Este documento presenta información sobre las probabilidades en el juego del bingo. Explica que aunque es un juego de mecanismo simple, la probabilidad de ganar depende de varios factores como la cantidad de jugadores y cartones. Luego discute teoremas y estudios matemáticos que han calculado probabilidades específicas de completar líneas en el cartón después de cierta cantidad de números sorteados. Finalmente, resume que a pesar de las bajas probabilidades de ganar, el bingo sigue siendo un juego emocionante y justo debido

1. ESTUDIOS/TEOREMAS QUE DEFINEN LAS
PROBABILIDADES PARA GANAR EL JUEGO DEL BINGO
Universidad Mariano Galvez
Estadistica I
Ing. Alma Lucrecia Olivet López
Jorge Remberto Ramírez Herrarte
0910-15-21407
La Antigua Guatemala Jornada Sabatina Sección D

2. BINGO
El Bingo aunque es un juego de mecanismo simple, la probabilidad de ganar se relaciona con múltiples factores. Sin embargo, hay una
cosa que sí sabemos positivamente que es real: la probabilidad de ganar depende, en gran parte, de la cantidad de personas que haya
jugando al mismo tiempo.
En teoría, jugar un juego en el que no hay dos cartones iguales y en el que el número de cartones diferentes es, además, casi infinito,
resulta en que la probabilidad de ganar e casi inexistente.
Algunas personas creen que las probabilidades de ganar en el bingo de 75 bolas son mayores con determinados patrones. La verdad es
que, como todos los jugadores juegan con el mismo patrón, todos tienen las mismas probabilidades de ganar. Seguimos estando en la
misma situación.
En cierto sentido, el bingo es más un juego de habilidad que de probabilidades. Cada jugador de bingo recibe uno o más cartones con
una serie de números y espacios en blanco. Los números salen en forma aleatoria y cada jugador marca la casilla, si tiene el número
sorteado. La habilidad está en marcar los números en forma correcta, especialmente cuando se juega bingo con patrones y bingo súper
rápido. Por eso es un error jugar con muchos cartones a la vez.
Tenemos más probabilidades cuanta menos gente esté jugando en la sala de bingo. Pero cuando el premio depende de la cantidad de
cartones comprados, mientras resulta que tenemos más probabilidades, el premio es muy bajo.
En el bingo online los premios suelen ser mucho más altos que en el bingo real, porque no hay limitaciones en la cantidad de jugadores
que participan en un sorteo. Cuando el premio es un porcentaje del dinero recaudado en la venta de los cartones, entonces los botes
pueden ser enormes. Pero, claro, tendremos menos probabilidades de ganar.
Podríamos suponer que es esa aleatoriedad lo que hace que el bingo sea un juego tan emocionante. Y el hecho de que, además, sea
uno de los juegos más justos, justamente, por lo aleatorio.

3. Cartones y combinaciones de bingo
El bingo online de 75 bolas se juega con un cartón con 25 casilleros: 24 con números del 1 al 75 y un espacio en blanco. Los números
se ubican en columnas con las letras B-I-N-G-O.
Los cartones de los bingos online se generan en forma aleatoria, por lo que la cantidad de combinaciones posibles es casi infinita: 552
trillones, aproximadamente. Esto hace que las posibilidades de ganar sean realmente bajas, pero se compensa con la diversión del juego
y el aspecto social, tan importante en el bingo online.
Estudios matemáticos han revelado que las probabilidades de hacer una línea después de que se hayan sorteado 10 números es del
0.081%, después de 20 números es del 2.29%. Esto nos da la pauta de que hacer bingo es muy, muy difícil: después de 50 bolas
cantadas, la probabilidad es del 0.00048%. Y, en ese aspecto, se parece a la lotería, por las pocas probabilidades.
Sin embargo, esto no es para desanimarnos: siempre hay gente que gana, y siempre hay premios menores y sorteos especiales en los
que podemos conseguir algún premio. Lo importante es divertirnos, recordar que todo se basa en la suerte, y que lo mejor del bingo
online es la gente que conoceremos mientras compartimos el juego.

