Este documento resume el capítulo 10 sobre el movimiento Browniano y procesos estacionarios de un libro de probabilidad. Explica que el movimiento Browniano describe el movimiento aleatorio de partículas pequeñas en un líquido o gas. Luego define formalmente el movimiento Browniano y discute conceptos como el tiempo de golpe, la variación máxima y el problema de la ruina del jugador. Finalmente, presenta fórmulas para valorar opciones financieras basadas en el movimiento Browniano.
Este documento presenta 8 problemas resueltos relacionados con el cálculo de integrales de línea. Los problemas involucran calcular la longitud de curvas dadas por parametrizaciones, integrales de campos vectoriales a lo largo de curvas algebraicas, y cálculos de integral de línea para campos definidos en superficies.
Este documento introduce conceptos fundamentales relacionados con curvas en R3 definidas por funciones vectoriales de una variable real. Explica funciones vectoriales, dominio, límite, continuidad y trayectorias. Luego define gráficas, trazas y curvas como la traza de una trayectoria. Presenta ejemplos de curvas comunes como hélices y discute derivadas y conceptos asociados a derivadas de funciones vectoriales.
Este documento describe el algoritmo EM (Expectation Maximization) para estimar los parámetros de una mezcla gaussiana con dos componentes. El algoritmo EM itera entre calcular las responsabilidades (etapa E) y maximizar la verosimilitud esperada (etapa M) para estimar la probabilidad π, las medias μ1, μ2 y las varianzas σ1, σ2. Esto permite asignar observaciones a cada componente de la mezcla y estimar los parámetros de la distribución subyacente.
El documento resume los sistemas lineales de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo cómo convertir una ecuación diferencial de orden mayor en un sistema de primer orden. Explica que existe una única solución para un problema de valor inicial dado y provee ejemplos para ilustrar los conceptos.
Este documento introduce la transformada de Laplace como una herramienta para analizar funciones. Define la transformada de Laplace de una función f(t) como la integral de f(t) multiplicada por e^-st desde 0 hasta infinito. Presenta teoremas que establecen condiciones para la existencia de la transformada de Laplace y expresiones para funciones comunes como polinomios, exponenciales, seno y coseno.
Este documento presenta tres ejemplos de cómo calcular la representación en serie de Fourier para diferentes señales. En el primer ejemplo, se calculan los coeficientes de Fourier para la señal f(t)=e-t. En el segundo ejemplo, se calculan los coeficientes para la señal f(t)=t2. En el tercer ejemplo, se calculan los coeficientes para una señal periódica de amplitud A entre -π y π.
Este documento describe el comportamiento de un oscilador forzado sometido a una fuerza exterior armónica. Explica que la solución de la ecuación diferencial que describe el movimiento del oscilador es la suma de la solución general de la ecuación homogénea más una solución particular. Deriva expresiones para la amplitud y fase de la oscilación forzada en régimen permanente, mostrando que la amplitud presenta un máximo en la frecuencia de resonancia. Finalmente, representa la amplitud de la respuesta en función del factor de calidad del oscil
Este documento presenta la resolución numérica de varias ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) mediante el método de Runge-Kutta implementado en el software MATLAB. Se transforman EDO de segundo orden en sistemas de primer orden equivalentes y se resuelven usando el integrador ode45. Los resultados muestran las curvas de solución y su convergencia a estados de equilibrio.
Este documento presenta 8 problemas resueltos relacionados con el cálculo de integrales de línea. Los problemas involucran calcular la longitud de curvas dadas por parametrizaciones, integrales de campos vectoriales a lo largo de curvas algebraicas, y cálculos de integral de línea para campos definidos en superficies.
Este documento introduce conceptos fundamentales relacionados con curvas en R3 definidas por funciones vectoriales de una variable real. Explica funciones vectoriales, dominio, límite, continuidad y trayectorias. Luego define gráficas, trazas y curvas como la traza de una trayectoria. Presenta ejemplos de curvas comunes como hélices y discute derivadas y conceptos asociados a derivadas de funciones vectoriales.
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El documento resume los sistemas lineales de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo cómo convertir una ecuación diferencial de orden mayor en un sistema de primer orden. Explica que existe una única solución para un problema de valor inicial dado y provee ejemplos para ilustrar los conceptos.
Este documento introduce la transformada de Laplace como una herramienta para analizar funciones. Define la transformada de Laplace de una función f(t) como la integral de f(t) multiplicada por e^-st desde 0 hasta infinito. Presenta teoremas que establecen condiciones para la existencia de la transformada de Laplace y expresiones para funciones comunes como polinomios, exponenciales, seno y coseno.
Este documento presenta tres ejemplos de cómo calcular la representación en serie de Fourier para diferentes señales. En el primer ejemplo, se calculan los coeficientes de Fourier para la señal f(t)=e-t. En el segundo ejemplo, se calculan los coeficientes para la señal f(t)=t2. En el tercer ejemplo, se calculan los coeficientes para una señal periódica de amplitud A entre -π y π.
Este documento describe el comportamiento de un oscilador forzado sometido a una fuerza exterior armónica. Explica que la solución de la ecuación diferencial que describe el movimiento del oscilador es la suma de la solución general de la ecuación homogénea más una solución particular. Deriva expresiones para la amplitud y fase de la oscilación forzada en régimen permanente, mostrando que la amplitud presenta un máximo en la frecuencia de resonancia. Finalmente, representa la amplitud de la respuesta en función del factor de calidad del oscil
Este documento presenta la resolución numérica de varias ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) mediante el método de Runge-Kutta implementado en el software MATLAB. Se transforman EDO de segundo orden en sistemas de primer orden equivalentes y se resuelven usando el integrador ode45. Los resultados muestran las curvas de solución y su convergencia a estados de equilibrio.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de integración por sustitución. Explica que este método involucra realizar un cambio de variable en la integral para simplificarla. Provee ejemplos detallados de cómo aplicar los pasos de integración por sustitución y cuando es aconsejable usar este método, como cuando el integrando contiene un producto o cociente de funciones o guarda parecido con una integral inmediata. Finalmente, presenta una serie de ejercicios resueltos para practicar la aplicación de este método.
1. El documento introduce la teoría de estabilidad para sistemas autónomos representados por ecuaciones diferenciales ordinarias.
2. Explica conceptos como el plano de fase, trayectorias, puntos críticos y retrato de fase.
3. Describe dos tipos de puntos críticos: nodos (propios e impropios) y clasifica su estabilidad.
1. El documento introduce la transformada de Fourier como una extensión de las series de Fourier para analizar señales aperiódicas. 2. Explica que la transformada de Fourier de una señal aperiódica x(t) es otra función X(ξ) que permite descomponer la señal original aplicando la transformada inversa. 3. Presenta algunas propiedades básicas de la transformada de Fourier como su linealidad, efectos de traslación y cambios de escala, y su relación con la derivación de señales.
