Este documento describe las ecuaciones diferenciales estocásticas y presenta dos enfoques: el cálculo de Itō y el cálculo de Stratonovich. Explica el esquema estocástico de Euler para aproximar soluciones numéricamente y analiza la convergencia fuerte y débil de dicho esquema. También compara el cálculo de Itō y Stratonovich, señalando que son equivalentes cuando se aplica una corrección a los coeficientes en el enfoque de Stratonovich.

1. ECUACIONES DIFERENCIALES ESTOCASTICAS
dxt = a(t, xt )dt + b(t, xt )dwt
Interpretacion matematica como ecuacion integral estocastica
t t
xt = xt0 + a(s, xs )ds + b(s, xs )dws
t0 t0
Supuestos:
A)Coeficientes de funciones
a, b : [0, T ]xR → R
-continua
-condicion de lipschitz
|a(t, x) − a(t, y )| ≤ K |x − y |
|b(t, x) − b(t, y )| ≤ K |x − y |
-condicion de crecimiento lineal
|a(t, x)| + |b(t, x)| ≤ k 1 + |x|2

2. B)Valor inicial
xt0 , 0 ≤ t0 < T
-no anticipativo
-E (xt20 ) < ∞
Conclusiones:
Existe la funcion X : [t0 , T ]xΩ → R, tal que:
a) Unica con probabilidad 1
b) Xt es no anticipativa
c) E (xt20 ) < ∞
d) Paso continuo de la muestra
e) Proceso de difusion con coeficientes a,b
Demostracion:
Metodo de las aproximaciones sucesivas

3. ESQUEMA ESTOCASTICO DE EULER
-SDE dxt = a(t, xt )dt + b(t, xt )dwt , t0 ≤ t ≤ T
-Particion del tiempo t0 < t1 < .... < tn < tn+1 < .... < tN = T
-Paso de tiempos ∆n = tn+1 − tn
tn+1 tn+1
xtn+1 = xtn + a(s, xs )ds + b(s, xs )dws
tn tn
-Suponemos Xtn = Yn
tn+1 tn+1
Yn+1 = Yn + a(s, xs ) ds + b(s, xs ) dws
tn tn
tal que:
tn+1
tn ds = ∆n = tn+1 − tn
tn+1
tn dws = ∆Wn = Wtn+1 − Wtn
-Esquema estocastico de Euler
Yn+1 = Yn + a(s, xs )∆n + b(s, xs )∆Wn
consistente con la integral de Ito, n = 0, 1, 2, ....

4. Para un ruido dado, con paso de la muestra Wt (ω) y valor inicial
Y0 (ω)
∆W0 (ω) ∆W1 (ω)
Y0 (ω) − −− > Y1 (ω) − −− > Y2 (ω) − −− >
Ejemplo: Generar la correspondiente muestra de paso de la
secuencia de variables aleatorias Yn , para n = 1, 2, ...
(FALTA LA GRAFICA)

5. -Generacion de incrementos de ruidos
∆Wn = Wtn+1 − Wtn ≈ N(0, ∆n )
√
Ejemplo: ∆Wn = Gn ∆n , donde Gn ≈ N(0, 1)
-Transformacion de Box-Muller
Un yU n independientes, con distribucion uniforme [0, 1]
Gn = −2 ln (Un ) ∗ cos (2πU n )
Gn = −2 ln (Un ) ∗ sin (2πU n )
Por tanto G n yGn son independientes con distribucion N[0, 1]

6. -Generacion de numeros Pseudo-aleatorios
Proporcionar Un independiente uniformemente distribuido en [0, 1]
-Generador de congruencia lineal
Xn+1 = aXn + b(modc)
Un = Xn /c [0, 1]
Nota:Sucesivos (Un , Un+1 ) se encuentran en las lineas de pendiente
a/c en el cuadrado unidad [0, 1]2
(FALTA GRAFICA)
Un − − > no perfecta pero buena para muchos fines y reproducible

