El principio de Arquímedes establece que un cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje hacia arriba igual al peso del volumen de fluido desplazado. Arquímedes descubrió este principio al determinar si una corona era de oro puro midiendo su masa en el aire y bajo el agua, lo que le permitió calcular su volumen y densidad. El principio afirma que el empuje depende de la densidad del fluido, el volumen del cuerpo y la gravedad.

1. Principiode Arquímedes
El principio de Arquímedes es un principio físico que afirma que: «Un cuerpo total o
parcialmente sumergido en un fluido en reposo, recibe un empuje de abajo hacia arriba igual
al peso del volumen del fluido que desaloja». Esta fuerza1 recibe el nombre de empuje
hidrostático o de Arquímedes, y se mide en newtons (en el SI). El principio de Arquímedes se
formula así:
o bien:
donde E es el empuje, ρf es la densidad del fluido, V el «volumen de fluido desplazado» por
algún cuerpo sumergido parcial o totalmente en el mismo, g la aceleración de la
gravedad y m la masa. De este modo, el empuje depende de la densidad del fluido, del
volumen del cuerpo y de la gravedad existente en ese lugar. El empuje (en condiciones
normales2 y descrito de modo simplificado3 ) actúa verticalmente hacia arriba y está aplicado
en el centro de gravedad del cuerpo; este punto recibe el nombre de centro de carena.
Índice
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 1Historia
 2Demostración
o 2.1Otra demostración
o 2.2Prisma recto
 3Véase también
 4Notas y referencias
o 4.1Bibliografía
Historia[editar]
Arquímedes creció en un ambiente donde la ciencia era familiar, ya que su padre, Fidias, era
astrónomo. Arquímedes reveló tempranamente particular disposición para los estudios. Viajó
por la península ibérica y estudió en Alejandría. Allí trabó amistad con el famoso Eratóstenes
de Cirene, con quien efectuó la medición de la circunferencia terrestre. Probablemente a
consecuencia de los estudios realizados con Eratóstenes, más que por tradición familiar, en
Arquímedes nació la afición por la astronomía. Vuelto a Siracusa, se dedicó a sus estudios de
matemática, física, geometría, mecánica, óptica y astronomía. En todas estas materias realizó
investigaciones que aún hoy resultan difíciles para una persona de buena preparación.
La anécdota más conocida sobre Arquímedes, matemático griego, cuenta cómo inventó un
método para determinar el volumen de un objeto con una forma irregular. De acuerdo
con Vitruvio, arquitecto de laantigua Roma, una nueva corona con forma de corona
triunfal había sido fabricada para Hierón II, tirano gobernador de Siracusa, el cual le pidió a
Arquímedes determinar si la corona estaba hecha de oro puro o si un orfebre deshonesto le
había agregado plata.4 Arquímedes tenía que resolver el problema sin dañar la corona, así
que no podía fundirla y convertirla en un cuerpo regular para calcular su densidad.
Mientras tomaba un baño, notó que el nivel de agua subía en la tina cuando entraba, y así se
dio cuenta de que ese efecto podría usarse para determinar el volumen de la corona. Debido a