Este documento describe el movimiento armónico simple (MAS). Explica que el MAS ocurre cuando una masa sujeta a un muelle oscila libremente alrededor de su posición de equilibrio. La ecuación que describe este movimiento es una ecuación diferencial del segundo orden con solución de la forma x(t) = Acos(ωt + φ), donde A es la amplitud, ω la frecuencia angular y φ la fase. También se describen las expresiones para la velocidad y aceleración de la masa oscilante.
Este documento presenta una serie de 19 problemas relacionados con señales y sistemas de tiempo continuo y discreto. Los problemas cubren temas como transformaciones de señales, periodicidad, cálculo de potencia media y energía, y representación de funciones en términos de escalones unitarios.
El documento presenta los métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Introduce el método de Euler para aproximar soluciones de EDO a través de discretización del intervalo. Explica que los métodos numéricos calculan valores aproximados de la solución en puntos discretos y que el error entre el valor exacto y aproximado se conoce como error de truncamiento. Finalmente, comenta que existen métodos de Taylor de orden superior que mejoran la aproximación de Euler.
Este documento trata sobre análisis de señales aleatorias, incluyendo procesos aleatorios, correlación, densidad espectral de potencia y ruido. Explica conceptos como energía y potencia de señales, autocorrelación, funciones de distribución y densidad, y estacionariedad. Además, introduce la densidad espectral de potencia como una herramienta para caracterizar propiedades espectrales de señales aleatorias.
Este documento presenta información sobre un curso de Matemáticas II dictado en la Universidad de Cartagena para el programa de Administración de Empresas durante el segundo semestre del año 2010. El tutor del curso es José Felipe Rhenals Almanza y el documento contiene apuntes sobre integración por partes e integración de funciones trigonométricas.
Este documento presenta 6 problemas resueltos relacionados con series de Fourier. Cada problema involucra desarrollar una función dada en una serie de Fourier, calcular coeficientes de Fourier, y estudiar la convergencia de la serie. Los problemas cubren temas como funciones periódicas, puntos de discontinuidad, y aplicaciones de series de Fourier como demostrar identidades trigonométricas.
1) El documento trata sobre probabilidades y variables aleatorias, incluyendo definiciones, axiomas y ejemplos de variables aleatorias discretas y continuas.
2) Explica conceptos como espacio muestral, probabilidad condicional, regla de Bayes y promedios estadísticos como valor esperado y varianza.
3) También cubre procesos estocásticos, incluyendo características de procesos estacionarios y ergódicos, y cómo calcular la densidad espectral de potencia.
El documento presenta las fórmulas básicas para calcular la derivada de funciones algebraicas y trascendentes. Explica que la derivada de una constante es cero, la de x es 1, y la de x^n es nx^(n-1). También cubre las fórmulas para derivar sumas, productos y cocientes de funciones, así como funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Finaliza con 12 ejemplos de aplicación de estas fórmulas.
Este documento contiene los siguientes elementos:
1) Una dedicatoria de los autores a Dios, sus familias y amigos por su apoyo.
2) Un prefacio y prólogo que introducen el tema a tratar.
3) Apuntes y ejercicios resueltos sobre señales y sistemas, incluyendo conceptos como convolución y ecuaciones en diferencia. Los ejercicios están resueltos de manera gráfica y analítica.
1) El documento presenta 20 ejercicios de trigonometría que involucran identidades trigonométricas, cálculos de funciones trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y ángulos en radianes y grados. 2) Los ejercicios piden mostrar identidades trigonométricas, calcular valores de funciones trigonométricas, simplificar expresiones y resolver ecuaciones trigonométricas. 3) Los ejercicios involucran senos, cosenos, tangentes y ángulos comprendidos entre 0 y 2π radianes o 0 y
Este documento presenta fórmulas básicas para derivar diferentes tipos de funciones, incluyendo funciones constantes, identidad, potencias, suma, producto, cociente, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, hiperbólicas e inversas. Proporciona reglas para derivar funciones compuestas y funciones que involucran más de una variable.
Este documento presenta la resolución de dos problemas de álgebra lineal. El primer problema prueba que si las imágenes de una base bajo una transformación lineal son linealmente dependientes, entonces la transformación no es inyectiva. El segundo problema determina los valores para los cuales una transformación lineal dada no es sobreyectiva y encuentra bases para su imagen y núcleo.
Este documento describe conceptos básicos de cálculo como derivadas, velocidad, aceleración y aplicaciones de la derivada. Explica cómo usar la derivada para encontrar máximos y mínimos de funciones, y cómo calcular la velocidad y aceleración de un objeto que se mueve en línea recta usando derivadas. También cubre temas como funciones implícitas, crecientes/decrecientes, formas indeterminadas y la regla de L'Hôpital.
Este documento describe el movimiento armónico simple y varios casos especiales como el sistema masa-resorte, péndulo físico y péndulo de torsión. También cubre oscilaciones amortiguadas y la energía en el movimiento armónico simple.
Este documento proporciona las soluciones detalladas de un cuaderno de ejercicios sobre matemáticas aplicadas a la economía. La autora, Dra. Lorena Zogaib, agradece los comentarios y correcciones al material. El documento contiene las soluciones a varios ejercicios sobre ecuaciones en diferencias, incluyendo ecuaciones lineales y no lineales, autónomas y no autónomas.
Este documento describe el movimiento armónico simple y sus diferentes casos como el sistema masa-resorte, péndulo físico y de torsión. Explica las ecuaciones que rigen la posición, velocidad y aceleración para el MAS, así como la energía cinética, potencial elástica y mecánica total. También aborda el movimiento armónico amortiguado y los diferentes tipos según la relación entre la frecuencia del medio y la natural del sistema.
Este documento discute los polinomios de Taylor para funciones de una y dos variables. Explica cómo calcular los polinomios de Taylor de primer y segundo orden para aproximar funciones en vecindades de puntos. Proporciona ejemplos detallados de cómo calcular los polinomios de Taylor de primer y segundo orden para funciones específicas.
1) Las series de Fourier describen la representación de funciones periódicas como suma de funciones senos y cosenos. 2) Pueden usarse para funciones con cualquier periodo mediante una transformación de variables. 3) Las funciones pares solo contienen términos de coseno, mientras que las impares solo tienen términos de seno.