7. -Lineal SDE
dxt = aXt dt + bXt dwt
-Esquema de Euler
Yn+1 = Yn + aYn ∆n + bYn ∆Wn
(FALTA GRAFICA)
-Solucion exacta
2 )t+bW
Xt = X0 e(a−1/2b t
La imagen muestra Xτj para τj = j ∗ 2−9
Paso del tiempo mas pequeo
Wτj = Σj−1 Vi
i=0 Vi ≈ N(0; 2−9 )
-Para la misma muestra
(n+1)25 −1
En el esquema de Euler Wtn = Wτn∗25 ∆Wn = Σi=n∗25 Vi
Suma de varianzas indep.

8. PRECISION Y CONVERGENCIA
Pasos de tiempo iguales ∆n = δ = T /NT
-Solucion exacta XT
-Iteracion de Euler YNTδ
δ
Hacer YNT → XT como δ → 0?
En que sentido?
Como de rapido?
Hay varios tipos utiles de convergencia
La eleccion apropiada depende del proposito para el cual se
requiere la aproximacion
-Aproximacion del paso de la muestra
δ
(δ) = E (|YNT − XT |) → 0, Convergencia fuerte
-Aproximacion distribucional
δ
µ1 (δ) = |E (YNT ) − E (XT )| → 0, Convergencia debil

9. Ejemplo:
µ1 ≤ (δ)
orden γ de convergencia fuerte (δ) ≤ K δ γ
orden β de convergencia debil µ1 ≤ K δ β
*Normalmente el orden es para errores de discretizacion teorica
-Redondeo del error
-Error es un numero pseudo-aleatorio
-Error de muestreo finito ← Dominante

10. -Muestreo finito e intervalos de confianza
ν = E (Z ) Esperanza
1 L
ν = L Σj=1 Z (ωj )
ˆ Promedio aritmetico de la muestra finita
Z (ω1 ), ..., Z (ωL )
Con que precision la variable aleatoria ν estima ν?
ˆ
Cojemos M lotes de N muestras cada uno
Z (ωk,j ) K = 1, ..., M y j = 1, ..., N
-Promedio de los lotes
1
νk = N ΣN Z (ωk,j ), aproximadamente gaussiana si N >> 1
ˆ j=1
-Promedio total
1 M 1 M
ν=
ˆ Σ νk =
ˆ Σ ΣN Z (ωk,j )
M k=1 NM k=1 j=1
-Varianza en cada lote
ˆ2 1
σν = ΣM (νk − ν )2
ˆ ˆ
M − 1 k=1

11. -Distribucion t-student t1−α,M−1 con α (0, 1)
M − 1 grados de libertad
ˆ2
σν
∆ˆ = t1−α,M−1
ν
M
-Intervalo de confianza 100(1 − α) (ˆ − ∆ˆ, ν + ∆ˆ)
ν ν ˆ ν
El intervalo depende de la muestra usada, con
probabilidad menor de 1 − α
Error de muestreo ≈ √1 , para ello M >> 1
M

12. CONVERGENCIA FUERTE
-SDE lineal dXt = aXt dt + bXt dWt
-Esquema de Euler Yn−1 = Yn + aYn ∆n + bYn ∆Wn
T
Pasos iguales ∆n = δ = NT
-Error fuerte δ
(δ) = E (|YNT − XT |)
-Estimacion del error
1 M
ˆ(δ) = Σ ΣN |Y δ (ωk,j ) − XT (ωk,j )|
MN k=1 j=2 NT
2 )T +bW
-Solucion exacta XT = X0 e(a−1/2b t

13. (FALTA LA GRAFICA)

14. (FALTA LA GRAFICA)

