 𝐵 = [
1 2 2
−2 1 0
]
2 [
−1/7 3/7 4/7
−1 3/7 −1/7
] + [
9/7 8/7 6/7
0 1/7 2/7
] = [
1 2 2
−2 1 0
]
[
−2/7 6/7 8/7
−2 6/7 −2/7
] + [
9/7 8/7 6/7
0 1/7 2/7
] = [
1 2 2
−2 1 0
]
[
7/7 14/7 14/7
−2 7/7 0
] = [
1 2 2
−2 1 0
]

Algebra Lineal
[
1 2 2
−2 1 0
] = [
1 2 2
−2 1 0
]
En ②
𝐴 − 3𝐵 = [
−4 −3 −2
−1 0 −1
]
[
−1/7 3/7 4/7
−1 3/7 −1/7
] − 3 [
9/7 8/7 6/7
0 1/7 2/7
] = [
−4 −3 −2
−1 0 −1
]
[
−1/7 3/7 4/7
−1 3/7 −1/7
] − [
27/7 24/7 18/7
0 3/7 6/7
] = [
−4 −3 −2
−1 0 −1
]
[
−28/7 −21/7 −14/7
−1 0 −7/7
] = [
−4 −3 −2
−1 0 −1
]
[
−4 −3 −2
−1 0 −1
] = [
−4 −3 −2
−1 0 −1
]
4. Encontrar el valor de las variables si
a. [
1 𝑥
2𝑦 −3
] − 4 [
2 −2
0 3
] = [
3𝑧 10
4 −𝑤
]
b. [
1 2
3 4
𝑥 −1
] − 3 [
𝑦 − 1 2
1 2
4 2𝑧 + 1
] = 2 [
−4 −𝑤
0 −1
4 4
]
c. 3[
𝑥 1 −1
0 −2 3
1 𝑦 2
] + 2 [
−2 𝑡 0
𝑧 1 −1
𝑢 2 𝑣
] = [
−4 1 −𝑣
4 2𝑢 𝑤
−1 7 12
]
𝐴 = [
1 2 3
−1 0 2
] 𝑦 𝐵 = [
−1 5 −2
2 2 −1
]
Hallar A - 2B

Algebra Lineal
𝐴 = [
2 1 −3
5 2 0
−3 1 −4
] 𝐵 = [
6 2 −1
0 1 −2
0 1 0
] 𝐶 = [
4 1 2
0 3 2
1 −2 3
]
Determinar tal que 2𝐴 + 3𝑋 = (12𝐶) × (23𝐵)
5. Una empresa que fabrica televisores produce tres modelos con distintas
características en tres tamaños diferentes. La capacidad de producción (en miles) en
su planta número uno está dada por la matriz A.
𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 1 (20´) 5 3 2
𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 2 (23´) 7 4 5
𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 3 (26´) 10 8 4
La capacidad de producción de la planta número 2 está dada por la matriz
𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 1 (20´) 4 5 3
𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 2 (23´) 9 6 4
𝑇𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 3 (26´) 8 12 2
Si la empresa decide incrementar su producción en la planta número uno en un 20 % y
disminuir la producción de la planta en un 15%. Encuentre el escalar y las nuevas matrices.
6. Un fabricante de zapatos los produce de color negro blanco, y café para niños damas y
caballeros. La capacidad de producción (en miles de pares) en la planta 1 está dada la
siguiente matriz
Negro 30 34 20
Café 45 20 16
Blanco 14 26 25
La producción en la planta 2 está dada por
Negro 35 30 26
Café 52 25 18
Blanco 23 24 32

Algebra Lineal
a. Si la producción de la planta 1 se incrementa en un 50% y la producción de la
planta 2 disminuye un 25% de la encuentre los escalares, las nuevas matrices.
b. Determine la diferencia de producción total antes y después en ambas plantas
7. Una compañía que fabrica televisores LCD, PLASMA y 3D en dos plantas, A y B. La matriz
X representa la producción de las dos plantas en el mes de febrero
A B
LCD 20 40
X= PLASMA 45 30
3D 15 10
a. Por la diminución en las ventas la dirección establece para marzo una disminución
en la producción 25% respecto al mes de febrero, halle el escalar y la matriz de
producción proyectada para marzo.
b. Por el incremento en las ventas la dirección establece para abril un incremento en
la producción del 35% respecto al mes de febrero, halle el escalar y la matriz de
producción proyectada para abril.
8. La siguiente tabla muestra el presupuesto del gasto anual de una compañía, en miles de
dólares, en los departamentos seleccionados.
Rubro Departamento
Manufac
Oficina
Venta
Distribución
Contabilidad
Admón
Abastecimiento 0.7 8.5 10.2 1.1 5.6 3.6
Teléfono 0.5 0.2 6.1 1.3 0.2 1
Transporte 2.2 0.4 8.8 1.2 1.2 4.8
Salarios 251.8 63.4 81.6 35.2 54.3 144.2

Algebra Lineal
Encuentre el escalar y la matriz presupuesto para los siguientes cambios en el
presupuesto: a) Un decremento de 5% b) Un incremento del 8%
9. Una cadena de tiendas de electrónica tiene dos distribuidores. En mayo las ventas de
los televisores, DVD y equipos de sonidos estuvo dada por
Distribuidor TV DVD E Sonido
A 22 34 16
B 14 40 20
a. Si la dirección establece ventas objetivo para junio de un 25% de aumento sobre las
ventas de mayo, halle el escalar y las ventas proyectadas para junio.
b. Si la dirección establece ventas objetivo para julio de un 15% de disminución sobre
las ventas de junio, halle el escalar y las ventas proyectadas para julio.
10. Una cuenta de gastos de un asociado de ventas para la primera semana de cierto mes
tiene los gastos diarios ( en dólares) que se muestran en la matriz A
𝐴 =
[
𝐶𝑜𝑚𝑖𝑑𝑎𝑠 𝐻𝑜𝑠𝑝𝑒𝑑𝑎𝑗𝑒 𝑉𝑖𝑎𝑗𝑒𝑠 𝑂𝑡𝑟𝑜𝑠
22 40 100 5 𝐿𝑢𝑛𝑒𝑠
20 40 20 0 𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠
28 70 45 0 𝑀𝑖𝑒𝑟𝑐𝑜𝑙𝑒𝑠
15 70 20 10 𝐽𝑢𝑒𝑣𝑒𝑠
20 0 100 5 𝑉𝑖𝑒𝑟𝑛𝑒𝑠 ]
a. El asociado encuentra que el asociado de la segunda semana son 5% mayores (en
cada categoría) que en la primera semana. Encuentre la matriz de gastos de la
segunda semana.
b. Encuentre la matriz de gastos para la tercera semana si los gastos para esa semana
son 4% menores (en cada categoría) de lo que fue en la segunda semana.
11. El inventario total de una librería universitaria es:
Libros de Texto Ficción No Ficción Consultas
Pasta Dura 11620 3900 4110 3870
Pasta Rústica 486 4590 3790 4680

Algebra Lineal
Debido a la apertura de una universidad en las cercanías se decide incrementar el
inventario en un 12%. Halle el escalar por el cual se debe multiplicar la matriz C y
escribir una matriz D con el nuevo inventario, redondeando cada cifra al entero más
cercano.
12. La matriz A representa las cantidades de tres tipos de cuentas bancarias existentes
en el primer trimestre del año en un banco
Cuentas
Corrientes Ahorro Depósito
Principal 2960 1510 1150
A= Sucursal uno 1100 540 490
Sucursal dos 1230 590 470
Se prevé que para el segundo trimestre se incrementara el número de cuentas en un
15%. Encuentre el escalar por el que se debe multiplicar la matriz D para que se refleje
el incremento previsto y escriba la matriz resultante.
13. Una compañía de inversiones vende tres tipos de fondos de inversión, estándar (E),
de lujo (D) y Gold Star (G). Cada unidad de E tiene 12 acciones tipo A, 16 tipo B y 8
tipo C. Cada unidad de D tiene 20 acciones tipo A, 12 B y 28 C. Cada unidad de G tiene
32 acciones tipo A, 28 B y 36 C.
a. Represente la información en forma de matriz.
b. Debido a una crisis en la bolsa se proyecta un disminución de las acciones en un
12%, calcule el escalar y la nueva matriz.
14. Cierta compañía tiene sus reportes de ventas mensuales dados por medio de matrices
cuyas filas, en orden representan el número de modelos regular, de lujo y de extra lujo
vendidos, mientras que las columnas dan el número de unidades rojas, blancas, azules
y amarillas vendidas. Las matrices para enero (E) y febrero (F) son
𝐸 = [
2 6 1 2
0 1 3 5
2 7 9 0
] , 𝐹 = [
0 2 8 4
2 3 3 2
4 0 2 6
]
a. El administrador pronostica una disminución de las ventas para el mes de marzo
del 35%, halle el escalar y la nueva matriz del mes correspondiente.
b. El administrador pronostica un incremento de las ventas para el mes de abril del
45%, halle el escalar y la nueva matriz del mes correspondiente.

Algebra Lineal
Multiplicación entre Matrices
En el caso de la multiplicación de matrices, para que dicha operación pueda realizase, se
requiere que el número de columnas de la primera matriz sea igual al de filas de la segunda
matriz.
Gráficamente
Si A y B son matrices el producto matricial A x B es posible si:
fA x cB x fB x cB = fA x cB
Si dicha condición se cumple, entonces se puede concebir que cada elemento de la
multiplicación sea resultado de aplicar de la siguiente fórmula:
, donde A y B son las matrices a multiplicar, C es la matriz donde se guarda el resultado y
C[i,j] es un elemento de la matriz C. Nótese el uso del elemento k. El elemento k es un
entero que sirve como contador de las columnas en la matriz A y como contador de filas
en la matriz C. Para ilustrar un poco es el proceso, se tienen las siguientes matrices:
A B C
1 2 3 4 1 5 10 30 70 120
5 6 7 8 X 2 6 11 = 70 174 304
9 10 11 12 3 7 12 110 278 488
4 8 13
Si se desea obtener el elemento C[2,2] de la matriz C, se tienen que efectuar las siguientes
operaciones:
C[2,2] = A[2,1] * B[1,2] = 5 * 5
A[2,2] * B[2,2] = 6 * 6
A[2,3] * B[3,2] = 7 * 7
A[2,4] * B[4,2] = 8 * 8
Suma: 174
Ejercicios:
=