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden. Explica los casos particulares de ecuaciones donde no aparece la variable independiente o dependiente, y métodos para resolverlos mediante reducción de orden y cambio de variables. También cubre ecuaciones lineales de segundo orden, sus soluciones generales para coeficientes constantes y no constantes, y métodos para encontrar soluciones particulares.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de integración por sustitución. Explica que este método involucra realizar un cambio de variable en la integral para simplificarla. Provee ejemplos detallados de cómo aplicar los pasos de integración por sustitución y cuando es aconsejable usar este método, como cuando el integrando contiene un producto o cociente de funciones o guarda parecido con una integral inmediata. Finalmente, presenta una serie de ejercicios resueltos para practicar la aplicación de este método.
1. El documento introduce la teoría de estabilidad para sistemas autónomos representados por ecuaciones diferenciales ordinarias.
2. Explica conceptos como el plano de fase, trayectorias, puntos críticos y retrato de fase.
3. Describe dos tipos de puntos críticos: nodos (propios e impropios) y clasifica su estabilidad.
1. El documento introduce la transformada de Fourier como una extensión de las series de Fourier para analizar señales aperiódicas. 2. Explica que la transformada de Fourier de una señal aperiódica x(t) es otra función X(ξ) que permite descomponer la señal original aplicando la transformada inversa. 3. Presenta algunas propiedades básicas de la transformada de Fourier como su linealidad, efectos de traslación y cambios de escala, y su relación con la derivación de señales.
Este documento describe el movimiento armónico simple (MAS). Explica que el MAS ocurre cuando una masa sujeta a un muelle oscila libremente alrededor de su posición de equilibrio. La ecuación que describe este movimiento es una ecuación diferencial del segundo orden con solución de la forma x(t) = Acos(ωt + φ), donde A es la amplitud, ω la frecuencia angular y φ la fase. También se describen las expresiones para la velocidad y aceleración de la masa oscilante.
Este documento presenta una serie de 19 problemas relacionados con señales y sistemas de tiempo continuo y discreto. Los problemas cubren temas como transformaciones de señales, periodicidad, cálculo de potencia media y energía, y representación de funciones en términos de escalones unitarios.
El documento presenta los métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). Introduce el método de Euler para aproximar soluciones de EDO a través de discretización del intervalo. Explica que los métodos numéricos calculan valores aproximados de la solución en puntos discretos y que el error entre el valor exacto y aproximado se conoce como error de truncamiento. Finalmente, comenta que existen métodos de Taylor de orden superior que mejoran la aproximación de Euler.
Este documento trata sobre análisis de señales aleatorias, incluyendo procesos aleatorios, correlación, densidad espectral de potencia y ruido. Explica conceptos como energía y potencia de señales, autocorrelación, funciones de distribución y densidad, y estacionariedad. Además, introduce la densidad espectral de potencia como una herramienta para caracterizar propiedades espectrales de señales aleatorias.
Este documento presenta información sobre un curso de Matemáticas II dictado en la Universidad de Cartagena para el programa de Administración de Empresas durante el segundo semestre del año 2010. El tutor del curso es José Felipe Rhenals Almanza y el documento contiene apuntes sobre integración por partes e integración de funciones trigonométricas.
Este documento presenta 6 problemas resueltos relacionados con series de Fourier. Cada problema involucra desarrollar una función dada en una serie de Fourier, calcular coeficientes de Fourier, y estudiar la convergencia de la serie. Los problemas cubren temas como funciones periódicas, puntos de discontinuidad, y aplicaciones de series de Fourier como demostrar identidades trigonométricas.
1) El documento trata sobre probabilidades y variables aleatorias, incluyendo definiciones, axiomas y ejemplos de variables aleatorias discretas y continuas.
2) Explica conceptos como espacio muestral, probabilidad condicional, regla de Bayes y promedios estadísticos como valor esperado y varianza.
3) También cubre procesos estocásticos, incluyendo características de procesos estacionarios y ergódicos, y cómo calcular la densidad espectral de potencia.
El documento presenta las fórmulas básicas para calcular la derivada de funciones algebraicas y trascendentes. Explica que la derivada de una constante es cero, la de x es 1, y la de x^n es nx^(n-1). También cubre las fórmulas para derivar sumas, productos y cocientes de funciones, así como funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. Finaliza con 12 ejemplos de aplicación de estas fórmulas.
Este documento contiene los siguientes elementos:
1) Una dedicatoria de los autores a Dios, sus familias y amigos por su apoyo.
2) Un prefacio y prólogo que introducen el tema a tratar.
3) Apuntes y ejercicios resueltos sobre señales y sistemas, incluyendo conceptos como convolución y ecuaciones en diferencia. Los ejercicios están resueltos de manera gráfica y analítica.
1) El documento presenta 20 ejercicios de trigonometría que involucran identidades trigonométricas, cálculos de funciones trigonométricas, ecuaciones trigonométricas y ángulos en radianes y grados. 2) Los ejercicios piden mostrar identidades trigonométricas, calcular valores de funciones trigonométricas, simplificar expresiones y resolver ecuaciones trigonométricas. 3) Los ejercicios involucran senos, cosenos, tangentes y ángulos comprendidos entre 0 y 2π radianes o 0 y
Este documento presenta fórmulas básicas para derivar diferentes tipos de funciones, incluyendo funciones constantes, identidad, potencias, suma, producto, cociente, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, hiperbólicas e inversas. Proporciona reglas para derivar funciones compuestas y funciones que involucran más de una variable.
Este documento presenta la resolución de dos problemas de álgebra lineal. El primer problema prueba que si las imágenes de una base bajo una transformación lineal son linealmente dependientes, entonces la transformación no es inyectiva. El segundo problema determina los valores para los cuales una transformación lineal dada no es sobreyectiva y encuentra bases para su imagen y núcleo.
Este documento describe conceptos básicos de cálculo como derivadas, velocidad, aceleración y aplicaciones de la derivada. Explica cómo usar la derivada para encontrar máximos y mínimos de funciones, y cómo calcular la velocidad y aceleración de un objeto que se mueve en línea recta usando derivadas. También cubre temas como funciones implícitas, crecientes/decrecientes, formas indeterminadas y la regla de L'Hôpital.
Este documento describe el movimiento armónico simple y varios casos especiales como el sistema masa-resorte, péndulo físico y péndulo de torsión. También cubre oscilaciones amortiguadas y la energía en el movimiento armónico simple.
Este documento proporciona las soluciones detalladas de un cuaderno de ejercicios sobre matemáticas aplicadas a la economía. La autora, Dra. Lorena Zogaib, agradece los comentarios y correcciones al material. El documento contiene las soluciones a varios ejercicios sobre ecuaciones en diferencias, incluyendo ecuaciones lineales y no lineales, autónomas y no autónomas.
Este documento describe el movimiento armónico simple y sus diferentes casos como el sistema masa-resorte, péndulo físico y de torsión. Explica las ecuaciones que rigen la posición, velocidad y aceleración para el MAS, así como la energía cinética, potencial elástica y mecánica total. También aborda el movimiento armónico amortiguado y los diferentes tipos según la relación entre la frecuencia del medio y la natural del sistema.
