El documento describe las curvas cónicas de elipse, hipérbola y parábola. Define cada una y explica sus elementos, propiedades, parámetros, ecuaciones y ejemplos reales. La elipse se define como el lugar geométrico de puntos cuya suma de distancias a dos focos es constante. La hipérbola como el lugar donde la diferencia de distancias a los focos es constante. Y la parábola como el lugar de puntos equidistantes de un foco y una recta.

1. ÍNDICE

2.  Superficie cónica ……………………………………………………………3
 Elipse………………………………………………………………………...4
 Definición……………………………………………………………4
 Elementos de la elipse…………………………………………….…4
 Propiedades de la elipse……………………………………..…….…4
 Excentridad de la elipse……………………………………………...4
 Parámetros…………………………………..…………………….…4
 Trazado…………………………………………...……………….…5
 Estudio analítico…..……………………………...……………….…5
 Ejemplos reales…………………………………...………………...10
 Hipérbolas…………………………..………………………………………12
 Definición…………………………………...……………….……..12
 Elementos de la hipérbola………………………...………………...12
 Propiedades de la hipérbola…………………………………….…..12
 Excentricidad de la hipérbola…………………………………...….12
 Parámetros…………………………………...……………….…….12
 Trazado……………………………………………………………..14
 Estudio analítico……………………………………………………15
 Ejemplos reales……………………………………………………..15
 Parábola……..……………………………………………………………...18
 Definición…………………………………………………………..18
 Elementos de la parábola…………………………………………...18
 Parámetros……………………………………………………….….18
 Trazado………………………………………………………….…..19
 Estudio analítico………………………………………………….....21
 Ejemplos reales……………………………………………………..22
 Del baloncesto a los cometas……………………………………..………...24
 Opinión personal………………………………………..…………………..25
SUPERFICIE CONICA
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3. Curvas cónicas: se denominan curvas cónicas a las secciones producidas sobre la
superficie cónica por un plano que no pasa por el vértice.
La superficie cónica se genera al girar una recta “generatriz” alrededor de otra fija
llamada eje. Estas dos rectas se cortan en el vértice V y el ángulo que forman no varia.
Se generan así dos ramas simétricas respecto al vértice V.
Cuando el plano corta todas las generatrices de la superficie, la curva es una elipse.
Cuando el plano es paralelo a una generatriz de la superficie, la curva es una parábola.
Cuando el plano es paralelo a dos generatrices de la superficie, la curva es una
hipérbola.
ELIPSE
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4. Definición:
Se llama elipse a la curva cerrada y plana, que determina el lugar geométrico de los
puntos del plano cuya suma de distancias a otros dos fijos F y F´ llamados focos, es
constante e igual al eje mayor AB .
Elementos de elipse:
• F y F´ son puntos fijos, los focos de la elipse.
• La recta que contiene a los focos se llama eje focal
• A, A´, B y B´ son los vértices de la elipse.
• El segmento AA´ es el eje mayor y el segmento BB´ es el eje menor.
• El unto de intersección de los dos ejes, O, es el centro de la elipse.
Situando la elipse en unos ejes cartesianos, con el eje focal sobre el eje X y su centro
sobre el origen de coordenadas, se cumple que:
d (F, F´) =2c
d (A, A´) =2 a
d (B, B´) ==2b
Propiedades de la elipse:
• La suma de las distancias desde un punto de la elipse a los focos es 2 a. d(A,F)
+d(A,F´)=d(A, A´)=2 a
Como A es un punto de la elipse, se cumple que:
d(A, F)+d(A, F´)=k
Por tanto tenemos que k=2 a
• La distancia desde los vértices B y B a cada uno de los focos es a.
• En una elipse se cumple sierre que: 222
cba +=
Excentricidad de la elipse:
La excentridad de una elipse es un valor que esta comprendido entre o y 1 y se calcula
mediante el cociente
a
c
.
Para el mismo valor de a, cuanto mayor sea la separación entre los focos, mas se acerca
el valor de c al valor de a, y por tanto, la excentricidad se acerca a 1. En estos casos la
elipse muestra un aspecto alargado.
Por el contrario, cuanto mas próximos están los focos la excentricidad se acerca mas a 0
y la elipse se parecerá mas a una circunferencia.
Parámetros:
La elipse tiene dos ejes de simetría perpendiculares entre si, que se cortan en el centro
de la curva (O).
Los focos son los puntos de tangencia entre el plano que genera la elipse y las esferas
inscritas en la superficie cónica. Están situados sobre el eje mayor distantes “a” de los
extremos del eje menor. La distancia focal ´FF es igual a 2c.
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5. La excentricidad es la razón
a
c
(coseno del ángulo en F) y en la elipse su valor oscila
entre 0 y 1. es la razón de distancias de un unto cualquiera de la curva al foco y a la
directriz correspondiente
2 a=eje mayor AB
2b =eje menorCD
2c = distancia focal ´FF
Los tres parámetros configuran un triángulo rectángulo, por lo que se cumple
222
cba += .
Trazado:
Método del jardinero:
 Para trazar elipses de grandes dimensiones podemos usar una cuerda de longitud
igual al eje mayor, colocamos sus extremos sobre los focos y estiramos la cuerda
para dibujar la curva.
Estudio analítico:
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2
2
2
=+
b
y
a
x
Ecuación reducida de la elipse:
Tomamos como sistema de ejes coordenados los ejes de la elipse y como origen el
centro de la misma.
Con la formula reducida de la elipse podemos conocer las coordenadas de todos sus
puntos.
5