Algebra Lineal
𝐴 = [
2 3
1 4
5 1
] 𝐵 = [
1 2 3
4 5 6
] → 𝐴. 𝐵 = [
2 3
1 4
5 1
] [
1 2 3
4 5 6
]
= [
2𝑥1 + 3𝑥4 2𝑥2 + 3𝑥5 2𝑥3 + 3𝑥6
1𝑥1 + 4𝑥4 1𝑥2 + 4𝑥5 1𝑥3 + 4𝑥6
5𝑥1 + 1𝑥4 5𝑥2 + 1𝑥5 5𝑥3 + 1𝑥6
] = [
2 + 12 4 + 15 6 + 18
1 + 16 2 + 20 3 + 24
5 + 4 10 + 5 15 + 6
] = [
14 19 24
17 22 27
9 15 21
]
𝐴 = [
2 −3 −5
−1 4 5
1 −3 −4
] 𝐵 = [
−1
3
−2
] → 𝐴. 𝐵 = [
2 −3 −5
−1 4 5
1 −3 −4
] [
−1
3
−2
]
= [
2𝑥(−1) + (−3) 𝑥3 + (−5) 𝑥(−2)
(−1) 𝑥(−1) + 4𝑥3 + 5𝑥(−2)
1𝑥(−1) + (−3) 𝑥3 + (−4) 𝑥(−2)
] = [
−2 − 9 + 10
1 + 12 − 10
−1 − 9 + 8
] = [
−1
3
−2
]
3. Calcular
[
2 −1 0 1
3 −2 1 1
] × [
3 1 2
1 −2 3
−2 3 1
1 2 1
]
4. Dadas las matices:
𝐴 = [
1 2 0
5 − 3 4
] 𝐵 = [
−2 5 6
2 0 − 1
] 𝐶 = [
1 0 1 7
5 3 5 − 2
2 4 3 2
]
Verifique que se cumple:
( 𝐴 + 𝐵) 𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶
Veamos
( 𝐴 + 𝐵) 𝐶 = ([1 2 0
5 −3 4
] + [ −2 5 6
2 0 −1
]) [
1 0 1 7
5 3 5 − 2
2 4 3 2
]
= [
−1 7 6
7 − 3 3
] [
1 0 1 7
5 3 5 − 2
2 4 3 2
]
= [
46 45 52 − 9
−2 3 1 61
]

Algebra Lineal
𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 = [
1 2 0
5 − 3 4
] [
1 0 1 7
5 3 5 − 2
2 4 3 2
] + [
−2 5 6
2 0 − 1
] [
1 0 1 7
5 3 5 − 2
2 4 3 2
]
= [
11 6 11 3
−2 7 2 49
] + [
35 39 41 − 12
0 − 4 − 1 12
]
= [
46 45 52 − 9
−2 3 1 61
]
Por lo tanto se cumple ( 𝐴 + 𝐵) 𝐶 = 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶
5. Demostrar que: A2 - A- 2 I = 0, siendo:
𝐴 = [
0 1 1
1 0 1
1 1 0
]
(𝐴 ∗ 𝐴) − 𝐴 − 2𝐼 = [
0 1 1
1 0 1
1 1 0
] [
0 1 1
1 0 1
1 1 0
] − [
0 1 1
1 0 1
1 1 0
] − 2 [
1 0 0
0 1 0
0 0 1
]
= [
2 1 1
1 2 1
1 1 2
] − [
0 1 1
1 0 1
1 1 0
] − [
2 0 0
0 2 0
0 0 2
] = [
0 0 0
0 0 0
0 0 0
]
Por tanto A2 - A- 2 I = 0
6. Dadas las matrices:
𝐴 = [
2 0 1
3 0 0
5 1 1
] 𝑦 𝐵 = [
1 0 1
1 2 1
1 1 0
]
Calcular: A x B; B x A
7. Encuentre A2 +2A – 3I si
1 2
A=
2 3

Algebra Lineal
8. Determine 𝐴2
− 5𝐴 + 2𝐼 si
𝐴 = [
1 0 0
0 2 1
0 0 3
]
9. Demostrar que: A2 - 3A+2 I = 0, siendo:
𝐴 = [
1 0 0
0 −4 10
0 −3 7
]
𝐴 = [
2 1
−1 1
] ; 𝐵 = [
1 2
3 −2
] 𝑦 𝐶 = [
2 1
−1 −4
]
Determinar la matriz 𝑋 tal que 𝑋 × 𝐴 = 2𝐵 + 𝐶
𝐴 = [
1 −1 1
1 2 1
0 1 2
] ; 𝐵 = [
1 2 2
1 1 3
2 0 2
] 𝑦 𝐶 = [
0 0 4
−2 −8 −6
−4 2 0
]
Determinar la matriz 𝑋 tal que 𝑋 × 𝐴 = 2𝐵 + 𝐶
12. Sean las matrices:
𝐴 = [
𝑥 1
2𝑥 −1
−𝑥 1
] ; 𝐵 = [
1
𝑦
] ; 𝐶 = [
𝑧
2𝑧
−𝑧
]; 𝐷 = [
1
0
1/3
]
, donde x, y, z son desconocidos.
a. Calcular las matrices (AB) + C y 3D
b. Sabiendo que (AB)+C = 3D, plantear un sistema de ecuaciones para encontrar los
valores de x, y, z.
13. En cada uno de los siguientes casos determinar (AB)C y A(BC)
a. 𝐴 = [
2 1
3 1
] ; 𝐵 = [
−1 1
1 0
] ; 𝐶 = [
1 4
2 3
]

Algebra Lineal
b. 𝐴 = [
2 1 −1
3 1 2
] ; 𝐵 = [
1 1
2 0
3 −1
] ; 𝐶 = [
1
3
]
𝐴 = [
2 −3 −5
−1 4 5
1 −3 −4
] 𝐵 = [
−1 3 5
1 −3 −5
−1 3 5
] 𝐶 = [
2 −2 −4
−1 3 4
1 −2 −3
]
a. Verifique que AB = BA = 0; AC = C y CA=A
b. Use los resultados de (a) para comprobar que:
 ACB = CBA
 A2 – B2 = (A – B) (A + B)
 (A + B)2 = (A – B)2 = A2 + B2
15. Calcule los productos matriciales AB y BA si
𝐴 = [
1 −2 3 1
0 1 1 −1
1 −2 0 −5
] 𝐵 = [
−2 1 3
−2 3 −1
3 −4 −3
1 −1 −1
]
16. Sean 𝑋 = [1 0 0] 𝑦 𝐴 = [
3 1 5
2 0 1
1 1 7
]
a. Determinar el orden de XA y comparar con las filas o columnas de
b. Si 𝑋 = [0 … 0 1 0 … 0] donde 1 aparece en la posición (1,i) determinar el orden
de XA y AXt, comparar con las filas o columnas de A con
Ejercicios
Determine si los valores dados de y, x y z son la solución para la ecuación matricial dada
sustituyendo los valores dados en la ecuación matricial y efectuando la multiplicación
matricial.
1. [
1 1 2
4 0 1
2 1 1
] [
𝑋
𝑌
𝑍
] = [
5
5
5
]

Algebra Lineal
Solución:
Al realizar la multiplicación de matrices nos queda el siguiente sistema de ecuaciones
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 5 (1)
4𝑥 + 𝑧 = 5 (2)
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 5 (3)
Hallamos los valores de X Y y Z:
Utilizamos el método de eliminación en (1) y (3)
X+Y+2Z=5 (multiplicamos por -2) −2X − 2𝑌 − 4Z =−10
2X+Y+Z=5 (multiplicamos por 2) 4𝑋 + 2𝑌 + 2𝑍 = 10
2X −𝑍 = 0 (4)
Aplicamos el método de eliminación en (2) y (4)
4𝑋 + 𝑍 = 5 ( 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 2) 8𝑋 + 2𝑍 = 10
2𝑋 − 2𝑍 = 0 (𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 1) 2X − 2Z = 0 X= 1
10X = 10
Reemplazo el valor de X en (2)
4(1)+Z=5
4+Z=5
Z=1
Reemplazo el valor de X y Z en (3)
2(1)+Y+(1)=5
2+Y+1=5
Y=5-3
Y=2
Por lo tanto X=1, Z=1 y Y=2
Verificando:
(
1 1 2
4 0 1
2 1 1
) (
1
2
1
) = (
5
5
5
)
[
1 0 1
1 1 0
0 1 1
] [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
−1
0
−3
] [
1 1 1
1 −1 1
1 −1 −1
] [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
−2
0
4
]

Algebra Lineal
[
2 1 −1
3 −2 1
−4 3 2
] [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
−1
3
−11
] [
3 1 0
2 −2 1
1 1 2
] [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
4
9
2
]
[
1 1 2
4 0 1
2 1 1
] [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
5
5
5
] [
1 0 2
3 1 0
1 2 1
] [
𝑥
𝑦
𝑧
] = [
0
7
3
]
Ejercicios
El siguiente sistema matricial representa el portafolio de dos productos (X, Y), cuyos
costos totales ascienden a 15 (millones de pesos), y el total de las unidades producidas es
de 5 (miles):
[
7 2
1 1
] [
𝑥
𝑦] = [
15
5
]
La solución del sistema matricial anterior arroja los siguientes resultados para los dos
productos (X, Y), respectivamente en miles de unidades producidas:
a. 15 Y 5
b. 40 y 10
c. 1 y 4
d. 7 y 2
e. 1 y 15
Aplicación de la Multiplicación entre Matrices
1. Una pequeña empresa constructora cobra a $10 800 la hora por camión sin conductor,
$36 000 la hora por un tractor sin conductor y $18 000 la hora por conductor. La
empresa utiliza la matriz A para diversos tipos de trabajo
Tipo de trabajo
I II III IV
A= 1 1 1 2 Camión
2 0 1 1 Tractor
3 1 3 4 Conductor
a. Construya una matriz de fila P con los precios que la empresa fija.
Camión Tractor Conductor
P= 10 800 36 000 18 000
b. Calcule el producto PA. ¿Qué encuentra?

Algebra Lineal
Tipo de trabajo
I II III IV
Camión 1 1 1 2
Tractor 2 0 1 1
Conductor 3 1 3 4
Precios 10 800 36 000 18 000 ×
Tipo de Trabajo
I II III IV
P×A= Precios 136 000 28 800 100 800 129 600
El costo por tipo de trabajo
c. Suponga que para un pequeño proyecto la empresa utilizo 20 horas de trabajo del
tipo I, 30 horas de trabajo del tipo II, 10 del tipo III y 10 del tipo IV. Construya una
matriz de columna S que denota la matriz de oferta.
Horas
I 20
II 30
S= III 10
IV 10
d. Determine e intérprete los elementos de AS.
Tipo de trabajo
I II III IV
Camión 1 1 1 2
Tractor 2 0 1 1
Conductor 3 1 3 4
×
Horas
I 20
II 30
III 10
IV 10
Horas
Camión 80
AS= Tractor 60
Conductor 160
El número de horas de trabajo requerido por camión, tractor y conductor para el
proyecto.
e. Evalúe e interprete el producto de matrices PAS

Algebra Lineal
Precio 10 800 36 000 18 000
×
Horas
Camión 80
Tractor 60
Conductor 160
PAS Precio 5´904 000
Obtenemos como resultado el valor del proyecto.
2. Un constructor puede adquirir ladrillos, tejas, madera y cemento de tres proveedores:
P, Q y R. Los precios de cada proveedor por paquete de materiales vienen dados en
miles de euros por la matriz:
𝐿 𝑇 𝑀 𝐶
𝑃 8 13 6 6
𝑄 6 12 7 8
𝑅 7 14 6 7
El constructor tiene que comenzar tres obras. Necesita:
a. Primera obra: 24 paquetes de ladrillo, 5 de tejas, 12 de madera y 18 de cemento.
b. Segunda obra: 20 paquetes de ladrillo, 7 de tejas, 15 de madera y 20 de cemento.
c. Tercera obra: 20 paquetes de ladrillo, 4 de tejas, 15 de madera y 15 de cemento.
¿Qué proveedor es el más económico para cada obra?
El constructor quiere adquirir todos los materiales de cada obra al mismo proveedor.
¿a cuál le compraría?
Construimos la matriz de obras: Consideremos 𝑃𝑂 la primera obra, 𝑆𝑂 la segunda y 𝑇𝑂
la tercera
[
𝑃𝑂 𝑆𝑂 𝑇𝑂
𝐿 24 20 20
𝑇 5 7 4
𝑀 12 15 15
𝐶 18 20 15]
Calculamos el producto de la matriz de precios de proveedor matriz de obras y
obtenemos el total cobrado por proveedor