Este documento discute los polinomios de Taylor para funciones de una y dos variables. Explica cómo calcular los polinomios de Taylor de primer y segundo orden para aproximar funciones en vecindades de puntos. Proporciona ejemplos detallados de cómo calcular los polinomios de Taylor de primer y segundo orden para funciones específicas.
1) Las series de Fourier describen la representación de funciones periódicas como suma de funciones senos y cosenos. 2) Pueden usarse para funciones con cualquier periodo mediante una transformación de variables. 3) Las funciones pares solo contienen términos de coseno, mientras que las impares solo tienen términos de seno.
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Tema5 Características Generales de las Ondasrafarrc
1) El documento describe las características de las ondas en una cuerda elástica con masas separadas y en una cuerda vibrante continua. 2) Se determinan los modos normales de vibración y las frecuencias propias para ambos casos. 3) También se analizan conceptos como la reflexión y transmisión de ondas al encontrarse con una discontinuidad en la cuerda.
Este documento describe el método de Crank-Nicholson para resolver la ecuación de difusión. El método discretiza el espacio en elementos finitos y el tiempo en pasos discretos. Se aproxima la solución mediante funciones lineales por elementos. Esto conduce a un sistema de ecuaciones matriciales que relaciona los valores de la solución en los nodos en cada paso de tiempo. El método proporciona una aproximación numérica estable y precisa de la solución de la ecuación de difusión.
1) El documento presenta el método de separación de variables para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado.
2) Se define una ecuación homogénea como aquella donde sus funciones M y N son homogéneas del mismo grado respecto a x e y.
3) Para resolver una ecuación diferencial homogénea, se realiza la sustitución v=y/x convirtiéndola en una ecuación de variables separables.
Este documento describe el movimiento armónico simple y osciladores forzados y amortiguados. Explica que el movimiento armónico simple puede describirse mediante funciones de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. También describe las ondas mecánicas, incluidas ondas transversales y longitudinales, y ondas senoidales periódicas descritas por funciones del tipo sen(x-vt).
Este documento presenta 127 problemas de cálculo diferencial e integral. Los problemas incluyen derivar e integrar funciones, operaciones con funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas, y ecuaciones que involucran varias de estas funciones. El documento fue escrito por el profesor Lic. MSc. Dámaso Rojas y contiene una guía de problemas para sus estudiantes de matemáticas.
Este documento presenta varios problemas y ejercicios relacionados con señales y sistemas. 1) Clasifica diferentes señales como señales de energía, potencia u otras. 2) Demuestra que la potencia media normalizada de una señal periódica es igual a la potencia media sobre un período. 3) Representa una señal y su derivada usando escalones unitarios. 4) Bosqueja transformaciones de señales en tiempo continuo como cambios en el eje del tiempo. 5) Igual que el problema 4 pero para señales discretas. 6)
El documento explica el método de sustitución o cambio de variable para calcular integrales. Este método involucra reemplazar las variables de la integral con nuevas variables para simplificar el cálculo. Se proveen ejemplos resueltos para ilustrar cómo aplicar este método a diferentes integrales.
Este documento presenta un esquema inicial sobre diferentes distribuciones de probabilidad, incluyendo la distribución uniforme, normal, exponencial, Erlang, Gamma y Beta. Para cada distribución, se describe su génesis, función de probabilidad, función de distribución, esperanza y varianza. Además, incluye ejemplos y gráficas ilustrativas.
Este documento presenta el examen final de ecuaciones diferenciales ordinarias de ingeniería industrial. Contiene 4 problemas que involucran ecuaciones diferenciales lineales y no lineales, sistemas de ecuaciones diferenciales y ecuaciones integro-diferenciales. Los problemas se resuelven paso a paso mostrando los cálculos y métodos utilizados.
El documento describe los modelos de movimiento vibratorio utilizando ecuaciones diferenciales de segundo orden. Explica la ley de Hooke y la segunda ley de Newton para un sistema resorte-masa, resultando en la ecuación diferencial x''(t) + ω2x(t) = 0. Luego, analiza casos de movimiento forzado, amortiguado y no amortiguado, proporcionando ejemplos y soluciones. Finalmente, establece analogías con circuitos eléctricos RLC.
Este documento presenta 5 prácticas de biomatemática. La práctica 1 resuelve modelos de crecimiento exponencial y logístico para una población. La práctica 2 aplica un modelo logístico para calcular la población de peces en 1991 y determina la población límite en 6000. La práctica 3 aplica otro modelo logístico para calcular la población de lagartos en 2000 y determina la población límite en 1550. La práctica 4 determina los puntos de equilibrio de un modelo de depred
Este documento presenta ejercicios de derivadas e integrales. Incluye reglas básicas de derivación como la derivada de sumas, productos, cocientes, funciones compuestas y funciones trigonométricas. Luego, proporciona 18 ejercicios de derivación de funciones como x3, 1/x, x4 + 3x2 - 6 y raíces cuadradas que deben resolverse aplicando dichas reglas. El objetivo es practicar el cálculo de derivadas a través de ejemplos.
Este documento contiene la guía número 2 del curso de Matemática II. Incluye 7 secciones con ejercicios sobre aproximaciones de áreas bajo curvas usando rectángulos, cálculo de integrales definidas, volúmenes de sólidos de revolución, y determinación de convergencia de integrales impropias. Los profesores son Josè Ollarves, Nancy Requena, Aida Ulacio, Arnaldo Mèndez y Ariel Luna en la Universidad Francisco de Miranda.
Este documento trata sobre series de Fourier. Explica que una serie trigonométrica puede expresarse como una serie de Fourier de una función periódica, con coeficientes calculados a través de integrales. También describe cómo calcular los coeficientes para funciones pares e impares, resultando en series cosenoidales o senoidales. Finalmente, presenta un teorema sobre la convergencia puntual de las series de Fourier para funciones acotadas y monótonas por tramos.
El documento describe el método de Runge-Kutta de cuarto orden. Este método calcula el cambio en y (∆y) como una combinación lineal ponderada de las pendientes (k0, k1, k2, k3) en diferentes puntos dentro del intervalo. La fórmula es ∆y = (k0 + 2k1 + 2k2 + k3)∆t/6. Las pendientes k se calculan evaluando la función f en puntos específicos dentro del intervalo usando un promedio ponderado de las pendientes anteriores.
Este documento describe ecuaciones diferenciales en derivadas parciales separables. Explica que estas ecuaciones pueden convertirse en dos ecuaciones diferenciales ordinarias mediante el método de separación de variables. También cubre conceptos como soluciones de ecuaciones diferenciales parciales, principio de superposición, y ejemplos como la ecuación del calor unidimensional y la ecuación de onda unidimensional, incluyendo problemas de valores en la frontera.
