1. INTRODUCCIÓN 1 . Álgebra lineal y vectores aleatorios 2 . Distribución normal multivariante ANÁLISIS DE LA MATRIZ DE COVARIANZAS 3 . Componentes principales 4 . Análisis factorial 5 . Correlaciones canónicas CLASIFICACIÓN 6 . Análisis discriminante 7 . Análisis de conglomerados ANÁLISIS MULTIVARIANTE

3. EJEMPLOS

4. ALGEBRA LINEAL Vectores Matriz de datos: p variables observadas en n objetos

5. ALGEBRA LINEAL Vectores Dados se define: 1. Suma

6. ALGEBRA LINEAL Vectores 2. Producto de un escalar por un vector 3. Producto escalar de dos vectores

7. ALGEBRA LINEAL Vectores 4. Norma de un vector Propiedades

8. ALGEBRA LINEAL Vectores 5. Distancia entre dos vectores 6. Ángulo entre dos vectores

9. ALGEBRA LINEAL Vectores Desigualdad de Cauchy-Schwarz Consecuencia:

10. ALGEBRA LINEAL Vectores 7. Ortogonalidad 8. Ortonormalidad es ortonormal si es ortogonal y todos los vectores tienen norma 1, es decir, es ortogonal si   n e e e , , , 2 1  i e i   1

11. ALGEBRA LINEAL Vectores Ejemplo

12. ALGEBRA LINEAL Vectores Un conjunto de vectores es linealmente independiente si (la única manera de construir una combinación lineal igual a 0 es que todos los coeficientes sean 0) =0

13. ALGEBRA LINEAL Vectores Proposición. Todo conjunto ortogonal de vectores no nulos es linealmente independiente. ortogonal l.i. Demostración

14. ALGEBRA LINEAL Vectores Proyección de x sobre y y y y x y y y y x x pr y 2 , , , ) (  

15. ALGEBRA LINEAL Vectores Ejemplo

17. ALGEBRA LINEAL Ortogonalización de Gram-Schmidt Proposición Demostración

18. ALGEBRA LINEAL Ortogonalización de Gram-Schmidt Sean Dado un conjunto de vectores l.i., se puede construir otro conjunto ortogonal que genere el mismo espacio. linealmente independientes

19. ALGEBRA LINEAL Ortogonalización de Gram-Schmidt Entonces:

21. ALGEBRA LINEAL Matrices ortogonales Propiedades Qy Qx y x

22. ALGEBRA LINEAL Autovalores y autovectores A nxn ; x autovalor de A x es autovector asociado a Polinomio característico Ecuación característica

23. ALGEBRA LINEAL Autovalores y autovectores Ejemplo Autovalores y autovectores de

24. ALGEBRA LINEAL Autovalores y autovectores Propiedades Diagonalización de matrices

25. ALGEBRA LINEAL Autovalores y autovectores: diagonalización Si A simétrica entonces existen autovalores reales con autovectores asociados ortonormales tales que P P’ D A=PDP’, siendo D diagonal y P ortogonal (Toda matriz simétrica es diagonalizable)

26. ALGEBRA LINEAL Ejemplo Diagonalizar Autovalores y autovectores: diagonalización

27. ALGEBRA LINEAL Autovalores y autovectores: representación espectral Sea con autovectores ortonormales tales que Si A es simétrica entonces existen autovalores reales

28. ALGEBRA LINEAL Ejemplo Descomposición espectral de Autovalores y autovectores: representación espectral

29. ALGEBRA LINEAL Formas cuadráticas A nxn simétrica; , f(x)=x’ A x es una forma cuadrática

30. ALGEBRA LINEAL Formas cuadráticas Ejemplo Expresar matricialmente la forma cuadrática Escribir en forma cuadrática

31. ALGEBRA LINEAL Formas cuadráticas Como A nxn es simétrica, es diagonalizable, se puede escribir A = PDP’ y, por tanto, queda: f(x) = x’PDP’x. Haciendo y = P’x: se tiene

32. Formas cuadráticas ALGEBRA LINEAL x 2 x 1 y 2 y 1 e 2 e 1 y los autovectores x’Ax=c 2 representa geométricamente una elipse en ; los autovalores son normalizados son e 1 y e 2.

33. Formas cuadráticas ALGEBRA LINEAL Ejemplo Representar, hallar los ejes y obtener la expresión reducida de

36. Raíz cuadrada de una matriz B es raíz de A si A=BB; ALGEBRA LINEAL Raíz cuadrada de una matriz: A semidefinida positiva ; B=A 1/2 ; A=A 1/2 A 1/2 Si A es simétrica y A=PDP’ con descomposición espectral entonces:

37. Formas cuadráticas ALGEBRA LINEAL Raíz cuadrada de una matriz: Nota:

38. Descomposición singular de una matriz ALGEBRA LINEAL Dada la matriz A mxn , AA’ es cuadrada y simétrica; por tanto, diagonalizable. es un valor singular de A, si es autovalor de AA’. Descomposición singular Sea A una matriz mxn ; valores singulares de A. Entonces existen matrices ortogonales U y V tales que:

39. Vectores y matrices aleatorias Vector aleatorio Matriz aleatoria 31

40. Vectores y matrices aleatorias Se llama vector de medias a: y covarianza entre dos variables a Se define la matriz de covarianzas de X como:

41. Vectores y matrices aleatorias

42. Vectores y matrices aleatorias ALGEBRA LINEAL Ejemplo

43. Vectores y matrices aleatorias Propiedades Sea X mxn y sean A kxm y B nxr matrices de constantes. Entonces:

44. Vectores y matrices aleatorias Matriz de correlaciones en forma matricial: donde V es la matriz de varianzas : donde

46. Matriz de datos

48. Matriz de datos Proposición Dado

53. Matriz de datos Vector de desviaciones a la media:

54. Matriz de datos Entonces:

55. Matriz de datos Varianza generalizada y varianza total:

58. EJEMPLOS

59. EJEMPLOS

60. EJEMPLOS

62. Matriz de datos ALGEBRA LINEAL Ejemplo

63. EJEMPLOS

64. EJEMPLOS

65. EJEMPLOS

66. EJEMPLOS

67. EJEMPLOS

68. EJEMPLOS

69. EJEMPLOS