Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden. Explica los casos particulares de ecuaciones donde no aparece la variable independiente o dependiente, y métodos para resolverlos mediante reducción de orden y cambio de variables. También cubre ecuaciones lineales de segundo orden, sus soluciones generales para coeficientes constantes y no constantes, y métodos para encontrar soluciones particulares.

1. Lecci´n 11
o
Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden
1
Ecuaciones de segundo orden
En forma normal:
x = f (t, x, x )
Ejemplo:
1 (x )2 − 1
2tx − x + =0⇔x =
x 2tx
Casos Particulares
Ecuaciones en las que no aparece la variable dependiente:
x = f (t, x ):
1
2tx − x + =0 (t = 0)
x
Ecuaciones en las que no aparece la variable independiente:
x = f (x, x ):
2xx = 1 + (x )2
2

2. M´todo de resoluci´n de los casos particulares
e o
Reducci´n del orden mediante cambio de variables:
o
u=x
Ecuaciones en las que no aparece la variable dependiente: u
como funci´n de t.
o
u = x ⇒ x = u , x = f (t, x ) ⇒ u = f (t, u)
Se resuelve u = f (t, u) y se obtiene u = u(t). Luego se
deshace el cambio:
x (t) = u(t) ⇒ x(t) = u(t) dt.
1 1
2tx − x + =0 (t = 0) ⇒ 2tu − u + =0
x u
3
M´todo de resoluci´n de los casos particulares (cont.)
e o
u=x
Ecuaciones en las que no aparece la variable independiente: u
como funci´n de x:
o
d2 x du du dx
u=x ⇒x = = = =u ·u
dt dt dx dt
x = f (x, x ) ⇒ uu = f (x, u)
f (x, u)
Se resuelve u = y se obtiene u = u(x). Luego se
u
deshace el cambio resolviendo x = u(x) (variables
separables).
2xx = 1 + (x )2 ⇒ 2xuu = 1 + u 2
4

3. Ecuaciones Lineales
Ecuaci´n lineal de orden n:
o
x (n) + pn−1 (t)x (n−1) + · · · + p1 x + p0 x = r (t)
Caso homog´neo: r (t) = 0
e
Caso no homog´neo: r (t) = 0.
e
M´todo de resoluci´n: Reducci´n a un sistema lineal de primer
e o o
orden y dimensi´n n mediante el cambio:
o
x1 = x, x2 = x , x3 = x , . . . , xn = x (n−1)

 x1
 = x2
 x2

 = x3

 x3

= x4
.
.


 .
 x

 n−1 = xn

xn = −p0 x1 − p1 x2 − . . . − pn−1 xn + r (t)

5
Ecuaciones lineales de orden peque˜o
n
n = 2: x + p(t)x + q(t)x = r (t), x1 = x, x2 = x :
x1 = x2
x2 = −q(t)x1 − p(t)x2 + r (t)
x1 0 1 x1 0
= +
x2 −q(t) −p(t) x2 r (t)
n = 3: x + p2 (t)x + p1 (t)x + p0 (t)x = r (t),
x1 = x, x2 = x , x3 = x :

 x1 = x2
x = x3
 2
x3 = −p0 (t)x1 − p1 (t)x2 − p2 (t)x3 + r (t)
      
x1 0 1 0 x1 0
x 2  =  0 0 1  x 2  +  0 
x3 −p0 (t) −p1 (t) −p2 (t) x3 r (t)
6

4. Ecuaciones Lineales de Orden 2. Caso Homog´no
e
x1 = x, x2 = x
„ « „ «„ «
x1 0 1 x1
x + p(t)x + q(t)x = 0 (1) ⇔ = (2)
x2 −q(t) −p(t) x2
Teorema
x(t)
x(t) soluci´n de (1) si y s´lo si
o o soluci´n de (2).
o
x (t)
x(t), y (t) soluciones de (1) linealmente independientes si y s´lo si
o
x(t) y (t)
y soluciones linealmente independientes de (2);
x (t) y (t)
i.e. para alg´n t del intervalo en que p y q son continuas
u
x(t) y (t)
det =0
x (t) y (t)
x(t) y (t)
W [x, y ](t) = det =Wronskiano de x, y en t.
x (t) y (t)
7
Soluci´n general de las ecuaciones lineales homog´neas de
o e
orden 2
x + p(t)x + q(t)x = 0
x(t) = 0 siempre es soluci´n.
o
Soluci´n general:
o
x(t) = c1 x1 (t) + c2 x2 (t)
siendo x1 (t) y x2 (t) dos soluciones linealmente independientes.
Objetivo. Encontrar dos soluciones linealmente independientes.
8