Algebra Lineal
[
𝐿 𝑇 𝑀 𝐶
𝑃 8 13 6 6
𝑄 6 12 7 8
𝑅 7 14 6 7
] ×
[
𝐿 24 20 20
𝑇 5 7 4
𝑀 12 15 15
𝐶 18 20 15]
= [
𝑃 437 461 392
𝑄 432 469 393
𝑅 436 468 391
] 1290
1294
1295
El proveedor más económico para la primera obra es 𝑄 para la segunda es 𝑃 y para la
tercera es 𝑅. Le compraría al proveedor P que es la propuesta más económica
3. Un supermercado quiere ofertar tres clases de bandejas: A, B y C. La bandeja A contiene
40 gr de queso español, 160 gr de queso francés y 80 normandi; la bandeja B contiene
120 gr de cada uno de los tres tipos de queso anteriores; y la bandeja C contiene 150 gr
de queso español, 80 gr del francés y 80 gr del normadi. La oferta se realizará durante
dos días, el primer día se sacará a la venta 50 bandejas del tipo A, 80 del B y 100 del C
y para el segundo día se duplicará la venta del primero, obtén matricialmente la
cantidad que se necesitarían de cada uno de las tres clase de queso.
4. Tres familias F1, F2 y F3 tienen los siguientes consumos de pan, carne y mantequilla:
F1 consume 160 kg de pan, 200 Kg de carne y 1,5 Kg de mantequilla, F2 consume 200
Kg de pan, 230 Kg de carne y 2 Kg de mantequilla, F3 consume 90 Kg de pan, 150 Kg de
carne y 1,75 Kg de mantequilla.
Los precios, en miles de pesos, del pan, de la carne y de la mantequilla en los años 2010,
2011, 2012 y 2013 fueron: 2010: el pan costaba $1,45, la carne $13 y la mantequilla
$0.15; 2011: el pan costaba $1,56, la carne $13 y la mantequilla $0.16; 2012: el pan
costaba $1,71, la carne $13,5 y la mantequilla $0.16; 2013: el pan costaba $1,80€, la
carne $14 y la mantequilla $0.18
Utiliza matrices para calcular el gasto anual de cada familia en el total de los cuatro
años.
5. Un contratista puede adquirir las cantidades requeridas de madera, ladrillo, concreto,
vidrio y pintura de tres proveedores. Los precios de cada proveedor por unidad de los
cinco materiales esta dados en la matriz A
Proveedor Madera Ladrillo Concreto Vidrio Pintura
P1 8 5 7 2 4
A= P2 9 4 5 2 5
P3 9 5 6 1 5
El contratista tiene la política de adquirir todos los materiales requeridos en cualquier
obra particular al mismo proveedor a fin de minimizar los costos de transporte. Hay
tres obras en construcción actualmente: la obra I requiere 20 unidades de madera, 4 de

Algebra Lineal
ladrillo, 5 de concreto, 3 de vidrio y 3 de pintura; la obra II requiere 15, 0, 8, 8 y 2
unidades respectivamente; y la obra III requiere 30, 10, 20, 10, y 12 respectivamente.
a. Represente en una matriz B la información de las unidades requeridas en cada obra.
b. Calcule el producto AB
c. Interprete los elementos de este producto y úselos para decidir cuál proveedor
debería utilizar en cada obra
6. Un hospital local reunió datos relacionados con personas admitidas para servicios
de pacientes internados. La matriz P indica los porcentajes de todos los pacientes
admitidos en unidades hospitalarias diferentes, S la duración promedio de la
permanencia de un paciente (en días) para cada unidad de hospitalización y C el
costo diario (en miles de pesos) para las diferentes unidades del hospital.
𝑃 = [
0.18
0.10
0.24
0.48
]
𝑂𝑏𝑠𝑡𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑖𝑎
𝐶𝑎𝑟𝑑𝑖𝑜𝑙𝑜𝑔í𝑎
𝑃𝑒𝑑𝑖𝑎𝑡𝑟í𝑎
𝑂𝑡𝑟𝑎𝑠
𝑆 = [3 16 2 4] 𝐶 = [680 1400 540 360]
Si se admiten300 pacientes nuevos utilizar la operación con matrices para calcular
a. El número de pacientes admitidos en cada unidad
b. El número total de día por paciente esperado
c. El costo total por día para los 300 pacientes
7. Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y
S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la
terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300
unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la
terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración.
La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La
terminación S lleva 33 horas de taller y 1.3 horas de administración.
a. Representar la información en dos matrices.
b. Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas
para cada uno de los modelos.
8. Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno
de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes
y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes
y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y
cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres
modelos.
a. Representar esta información en dos matrices.

Algebra Lineal
b. Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes
necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos-tamaño de
estantería.
9. Suponga que un contratista acepta pedidos para materia prima que se utilizan para la
construcción de tres tipos de vivienda. La matriz R dan el número de unidades de cada
materia prima que se utilizará en cada tipo de casa, así
Acero Madera Vidrio Pintura
Mano de
Obra
Rústico 5 20 16 7 17
R= Moderno 7 18 12 9 21
Colonial 6 25 8 5 13
a. El contratista está interesado en conocer los costos que tendrá que pagar por estas
materias primas. Suponga que el acero cuesta $2500 por unidad, la madera $1200
por unidad, y el vidrio, la pintura y la mano de obra cuestan $800, $150 y $1500 por
unidad respectivamente. Escriba una matriz de columna C que represente los costos
por unidad. Obtenga el producto RC, ¿qué encuentra?
b. Suponga que se construirán 5 casas de estilo rustico, 7 estilo moderno y 12 colonial,
escriba una matriz de fila Q que represente la cantidad de vivienda a construir por
estilo y obtenga el producto Q(RC), ¿qué encuentra?
10. El comité de admisiones de cierta universidad anticipa la inscripción de 800
estudiantes de primer semestre para el próximo año para satisfacer las cuotas de
ingreso se ha clasificado los futuros estudiantes según sexo y lugar de residencia. El
número de estudiantes en cada categoría está dado por la matriz
Hombres Mujeres
Locales 2700 3000
A= Foráneos 800 700
Extranjeros 500 300
Al utilizar los datos acumulados de años anteriores el comité de admisiones considera
que estos estudiantes optarán por asistir a las facultades de derecho, diseño,
administración e ingeniería según los porcentajes que aparecen en la matriz
Derecho Diseño Administración Ingeniería
B= Hombres 0.25 0.20 0.30 0.25
Mujeres 0.30 0.35 0.25 0.10

Algebra Lineal
Encuentre la matriz AB que muestre el número de estudiantes locales, foráneos y
extranjeros que se espera se inscriban en cada facultad
11. Las acciones de dos personas B y C están dadas por la matriz
Acciones
BAC GM IBM TRW
A= B 200 300 100 200
C 100 200 400 0
Al cierre de las operaciones de cierto día, los precios de las acciones están dados por la
matriz
BAC 54
GM 48
D= IBM 98
TRW 82
a. Calcule AD
b. Explique el significado de las entradas de AD.
12. Un viajero está regresando de Londres después de un viaje por Europa y desea cambiar
las diversas divisas por euros. Al contar su dinero encontró que tenía 80 chelines
austriacos, 26 francos franceses, 18 guilders suecos y 20 marcos alemanes. Suponga
que las tasas de cambio de moneda extranjera son €0.0727 por un chelín, €0.1524 por
un franco, €0.4538 por un guilder y €0.5113 por un marco.
a. Escriba una matriz A de fila que represente los valore de las divisas
b. Escriba una matriz B de columna que represente las tasas de cambio
c. Si el viajero cambia todas las divisas que tiene, ¿cuántos euros recibirá?
13. Una empresa de bienes raíces construye casas en tres estados. El número proyectado
de unidades habitacionales de cada modelo por construir en cada estado esta dado por
la matriz
Modelo
I II III IV
N.Y. 60 80 120 40
A= Conn 20 30 60 10
Mass 10 15 30 5

Algebra Lineal
Las ganancias proyectadas son $20 000, $22 000, $25 000 y $30 000, respectivamente,
para cada modelo de casa, del I al IV respectivamente.
a. Escriba una matriz de columna B que represente la ganancia para cada tipo de casa
b. Encuentre la utilidad total esperada en cada estado si se venden todas las casas
14. Las calificaciones de matemáticas, de cuatro alumnos, en las tres evaluaciones del curso
fueron las siguientes:
Para calcular la calificación final, el departamento de matemáticas ha establecido los
siguientes "pesos" para cada una de las evaluaciones: 1ª Ev: 30 %, 2ª Ev: 30 % y 3ª
Ev: 40 %. Se pide la nota final de cada uno de los alumnos.
15. Un cinema tiene cuatro salas de la I a la IV, el precio de cada función es de $2 mil pesos
por niño, $3 mil pesos por estudiante y $4 mil pesos por adulto. La asistencia a la matiné
del domingo está dada por la matriz
Escriba una matriz de columna B que represente el precio de la entrada. Luego calcule
A.B ¿Qué encuentra?
16. Un vendedor de automóviles puede comprar automóviles puede comprar automóviles
medianos en 12% por debajo del precio de lista y también automóviles de lujo en 15%
CALIFICACIONES
Alumnos 1ª Ev 2ª Ev 3ª Ev
Antonio 2.5 3.2 3.0
Jaime 4.0 2.5 3.5
Roberto 3.5 2.5 3.5
Santiago 3.0 2.0 2.5
Niño Estudiante Adulto
Cinema I 225 110 50
A= Cinema II 75 180 225
Cinema III 280 85 110
Cinema IV 0 250 225

Algebra Lineal
por debajo de los precios de lista. La siguiente tabla muestra la lista de precios para dos
automóviles medianos y dos automóviles de lujo
Medianos 25 000 28 000
De lujo 36 000 42 000
Escriba estos datos en una matriz y multiplique a la izquierda por la matriz
0,88 0
0 0,85
¿Qué representa cada elemento de este producto matricial. Debe realizar y escribir el
proceso?
17. Suponga que el banco tiene tres fuentes principales de ingresos (préstamos
empresariales, préstamos para automóviles e hipotecas de casas) y que retira fondos
de esta fuente para capital de riesgo que se usa para crear fondos para nuevos negocios.
Suponga que el ingreso de estas fuentes por cada 3 años se da la siguiente tabla y el
banco utiliza 45% de su ingreso de los préstamos empresariales, 20% de su ingreso de
los préstamos para automóviles y 30% de su ingreso de las hipotecas de casas para
obtener sus fondos de capital de riesgo. Escriba un producto matricial que dé el capital
de riesgo disponible en cada uno de los tres años
𝐴ñ𝑜 𝐸𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑢𝑡𝑜𝑚ó𝑣𝑖𝑙𝑒𝑠 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑐𝑎𝑟𝑖𝑜𝑠
2001 63300 20024 51820
2002 48305 15817 63722
2003 55110 18621 64105
18. Dos departamentos de una empresa, Ay B necesitan diferentes cantidades de los
mismos productos. La siguiente tabla da las cantidades de los productos que los
departamentos necesitan
Acero Plástico Madera
Departamento A 30 20 10
Departamento B 20 10 20