Este documento describe las ecuaciones diferenciales estocásticas y presenta dos enfoques: el cálculo de Itō y el cálculo de Stratonovich. Explica el esquema estocástico de Euler para aproximar soluciones numéricamente y analiza la convergencia fuerte y débil de dicho esquema. También compara el cálculo de Itō y Stratonovich, señalando que son equivalentes cuando se aplica una corrección a los coeficientes en el enfoque de Stratonovich.
Este documento presenta ejercicios de derivadas e integrales con sus respectivas soluciones. Incluye reglas básicas de derivación de funciones como suma, producto, cociente, potencias y funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También presenta ejemplos numéricos de derivación de funciones compuestas de varias variables.
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Espero que esta información sea útil para quienes la lean y les ayude a comprender mejor las TIC y su impacto en nuestra vida cotidiana.
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Resumen del Capítulo 10: Movimiento Browniano y Procesos Estacionarios
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Autor: Sheldon M. Ross
MOVIMIENTO BROWNIANO
Los procesos de Movimiento Browniano, a veces llamados procesos de Wiener, son de
los más importantes procesos estocásticos en la teoría de probabilidad aplicada. Su origen se
encuentra en la Física pero su nombre se debe a Robert Brown, botánico del siglo XIX que lo
descubrió. Dicho movimiento es el que exhibe una partícula pequeña que se encuentra
totalmente inmersa en un líquido o gas. La primera explicación del fenómeno la dio Albert
Einstein en el año 1905. El mostró que el Movimiento Browniano se podría explicar asumiendo
que la partícula era continuamente sujeta al bombardeo de moléculas que se encuentran en su
entorno. Sin embargo la primera definición concisa la presentó Wiener en el 1918.
Empecemos considerando una caminata simétrica al azar en la cual, en cada unidad de
tiempo es igualmente probable que se de un paso hacia la izquierda o hacia la derecha. Esto es
una cadena de Markov con
Pi,i+1= ½ = Pi,i-1, i = 0, + 1,….
Ahora supongamos que aceleramos este proceso dando pasos cada vez más cortos en intervalos
de tiempo más corto. Si tomamos el límite de la manera correcta obtenemos el Movimiento
Browniano.
Si X (t ) denota la posición en el tiempo t cuando
X (t ) = ∆x ( X 1 + ... + X [ t / ∆t ] )
+ 1 si el i − ésimo paso de tamaño ∆x es a la derecha
donde Xi =
− 1 si el i − ésimo paso es a la ixquierda
2. y [ t / ∆t ] es el entero mayor que es menor o igual a t / ∆t y donde las X i son independientes
1
con P{ X i = 1} = P{ X i = −1} = .
2
[ ]
Como E [ X i ] = 0 y Var ( X i ) = E X 12 = 1 obtenemos que
E [ X (t )] = 0
t
Var ( X (t )) = (∆x) 2
∆t
Ahora pasaremos a definir formalmente el movimiento Browniano.
Definición Un proceso estocástico { X (t ), t ≥ 0} se dice que es un movimiento Browniano si
cumple las siguientes condiciones:
1. X(0) = 0
2. { X (t ), t ≥ 0} tiene incrementos estacionarios e independientes.
3. Para cada t > 0, X(t) está normalmente distribuida con media 0 y varianza σ 2t.
La interpretación del Movimiento Browniano como el limite de caminatas al azar sugiere que
X(t) debería ser una función continua de t. Como X(t) es normal con media 0 y varianza t, su
función densidad está dada por
1 2
f t ( x) = e − x 2t
2πt
La función densidad conjunta de X (t1 ),... X (t n ) para t1 < ... < t n es
1 x2 ( x − x )2
( xn − xn−1 ) 2
exp− + 1 2 1
++
2 t1
t 2 − t1 t n − t n−1
f ( x1 ,..., xn ) =
(2π ) [ t1 (t 2 − t1 ) (t n − t n−1 )]
n/ 2 1/ 2
A partir de esta función de densidad, se puede calcular cualquier probabilidad deseada.
Supongamos que se requiere una distribución condicional de X(s) dada por X(t) = B donde s < t.
La densidad condicional está dada por
3. f s ( x) f t −s ( B − x)
f s t ( x B) =
ft ( B)
{
= K1 exp − x 2 / 2 s − ( B − x) 2 / 2(t − s ) }
1 1 Bx
= K 2 exp− x 2 +
2 s 2(t − s ) + t − s
( x − Bs / t ) 2
= K 3 exp−
2 s (t − s ) / t
donde K1, K2 y K3 no dependen de x. Por lo tanto,
E [ X ( s) X (t ) = B ] = B
s
t
Var [ X ( s ) X (t ) = B ] = (t − s )
s
t
“HITTING TIMES”, VARIABLE MÁXIMA, Y EL PROBLEMA DE LA RUINA DEL
JUGADOR
Sea Ta el primer momento en que el proceso del Movimiento Browniano golpea a.
Cuando a > 0 calcularemos P{Ta < t} considerando P{X(t) > a} y considerando cuando Ta < t ó Ta
> t. Entonces,
P{ X (t ) ≥ a} = P{ X (t ) ≥ a Ta ≤ t}P{Ta ≤ t} + P{ X (t ) ≥ a Ta > t}P{Ta > t}
Ahora, si Ta < t entonces el proceso golpea a en algún punto en [0,t] y por simetría es
igualmente probable que esté por encima de a o por debajo de a en el tiempo t. Por tanto,
1
P{ X (t ) ≥ a Ta ≤ t} =
2
Como P{ X (t ) ≥ a T > t}P{T > t} = 0 entonces,
a a
2 ∞
∫
2
P{Ta ≤ t} = 2 P{ X (t ) ≥ a} = e−x / 2t
dx
2πt a
2 ∞
∫
2
= e − y / 2 dy
2π a/ t
4. a -a
donde a > 0. Para a < 0, la distribución de T es, por simetría, la misma que en T . Por tanto,
obtenemos que
2 ∞
∫
2
P{Ta ≤ t} = e − y / 2 dy
2π a/ t
VARIACIONES EN EL MOVIMIENTO BROWNIANO
Movimiento Browniano con coeficiente de difusión
Se dice que {X(t), t > 0} es un proceso de Movimiento Browniano con coeficiente de
difusión d y parámetro de varianza y2, si
(i) X(0) = 0
(ii) {X(t), t > 0} tiene incremento estacionario e independiente
(iii) X(t) está normalmente distribuido con media t y varianza t 2.