5. Ecuaciones con coeficientes constantes
x1 0 1 x1
x + px + qx = 0 =
x2 −q −p x2
(x = x1 , x = x2 )
Ecuaci´n caracter´
o ıstica:
λ −1
det = 0 ⇔ λ2 + pλ + q = 0
q λ+p
La ecuaci´n caracteritica se obtiene al sustituir x por λ2 , x por λ
o
y x por λ0 = 1 en la ecuaci´n diferencial.
o
Las ra´ caracter´
ıces ısticas de la ecuaci´n diferencial son las ra´ de
o ıces
la ecuaci´n caracter´
o ıstica = valores propios de la matriz del sistema.
9
Soluci´n General de las ecuaciones lineales de orden 2 de
o
coeficientes constantes
Supongamos
λ2 + pλ + q = (λ − λ1 )(λ − λ2 )
Casos Soluciones Soluci´n
o
Posibles Lineal. indep. General
λ1 = λ2 x1 (t) = e λ1 t
x(t) = c1 e λ1 t + c2 e λ2 t
reales x2 (t) = e λ2 t
λ1 = a + bi x1 (t) = e at cos(bt)
x(t) = e at (c1 cos(bt) + c2 sen(bt))
λ2 = a − bi x2 (t) = e at sen(bt)
x1 (t) = e λt
λ1 = λ2 = λ x(t) = e λt (c1 + c2 t)
x2 (t) = te λt
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6. Ecuaciones Lineales no homog´neas
e
x + p(t)x + q(t)x = r (t)
Soluci´n General:
o
x(t) = xh (t) + xp (t)
xh (t): soluci´n general de x + p(t)x + q(t)x = 0.
o
xp (t): soluci´n particular de x + p(t)x + q(t)x = r (t).
o
¿C´mo encontrar una soluci´n particular?
o o
Dos m´todos:
e
Variaci´n de las constantes.
o
Coeficientes indeterminados
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M´todo de variaci´n de las constantes
e o
Si
xh (t) = c1 x1 (t) + c2 x2 (t)
es la soluci´n general de la ecuaci´n homog´nea, se busca una
o o e
soluci´n particular de la forma:
o
xp (t) = c1 (t)x1 (t) + c2 (t)x2 (t)
xp (t) soluci´n de x + p(t)x + q(t)x = r (t)
o
xp (t) 0 1 0
soluci´n de x =
o x+
xp (t) −q(t) −p(t) r (t)
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7. M´todo de variaci´n de las constantes (cont.)
e o
x1 (t) x2 (t)
Como X(t) = es una matriz fundamental de
x1 (t) x2 (t)
0 1
soluciones del sistema x = x
−q(t) −p(t)
Teorema
xp (t) = c1 (t)x1 (t) + c2 (t)x2 (t) soluci´n de x + p(t)x + q(t)x =
o
r (t) si y s´lo si
o
x1 (t)c1 (t) + x2 (t)c2 (t) = 0
X(t)c (t) = 0 ⇔
x1 (t)c1 (t) + x2 (t)c2 (t) = r (t)
Cramer, integrando y observando que X(t) = W [x1 , x2 ](t):
−r (t)x2 (t) r (t)x1 (t)
c1 (t) = dt, y c2 (t) = dt
W [x1 , x2 ](t) W [x1 , x2 ](t)
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M´todo de los coeficientes indeterminados
e
S´lo v´lido si la ecuaci´n x +px +qx = r (t) es de coeficientes constantes
o a o
y
r (t) = e at [Pn (t) cos(bt) + Qm (t) sen(bt)]
para algunos valores de a y b y para algunos polinomios Pn (t) de grado n
y Qm (t) de grado m.
Teorema
En tal caso, siempre existe una soluci´n de la forma:
o
˜ ˜
xp (t) = t s e at [Pk (t) cos(bt) + Qk (t) sen(bt)]
donde s es la multiplicidad de a+bi como ra´ caracter´
ız ˜ ˜
ıstica y Pk (t) y Qk (t)
son polinomios de coeficientes indeterminados de grado k = m´x(n, m).a
˜ ˜
Los coeficientes indeterminados de Pk (t) y Qk (t) se obtienen sustituyendo
esta expresi´n de xp (t) en la ecuaci´n x + px + qx = r (t).
o o
14

8. Observaciones sobre la expresi´n de xp (t)
o
r (t) = e at [Pn (t) cos(bt) + Qm (t) sen(bt)]
˜ ˜
xp (t) = t s e at [Pk (t) cos(bt) + Qk (t) sen(bt)]
1 Si a + bi no es ra´ caracter´
ız ıstica entonces s = 0.
2 A´n cuando Pn (t) o Qm (t) sean cero, en la expresi´n de xp (t)
u o
˜ ˜
deben aparecer tanto Pk (t) como Qk (t), k = m´x(n, m).
a
3 El grado del polinomio cero es −∞.
Ejemplos
(i) x + 3x + 2x = 3t + 1 a=0 b =0 P1 (t) = 3t + 1 Qm (t) = 0.
(ii) x +x =5 a=0 b =0 P0 (t) = 5 Qm (t) = 0.
(iii) x + 3x + 2x = e 3t a=3 b =0 P0 (t) = 1 Qm (t) = 0.
(iv ) x − 8x + 16x = e 4t a=4 b =0 P0 (t) = 1 Qm (t) = 0.
(v ) x + 2x + x = te t cos t a=1 b =1 P1 (t) = t Qm (t) = 0.
(vi) x + 4x = sen(2t) a=0 b =2 Pn (t) = 0 Q0 (t) = 1.
(vii) x + x = t sen t a=0 b =1 Pn (t) = 0 Q1 (t) = t.
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