4. Las probabilidades en el Bingo
En algunos salones de bingo tal vez debamos pagar para poder ingresar. Pero tenemos la opción de observar sesiones sin jugar, si
queremos analizar el juego para sacar algunas conclusiones. Para poder participar y jugar, entonces si debemos comprar uno o
más cartones de bingo.
En algunas salas de bingo en línea se nos permite jugar con más de un cartón de bingo en la misma sesión. Esto hará que tengamos
más chances de ganar. Las probabilidades de ganar en el bingo dependen de varios factores del juego. Uno de los más importantes
es la cantidad de números que necesitamos para ganar el jackpot. Si la cantidad de números es baja, más altas son las probabilidades
de ganar en este juego.
Por lo general, las probabilidades de ganar en el bingo dependerán de los tipos de cartones de bingo, el número de los jugadores
que haya en el juego, el número de bolillas a sacar, y el número de cartones de bingo con los que podemos jugar en una misma sesión.
En algunos juegos de bingo se sortean jackpots progresivos. En ese caso las probabilidades de ganar son bajas, pero el premio
del jackpot es mucho más grande que un bote normal. La mayoría de los jackpots se juegan a cartón lleno; esto quiere decir que
tenemos que cubrir todos los números del cartón para ganar. Más aún, en algunos casos se ponen ciertas condiciones para el jackpot,
como la de tener que llenar el cartón dentro de una cierta cantidad de números que se saquen para poder ganar el premio. En el caso en
el que llenemos un cartón, pero fuera del límite, no tendremos posibilidad de obtener el jackpot.
Las probabilidades para el bingo se calculan en base al número límite de bolillas sacadas, y la cantidad de números en el cartón, la
cantidad de jugadores que hay en el juego y también la cantidad de cartones en juego. Hay muchas más probabilidades de ganar en un
juego en donde haya menos jugadores, una cantidad pequeña de números de cartón y una gran cantidad de bolillas permitidas.
La cantidad total de combinaciones posibles de cartones de bingo es una cifra realmente astronómica:
552.446.474.061.129.000.000.000.000 de combinaciones. De éstas, 4.976.640.000 estarían formadas por los mismos 24 números.

5. Teoría de juegos
Una persona que ante posibilidades iguales de ganancia y pérdida, debe decidir si apuesta 1 para ganar 3. En este caso lo lógico es
apostar, pues las expectativas de obtener una ganancia son superiores a la de no obtenerla. Si, por el contrario, si debe apostar 1
para ganar 2, la decisión que tome es indiferente.
Ejemplo real : Supongamos un juego de azar con la misma probabilidad de ganar que de perder en el que el valor de la apuesta es 1
€ y si gana recibe 3 €. Por tanto debe decidir si apuesta 1 para ganar 3. En este caso lo lógico es apostar , pues las expectativas de
obtener ganancia son superiores a la de no obtenerla. Podemos utilizar la teoría de juegos y calcular la esperanza matemática o
valor esperado de este juego que es el beneficio medio y se calcula sumando los productos de la probabilidad de un suceso por el
"premio" o pago que se recibe en el caso de darse dicho suceso .
0 *(1/2) + 3 *( 1/2) = 1,5
Por lo tanto, la expectativa de jugar pagando un euro por apuesta es -1 + 1,5 = 0,5 frente a la expectativa de no jugar que es cero,
entonces se debe jugar.
Por otra parte, si el juego diera una ganancia de 2 €, en lugar de 3 €, , entonces su esperanza sería: 0*(1/2) + 2*(1/2) = 1. Entonces,
consecuentemente con la teoría de juegos, podría pagar el euro para jugar o para rechazar jugar, porque de cualquier manera su
expectativa total sería 0.

6. Antecedentes de la probabilidad
La historia de la probabilidad comenzó cuando dos matemáticos Pierre Fermat y Blais Pascal trataban de explicar algunos problemas
relacionados con los juegos de azar pero la probabilidad en si se les atribuye a los matemáticos Jakob Bernoulli y Siméon Denis Poisson
con el libro las leyes de los grandes números (BJV, 2015).
Durante el siglo XVIII la probabilidad tuvo un notable desarrollo debido a la popularidad que ganaron los juegos de azar durante el
renacimiento. Se desarrollaron los primeros teoremas distribución binominal (teorema de Jakob Bernoulli) teorema central de limite y
teoría de errores estas teorías fueron recopiladas por Pierre Laplace y publicadas en 1812 en su libro teoría analítica de la probabilidad
donde se exponen un análisis matemático sobre los juegos de azar. Además, de dar una fórmula que puede ser aplicada a cualquiera de
tales probabilidades teóricas, siempre y cuando el espacio muestral S sea finito y los resultados sean igualmente probables, es decir,
sean equiprobables.
Fórmula de la probabilidad teórica
Si todos los resultados en un espacio muestra son igualmente probables, y es un evento en entonces la probabilidad teórica del evento
está dada por:

7. Aplicaciones de la probabilidad
Las probabilidades teóricas se aplican a toda clase de juegos de azar (lanzamiento de dados, juegos de cartas, ruletas, lotería, etc.), y
aparentemente también a muchos fenómenos de la naturaleza.
Un ejemplo de ello es un fraile austriaco llamado Gregor Mendel hacia un curioso experimento con cruces de dos especies homologas de
diferentes características, esta fue una de las primeras aplicaciones de la teoría de la probabilidad y de las ciencias naturales.
Otro ejemplo es la invención de los astrágalos hechos por los sumerios y asirios hasta lo que hoy conocemos como ruletas quinielas y
maquinas que causan fascinación en los hombres y mujeres.
Antecedentes de la estadística
Proviene del latín (statisticus) y significa del estado, es decir del correspondiente al gobierno (DRAE 2009). Por mucho tiempo, la
estadística se refería a estados o territorios políticos, pudo desarrollarse gracias a muchas personas que han influido, teniendo como
impulso la resolución de problemas prácticos con un objeto el estudio de la variación, es decir, la motivación a constituido el análisis de
los valores que toman las diferentes variables.
La historia de la estadística se puede dividir en tres etapas.
La primera etapa: Los censos.
Desde tiempos remotos los gobernantes han tenido la necesidad de saber datos básicos de la población así es como se ligan a la
estadística con la soberanía que a los primeros esfuerzos administrativos.
Los origines de la estadística se retoman de civilizaciones muy antiguas como babilonia, Egipto, China, Grecia, Roma, mil año después
de la caída del imperio romano, Guillermo el conquistador desarrollo el gran libro llamado el gran catastro. El primer censo del que se
tiene registro en México fue en el año 1116 cuando el rey chichimeca Xólon ordeno que fueran contados todos sus súbditos, con un total
de 3, 200,000 personas (Riva, 1984).
Segunda etapa: Descripción de los conjuntos a la aritmética política.
La estadística da un gran salto evolutivo a mediados del siglo XVII pues se empezó a recopilar más datos con otros fines y por diferentes
asociaciones o instituciones además del concepto "Aritmética política" de Inglaterra donde se comenzó a matematizar otras disciplinas
tales como economía, demografía y las ciencias sociales. Para los aritméticos políticos la estadística era el arte de gobernar,
comenzaron a utilizar tablas numéricas donde eran descritas las frecuencias de ciertos sucesos y el descubrimiento de las leyes de la
estadística.

8. John Graunt (1620-1674) encabeza la lista de la estadística investigadora, buscaba figar el número de problemas sociales, en busca de
las leyes cuantitativas que rigen a la sociedad.
Gracias a Vito Sckendorff y German Conring a que le es conocido como el creador de la estadística a descripción de los hechos más
notables del estado. Pero uno de los seguidores Godofedo Achenwall es quien consolido a la estadística de la ciencia que la nombra
estadística.
Tercera etapa: Estadística y cálculo de probabilidades.
La estadística recibió un gran impulso por los trabajadores Jakolo Bernoulli y Simeon Denis Poisson sobre las leyes de los grandes
números. Este fue el primer teorema que intento introducir medidas estadísticas a partir de probabilidades.
La primera sociedad o instituto estadístico surge en Francia en 1800 esto provoco el surgimiento del primer congreso estadístico
internacional en Bruselas 1853, EN 1882 se crea en nuestro pais la dirección general de estadística (DGE) el antecedente de hoy en día
se conoce como INEGI esta oficina se encargó de pedir, compilar, clasificar y publicar periódicamente por cuadros comparativos todos
los datos concernientes a este ramo, en el objetivo de homogenizar los métodos utilizados en 1855 el congreso internacional de
estadística invita a todos los países a usar de forma correcta la estadística.
Al estar consolidada la teoría de probabilidad y el nacimiento de la estadística moderna se sobre saltaron en el trabajo de Frances Galton
y Karl Parson, que en 1892 publica el libro de Grammar of science.
La figura más sobresaliente de la estadística moderna es Ronald Arnol Fisher (1890-1962) fue pionero en numerosas técnicas de análisis
estadísticos y en la introducción de métodos para la estimación de parámetros, además desarrollo la teoría de muestras pequeñas bajo
normalidad con el nombre de análisis de varianza y vocalianza cuyo gran impacto de la teoría y aplicación de la estadística su libro
statistical methods of regearch workes publicando en 1925 es el libro de estadística más utilizado.
Hoy la estadística, conjunto de prácticas junto con el cálculo de probabilidades constituye una rama fundamental en las matemáticas.