2. que la compresión del agua sería despreciable,5 la corona, al ser sumergida, desplazaría una
cantidad de agua igual a su propio volumen. Al dividir la masa de la corona por el volumen de
agua desplazada, se podría obtener la densidad de la corona. La densidad de la corona sería
menor si otros metales más baratos y menos densos le hubieran sido añadidos. Entonces,
Arquímedes salió corriendo desnudo por las calles, tan emocionado estaba por su
descubrimiento para recordar vestirse, gritando «¡Eureka!» (en griego antiguo: «εὕρηκα» que
significa «¡Lo he encontrado!»)6
Dado que la historia se había transmitido de forma oral, durante el renacimiento fué
cuestionada por la imprecisión de medir el volumen y el empuje por separado y dividirlos, y
también por el hecho de que la descripción anterior no utiliza para nada el Principio de
Arquimedes. Galileo En 1586, con solo 22 años, publicó el artículo La Bilancetta, en el que
describía una forma de comparar densidades con una balanza sumergida y proponía que
podría ser el dispositivo original del propio Arquímedes.7
La historia de la corona dorada no aparece en los trabajos conocidos de Arquímedes, pero en
su tratado Sobre los cuerpos flotantes él da el principio de hidrostática conocido como el
principio de Arquímedes. Este plantea que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un
empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen de fluido desalojado; es decir, dados
dos cuerpos que se sumergen en el seno de un fluido (ej:agua), el más denso o el que tenga
compuestos más pesados se sumerge más rápido, es decir, tarda menos tiempo para llegar a
una posición de equilibrio. Esto sucede por el gradiente de presión que aparece en el seno del
fluido, que es directamente proporcional a la profundidad de inmersión y al peso del propio
fluido.8
Demostración[editar]
Aunque el principio de Arquímedes fue introducido como principio, de hecho puede
considerarse un teorema demostrable a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes para un
fluido en reposo. Mediante el teorema de Stokes (igualmente el principio de Arquímedes
puede deducirse matemáticamente de las ecuaciones de Euler para un fluido en reposo, que a
su vez pueden deducirse generalizando las leyes de Newton a unmedio continuo). Partiendo
de las ecuaciones de Navier-Stokes para un fluido:
(1)
La condición de que el fluido incompresible que esté en reposo implica tomar en la ecuación
anterior , lo que permite llegar a la relación fundamental entre presión del fluido, densidad
del fluido y aceleración de la gravedad:
(2)
A partir de esa relación podemos reescribir fácilmente las fuerzas sobre un cuerpo sumergido
en términos del peso del fluido desalojado por el cuerpo. Cuando se sumerge un sólido K en
un fluido, en cada punto de su superficie aparece una fuerza por unidad de
superficie perpendicular a la superficie en ese punto y proporcional a la presión del
fluido p en ese punto. Si llamamos al vector normal a la superficie del cuerpo podemos
escribir la resultante de las fuerzas sencillamente mediante el teorema de Stokes de la
divergencia:

3. (3)
donde la última igualdad se da solo si el fluido es incompresible.
Otra demostración[editar]
Supongamos un cuerpo de volumen sumergido en un fluido de densidad , ahora
podemos elegir pequeños elementos de área , tales que tiendan a ser un punto de la
superficie del cuerpo.
Sobre cada punto (elemento de área) actúa una presión de valor y una
fuerza asociada a ella, tal que
Todas las fuerzas que están bordeando el cuerpo debido a la presión a un mismo
nivel se anulan. quedando únicamente fuerzas en dirección hacia abajo y hacia arriba.
Ahora si tomamos dos puntos de la superficie del cuerpo que estén conectados a través de
una vertical tenemos una respectiva fuerza hacia abajo y otra hacia arriba y por
ende una respectiva resultante
Donde la parte es un pequeño elemento de volumen del cuerpo, .
Por lo tanto, se puede reescribir como:
Ahora, el empuje viene a ser la fuerza neta
Donde la suma de todos los pequeños elementos de volumen del cuerpo, , resulta ser el
volumen total del cuerpo sumergido, es decir,
Por lo tanto se llega a :

4. Es decir, el empuje es proporcional al volumen del líquido desplazado por el cuerpo, es decir
proporcional al volumen del cuerpo sumergido.
Sabiendo que , reemplazando se obtiene:
Es decir, el empuje es igual al peso del líquido desplazado.
Con esto queda demostrado el principio de Arquímides.
Prisma recto[editar]
Para un prisma recto de base Ab y altura H, sumergido en posición totalmente vertical, la
demostración anterior es realmente elemental. Por la configuración del prisma dentro del fluido
las presiones sobre el área lateral solo producen empujes horizontales que además se anulan
entre sí y no contribuyen a sustentarlo. Para las caras superior e inferior, puesto que todos sus
puntos están sumergidos a la misma profundidad, la presión es constante y podemos usar la
relación Fuerza = presión x Área, y teniendo en cuenta la resultante sobre la cara superior e
inferior, tenemos:
(4)
donde es la presión aplicada sobre la cara inferior del cuerpo, es la presión
aplicada sobre la cara superior y A es el área proyectada del cuerpo. Teniendo en cuenta la
ecuación general de la hidrostática, que establece que la presión en un fluido en reposo
aumenta proporcionalmente con la profundidad:
(5)
Introduciendo en el último término el volumen del cuerpo y multiplicando por la densidad del
fluido ρf vemos que la fuerza vertical ascendente FV es precisamente el peso del fluido
desalojado.
(6)
El empuje o fuerza que ejerce el líquido sobre un cuerpo, en forma vertical y ascendente,
cuando este se halla sumergido, resulta ser también la diferencia entre el peso que tiene el
cuerpo suspendido en el aire y el "peso" que tiene el mismo cuando se lo introduce en un
líquido. A este último se lo conoce como peso "aparente" del cuerpo, pues su peso en el
líquido disminuye "aparentemente"; la fuerza que ejerce la Tierra sobre el cuerpo permanece
constante, pero el cuerpo, a su vez, recibe una fuerza hacia arriba que disminuye la resultante
vertical.
(7)
donde es el peso del cuerpo en el aire y es el peso del cuerpo sumergido en el
líquido.