Algebra Lineal
Dos proveedores, Ace y Kink surten estos tres productos, con los precios unitarios que
se dan en la siguiente tabla
Ace Kink
Acero 3000 280
Plástico 150 100
Madera 150 200
a. Use la multiplicación de matrices para encontrar cuánto costarán estos pedidos con
los proveedores.
b. ¿A qué proveedor debe comprar cada departamento?
19. La siguiente tabla muestra el presupuesto anual de gastos de una compañía, en miles
de dólares, en los departamentos seleccionados.
Rubro Departamento
Manufac
Oficina
Venta
Distribución
Contabilidad
AdmónAbastecimiento 0.7 8.5 10.2 1.1 5.6 3.6
Teléfono 0.5 0.2 6.1 1.3 0.2 1
Transporte 2.2 0.4 8.8 1.2 1.2 4.8
Salarios 251.8 63.4 81.6 35.2 54.3 144.2
a. ¿Cuáles fueron los departamentos de menor y mayor gasto? ¿Cuáles fueron los
rubros de menor y mayor gasto?
b. Encuentre la matriz presupuesto para los siguientes cambios “a lo largo de la tabla”
en el presupuesto: a) Un decremento de 5% b) Un incremento del 8%
c. Suponga que hay un incremento de 20% en fabricación, un aumento de 3% en
oficina, un incremento de 5% en ventas, un aumento de 20% en distribución, un
incremento de 5% en contabilidad y un decremento de 3% en administración.

Algebra Lineal
Encuentre la nueva matriz de presupuesto multiplicando la matriz siguiente por la
matriz original.




















97.000000
005.10000
002.1000
00005.100
000003.10
000002.1
Investigar. El uso de la función MMULT de Excel y haga una aplicación

Algebra Lineal
REDUCCIÓN DE GAUSS-JORDAN
Solución matricial de Sistemas de Ecuaciones
El método de Eliminación de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones
lineales (S.E.L.) en otro equivalente más sencillo de resolver (se puede resolver por simple
inspección). Cuando se habla de un sistema equivalente se refiere a un sistema que tiene
exactamente las mismas soluciones.
Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales
Donde los ai, bi, ci y di para todo i=1,2 y 3 ε R (Coeficientes)
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales usando matrices, primero escribimos los
coeficientes del sistema en la matriz ampliada.
Cada columna contiene los coeficientes de una de las variables, el proceso continua
aplicando cada una de los siguientes pasos:
1. Tener uno en la fila uno columna uno.
2. Usar la fila uno solo para tener ceros en las otras entradas de la columna uno
3. Usar la fila dos para tener uno en la fila dos columna dos
4. Usar la fila dos solo para tener ceros en las otras entradas de la columna dos.
5. Usar la fila tres para tener uno en la fila tres columna tres.
6. Usar la fila tres solo para tener ceros en las otras entradas de la columna tres
Matriz de los coeficientes

Algebra Lineal
7. Repetir el proceso hasta obtener una ampliada [I|D], donde I es una matriz
identidad de n x n y D una matriz de n x 1. Si el sistema de ecuación es de orden 3,
obtenemos
{
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
𝑑1
𝑑2
𝑑3
}
Donde d1, d2 y d3 Є R, se concluye que x = d1, y = d2 y z = d3. Para verificar los
resultados se remplazan los valores obtenidos en las ecuaciones originales, si se
obtiene una identidad los valores obtenidos son conjunto solución.
Si un Sistema de Ecuaciones tiene solución se dice compatible sino es incompatible.
Ejercicio. Resuelva el sistema de ecuaciones utilizando el método de reducción de Gauss-
Jordan
2x + 3y – z = 70
3x – y - 2z = -19
-2x + 2y + z = 35
La matriz ampliada sería
(
2 3 −1
3 −1 −2
−2 2 1
|
70
−19
35
)
𝑓1
2 (
1
3
2
−
1
2
3 −1 −2
−2 2 1
|
35
−19
35
) 𝑓1 ∗ −3 + 𝑓2
𝑓1 ∗ 2 + 𝑓3
(
1
3
2
−
1
2
0 −
11
2
−
1
2
0 5 0
||
35
−124
105
)
𝑓2/(−11/2)
(
1
3
2 −
1
2
0 1
1
11
0 5 0
||
35
248
11
105)
𝑓2 ∗ −
3
2
+ 𝑓1
𝑓2 ∗ −5 + 𝑓3
(
1 0 −
7
11
0 1
1
11
0 0 −
5
11
|
|
13
11
248
11
−
85
11)
𝑓3
−
5
11
(
1 0 −
7
11
0 1
1
11
0 0 1
||
13
11
248
11
17 )
𝑓3 ∗
7
11
+ 𝑓1
𝑓3 ∗ −
1
11
+ 𝑓2
(
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
12
21
17
)
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝑥 = 12
𝑦 = 21
𝑧 = 17
Veamos: En la Ec1: 2(12)+3(21)-17=24+63-17=70;
En la Ec2: 3(12)-21-2(17)=36-21-34=-19;

Algebra Lineal
En la Ec3: -2(12)+2(21)+17=-24+42+17=35
Ejercicio. Resuelva cada sistema de ecuaciones utilizando el método de reducción de
Gauss-Jordan
2x + y – 2z = 4
x + 3y – z = -3
3x + 4y – z = 7
2x+ 3y - 2z = 10
3x - 2y + 2z = 0
4x – y + 3z = -1
2x + 2y + z = 9
x + z = 3
4y – 3z = -10
2x + 4y - 6z = 38
x + 2y + 3z = 7
3x - 4y + 4z = -19
x + y + z = 0
2x- y + z = 1
x + y - 2z = 2
𝑥 + 2𝑧 = 0
3𝑥 + 𝑦 = 7
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 3
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 2
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3
3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 3
3𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = −5
2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0
𝑥 − 2𝑦 + 4𝑧 = 0
𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 3
𝑥 − 2𝑧 = 4
𝑦 − 𝑧 = 1
𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 = 2
2𝑥 2𝑧 = 1
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 5
4𝑥 + 𝑧 = 5
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 5
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 2
3𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = −2
2𝑥 − 𝑧 = 2
3𝑥 + 𝑦 = 4
2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 9
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 2
2x – y – 2z = -1
3x + 3y + 4z = -2
2x – y – z = -3
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
𝑥 + 2𝑦 + 5𝑧 = 12
𝑥 + 4𝑦 + 25𝑧 = 36
3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 1
2𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 1
−2𝑥 + 3𝑦 + 3𝑧 = 1
Problemas de aplicación
1. Una empresa fabrica 3 tipos de tabletas de chocolate: con leche, blanco y negro. Los
principales ingredientes para la producción del chocolate son cacao, leche y café. Para
la producción de chocolate con leche requiere de 5 unidades de cacao, 3 de leche, y 2 de
café, para el blanco necesita 5 unidades de cacao, 4 de leche y 1 de café, mientras que
para la elaboración del negro se emplean 5 unidades de cacao, 1 de leche y 3 de café.
Antes de llegar el próximo pedido quedan en reserva 12000 unidades de cacao, 6800
de leche y 4600 de café. ¿Cuántas tabletas de cada tipo de chocolate puede producir con
los ingredientes en existencia?
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 3
3𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 8
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = −6

Algebra Lineal
Representamos los datos de forma matricial
Ingredientes
Tipos de Chocolate Con leche
(x)
Blanco
(y)
Negro
(z)
Cacao 5 5 5
Leche 3 4 1
Café 2 1 3
Representamos la situación en forma de sistema de ecuaciones lineales
5x + 5y + 5z = 12000
3x + 4y + z = 6800
2x + y + 3z = 4600
Escribimos la matriz ampliada
(
5 5 5
3 4 1
2 1 3
|
12000
6800
4600
)
𝑓1/5
(
1 1 1
3 4 1
2 1 3
|
2400
6800
4600
) 𝑓1 ∗ −3 + 𝑓2
𝑓1 ∗ −2 + 𝑓3
(
1 1 1
0 1 −2
0 −1 1
|
2400
−400
−200
)
𝑓2 ∗ −1 + 𝑓1
𝑓2 ∗ 1 + 𝑓3
(
1 0 3
0 1 −2
0 0 −1
|
2800
−400
−600
)
𝑓3/−1
(
1 0 3
0 1 −2
0 0 1
|
2800
−400
600
)
𝑓3 ∗ −3 + 𝑓1
𝑓3 ∗ 2 + 𝑓2 (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
1000
800
600
)
𝑥 = 1000
𝑦 = 800
𝑧 = 600
Por lo tanto con los ingredientes en existencia se puede producir 1000 unidades de
chocolate con leche, 800 unidades de chocolate blanco y 600 unidades de chocolate
negro.
2. Una planta produce tres tipos de fertilizantes. El tipo A contiene 25% de potasio, 45%
de nitrato y 30% de fosfato. El tipo B contiene 15% de potasio, 50% de nitrato y 35%
de fosfato. El tipo C no contiene potasio, 75% de nitrato y 25% de fosfato. La planta
tiene suministros de 1.5 toneladas diarias de potasio, 5 toneladas al día de nitrato y 3
toneladas al día de fosfato. ¿Qué cantidad de fertilizantes en kg (1 ton =1000 Kg) deberá
producir de modo que se agote los suministros de ingredientes?
Por datos, la matriz de coeficientes sería
𝐴 𝐵 𝐶
𝑃𝑜𝑡𝑎𝑠𝑖𝑜 25 15 0
𝑁𝑖𝑡𝑟𝑎𝑡𝑜 45 50 75
𝐹𝑜𝑠𝑓𝑎𝑡𝑜 30 35 25