Una definición equivalente es establecer que {B(t), t > 0} sea un Movimiento Browniano
estándar y definir
X (t ) = σB (t ) + µt
Movimiento Browniano Geométrico
Si {Y(t), t > 0} es un proceso de Movimiento Browniano con coeficiente de difusión y
parámetro de varianza p2 entonces el proceso {X(t), t > 0} definido por X(t) = eY(t) se conoce
como Movimiento Browniano Geométrico.
Para s < t consideremos E [ X (t ) X (u ),0 ≤ u ≤ s ] . Entonces
5. [ ] [
E [ X (t ) X (u ),0 ≤ u ≤ s ] = E eY ( t ) Y (u ),0 ≤ u ≤ s = X ( s ) E eY ( t )−Y ( s ) ]
Ahora, la función generadora de momentos de una variable aleatoria normal W está dada por
[ ]
E e aW = e aE [W ]+a
2
Var (W ) / 2
Ya que Y(t) – Y(s) es normal con media (t – s) y varianza (t – s)( 2, si a = 1 tenemos que
[ ]
E eY ( t )−Y ( s ) = e µ ( t −s )+( t −s )σ
2
/2
De esta forma se obtiene que
E [ X (t ) X (u ),0 ≤ u ≤ s ] = X ( s)e ( t −s )( µ +σ
2
/ 2)
VALORACIÓN DE OPCIONES
(“Pricing Stock Options”)
Un ejemplo de valoración de opciones
En situaciones en las que el dinero va a ser recibido o pagado en periodos de tiempo
distintos, uno toma en cuenta el tiempo de valor del dinero. Esto es, darle a la cantidad v un
tiempo t en el futuro no es peor que dar v inmediatamente. La razón para esto es que si v es dado
a uno inmediatamente, luego esto puede ser prestado con interés y sería peor que si v al tiempo t.
Para tomar esto en cuenta, supongamos que el valor de tiempo 0, también llamado valor
presente, de la cantidad v al ser ganado en el tiempo t es ve − at . La cantidad α también es
conocida como el factor de descuento. En términos de economía, la suposición de la función de
descuento e − at es equivalente a la suposición de que uno puede ganar interés a una razón
compuesta continua de 100α por ciento por unidad de tiempo.
El Teorema del Arbitraje
6. Considere un experimento cuyo conjunto de posibles resultados es S = {1,2,...m} .
Suponga que hay n pagas disponibles. Si la cantidad x es apostada sobre la paga i, entonces el
retorno xri ( j ) es devengado si el resultado del experimento es j. En otras palabras ri (⋅) es la
función de retorno para la unidad apostada sobre la paga i. La cantidad apostada sobre una paga
puede ser positiva, negativa o cero. Un esquema de apuesta es un vector x = ( x1 ,..., x n ) con la
interpretación de que x1 es apostado sobre el activo 1, x 2 sobre el activo 2 y x n sobre el activo n.
Si el resultado del experimento es j, entonces el retorno del esquema de apuesta de x es:
n
x = ∑ xi ri ( j )
i =1
El siguiente teorema establece que existe la probabilidad del vector p = ( p1 ,.... pm ) en el
conjunto de posibles resultados del experimento en el que cada uno de los activos tiene un
retorno esperado igual a 0, o hay un esquema de apuesta que garantiza ganar la apuesta.
Teorema: Exactamente una sola de las siguientes proposiciones es verdadera:
1. Existe un vector de probabilidad p = (p1,….,pm) para el cual
m
∑ p r ( j ) = 0 , para toda
j =1
j i i = 1,…,m
2. Existe un esquema de apuestas x= ( x1 ,..., xn ) para el cual
n
∑ x r ( j ) > 0 , para toda i=1,…,n
i =1
i i
En otras palabras si X es el resultado del experimento el teorema nos dice que existe un
vector de probabilidad p para x tal que:
E p [ri ( X )] = 0 , para toda i=1,…,n
o hay un esquema de apuestas que asegura que se gana la apuesta.
Fórmula de Valoración de Opciones Black-Scholes
7. Asumamos que el precio actual de una reserva es X(0)= x0 , y sea X(t) su precio en el
tiempo t. Nos interesa la reserva en el intervalo de tiempo de 0 a T. Asumamos que el factor de
descuento es α y por lo tanto el valor presente del precio de la reserva es e − at X (t ) .
Podemos pensar en el cambio del precio de la reserva en el tiempo como nuestro
experimento. Por lo tanto el resultado del experimento sería la función X(t), donde 0 ≤ t ≤ T .
Además, supongamos que podemos adquirir cualquiera de las N diferentes opciones en el tiempo
0. La opción i que cuesta ci por cada parte, nos da la opción de adquirir partes de la reserva en el
tiempo ti para el precio fijo de K i por cada parte, donde i=1,…, N.
Vamos a asumir que queremos determinar los valores de ci para los cuales no existe una
estrategia de apuesta que nos asegure ganar. Si generalizamos el Teorema del Arbitraje, notamos
que no habrá forma segura de ganar si y solo si existe una medida de probabilidad sobre el
conjunto de resultados mediante la cual todos los activos tengan un retorno esperado igual a 0.
Sea P una medida de probabilidad sobre el conjunto de los resultados y consideremos el activo
de observar la reserva durante un tiempo s para entonces adquirir (o vender) una parte con la
intención de venderla (o adquirirla) en el tiempo t, donde 0 ≤ s < t ≤ T . El valor presente del
activo para la reserva es:
EP [e −αt X (t ) | X (u ),0 ≤ u ≤ s ] = e −αs X ( s)
Supongamos que,
X (t ) = x0 eY ( t )
donde {Y (t ), t ≤ 0} es un proceso de movimiento Browniano con coeficiente de difusión µ y
parámetro de varianza σ 2 . Por lo que,
2
E[ X (t ) X (u ),0 ≤ u ≤ s ] = X ( s )e ( t −s )( µ +σ / 2)
Si escogemos µ y σ 2 de forma que,
µ +σ 2 / 2 =α
entonces las ecuaciones anteriores se satisfacen.
8. Se deduce de lo anterior que si ponemos un precio a una opción para comprar una
porción del inventario en el tiempo t para un precio arreglado K, entonces
c = EP [e −εt ( X (t ) − K ) + ]
donde c es la opción para comprar una porción del inventario. Sin embargo ningún arbitraje es
posible. Como X (t ) = x0 e , donde Y(t) es normal con media µt y varianza tσ 2 , obtenemos
Y (t )
que
∞ 1
ceαt = ∫
2
/ 2 tσ 2
( x0 e y − K ) e −( y −µt ) dy
log( K / x0 )
2πtσ 2
Haciendo el cambio de variable w = ( y − µt )(σt 1/ 2 ) obtenemos,
1 ∞ 1 ∞
∫ ∫
2 2
ceαt = x0 e µt eσw t e −w / 2 dw − K e −w / 2 dw
2π a 2π a
donde,
log( K / x0 ) − µt
a=
σ t
Ahora,
1 ∞
∫
2 2
eσw t e −w / 2 dw = e tσ / 2φ (σ t − a )
2π a
donde φ es la función estándar de distribución normal.