15. Teoricamente para el SDE general del esquema de Euler tiene
orden fuerte γ = 0.5
Puede ser mejor en casos especiales dXt = aXt dt + bdWt
ruido aditivo ↑
Aqui γ = 1
Sin ruido ≈ b = 0
*Reducir al esquema determinista de Euler para los ODEs con
error de discretizacion global
|YNT − XT | ≤ kδ 1
δ
γ=1

16. CONVERGENCIA DEBIL
-Error debil δ
µ1 (δ) = |E (YNT ) − E (XT )|
-Estimacion del error
1 M
µ1 (δ) =
ˆ Σ ΣN |Y δ (ωk,j ) − XT (ωk,j )|
MN k=1 j=1 NT
(FALTA GRAFICA)

17. -Criterio de convergencia debil
δ
µg (δ) = |E (g (YNT )) − E (g (XT ))|
Incluye todos los momentos, g C 0 y con crecimiento polinomial
-Orden β de convergencia debil µg (δ) ≤ Kg ∗ δ β
Misma β para todos los g
Para un SDE general el esquema estocastico de Euler tiene orden
debil β = 1.0

18. Esquemas de mayor orden
SDE lineal dXt = aXt dt + bXt dWt
Esquema de Heun
1 1
Yn+1 = Yn + (aYn + aΨn )∆n + (bYn + bΨn )∆Wn
2 2
↑ ↑
Ψn = Yn + aYn ∆n + bYn ∆Wn
(FALTA GRAFICA)

19. -El calculo estocastico es menos fuerte que el calculo determinista,
por lo que es necesario tener mas cuidado en los esquemas
derivados.
-El mayor orden de convergencia requiere mas informacion sobre el
cambio de ruido dentro de los subintervalos de discretizacion que
estan contenidos en los incrementos de ruidos simples ∆Wn

20. ECUACIONES DIFERENCIALES ESTOCASTICAS DE
STRATONOVICH
dXt = a(t, Xt )dt + b(t, Xt ) ◦ dWt , ◦denotaelcalculodestratonovich
t t
Xt = Xt0 + a(s, xs )ds + b(s, xs ) ◦ dws
t0 t0
Integralestocasticadestratonovich
(Evaluado en el punto medio de (tn , tn+1 ))
Generalmente las SDEs de Ito y Stratonovich con los mismo
coeficientes no tienen las mismas soluciones.
2
Ito: dXt = aXt dt + bXt dWt Xt = X0 e(a−1/2b )t+bWt
Stratonovich: dXt = aXt dt + bXt ◦ dWt
Xt = X0 eat+bWt
1 ∂b
Correccion a(t, x) = a(t, x) − 2 b(t, x) ∂x (t, x)
Con la correccion las SDEs de Ito y Stratonovich tienen la misma
solucion.

21. -SDEs equivalentes
dXt = aXt dt + bXt dWt , Ito
dXt = aXt dt + bXt ◦ dWt , Stratonovich
-Ejemplo
a(t, x) = ax, b(t, x) = bx, a(t, x) = (a − 1 b 2 )x
2
Ito : dXt = aXt dt + bXt dWt
Stratonovich : dXt = (a − 1 b 2 )Xt dt + bXt ◦ dWt
2
Lo cual implica:
2
Xt = X0 e(a−1/2b )t+bWt

22. -Calculo estocastico de Stratonovich
Misma regla de la cadena como calculo determinista, entonces
podemos resolver SDEs de Stratonovich por los mismos metodos
que para las ODEs deterministas
dXt = aXt dt + bXt ◦ dWt
dX
X = adt + dWt
Xt X t t
ln X0 = X0t dX = 0 ads + 0 bdWs = at + bWt
X
⇒ Xt = X0 eat+bWt

23. NOTA: El calculo de Stratonovich NO tiene el mismo enlace
directo a la teoria del proceso de difusision o a la teoria de la
martingala como el calculo de Ito.
(Estas demostraciones matematicas son muy duras)
Los calculos de Ito y de Stratonovich son ambos matematicamente
correctos.
(Es facil pasar de uno a otro usando la correccion vista antes)