Algebra Lineal
Suponiendo que x es la cantidad de fertilizante tipo A, y la cantidad de fertilizante tipo
B y z la cantidad de fertilizante tipo C, el sistema de ecuaciones sería
25x + 15y = 1.5
45x + 50y + 75z = 5
30x + 35y + 25z = 3
La matriz ampliada quedaría
(
25 15 0
45 50 75
30 35 25
|
1.5
5
3
)
𝑓1/25
(
1 3/5 0
45 50 75
30 35 25
|
3/50
5
3
) 𝑓1 ∗ −45 + 𝑓2
𝑓1 ∗ −30 + 𝑓3
(
1 3/5 0
0 23 75
0 17 25
|
3/50
23/10
6/5
) 𝑓2/23
(
1 3/5 0
0 1 75/23
0 17 25
|
3/50
1/10
6/5
)
𝑓2 ∗ −3/5 + 𝑓1
𝑓2 ∗ −17 + 𝑓3
(
1 0 −2
0 1 75/23
0 0 −700/23
|
0
1/10
−1/2
)
𝑓3/(−700/23)
(
1 0 −2
0 1 75/23
0 0 1
|
0
1/10
0.02
𝑓3 ∗ 2 + 𝑓1
𝑓3 ∗ −75/23 + 𝑓2 (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
0.04
0.03
0.02
) 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝑥 ≈ 0.04
𝑦 ≈ 0.03
𝑧 ≈ 0.02
Veamos: En la Ec1: 25(0.04)+15(0.03)+0(0.02)=1.45≈1.5
En la Ec2: 45(0.04)+50(0.03)+75(0.02)=1.8+1.5+1.5=4.8≈5
En la Ec3: 30(0.04)+35(0.03)+25(0.02)=1.2+1.05+0.5=2.8≈3
Es decir que para agotar los suministros de ingredientes se deben producir
aproximadamente 0.04 ton (40 Kg) de fertilizante tipo A, 0.03 ton (30Kg) de fertilizante
tipo B y 0.02 ton (20Kg) de fertilizante tipo C
3. Tres trabajadores A,B y C, para terminar un determinado mes, presenta a su empresa
la siguiente plantilla de producción, correspondiente a las horas de trabajo, dietas de
mantenimiento y kilómetros de desplazamiento fijadas para cada uno de ellos
HORAS DE TRABAJO VIÁTICO KILÓMETROS
A 40 10 150
B 60 20 250
C 30 6 100
Sabiendo que la empresa paga a los tres trabajadores la misma retribución: x miles de
pesos por hora trabajada, y miles de pesos por cada dieta y z miles de pesos por

Algebra Lineal
kilómetro de desplazamiento y que paga ese mes un total de 3690 mil pesos al
trabajador A, 6060 mil pesos al trabajador B y 2520 mil pesos al C. Calcular x, y, z.
Representamos la situación como sistema de ecuaciones lineales:
40x + 10y + 150z = 3690 (Ec 1)
60x + 20y + 250z = 6060 (Ec 2)
30x + 6 y + 100z = 2520 (Ec 3)
(
40 10 150
60 20 250
30 6 100
|
3690
6060
2520
)
𝑓1/40
(
1 1
4⁄ 15
4⁄
60 20 250
30 6 100
|
369
4⁄
6060
2520
) 𝐹1 ∗ −60 + 𝐹2
𝐹1 ∗ −30 + 𝐹3
(
1
1
4
15
4⁄
0 5 25
0 − 3
2⁄ − 25
2⁄
|
369
4⁄
525
− 495
2⁄
)
𝑓2/5 (
1 1
4⁄ 15
4⁄
0 1 5
0 − 3
2⁄ − 25
2⁄
|
369
4⁄
105
− 495
2⁄
)
𝐹2 ∗ − 1
4⁄ + 𝐹1
𝐹2 ∗ 3
2⁄ + 𝐹3
(
1 0 5
2⁄
0 1 5
0 0 −5
|
66
105
−90
)
𝐹3
5⁄
(
1 0 5
2⁄
0 1 5
0 0 1
|
66
105
18
)
𝐹3 ∗ − 5
2⁄ + 𝐹1
𝐹3 ∗ −5 + 𝐹2 {
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
21
15
18
}
𝑥 = 21
𝑦 = 15
𝑧 = 18
Verificación
En la (Ec1):
40(21)+10(15)+150(18)
= 369
840 + 150 + 2700 =
3690
3690
= 3690
En la (Ec2):
60(21)+20(15)+250(18)=
6060
1260 + 300 + 4500 =
6060
6060 =
6060
En la (Ec3):
30(21)+6(15)+100(18)=2520
630 + 90 + 1800 = 2520
2520 =
2520
Por lo tanto el valor de la hora trabajada es de 21 mil pesos, la unidad de viático 15 mil
y la de transporte 18 mil
4. Una compañía fabrica tres tipos de muebles para jardín: sillas, mecedoras y sillones.
Cada uno requiere madera, plástico y aluminio, como se muestra en la tabla. La

Algebra Lineal
compañía tiene un almacén de 400 unidades de madera, 1500 de aluminio y 600 de
plástico. Para su producción de final de temporada desea agotar toda la existencia.
Para lograrlo ¿cuántas sillas, mecedoras y sillones debe fabricar?
Sillas Mecedoras Sillones
Madera 1 1 1
Aluminio 2 3 5
Plástico 1 1 2
Si consideremos x la cantidad de sillas, y la cantidad de mecedoras y z la cantidad de
sillones, el sistema de ecuación sería
x + y + z = 400
2x + 3y + 5z = 1500
x + y + 2z = 600
(
1 1 1
2 3 5
1 1 2
|
400
1500
600
) 𝑓1 ∗ −2 + 𝑓2
𝑓1 ∗ −1 + 𝑓3
(
1 1 1
0 1 3
0 0 1
|
400
700
200
)
𝑓2 ∗ −1 + 𝑓1
(
1 0 −2
0 1 3
0 0 1
|
−300
700
200
)
𝑓3 ∗ 2 + 𝑓1
𝑓3 ∗ −3 + 𝑓2 (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
100
100
200
)
𝑥 = 100
𝑦 = 100
𝑧 = 200
Veamos en
En Ec1
100 + 100 + 200 =
400
400 =
400
En Ec2
2(100) + 3(100) +
5(200)=1500
200 + 300 + 1000
=1500
1500=1500
En Ec3
100 + 100 +
2(200)=600
200 + 400 =600
600=600
La producción final de temporada para agotar existencia tiene que ser 100 sillas, 100
mecedoras y 200 sillones

Algebra Lineal
5. Una compañía tiene un pedido para entregar tres productos A, B y C. La tabla da el
volumen en pies cúbicos, el peso en libras y el costo del seguro en dólares para una
unidad de cada uno de los productos. Si el camión puede transportar 8 000 pies cúbicos,
12 400 libras y está asegurado por $52 600 ¿cuántas unidades de cada producto se
pueden transportar?
PRODUCTOS
A B C
Volumen unitario (pies cúbicos) 24 20 40
Peso unitario (libras) 40 30 60
Valor (dólares) 150 180 200
Consideremos x el volumen en pies cúbicos, y el peso en libras y z el costo del seguro
entonces el sistema de ecuaciones sería
24X + 20Y + 40Z = 8000
40X + 30Y + 60Z = 12400
150X + 180Y + 200Z = 52600
La matriz ampliada quedaría
(
24 20 40
40 30 60
150 180 200
|
8000
12400
52600
)
𝑓1
24
⁄
(
1 5
6⁄ 5
3⁄
40 30 60
150 180 200
|
1000
3⁄
12400
52600
) 𝑓1 ∗ −40 + 𝑓2
𝑓1 ∗ −150 + 𝑓3
(
1 5
6⁄ 5
3⁄
0 − 10
3⁄ − 20
3⁄
0 55 −50
|
1000
3⁄
− 2800
3⁄
2600
)
𝑓2
− 10
3⁄
⁄ (
1 5
6⁄ 5
3⁄
0 1 2
0 55 −50
|
1000
3⁄
280
2600
)
𝑓2 ∗ − 5
6⁄ + 𝑓1
𝑓2 ∗ −55 + 𝑓3
(
1 0 0
0 1 2
0 0 −160
|
100
280
−12800
)
𝑓3
−160
⁄
(
1 0 0
0 1 2
0 0 1
|
100
280
80
) 𝑓3 ∗ −2 + 𝑓2 (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
100
120
80
)
𝑥 = 100
𝑦 = 120
𝑧 = 80
Veamos
En Ec1:
24(100)+20(120)+40(80)=8000
2400 +2400 +3200 =8000
8000=8000
En Ec2:
40(100)+30(120)+60(80)=12400
4000 +3600 + 4800 =12400
12400=12400

Algebra Lineal
En Ec3:
150(100)+180(120)+200(80)=52600
15000 +21600 +16000 =52600
52600=52600
Es decir que se puede transportar un volumen de 100 pies cúbicos, un peso de 120
libras y el costo del seguro es de 80 dólares por cada unidad de producto.
6. El precio de entrada a cierta exposición es de $2 000 para los niños, $5 000 para los
adultos y $2 500 para los adultos mayores. En una jornada concreta, la exposición fue
visitada por 200 personas en total, igualando el número de visitantes niños al de adultos
y adultos mayores juntos. La recaudación de dicho día ascendió a $650 000.
a. Plantear un sistema de ecuaciones para averiguar cuántos niños, adultos y adultos
mayores visitaron la exposición ese día.
b. Resolver el problema.
Solución
a. Por datos
n + a + j =200 (Ec1)
n = a + j podemos expresar como n – a – j = 0 (Ec2)
2000n + 5000a + 2500j = 650 000 (Ec3)
b. Escribimos la matriz ampliada
(
1 1 1
1 −1 −1
2000 5000 2500
|
200
0
650000
) 𝑓1 ∗ −1 + 𝑓2
𝑓1 ∗ −2000 + 𝑓3
(
1 1 1
0 −2 −2
0 3000 500
|
200
−200
250000
) 𝑓2
−2
⁄
(
1 1 1
0 1 1
0 3000 500
|
200
100
250000
)
𝑓2 ∗ −1 + 𝑓1
𝑓2 ∗ −3000 + 𝑓3
(
1 0 0
0 1 1
0 0 −2500
|
150
100
−50000
)
𝑓3
−2500
⁄
(
1 0 0
0 1 1
0 0 1
|
100
100
20
) 𝑓3 ∗ −1 + 𝑓2 (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
|
100
80
20
)
𝑛 = 100
𝑎 = 80
𝑗 = 20
Verificando:
En (Ec1): 100 + 80 + 20 = 200, 200=200
En (Ec2): 100 – 80 – 20 = 0, 0=0
En (Ec3): 2 000(100)+ 5000(80) + 2500(20)=650 000
200 000 + 400 000 + 50 000 = 650 000 = 650 000