9. TEOREMA DE BAYES
Teorema de Bayes viene a seguir el proceso inverso al que hemos visto en el Teorema de la probabilidad total:
Teorema de la probabilidad total: a partir de las probabilidades del suceso A (probabilidad de que llueva o de que haga buen tiempo)
deducimos la probabilidad del suceso B (que ocurra un accidente).
Teorema de Bayes: a partir de que ha ocurrido el suceso B (ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A
(¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?).
La fórmula del Teorema de Bayes es:
Tratar de explicar estar fórmula con palabras es un galimatías, así que vamos a intentar explicarla con un ejemplo. De todos modos,
antes de entrar en el ejercicio, recordar que este teorema también exige que el suceso A forme un sistema completo.
Ejercicio 1º: El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:
a) Que llueva: probabilidad del 50%.
b) Que nieve: probabilidad del 30%
c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.

10. Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:
a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%.
b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20%
c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.
Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estábamos en la ciudad no sabemos que tiempo hizo (nevó, llovío o hubo
niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades:
Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha ocurrido un accidente se denominan "probabilidades a priori" (lluvia con
el 60%, nieve con el 30% y niebla con el 10%).
Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades
condicionadas P (A/B), que se denominan "probabilidades a posteriori".
Vamos a aplicar la fórmula:
a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:
La probabilidad de que estuviera lloviendo es del 71,4%.

11. b) Probabilidad de que estuviera nevando:
La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%.
c) Probabilidad de que hubiera niebla:
La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%.

12. El teorema de la probabilidad total afirma lo siguiente:

13. ALEATORIEDAD
La definición original de Martin-Löf de una secuencia aleatoria fue en términos de las cubiertas nulas constructivas; él define que una
secuencia será aleatoria si no está contenido en ningún dicha cobertura. Leonid Levin y Claus-Peter Schnorr demostraron una
caracterización en términos de la complejidad de Kolmogorov: una secuencia es aleatoria si hay una cota uniforme sobre la
compresibilidad de sus segmentos iniciales. Schnorr dio una definición equivalente tercero en términos de martingalas (un tipo de
estrategia de apuestas). El libro de Li y Vitanyi de "Introducción a la complejidad de Kolmogorov y sus aplicaciones" es la introducción
estándar a estas ideas.
Complejidad de Kolmogorov (Schnorr 1973, Levin 1973): se puede considerar como un límite inferior sobre la compresibilidad algorítmica
de una secuencia finita (de caracteres o dígitos binarios). Se asigna a cada secuencia w un número natural K(w) que, intuitivamente,
mide la longitud mínima de un programa informático (escrito en algún lenguaje de programación fija) que no tiene entrada y
salida W cuando se ejecuta. Dado un número natural c y una secuencia w, decimos que Wes C- incompresible si.
Una secuencia infinita S es una aleatoriedad Martin-Löf si y sólo si existe una constante c tal que todos los prefijos finito S son c-
incompresibles.
Cubiertas nulas constructivas (Martin-Löf 1966): Esta es la definición original de Martin-Löf. Para una cadena finita
binaria w dejamos Cw denote que el cilindro es generado por w. Este es el conjunto de todas las secuencias infinitas que comienzan con
w, que es un conjunto de base abierta en Cantor espacio. La medida μproducto (Cw) del cilindro generado por w se define como 2-| W |.
Cada subconjunto abierto de Cantor espacio es la unión de una secuencia numerable de abiertos disjuntos conjuntos básicos, y la
medida de un conjunto abierto es la suma de las medidas de cualquier secuencia de este tipo. Un conjunto abierto efectiva es
un conjunto abierto que es la unión de la secuencia de conjuntos abiertos básicos determinados por una secuencia recursivamente
numerable de cadenas binarias.

15. Thank You