Utilizando
µ +σ 2 / 2 =α
para la ecuación
2
ceαt = x0 e µt +σ t/2
φ (σ t − a ) − Kφ (−a )
y dado que b = −a , podemos escribir lo anterior como:
c = x0φ (σ t + b) − Ke −αtφ (b)
donde
αt − σ 2t / 2 − log( K / x0 )
b=
σ t
9. La fórmula anterior depende del precio inicial del inventario x0 , la opción de tiempo t , la
opción de precio K , el factor de descuento α y el valor σ 2 , donde para cualquier valor de σ 2
no hay arbitraje posible. Sin embargo esta no es la única ecuación para la que esto es posible.
Supongamos que { X (t ),0 ≤ t ≤ T } es un proceso estocástico cualquiera que satisface s < t ,
E[e −αt X (t ) X (u ),0 ≤ u ≤ s] = e −αs X ( s )
Dado que
c = E[e −αt ( X (t ) − K ) + ]
se comprueba que ningún arbitraje es posible.
Otro ejemplo de un proceso estocástico en el que no hay arbitraje posible es el siguiente.
Supongamos que tenemos una sucesión de variables aleatorias independientes que tienen en
común la media µ y supongamos que este es un proceso independiente de {N (t ), t ≥ 0} , el cual
es un proceso de Poisson con razón λ . Dado que utilizando la propiedad de la identidad,
tenemos que,
N (s) N (t )
X (t ) = x0 ∏ Yi ∏Y j
i =1 j = N ( s ) +1
y asumiendo el incremento independiente de un proceso de Poisson, tenemos que para s < t ,
N (t )
E [ X (t ) X (u ),0 ≤ u ≤ s ] = X ( s ) E ∏ Y j
j = N ( s )+1
Condicionando la cantidad de eventos entre s y t obtenemos que,
N (t )
E ∏ Y j = e −λ ( t − s )(1− µ )
j = N ( s )+1
Por lo tanto si seleccionamos λ y µ tales que
λ (1 − µ ) = −α ,
las ecuaciones anteriores se satisfacen.
“WHITE NOISE”
10. Sea { X (t ), t ≥ 0} un proceso de movimiento Browniano y f una función que tiene una
b
derivada continua en la región [a, b]. El integral ∫a
f (t )dX (t ) se define como:
n
f (ti −1)[ X (ti )− X (ti −1)]
b
∫a
f (t )dX (t ) ≡ lim ∑
n → ∞ i =1
max(t i −ti −1 ) →0
donde a = t 0 < t1 < ... < t n = b es una partición de la región [a, b]. Usando la identidad
n n
∑ f (ti −1)[ X (ti ) − X (ti −1)] = f (b) X (b) − f (a ) X (a ) − ∑ X (ti )[ f (ti ) − f (ti −1)]
i =1 i =1
vemos que:
b b
∫
a
f (t )dX (t ) = f (b) X (b) − f (a ) X (a ) − ∫ X (t )df (t )
a
Utilizando el lado derecho de la ecuación anterior obtenemos, asumiendo el intercambio
de expectación y del límite, que:
E ∫ f (t )dX (t ) = 0
b
a
Además,
n n
Var ∑ f (t i −1 )[ X (t i ) − X (t i −1 )] = ∑ f 2 (t i −1 )(t i − t i −1 )
t =1 i =1
donde la igualdad se debe a los incrementos independientes del movimiento Browniano.
Tomando los limites de lo anterior tenemos que,
Var ∫ f (t )dX (t ) = ∫ f 2 (t )dt
b b
a
a
PROCESOS GAUSSIANOS
Un proceso estocástico X (t ), t ≥ 0 es llamado Proceso Gaussiano o Normal, si
X (t1 ),..., X (t n ) es una distribución normal multivariable para toda t1 ,..., t n . Si X (t1 ),..., X (t n ) es
11. un Proceso de Movimiento Browniano entonces, X (t1 ), X (t 2 ),..., X (t n ) puede ser expresado
como una combinación linear de variables independientes normales aleatorias
X (t1 ), X (t 2 ) − X (t1 ), X (t3 ) − X (t 2 ),..., X (t n ) − X (t n−1 ) por lo que el Movimiento Browniano es un
Proceso Gaussiano.
Una distribución normal multivariable es determinada completamente por el valor de la
media marginal y el valor de la covarianza siguiendo un movimiento Browniano estándar que
puede ser definido como un Proceso Gaussiano con E [ X (t )] = 0 y s ≤ t donde,
Cov( X ( s ), X (t )) = Cov( X ( s), X ( s) + X (t ) − X ( s)
= Cov ( X ( s ), X ( s) + Cov( X ( s), X (t ) − X ( s)) = Cov ( X ( s ), X ( s )) = s
considerando que Var ( X ( s )) = s .
Sea { X (t ), t ≥ 0} un proceso de movimiento Browniano estándar y consideremos los
valores del proceso entre 0 y 1 condicional en X (1) = 0 . Observemos un proceso estocástico
condicional { X (t ),0 ≤ t ≤ 1 X (1) = 0} . Como la distribución condicional es multivariable normal
se sigue que este proceso condicional, conocido como un puente Browniano, es a su vez un
proceso Gaussiano. Podemos calcular la función de varianza de la siguiente manera:
E [ X ( s) X (1) = 0] = 0 para s < 1 obteniendo para s < t < 1
Cov[( X ( s ), X (t )) X (1) = 0] = E[ X ( s ) X (t ) X (1) = 0] = s(1 − t )
Un puente Browniano puede ser definido como un proceso Gaussiano con valor de media
0 y función de covarianza s (1 − t ), s ≤ t . Si { X (t ), t ≥ 0} es un Movimiento Browniano, entonces
el proceso {Z (t ), t ≥ 0} definido por
t
Z (t ) = ∫ X ( s)ds
0
es llamado Movimiento Browniano Integrado.
PROCESOS ESTACIONARIOS Y PROCESOS ESTACIONARIOS DÉBILES
(“Stationary and Weakly Stationary Processes”)
12. Un proceso estocástico { X (t ), t ≥ 0} es un proceso estacionario si para toda n, s, t ,..., t n
el vector aleatorio X (t1 ),..., X (t n ) y X (t1 + s ),..., X (t n + s) tiene la misma distribución
conjunta. En otras palabras, un proceso es estacionario si en la búsqueda de cualquier punto s
como el origen, el proceso tiene las mismas leyes de probabilidad. Dos ejemplos de procesos
estacionarios son:
(i) Una cadena de Markov ergódica de tiempo continuo { X (t ), t ≥ 0} cuando
P{ X (0) = j} = Pj , j ≥ 0 donde {Pj , p ≥ 0} son los límites de probabilidad.