Algebra Lineal
650 000 = 650 000
Por lo tanto la exposición la visitaron 100 niños, 80 adultos y 20 adultos
mayores.
7. En una fábrica de ropa se produce tres estilos de camisas que llamaremos A, B y C, cada
prenda pasa por el proceso de cortado, cosido, planchado y empaquetado. Las camisas
se elaboran por lote. Para producir un lote de camisas del tipo A se necesitan 30 min
para cortarlas, 42 min para coserlas y 50 min para plancharlas y empaquetarlas. Para
el tipo B, 50 min para cortar, 50 min para coser y 50 min para planchar y empaquetar.
Para el tipo C, 65 min para cortar, 50 min para coser y 38 min para planchar y
empaquetar. ¿Cuántos lotes se pueden producir si se trabajan 8 horas en cortar, 8 horas
en coser y 8 horas en planchar y empaquetar?
Por datos, organizamos las matrices
𝐴 =
𝐴 𝐵 𝐶
𝐶𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜 30 50 65
𝐶𝑜𝑠𝑖𝑑𝑜 42 50 50
𝑃𝑙𝑎𝑛𝑐ℎ𝑎𝑑𝑜 50 50 38
𝐵 =
𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
𝐶𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜 480
𝐶𝑜𝑠𝑖𝑑𝑜 480
𝑃𝑙𝑎𝑛𝑐ℎ𝑎𝑑𝑜 480
Como 1 hora tiene 60 minutos, 8 horas es equivalente a 480 minutos
Escribimos el sistema de ecuación. Consideremos:𝑥 Los lotes de las camisas tipo A, 𝑦 el
tipo B y 𝑧 el tipo C
30𝑥 + 50𝑦 + 65𝑧 = 480 (1)
42𝑥 + 50𝑦 + 50𝑧 = 480 (2)
50𝑥 + 50𝑦 + 38𝑧 = 480 (3)
|
30 50 65
42 50 50
50 50 38
| |
480
480
480
|
𝐹1
30⁄
→
→
|
1 5 3⁄ 13 6⁄
42 50 50
50 50 38
| |
16
480
480
|
→
𝐹1 × −42 + 𝐹2
𝐹1 × −50 + 𝐹3
|
1 5 3⁄ 13 6⁄
0 −20 −41
0 − 100
3⁄ − 211
3⁄
| |
16
−192
−320
|
→
𝐹2
−20⁄
→
|
1 5 3⁄ 13 6⁄
0 1 41
20⁄
0 − 100
3⁄ − 211
3⁄
| |
16
48
5⁄
−320
|
𝐹2 × − 5
3⁄ + 𝐹1
→
𝐹2 × 100
3⁄ + 𝐹2

Algebra Lineal
|
1 0 − 5
4⁄
0 1 41
20⁄
0 0 −2
| |
0
48
5⁄
0
|
→
→
𝐹3
−2⁄
|
1 0 − 5
4⁄
0 1 41
20⁄
0 0 1
| |
0
48
5⁄
0
|
𝐹3 ∗ 5
4⁄ + 𝐹1
𝐹3 ∗ − 41
20⁄ + 𝐹2
→
|
1 0 0
0 1 0
0 0 1
| |
0
48/5
0
|
𝑥 = 0
𝑦 = 48/5
𝑧 = 0
Verificando
En (1): 30(0) + 50 (
48
5
) + 65(0) = 480; En (2) 42(0) + 50 (
48
5
) + 50(0) = 480; En
(3): 50(0) + 50 (
48
5
) + 38(0) = 480
Solo se pueden producir 9.6 lotes de camisa tipo B.
8. Una empresa fabrica 3 productos A, B y C, cada uno de los cuales debe pasar por 3
diferentes máquinas M1, M2 y M3, a los largo del proceso de producción. Cada
unidad A requiere 1 hora en la máquina A, 2 horas en M2 y 1 hora en M3. De la
misma forma cada unidad del producto B necesita 2 horas, 2 Horas y 4 horas en las
máquinas M1, M2 y M3 respectivamente y cada unidad del producto C necesita 3
horas, 5 horas y 2 horas en cada máquina. Las máquinas M1, M2 y M3 el número de
horas máximo de producción son de 640 horas, 900 horas y 860 horas
respectivamente.
a. Organice los datos en forma de tabla
b. Formule el sistema de ecuaciones que permite obtener el número de unidades
máximas que se puede producir por producto.
c. Resuelva el sistema planteado utilizando el método de reducción de Gauss-
Jordan.
9. Una planta produce tres tipos de fertilizantes. El tipo A contiene 25% de potasio,
45% de nitrato y 30% de fosfato. El tipo B contiene 15% de potasio, 50% de nitrato
y 35% de fosfato. El tipo C no contiene potasio, 75% de nitrato y 25% de fosfato. La
planta tiene suministros de 1.5 toneladas diarias de potasio, 5 toneladas al día de
nitrato y 3 toneladas al día de fosfato. ¿Qué cantidad de fertilizantes deberá producir
de modo que se agote los suministros de ingredientes?
10. Una empresa tiene tres minas con las siguientes composiciones:
Mina A Mina B Mina B
Níquel (%) 1 2 3
Cobre (%) 2 5 7

Algebra Lineal
Hierro (%) 1 3 1
¿Cuántas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 7 toneladas de
níquel, 18 de cobre y 16 de hierro?
11. Un departamento de caza y pesca estatal suministra tres tipos de alimentos a un lago
que mantiene tres especias de peces. Cada pez de la especie I consume cada semana un
promedio de una unidad de alimento 1, una unidad de alimento 2, y dos unidades de
alimento 3. Cada pez de la especie II consume cada semana un promedio de tres
unidades de alimento 1, cuatro unidades de alimento 2 y 5 unidades de alimento 3. Para
un pez de la especie III, el consumo semanal promedio es de dos unidades del alimento
1, dos unidades del alimento 2 y 5 unidades del alimento 3. Cada semana se
proporcionan al lago 29 000 unidades del alimento 1, 34 000 unidades del alimento 2 y
55 000 unidades del alimento 3. Suponemos que los tres alimentos se consumen. ¿Qué
cantidad de cada especie existe en el lago?
12. Tres familias numerosas van a una heladería. La primera familia pidió 3 helados de
barquillo, un helado de vasito y 2 granizadas, la segunda familia consumió 1 helado de
barquillo, 4 helados de vasito y una granizada y la tercera familia, 3 helados de
barquillo, 2 helados de vasito y 2 granizadas.
a. Obtén una matriz A, 3 x 3, que exprese el número de helados de barquillo, helados
de vasito y granizadas que consume cada familia.
b. Si cada una de las tres familias ha gastado respectivamente: 13 €, 12€ y 15€, calcula
el precio de un helado de barquillo, un helado de vasito y una granizada.
13. Un nutriólogo desea planear cierta dieta con base a tres tipos de alimentos. Los
porcentajes de requisitos diarios de proteínas, carbohidratos y hierro contenidos en
cada onza de los tres tipos de alimentos aparecen en la siguiente tabla
Tipo de
Alimento I
Tipo de
Alimento II
Tipo de Alimento
III
Proteínas(%) 10 6 8
Carbohidratos(%) 10 12 6
Hierro(%) 5 4 12

Algebra Lineal
Indique cuantas onzas de cada tipo de alimento debe incluir el nutriólogo en la
comida para cubrir con exactitud los requisitos diarios de proteínas, carbohidratos
y hierro 100% de cada uno.
14. Un fabricante de blusas produce tres tipos: sin manga, manga corta y manga larga. El
tiempo requerido por cada departamento para producir una docena de blusas de cada
tipo aparecen en la siguiente tabla
Sin mangas Manga Corta Manga larga
Corte 9 12 15
Confección 22 24 28
Empaquetado 6 8 8
Los departamentos de corte, confección y empaquetado disponen de un máximo de 80,
160 y 48 horas de trabajo respectivamente, por día. ¿Cuántas docenas de cada tipo de
blusa se pueden producir al día si la planta opera a toda su capacidad?
15. Una aéreo línea tiene tres tipos de avión que transportan tres tipos de carga. En la
siguiente tabla se resume la carga aérea de cada tipo
Tipo de Avión
Unidades transportadas Pasajero Transporte Jumbo
Correo de primera clase 100 100 100
Pasajeros 150 20 350
Carga aérea 20 65 35
Suponga que en un día determinado, la compañía debe transportar 1100 unidades
de correo de primera clase, 460 unidades de carga aérea y 1930 pasajeros. ¿Cuánta
carga aérea de cada tipo debe programar?
16. Un fabricante de sierras de mesa tiene tres modelos, Deluxe, Premium y Ultimate, que
se deben pintar ensamblar y empacar para su distribución. La tabla da el número de
horas requeridas en cada una de estas operaciones para cada tipo de sierra de mesa. Si
el fabricante tiene 96 horas disponibles para pintar, 156 horas para ensamblar y 37
para empacar, ¿cuántas sierras de cada tipo se pueden producir al día?
Deluxe Premium Ultimate
Pintura 1.6 2 2.4
Ensamble 2 3 4
Empaque 0.5 0.5 1

Algebra Lineal
17. Un viajero que acaba de regresar de Europa gastó $30 diarios en Inglaterra, $20
diarios en Francia y $20 diarios en España por concepto de hospedaje. En comida
gastó $20 diarios en Inglaterra, $30 diarios en Francia y $20 diarios en España. Sus
gastos adicionales fueron de $10 diarios en cada país. Los registros del viajero indican
que gastó un total de $340 en hospedaje, $320 en comida y $140 en gastos adicionales
durante su viaje por estos tres países.
a. Represente la situación en un sistema de ecuaciones lineales
b. Utilice el método de reducción de Gauss-Jordan para calcular el número de días que
pasó el viajero en cada país.
18. Para el control de cierta enfermedad de una planta, se usan tres productos químicos en
las siguientes proporciones: 10 unidades del químico A, 12 unidades del químico B,
y 8 unidades del químico C. Las marcas X, Y y Z son atomizadores comerciales que
se venden en el mercado. Un galón de la marca X contiene los químicos A, B y C, en
la cantidad de 1, 2 y 1 unidades respectivamente. Un galón de la marca Y contiene
los químicos en la cantidad de 2, 1 y 3 unidades respectivamente; y un galón de la
marca Z los contiene en la cantidad 3, 2 y 1 unidades respectivamente. ¿Qué cantidad
de cada marca debe emplearse para fumigar la planta con las cantidades exactas de los
químicos requeridas para el control de la enfermedad?
19. Una empresa transportadora de maquinaria pesada posee tres tipos de camiones, A, B
y C. Los camiones están en capacidad de transportar 3 clases de maquinaria. El número
de máquinas de cada clase que puede transportar cada camión es
Tipos de Camiones
Clase de Maquinaria
A B C
1 2 1 1
2 0 1 2
3 1 2 0
A la empresa le adjudican un contrato para transportar 34 máquinas clase 1, 10 clase
2 y 25 clase 3. Encuentre el número de camiones de cada tipo que se requiere para
cumplir con el contrato
20. Una refinería produce gasolina con y sin azufre. Cada tonelada de gasolina sin azufre
requiere 5 minutos en la planta de mezclado y 4 en la planta de refinación. Por su
parte, cada tonelada de gasolina con azufre requiere 4 minutos en la planta de
mezclado y 2 en la planta de refinación. Si la planta de mezclado tiene 3 horas
disponibles y la de refinación 2, ¿cuántas toneladas de cada gasolina se deben producir
para que las plantas se utilicen al máximo?.

Algebra Lineal
21. Un industrial produce dos tipos de plástico: regular y especial. Cada tonelada de
plástico regular necesita 2 horas en la planta A y 5 en la planta B; cada tonelada de
plástico especial necesita 2 horas en la planta A y 3 en la planta B. Si la planta A tiene
disponibles 8 horas al día y la planta B 15 horas al día, ¿cuántas toneladas de cada
tipo de plástico pueden fabricarse diariamente de modo que las plantas operen a toda
su capacidad?
22. Un dietista está preparando una dieta que consta de los alimentos A, B y C. Cada onza
del alimento A contiene 2 unidades de proteína, 3 unidades de grasa y 4 unidades
de carbohidratos. Cada onza del alimento B contiene 3 unidades de proteína, 2
unidades de grasa y 1 unidad de carbohidratos. Cada onza del alimento C contiene 3
unidades de proteína, 3 unidades de grasa y 2 unidades de carbohidratos. Si la dieta
debe proporcionar exactamente 25 unidades de proteína, 24 unidades de grasa y 21
unidades de carbohidratos, ¿cuántas onzas de cada comida se necesitan?