6. y= ( ) ( )
2
2222
.
a
xbba −
x=
( ) ( )
2
2222
b
yaba −
6

7. 7

8. 8

9. 9

10. Ejemplos reales:
Orbitas planetarias:
Las orbitas de los planetas al rotar alrededor del sol son elípticas. El sol estaría situado
en un o de sus focos.
Formas circulares:
La representación de cualquier forma circular que no observemos frontalmente, es una
elipse: platos, discos, ruedas, señales de trafico, vasos. Etc.
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11. Bóvedas elipsoidales:
Las bóvedas elipsoidales permiten a dos personas (A y B) situadas en los focos,
mantener una conversación sin que las personas mas próximas se enteren. Una cúpula
elipsoidal famosa es la de Statuary Hall del Capitolio en Washington o la cámara de los
secretos en la Alambra de Granada.
Iluminación:
La forma que adopta la proyección de un foco puntual sobre un plano oblicuo, respecto
a su eje de iluminación, es una elipse.
Diseño:
La forma elíptica esta presente en todas las manifestaciones del diseño: grafico,
industrial, arquitectura, etc.
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12. HIPÉRBOLAS
Definición:
Se llama hipérbola a la curva cerrada y plana, que determina el lugar geométrico de los
puntos del plano cuya diferencia de distancias a otros dos fijos F y F´ llamados focos, es
constante e igual eje real V1 V 2 .
Elementos de la hipérbola:
 F y F´ son los focos, los puntos fijos de la hipérbola.
 La recta que une los focos, F y F´, se llama eje focal.
 Los vértices A y A´, son los dos puntos de intersección del eje focal con la
hipérbola.
 El punto medio del segmento que une los focos, O, es el centro de la hipérbola.
 Las dos rectas a las que la hipérbola se acerca indefinidamente sin llegar a
tocarlas, r y r´, se denominan asíntotas.
Situando la hipérbola en unos ejes cartesianos y su centro sobre el origen de
coordenadas, se cumple que: d(F,F´)=2c d(A,A´)=2 a
Propiedades de la hipérbola:
 La diferencia de las distancias desde un punto de la hipérbola a los focos es 2 a.
d(A,F´)-d(A,F)= d(A,F´)-d(A´,F´)= d(A,A´)=2 a
 como A es un punto de la hipérbola, se cumple que: kFdAFAd =− ´),),(
Por tanto, tenemos que k=2 a
 en una hipérbola se cumple siempre que 222
bac += .
El punto B es uno de los puntos de intersección de la recta perpendicular al eje
focal que pasa por O (eje Y), con la circunferencia de centro A y radio c. a la
distancia entre O y B la llamamos B.
Excentricidad de la hipérbola:
La excentridad de una hipérbola,
a
c
, es siempre mayor que 1, porque c>a.
Fijando un valor de a, cuanta menor separación tengan los focos de los vértices, mas se
acerca el valor de c al valor de a y, por lo tanto, la excentridad se acerca a 1. En estos
casos, la hipérbola es muy cerrada. Por el contrario, cuanto más alejados estén los focos,
la excentridad se aleja de 1 y la hipérbola será mas abierta.
Parámetros:
 Simetría: la hipérbola tiene dos ejes de simetría perpendiculares entre sí, que se
cortan en el centro de la curva O
 Ejes: la hipérbola tiene dos ejes perpendiculares: eje real y eje imaginario o
virtual.
El eje real contiene los vértices y los focos de la curva y es igual a 2 a.
El eje virtual es igual a 2b.
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13.  Focos: los focos son los puntos de tangencia entre el plano que genera la