(ii) { X (t ), t ≥ 0} cuando X (t ) = N (t + L) − N (t ), t ≥ 0 donde L > 0 es una
constante fija y N (t ), t ≥ 0} es un proceso de Poisson con razón λ.
Algunos de los ejemplos en los cuales se ven reflejados los procesos estacionarios son:
(i) “The Random Telegraph Signal Process”
Con una media E[ X (t )] = E[ X 0 (−1) N ( t ) = 0
y una función de covarianza Cov[ X (t ), X (t + s)] = E[ X (t ) X (t + s )] = e −2λs
(ii) Proceso de Ornstein – Uhlenbeck
(iii) Sea { X (t ), t ≥ 0} un proceso de movimiento Browniano estándar y definido para
α >0 , V (t ) = e −αt / 2 X (eαt ) con una media E[V (t )] = 0 y una función de
covarianza Cov[V (t ),V (t + s )] = e −αs / 2 . A {V(t), t > 0} se le conoce como Proceso
de Ornstein – Uhlenbeck.
La condición para que un proceso sea estacionario es bastante estricta y se define el
proceso { X (t ), t ≥ 0} como un proceso estacionario de segundo orden o un proceso estacionario
débil si E[ X (t )] = c y Cov[ X (t ), X (t + s)] , lo cual no depende del tiempo t. Un proceso
estacionario es de segundo orden si los primeros dos momentos de X(t) son el mismo para toda t
y la covarianza entre X(s) y X(t) dependen solamente de t − s . Para dicho proceso tenemos,
R ( s) = Cov[ X (t ), X (t + s)] . La distribución finita dimensional de un proceso Gaussiano es
determinada por su media y varianza si está dado que el proceso Gaussiano estacionario de
segundo orden es estacionario.
13. Por otro lado, se encuentran los procesos estacionarios de segundo orden no
estacionarios. Un ejemplo de estos es el Proceso Auto-regresivo. Sea Z 0 , Z1 ,..., una variable
aleatoria incorrelativa con E[ Z n ] = 0, n ≥ 0 y
σ 2 /(1 − λ2 ) n = 0
Var ( Z n ) =
σ 2 n ≥1
donde λ2 < 1 . Se define
X 0 = Z0 ,
X n = λX n−1 + Z n , n ≥ 1
El proceso { X n , n ≥ 0} es llamado un proceso auto-regresivo de primer orden. Este indica que
el estado en el tiempo n (esto es Xn) es un múltiplo constante del estado de tiempo n - 1 más
un error aleatorio llamado Zn .
ANÁLISIS ARMÓNICO DE PROCESOS ESTACIONARIOS DÉBILES
(“Harmonic Analysis of Weakly Stationary Processes”)
Sean { X (t ),−∞ < t < ∞} y {Y (t ),−∞ < t < ∞} procesos estocásticos tales que
∞
Y (t ) = ∫ X (t − s )h( s) ds .
−∞
Al { X (t )} se le conoce como el proceso de entrada y a {Y (t )} como el proceso de salida. La
función h se llama la función de respuesta a impulsos. Esta ecuación es un tipo de filtro lineal
invariante, donde la palabra filtro se debe a que podemos pensar que el proceso de entrada {X(t)}
está pasando a través de algún medio y luego es filtrado para así resultar en el proceso de salida
{Y(t)}. Es un filtro lineal ya que si los procesos de entrada { X 1 (t )} , { X 2 (t )} resultan en los
procesos de salida {Y1 (t )} , {Y2 (t )} entonces el proceso de entrada { aX 1 (t ) + bX 2 (t )} resulta en el
proceso de salida { aY1 (t ) + bY2 (t )} . Por último, es de tiempo invariante pues el proceso
14. { X (t + τ )} , donde τ es una constante, resulta en el proceso {Y (t + τ )} , i.e. si atrasamos (o
adelantamos) el proceso de entrada un tiempo τ, entonces el proceso de salida se atrasa (o
adelanta) un tiempo τ.
Supongamos que { X (t ),−∞ < t < ∞} es un proceso estacionario débil donde E[ X (t )] = 0
y con una función de covarianza R X ( s ) = Cov [ X (t ), X (t + s )] . Queremos ahora determinar el
valor esperado y la covarianza correspondientes al proceso de salida {Y (t ),−∞ < t < ∞} . Ahora,
∞
como ∫−∞
h( s ) ds < ∞ y como se puede demostrar que existe alguna M < ∞ lo suficientemente
grande tal que E X (t ) < M , entonces
E[Y (t )] = E ∫ X (t − s )h( s )ds = ∫ E [ X (t − s)]h( s )ds = 0 .
∞ ∞
−∞
−∞
De manera análoga, se sigue que
RY (t 2 − t1 ) = Cov [Y (t1 ), Y (t 2 )] = ∫∫ R X (t 2 − s 2 − t1 + s1 )h( s1 )h( s 2 ) ds1 ds 2 (*)
Nótese que esto significa que Cov [Y (t1 ), Y (t 2 )] depende de t1 y t2 solo a través de t2 – t1. Por lo
tanto {Y (t )} es un proceso estacionario débil.
Ahora, esta última ecuación para RY (t 2 − t1 ) es mejor expresarla en términos de
transformadas de Fourier para RX y RY. Sean
~
R X ( w) = ∫ e −iws R X ( s) ds ,
~
R Y ( w) = ∫ e −iws RY ( s )ds
y
~
h( w) = ∫ e −iws h( s )ds
~
las transformadas de Fourier de RX, RY y h respectivamente. La función R X ( w) se conoce
como la densidad espectral de poder del proceso { X (t )} . De (*) se obtiene que
~ ~ ~ ~
R Y ( w) = R X ( w) h( w) h(− w) .
Ahora mediante la fórmula e ix = cos x + i sin x y e −ix = cos x − i sin x se tiene que
15. [ ∫ h(s) cos(ws) ds ] + [ ∫ h(s) sin(ws) ds ]
~ ~ ~ 2
2 2 2
∫ h ( s )e
−iws
h( w) h(− w) = = ds = h( w) .
Por lo tanto
~ ~ ~ 2
R Y ( w) = R X ( w) h( w) .
BIBLIOGRAFÍA
Ross, Sheldon M. (2000). Introduction to Probability Models. Seventh Edition. Academic Press.
Págs. 549 - 584.