Algebra Lineal
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único número
real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el determinante
de la matriz A lo denotaremos por det(A) o también por | 𝑨|
Determinante de una Matriz de orden 2
Si 𝑨 = [
𝒂 𝟏,𝟏 𝒂 𝟏,𝟐
𝒂 𝟐,𝟏 𝒂 𝟐,𝟐
] el determinante de A es el número que se obtiene de
𝐝𝐞𝐭( 𝑨) = 𝒂 𝟏,𝟏 × 𝒂 𝟐,𝟐 − 𝒂 𝟏,𝟐 × 𝒂 𝟐,𝟏
Ejercicio Hallar el determinante de cada matriz
1. 𝑨 = [
𝟑 𝟐
𝟒 𝟏
] ; 𝐝𝐞𝐭( 𝑨) = |
𝟑 𝟐
𝟒 𝟏
| = ( 𝟑 × 𝟏) − ( 𝟐 × 𝟒) = 𝟑 − 𝟖 = 𝟓
2. 𝑨 = [
𝟓 −𝟐
𝟑 −𝟏
]; 𝐝𝐞𝐭( 𝑨) = |
𝟓 −𝟐
𝟑 −𝟏
| = ( 𝟓 × −𝟏) − (−𝟐 × 𝟑) = −𝟓 − (−𝟔) = −𝟓 +
𝟔 = 𝟏
3. 𝑨 = [
−𝟏 𝟑
−𝟐 𝟒
]
4. 𝑨 = [
−𝟏 −𝟑
𝟐 𝟓
]
5. 𝑨 = [
𝟏 𝟑
−𝟐 𝟔
]
6. 𝑨 = [√ 𝟐 𝟐
√ 𝟐 𝟐
]

Algebra Lineal
Determinante de una Matriz de Orden 3
Dado el sistema de ecuación lineal
𝑨 = [
𝒂 𝟏,𝟏 𝒂 𝟏,𝟐 𝒂 𝟏,𝟑
𝒂 𝟐,𝟏 𝒂 𝟐,𝟐 𝒂 𝟐,𝟑
𝒂 𝟑,𝟏 𝒂 𝟑,𝟐 𝒂 𝟑,𝟑
]
, el determinante de A se obtiene:
𝐝𝐞𝐭( 𝑨) = | 𝑨|
= 𝒂 𝟏,𝟏(𝒂 𝟐,𝟐 × 𝒂 𝟑,𝟑 − 𝒂 𝟐,𝟑 × 𝒂 𝟑,𝟐) − 𝒂 𝟏,𝟐(𝒂 𝟐,𝟏 × 𝒂 𝟑,𝟑 − 𝒂 𝟐,𝟑 × 𝒂 𝟑,𝟏)
+ 𝒂 𝟏,𝟑(𝒂 𝟐,𝟏 × 𝒂 𝟑,𝟐 − 𝒂 𝟐,𝟐 × 𝒂 𝟑,𝟏)
Ejercicio
Hallar el determinante de la matriz A
𝑨 = [
𝟒 𝟐 𝟏
𝟏 𝟐 𝟑
−𝟏 𝟑 𝟐
]
𝐝𝐞𝐭( 𝑨) = | 𝑨|
| 𝑨| = 𝟒( 𝟒 − 𝟗) − 𝟐( 𝟐 + 𝟑) + 𝟏( 𝟑 + 𝟐) = 𝟒(−𝟓) − 𝟐( 𝟓) + 𝟏( 𝟓) = −𝟐𝟎 − 𝟏𝟎 + 𝟓 = −𝟐𝟓
Regla de Sarrus
Se obtiene ampliando la matriz con las dos primeras filas o dos primeras columnas luego
se suman los productos de los elementos de la diagonal principal y sus paralelas menos
las suma de los productos de los elementos de la diagonal secundaria y sus paralelas
Ejercicio
Hallar el determinante de la matriz A
𝑨 = [
𝟒 𝟐 𝟏
𝟏 𝟐 𝟑
−𝟏 𝟑 𝟐
]
Escribimos la matriz ampliada, agregando las dos primeras filas al final de esta, luego
sumamos los productos de los elementos de las diagonales principales menos la sume de
los productos de las diagonales secundarias
| 𝑨| = |
|
𝟒 𝟐 𝟏
𝟏 𝟐 𝟑
−𝟏 𝟑 𝟐
𝟒 𝟐 𝟏
𝟏 𝟐 𝟑
|
|

Algebra Lineal
| 𝑨| = [( 𝟒 × 𝟐 × 𝟐) + ( 𝟏 × 𝟑 × 𝟏) + (−𝟏 × 𝟐 × 𝟑)] − [( 𝟏 × 𝟐 × −𝟏) + ( 𝟑 × 𝟑 × 𝟒)
+ ( 𝟐 × 𝟐 × 𝟏)]
| 𝑨| = [ 𝟏𝟔 + 𝟑 − 𝟔] − [−𝟐 + 𝟑𝟔 + 𝟒] = 𝟏𝟑 − 𝟑𝟖 = −𝟐𝟓
Ejercicio Hallar el determinante de cada matriz
𝑨 = [
𝟏 −𝟑 𝟓
𝟕 𝟒 −𝟏
−𝟐 𝟎 𝟔
] 𝑨 = [
𝟐 −𝟏 𝟎
𝟑 𝟓 𝟏
𝟏 𝟕 −𝟖
] 𝑨 = [
𝟑 −𝟓 𝟖
−𝟒 𝟐 𝟑
𝟕 𝟎 −𝟏
]
Solución de Sistema Lineales de Ecuaciones por Determinante
Solución Matricial de un Sistemas de Ecuación lineal de 2x2 (Regla de Cramer)
Dado el sistema de ecuación lineal
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
𝑑𝑥 + 𝑒𝑦 = 𝑓
, con a, b, c, d, e y f  R se cumple
𝑥 =
[
𝑐 𝑏
𝑓 𝑒
]
[
𝑎 𝑏
𝑑 𝑒
]
; 𝑦 =
[
𝑎 𝑐
𝑑 𝑓]
[
𝑎 𝑏
𝑑 𝑒
]
Ejercicio. Resolver el siguiente sistema de ecuación lineal por la regla de Cramer
3x + 2y = -7
x - 3y = 4
Aplicando la regla de Cramer
x=
[
-7 2
4 -3
]
[
3 2
1 -3
]
=
(-7)(-3)-(4)(2)
(3)(-3)-(2)(1)
=
21-8
-9-2
=
13
-11
, entonces 𝑥 = −
13
11
y=
[3 -7
1 4
]
[
3 2
1 -3
]
=
(3)(4)-(-7)(1)
(3)(-3)-(2)(1)
=
12+7
-9-2
=
19
-11
, entonces 𝑦 = −
19
11

Algebra Lineal
Verificando
En la (Ec1) En la (Ec2)
3 (−
13
11
) + 2 (−
19
11
) = −7 (−
13
11
) – 3 (−
19
11
) = 4
−
39
11
−
38
11
= −7 −
13
11
+
57
11
= 4
−
77
11
= −7
44
11
= 4
− 7 = −7 4 = 4
El conjunto solución es (−
13
11
, −
19
11
)
Ejercicio. Resuelva cada sistema de ecuación lineal
4x – 3y = -5
3x - 2y = 4
3x + 4y = 1
2x – 3y = 12
5x – 2y = 4
2x – 3y = 5
2x + 3y = 12
3x + 2y =13
3x + 4y = 1
2x – 3y =12
5x – 2y = 4
2x - 3y = 5
-4x + 3y= -5
3x – 2y = 4
x + 2y =3
3x + 6y = 6
0.2x – 0.3y = 4
2,3x – y = 1.2
113
8;1
2
7
2
5


yx
yx
x – y = 2
2x + 2y = -2
Problemas de Aplicación
1. En un teatro hay 70 personas entre adultos y niños cada adulto paga $4 000 y cada niño
$1 500. Si el recaudo fue de $230 000 ¿cuántos adultos y cuántos niños entraron?
Definimos las magnitudes: 𝑛, el número de niños y 𝑎: el número de adultos.
Organizamos el sistema, por datos
Como hay 70 personas: 𝑛 + 𝑎 = 70 (1)
Como el recaudo fue de $230 000: 1 500𝑛 + 4 000𝑎 = 230 000 (2)

Algebra Lineal
𝑛 =
|
70 1
230 000 4 000
|
|
1 1
1 500 4 000
|
=
(70 × 4 000) − (1 × 230 000)
(1 × 4 000) − (1 × 1 500)
=
280 000 − 230 000
4 000 − 1 500
𝑛 =
50 000
2 500
= 20
𝑎 =
|
1 70
1 500 230 000
|
2 500
=
(1 × 230 00) − (70 × 1 500)
2 500
=
230 000 − 105 000
2 500
𝑎 =
125 000
2 500
= 50
Verificando en
En (1)
𝑛 + 𝑎 = 70
20 + 50 = 70
70 = 70
En (2)
1 500𝑛 + 4 000𝑎 = 230 000
1 500(20) + 4 000(50) = 230 000
30 000 + 200 000𝑎 = 230 000
2. Una compañía tiene ingresos gravables por $312 000. El impuesto federal es 25% de la
parte que queda después de pagar el impuesto estatal. El impuesto estatal es el 10% de
la parte que queda después de pagar el impuesto federal. Encuentre el monto de los
impuestos federal y estatal.
Sea 𝑥el monto del impuesto federal e 𝑦el monto del impuesto estatal
Por datos
𝑥 = (312 000 − 𝑦) × 0.25 , operando 𝑥 = 78 000 − 0.25𝑦 (1)
𝑦 = (312 000 − 𝑥) × 0.10 , operando 𝑦 = 31 200 − 0.10𝑥 (2)
Despejando (1) y (2)
𝑥 + 0.25𝑦 = 78 000
0.10𝑥 + 𝑦 = 31 200
𝑥 =
|
78 000 0.25
31 200 1
|
|
1 0.25
0.10 1
|
=
78 000 − 7 800
1 − 0.025
=
70 200
0.975
= 72 000
𝑦 =
|
1 78 000
0.10 31 200
|
0.975
=
31 200 − 7800
0.975
=
23 400
0.975
= 24 000

Algebra Lineal
Verificamos
En (1) 72 000 = 78 000 − 0.25(24 000)
72 000 = 72 000
En (2) 24 000 = 31 200 − 0.10(72 000)
24 000 = 24 000
Por tanto el monto del impuesto federal será de $72 000 y el del estatal $24 000
3. Si fabrican 65 artículos en total y venden cada pulsera a $ 1.000 y cada libreta a $ 1.200
¿Cuántas pulseras y cuántas libretas deben hacer para obtener $ 71.000 con la venta, si
el costo en materiales de cada pulsera es de $ 300 y de cada libreta es de $ 100? ¿Cuánto
dinero ganarán con esta venta?
4. Un ama de casa compra en un supermercado 6 Kg. de café y 3 de azúcar, por lo que paga
$60 300. Ante la amenaza de nuevas subidas, vuelve al día siguiente y compra 1 Kg. de
café y 10 Kg. de azúcar por lo que paga $33 800. Calcule el precio del kilogramo de cada
producto
5. La suma de dos capitales es de 3 millones de pesos y la suma de los intereses
producidos es $180 000 ¿cuáles son los capitales si se sabe que el primero se prestó
al 5% y el segundo al 8%?
6. En un cine 10 entradas de adultos y 9 de niños cuestan $51 200 y 17 de niños y 15 de
adultos $831 00. Hallar el precio de una entrada de niño y una de adulto.
7. El viernes en el almacén “trapos” se vendieron pantalones a $25 000 cada uno y
camisas a $18 000 cada una, las ventas totales de esas prendas fueron de $441 000.
El sábado el almacén vendió cada pantalón y cada camisa a $20 000 y las ventas fueron
de $420 000 ¿cuántas pantalones y cuántas camisas se vendieron?
8. Una llamada internacional tiene un cargo fijo por el primer minuto y una tarifa
diferente por cada minuto adicional. Si una llamada de 7 minutos cuesta $2000 y una
de 4 cuesta $1 280 encuentra el costo del primer minuto y del minuto adicional.
9. Una empresa de servicios se especializa en preparar y atender fiestas. La empresa
cobra una tarifa fija más un costo adicional por invitado. Si los costos por atender 25
invitados son de $3 000 000 y los costos por atender a 40 son de $4 200 000 ¿cuál es
la tarifa fija y el costo por invitado?