hipérbola y las esferas inscritas en la superficie cónica. Están situados sobre el
eje real distantes “c” del centro de la curva. La distancia focal ´FF − es igual a
2c.
 Parámetros:
2 a= eje real 21VV
2b= eje virtual
2c= distancia focal ´FF
Los tres parámetros configuran un triángulo rectángulo por lo que se cumple:
222
abc +=
 Excentricidad: es la razón
a
c
(inversa del coseno del ángulo de la asuntota) y en
la hipérbola su valor oscila entre uno e infinito. Es la razón de distancias de un
punto cualquiera de la curva al foco y a la directriz correspondiente.
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14.  Asíntotas: las asuntotas son las tangentes a la hipérbola en puntos del infinito.
Son simétricas respecto a los ejes y pasan por el centro 0 cuando forman con los
ejes ángulos de 45º, la hipérbola se denomina “equilátera” y se cumple q a=b.
Trazado:
Hipérbola por papiroflexia:
Dibuja una circunferencia en un papel y, en su exterior un punto P. dobla el papel de
forma que el punto coincida con la circunferencia. Repite el procedimiento varias veces
y descubrirás una hipérbola.
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15. El doblez es una tangente a la hipérbola, y a su vez, eje de simetría entre el punto P
(foco de la elipse) y los puntos de la circunferencia de papel (circunferencia focal del
otro foco)
Estudio analítico:
Ecuación reducida de la elipse:
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2
2
2
=+
b
y
a
x
 Tomamos como sistema de ejes coordenados los ejes de la hipérbola y como
origen el punto de intersección de ambos.
 Con la formula reducida de la elipse podemos conocer las coordenadas de todos
sus puntos.
y= ( ) ( )
2
2222
.
a
baxb −
x=
( ) ( )
2
2222
b
yaba +
Ejemplos reales:
Iluminación:
La luz que proyecta la lámpara tronconica sobre una pared paralela a su eje, tiene forma
de hipérbola.
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16. Reloj solar:
La sombra que proyecta una varilla recta clavada perpendicularmente sobre un plano,
tiene forma de hipérbola. Por ello los relojes solares tienen esa disposición. La sombra
arrojada cada día es diferente al anterior. En el gráfico se encuentran las siete líneas de
declinación comunes, esto es, la línea ara cada uno de los solsticios, equinoccios, y la
supuesta entrada del sol en cada uno de los signos zodiacos.
Telescopios de tipo cassegrain:
La hierbota tiene propiedades de reflexión análogas a las de la eclipse. Si proyectamos
un haz de luz desde un foco se reflejara en la hierbota en dirección el otro foco. Este
principio se usa en los telescopios de tipo cassegrain.
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17. 17

18. PARÁBOLA
Definición:
Se llama parábola a la curva abierta, lana y de una sola rama, que determina el lugar
geométrico de los untos del plano que equidistan de un unto fijo F llamado foco, y de
una recta fija d, llamada directriz. PM = PF
Elementos de la parábola:
• F es el foco de la parábola y s es la directriz
• A la distancia entre la directriz y el foco la llamamos p.
• La recta e que pasa por F y es perpendicular a s es el eje.
• El vértice es el punto V, que es la intersección del eje con la parábola.
Si situamos la parábola en unos ejes cartesianos, son vértice en el origen de
coordenadas y cuyos ejes es el eje Y, se cumple que:






2
,0
p
F
2
:
p
ys −=
Parámetros:
• Directriz: la directriz es el lugar geométrico de los puntos simétricos del foco
respecto de cada una de las tangentes de la parábola.
• Ejes: la parábola tiene un eje perpendicular a la directriz, que contiene al foco F
y al vértice V. el eje de la curva es a se vez eje de simetría.
• Focos: el foco es el punto de la tangencia entre el plano que genera la parábola y
la esfera inscrita en la superficie cónica. Esta situado sobre el eje, distante “P” de
la directriz. El vértice esta situado en el punto medio de FD
• Parámetros: la parábola solo tiene un parámetro, “P” que configura y da forma a
la curva. El parámetro es la distancia entre foco f, y la directriz d. p= FD .
También determina la distancia del foco F, a los untos de la curva situados en la
vertical el foco.
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19. Trazado:
Trazado de la parábola por haces proyectivos:
• Conocemos el eje, el vértice y un punto PP de la curva. Trazamos P´ simétrico
de P respecto del eje.
• Dividimos los segmentos APVBVA ,, y ´BP en el mismo numero de partes
iguales.
19

20. • Unimos el vértice con las divisiones de los segmentos AP y ´BP . Cortamos
estas rectas con las horizontales trazadas por las divisiones homónimas de los
segmentos VA y VB .
• Unimos los puntos a mano alzada para dibujar la parábola.
20

21. Estudio analítico:
pxy 22
• Tomamos como sistema de ejes coordenados el eje de la parábola y la tangente
en el vértice, y como origen el vértice de la misma:
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22. Ejemplos reales:
Superficies parabólicas: las superficies parabólicas reflejan las radiaciones paralelas al
eje su foco y viceversa, propiedad que se utiliza para fabricar: antenas parabólicas,
espejos, calefactores, faros, lentes, hornos solares, centrales eléctricas parabólicas, etc.
Iluminación: la forma que adopta la proyección de un foco puntual sobre un plano
paralelo a un lado del foco, es una parábola.
Trayectoria de proyectiles: también es parabólica la trayectoria que describen los
proyectiles (despreciando el rozamiento con el aire).
Diseño: la parábola es utilizada frecuentemente en la arquitectura moderna y diseño
industrial.
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23. 23

24. DEL BALONCESTO A LOS COMETAS.
1. hoy vamos a hablar de:
Las curvas geométricas
2. ¿Cuáles de las curvas mencionadas se ven en el vaso?
Elipse, círculo.
3. ¿que instrumento se utiliza ara dibujar cónicas sobre una pared?
Una lámpara.
4. ¿son sierre útiles los estudios de un matemático
Si, porque aunque el no saque nada de esos estudios, en el futuro sierre hay alguien que
puede continuarlos sacando algo útil de ellos.
5. Apolunio de pérgamo es el autor del mas importante descubrimiento de la antigüedad
dedicado a las formulas.
6. ¿de dónde procede el nombre de cónicas?
De cero.
7. ¿quien utilizo por primera vez las cónicas? ¿Para que?
Fue Johann y las utilizo para el movimiento de los astros
8. ¿que propiedad geométrica caracteriza la elipse??
La suma de la distancia de sus focos a cualquier punto de esta sierre es la misma.
9. ¿dónde encontramos elipses?
En el tren o ave, en la arquitectura renacentista, en un balón de rugby, etc.
10. ¿Dónde aparece la parábola?
En el agua de las fuentes, al encender la antorcha olímpica en el año 1992, al tirar un
balón ara encanastar en ka canasta, al tirar el balón de fútbol, etc.
11. ¿quien descubrió la parábola?
Galileo al principio del S.XVII
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25. OPINION PERSONAL
Nuestra opinión sobre este trabajo es que ha resultado interesante, ya que hemos podido
ver algo que normalmente no se ve en esta asignatura. Aunque también opinamos que
debería de haber habido más tiempo para poder hacer el trabajo, ya que los grupos no
están hechos de personas que vivan en el mismo lugar, al no ser posible, y es
complicado quedar para terminar el trabajo en ese tiempo. En general el trabajo es
interesante.
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