Este documento presenta la resolución de dos problemas de álgebra lineal. El primer problema prueba que si las imágenes de una base bajo una transformación lineal son linealmente dependientes, entonces la transformación no es inyectiva. El segundo problema determina los valores para los cuales una transformación lineal dada no es sobreyectiva y encuentra bases para su imagen y núcleo.

1. P roblemas de Algebra Lineal I
(Desarrollados)
1. (a) Sean U, V espacios vectoriales, T : U → V una transformaci´n lineal o
y {u1 , u2 , ..., un } una base de U .Probar que si T (u1 ), T (u2 ), ..., T (un )
es linealmente dependiente entonces T no es inyectiva.
Soluci´n : Supongamos lo contrario, es decir T es inyectiva.
o
Por hip´tesis T (u1 ), T (u2 ), ..., T (un ) es linealmente dependiente, luego
o
existen escalares α1 , α2 , ..., αn no todos ceros tales que:
α1 T (u1 ) + α2 T (u2 ) + ... + αn T (un ) = 0
Entonces por la linealidad de T se tendr´:
a
T (α1 u1 ) + T (α2 u2 ) + ... + T (αn un ) = 0
T (α1 u1 + α2 u2 + ... + αn un ) = 0
Pero T (0) = 0, luego como T es inyectiva debe cumplirse que:
α1 u1 + α2 u2 + ... + αn un = 0
Donde no todos lo escalares son ceros, as´ esto quiere decir que el
ı
conjunto {u1 , u2 , ..., un } es linealmente dependiente, lo cual es ab-
surdo pues dicho conjunto al ser una base es conjunto linealmente
independiente.
(b) Sea T : 2 → 2 un operador lineal no nulo tal que T 2 = 0.Probar
que existe una base β de 2 tal que
0 0
[T ]β =
1 0
Soluci´n : Para probar la existencia de dicha base β de 2 , debemos
o
obtener un conjunto de dos elementos linealmente independientes
cuyas im´genes sean ceros y uno.
a
Partimos del dato que T es no nulo, luego debe existir un v ∈ 2 no
nulo tal que
T (v) = 0
2
As´ el conjunto {T (v), v} ser´ nuestro candidato a la base β de
ı a .
Veamos que T (v), v son vectores linealmente independientes.
Supongamos existen escalares α1 , α2 tales que:
α1 T (v) + α2 v = 0 . . . (1)
1

2. Aplicando T en ambos miembros y usando la linealidad de T
T (α1 T (v) + α2 v) = T (0)
T (α1 T (v)) + T (α2 v) = 0
α1 T (T (v)) + α2 T (v) = 0
α1 T 2 (v) + α2 T (v) = 0
Pero T 2 = 0 ⇒ T 2 (v) = 0 luego
α1 0 + α2 T (v) = 0 ⇒ α2 T (v) = 0 ⇒ α2 = 0
Pues T (v) = 0, reemplazando α2 = 0 en (1) obtenemos α1 = 0.
As´ el conjunto {T (v), v} ⊆ 2 es linealmente independiente y como
ı
dim 2 = 2 dicho conjunto es una base para 2 .
Hallemos su matriz de representaci´n v´ T .
o ıa
T (T (v)) = 0 = 0T (v) + 0v
T (v) = 1T (v) + 0v
Luego la matriz ser´:
a
0 0
1 0
Entonces basta tomar β = {T (v), v}.
2. Sea T : 4 → 3
un operador lineal cuya matriz en relaci´n a las bases
o
4 3
can´nicas de
o y es:
 
1 −1 0 1
[T ] =  1 −2 −1 0 
a 0 b 4
(a) Determinar los valores de a y b para los cuales T no es sobreyectiva.
4
Soluci´n: Sabemos que si (x, y, z, w) ∈
o se cumple
 
  x
1 −1 0 1  y 
T (x, y, z, w) =  1 −2 −1 0   z 

a 0 b 4
w
As´ operando tenemos una expresi´n para cada T (x, y, z, w) ∈ Img(T )
ı o
T (x, y, z, w) = (x − y + w, x − 2y − z, ax + bz + 4w)
Luego evaluando en los vectores can´nicos
o
T (1, 0, 0, 0) = (1, 1, a)
T (0, 1, 0, 0) = (−1, −2, 0)
T (0, 0, 1, 0) = (0, −1, b)
T (0, 0, 0, 1) = (1, 0, 4)
2

3. Entonces los vectores (−1, −2, 0), (1, 0, 4), que son linealmente inde-
pendientes, est´n en Img(T ), luego el subespacio generado por ellos,
a
de dimensi´n 2, est´ contenido en Img(T ) por ello
o a
2 dimImg(T )
3
Como Img(T ) ⊆ entonces
dimImg(T ) 3
As´ de las desigualdades anteriores deducimos que
ı
dimImg(T ) = 2 o 3
´
Si dimImg(T ) = 3 entonces T ser´ sobreyectiva, pero como de-
ıa
seamos que no lo sea no consideraremos este caso, por ello
dimImg(T ) = 2
Es decir Img(T ) coincide con el subespacio generado por {(−1, −2, 0), (1, 0, 4)}
es asi que
Img(T ) = L{(−1, −2, 0), (1, 0, 4)}
Como (1, 1, a), (0, −1, b) ∈ Img(T ) por lo anterior dichos vectores
deber´n ser combinaci´n lineal de los elementos (−1, −2, 0) y (1, 0, 4).
a o
As´ existen δ1 , δ2 , η1 , η2 ∈ tales que:
ı
(1, 1, a) = δ1 (−1, −2, 0) + δ2 (1, 0, 4)
(0, −1, b) = η1 (−1, −2, 0) + η2 (1, 0, 4)
Operando e igualando componente a componente obtenemos
a = b = 2.
(b) En el caso anterior, determine una base de Img(T ) y una de Kert(T ).
Soluci´n: De lo anterior se obtuvo que Img(T ) = L{(−1, −2, 0), (1, 0, 4)}
o
por ello una base para la imagen es {(−1, −2, 0), (1, 0, 4)}.
Para hallar una base del n´cleo sea v = (x, y, z, w) ∈ Kert(T ).
u
T (x, y, z, w) = (x − y + w, x − 2y − z, 2x + 2z + 4w) = (0, 0, 0, 0)
Luego obtenemos el sistema
x−y+w =0
x − 2y − z = 0
2x + 2z + 4w = 0
De donde x = −z − 2w, y = −z − w entonces v es de la forma
v = (−z − 2w, −z − w, z, w) = z(−1, −1, 1, 0) + w(−2, −1, 0, 1)
As´ {(−1, −1, 1, 0), (−2, −1, 0, 1)} es un generador del n´cleo y como
ı u
dimKert(T ) = 4 − dimImg(T ) = 4 − 2 = 2
Entonces {(−1, −1, 1, 0), (−2, −1, 0, 1)} ser´ una base para el n´cleo
a u
de 4 .
Dedicado a mis ex-alumnos, sigan esforz´ndose.
a
Helmuth villavicencio Fern´ndez
a
3