5. Flotabilidad
El empuje hidrostático, viene del hecho de que la presión de un fluido aumenta con la
profundidad y del hecho de que esta presión aumentada, se ejerce en todas las direcciones
(Principio de Pascal) de modo que hay una fuerza neta de desequilibrio hacia arriba,
ejercida sobre el fondo del objeto sumergido.
Puestoque la"bolade
agua" a la izquierdaestáen
equilibrio,yexactamente
soportadapor la diferencia
enla presiónentodossus
puntos,yel objetosólidoa
la derechaexperimentael
mismoentornode presión,
se deduce que lafuerzade
empuje sobre el objeto
sólidoesigual al pesodel
agua desplazada(pesode
la bolade agua) (Principio
de Arquímedes).
Objetos de igual volumen, experimentan iguales empujes hidrostático.
Aplicaciones de Flotabilidad.
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6. Volúmenes Iguales Sienten Empujes
Hidrostáticos Iguales
Supongamosque tenemosbolasde igual tamaño,de corcho,aluminioyplomo,consusrespectivos
pesosespecíficosde 0,2,2,7, y 11,3. Si el volumende cadauna de ellasesde 10 centímetros
cúbicos,susmasas seránde 2, 27 y 113 grs.
Cada una desalojará 10 gramos de agua, produciendo masas aparente de -8,(el corcho se
aceleraría hacia arriba), 17 y 103 gramos, respectivamente.
Si desde el reposo en el agua, liberásemos las tres bolas, sus comportamientos sin duda,
serían diferentes. El corcho subiría hacia la superficie, el aluminio se hundiría, y el plomo se
hundiría más rápidamente. Pero la fuerza de empuje sobre cada una de ellas es la misma,
porque los entornos de presión son idénticos y el desalojo de agua igual. La diferencia en el
comportamiento proviene de la comparación de esa fuerza de empuje con el peso del objeto.
Comportamientode ObjetosHundiéndose
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7. Principio de Arquímedes
¡Hmm! ¡La corona parece mas ligera bajo el agua!
La fuerzade empuje
hidrostático sobre
un objeto
sumergido,esigual
al pesodel líquido
desalojadoporel
objeto.Parael agua,
con una densidad de
un gramo por
centímetrocúbico,
estoproporciona
una manera
convenientede
determinarel
volumende un
objetoconforma
irregular,ypor tanto
determinarluegosu
densidad.
¿Cual es su Densidad?
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8. Principio de Arquímedes
¡Hmm! ¡La corona parece mas ligera bajo el agua!
La fuerzade empuje
hidrostático sobre
un objeto
sumergido,esigual
al pesodel líquido
desalojadoporel
objeto.Parael
agua, con
una densidad de un
gramo por
centímetrocúbico,
estoproporciona
una manera
convenientede
determinarel
volumende un
objetoconforma
irregular,ypor
tanto determinar
luegosudensidad.
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9. Principio de Arquímedes
La fuerza de empuje hidrostático sobre un objeto sumergido, es igual al peso del fluido
desalojado. Este principio es útil para determinar el volumen y por consiguiente
ladensidad de un objeto con forma irregular, por medio de medir su masa en el aire, y su
masa efectiva cuando se sumerge en agua (densidad = 1 gramo por centímetro cúbico). Esta
masa efectiva bajo el agua, será su masa real menos la masa del fluido desalojado. Por
consiguiente, la diferencia entre las masas real y efectiva, nos da la masa del agua
desalojada y permite el cálculo del volumen del objeto con forma irregular (como lacorona
del rey en la historia de Arquímedes). La masa dividida por el volumen así determinado,
nos da una medida de la densidad media del objeto. Arquímedes encontró que la densidad
de la corona del rey supuestamente de oro, tenía realmente menos densidad que la densidad
conocida del oro - deduciendo que estaba hueca o rellena con una sustancia menos densa.
El exámen de la naturaleza de la flotabilidad muestra que la fuerza de empuje hidrostático
sobre un volumen de agua y un objeto sumergido del mismo volumen, son iguales. Puesto
que esto soporta exactamente el volumen de agua, se sigue que la fuerza de empuje
hidrostático sobre un objeto sumergido, es igual al peso del agua desalojada. Esta es la
esencia del principio de Arquímedes.
Aplicación para Determinar la Densidad
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