Algebra Lineal
10. El alquiler de un automóvil tiene un costo fijo semanal, un recargo adicional que se
cobra por cada kilómetro recorrido. Un viaje de una semana de 800 kilómetros cuesta
$440 000 y uno de 1200 Km cuesta $560 000. Encuentre la tarifa semanal y la tarifa
por kilómetro recorrido.
11. Un promotor de conciertos necesita reunir $380 millones de pesos de la venta de
16000 boletos. Si el promotor cobra $20 000 por unos boletos y $30 000 por otros
¿cuántos boletos de cada tipo debe vender?
12. Por usar el servicio de internet una compañía cobra un cargo de $2 000 hora/día y
$2 500 hora/noche. si una persona pago $64 000 por 28 horas de uso de servicio
encontrar el número de horas diurnas y nocturnas del servicio.
13. Una mujer tiene $235 000 invertidos en dos propiedades en renta. Una tiene un rédito
de 10% sobre la inversión y la otra de 12%. Su ingreso total de estas es de $25 000
¿En qué tasa tiene la mayor inversión y de cuánto es el monto?
14. El número total de pasajeros matutinos de cierta línea de autobuses urbanos es de
1000. Si el pasaje para niños cuesta US $0.25 y el de adulto US $0.75 y el ingreso total
obtenido del cobro de los pasajes es de US $650. ¿Cuántos niños y cuantos adultos
utilizaron el bus en la mañana?
15. Juan compró plumeros rojos por $ 1 200 cada uno y azules por $ 800 cada uno. Si Juan
compró 24 plumeros con el costo total de $24 800 ¿cuántos plumeros de cada color
compró?

Algebra Lineal
Solución de Sistemas de Ecuaciones Lineales de 𝟑 × 𝟑 por determinante
Ejercicio. Resolver el sistema de ecuación lineal por determinante
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = −1 (1)
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 0 (2)
3𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 = 1 (3)
Los valores de las variables se obtienen:
𝑥 =
| 𝑥|
| 𝑆|
, 𝑦 =
| 𝑦|
| 𝑆|
𝑦 𝑧 =
| 𝑧|
| 𝑆|
El determinante | 𝑺| se obtiene de la matriz de coeficientes, así
| 𝑠| = |
2 1 −1
1 2 3
3 −1 −4
| =2(-8+3)-1(-4-9)+(-1)(-1-6)=2(-5)-(-13)-(-7)=-10+13+7=10
El determinante | 𝒙| se obtiene remplazando en la columna de 𝒙 la columna de resultados,
así
| 𝑥| = |
−1 1 −1
0 2 3
1 −1 −4
| = −1(−8 + 3) − 1(0 − 3) − (0 − 2) = −(−5) − (−3) − (−2) = 10
El determinante | 𝒚| se obtiene remplazando en la columna de 𝒚 la columna de resultados,
así
| 𝑦| = |
2 −1 −1
1 0 3
3 1 −4
| = 2(−3) + (−4 − 9) − 1 = −6 − 13 − 1 = −20
El determinante | 𝒛| se obtiene remplazando en la columna de 𝒛 la columna de resultados,
así
| 𝑧| = |
2 1 −1
1 2 0
3 −1 1
| = 2(2 − 0) − (1) − (−1 − 6) = 4 − 1 + 7 = 10
Remplazando
𝑥 =
| 𝑥|
| 𝑆|
=
10
10
= 1 , 𝑦 =
| 𝑦|
| 𝑆|
=
−20
10
= −2 𝑦 𝑧 =
| 𝑧|
| 𝑆|
=
10
10
= 1
Verificando
En (1) En (2) En (3)
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = −1
2(1) + (−2) − 1 = −1
−2 − 1 = −1
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 0
1 + 2(−2) + 3(1) = 0
1 − 4 + 3 = 0
3𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 = 1
3(1) − (−2) − 4(1) = 1
3 + 2 − 4 = 1

Algebra Lineal
−1 = −1 0= 0 1 = 1
Por tanto el conjunto solución es (1, -2, 1)
Ejercicio. Resolver cada sistema de ecuación lineal por determinante
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −2
𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 4
−𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −3
2𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = −4
𝑥 + 𝑦 − 5𝑧 = 1
3𝑥 − 2𝑦 − 𝑧 = 1
2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 4
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 7
2x + y - z = -1
3x – 2y + z = 3
-4x + 3y + 2z = -11
x + z -1
x + y = 0
y + z = -3
x + y + z = -2
2x – y + z = 1
-x + 2y – z = -1
x + 2y – z = 3
3x – y + 2z = =-8
2x + 3y + z = -1
x + y + z = 6
2x + y – z = 1
x – 2y + z = 0
x – 2y + 2z = 3
x – 2z = 4
y – z = 1
Problema de Aplicación:
1. Una fábrica produce tres tipos de camisas. Cada uno de los tres tipos de camisa tiene
que pasar por tres departamentos de producción: corte, cosido y empaque. Según el
tipo de camisa, el tiempo de trabajo que se ocupa en cada una está dado en la siguiente
tabla:
Tipo A Tipo B Tipo C
Departamento de corte 0.2 hr 0.4 hr 0.3 hr
Departamento de cosido 0.3 hr 0.5 hr 0.4 hr
Departamento de empaque 0.1 hr 0.2 hr 0.1 hr
Los departamentos de corte, cosido y empaque tienen disponibles como máximo 1160,
1560 y 480 horas de trabajo por semana respectivamente. ¿Cuántas camisas de cada
tipo debe de producirse a la semana para ocupar al máximo la capacidad de cada
departamento?
Escribimos el sistema de ecuaciones, consideremos 𝑥la cantidad de camisas tipo A,
𝑦 las tipo B y 𝑧 las tipo C
0.2𝑥 + 0.4𝑦 + 0.3𝑧 = 1160 (1)

Algebra Lineal
0.3𝑥 + 0.5𝑦 + 0.4𝑧 = 1560 (2)
0.1𝑥 + 0.2𝑦 + 0.1𝑧 = 480 (3)
Hallamos los determinantes
| 𝑆| = |
0.2 0.4 0.3
0.3 0.5 0.4
0.1 0.2 0.1
| = 0.2(0.05 − 0.08) − 0.4(0.03 − 0.04) + 0.3(0.06 − 0.05)
| 𝑆| = −0.006 + 0.004 + 0.003 = 0.001
| 𝑥| = |
1160 0.4 0.3
1560 0.5 0.4
480 0.2 0.1
| = 1160(0.05 − 0.08) − 0.4(156 − 192) + 0.3(312 − 240)
| 𝑥| = −34.8 + 14.4 + 21.6 = 1.2
| 𝑦| = |
0.2 1160 0.3
0.3 1560 0.4
0.1 480 0.1
| = 0.2(156 − 192) − 1160(0.03 − 0.04) + 0.3(144 − 156)
| 𝑦| = −7.2 + 11.6 − 3.6 = 0.8
| 𝑧| = |
0.2 0.4 1160
0.3 0.5 1560
0.1 0.2 480
| = 0.2(240 − 312) − 0.4(144 − 156) + 1160(0.06 − 0.05)
| 𝑧| = −14.4 + 4.8 + 11.6 = 2
Ahora hallamos los valores de las variables
𝑥 =
| 𝑥|
| 𝑆|
=
1.2
0.001
= 1200, 𝑦 =
| 𝑦|
| 𝑆|
=
0.8
0.001
= 800 𝑦 𝑧 =
| 𝑧|
| 𝑆|
=
2
0.001
= 2000
Verificando
En (1)
0.2𝑥 + 0.4𝑦 + 0.3𝑧 = 1160
0.2(1200) + 0.4(800) + 0.3(2000) = 1160
0.2(1200) + 0.4(800) + 0.3(2000) = 1160
1160=1160
En (2)

Algebra Lineal
0.3𝑥 + 0.5𝑦 + 0.4𝑧 = 1560
0.3(1200) + 0.5(800) + 0.4(2000) = 1560
1560=1560
En (3)
0.1𝑥 + 0.2𝑦 + 0.1𝑧 = 480
0.1(1200) + 0.2(800) + 0.1(2000) = 480
480=480
Por tanto se pueden producir 1200 camisas tipo A, 800 tipos B y 2000 tipo C
2. Un centro de diversión tiene capacidad para 101 mesas, las mesas cuentan con 4, 6 y 8
sillas, la capacidad total de sillas es de 552. En cierto día se ocupó la mitad de las mesas
de 4 sillas, un octavo de las mesas de 6 sillas y un tercio de las de 8 sillas para un total
de 35 mesas ¿Cuántas mesas de cada tipo se utilizaron ese día?
Inicialmente vamos a hallar en número de mesas de cada tipo
Consideremos 𝑥 el número de mesas de 4 sillas, 𝑦 el número de mesas de 6 puestos y 𝑧
el número de mesas de 8 puestos
Por datos el sistema de ecuación lineal sería
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 101 ①
4𝑥 + 6𝑦 + 8𝑧 = 552 ②
1
2
𝑥 +
1
8
𝑦 +
1
3
𝑧 = 35 ③
Calculamos los determinantes
| 𝑠| = |
1 1 1
4 6 8
1/2 1/8 1/3
| = 1.16
| 𝑥| = |
101 1 1
552 6 8
35 1/8 1/3
| = 56
| 𝑦| = |
1 101 1
4 552 8
1/2 35 1/3
| = 37.33
| 𝑦| = |
1 1 101
4 6 552
1/2 1/8 35
| = 24.5
Calculamos los valores de las variables

Notas de clase Algebra Lineal

Notas de clase Algebra Lineal

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (17)

Similar a Notas de clase Algebra Lineal

Similar a Notas de clase Algebra Lineal (20)

Último

Último (20)

Notas de clase Algebra Lineal