El documento aborda el concepto de variable aleatoria, definiéndola como una función que asigna valores a eventos de experimentos aleatorios. Se describen los diferentes tipos de variables aleatorias: discretas, continuas y binomiales, junto con ejemplos para cada categoría. Además, se menciona la variable aleatoria normal y su aplicación en fenómenos reales, incluyendo ejemplos de distribución y cálculo de probabilidades.

1. Matemática avanzada
Scarlet Íñiguez González
6°C,T/M, BGC
Variables aleatorias

2. Variable aleatoria
Una variable aleatoria es una variable estadística cuyos
valores se obtienen de mediciones en algún tipo de
experimento aleatorio. Formalmente, una variable
aleatoria es una función, que asigna eventos. Por ejemplo,
lanzar un dado o una moneda.

3. Tipos de variables aleatorias
Discreta Continua
 El conjunto de posibles
valores es numerable.
Suelen estar asociadas a
experimentos en que se
mide el número de veces
que sucede algo.
 El conjunto de posibles
valores es no numerable.
Puede tomar todos los
valores de un intervalo.
Son el resultado de medir.

4. Variable aleatoria discreta
Su distribución viene dada por los valores que puede tomar, x1, x2, x3,
…, xk, y las probabilidades de que aparezcan p1, p2, p3, …, pk.
Estas cantidades reciben el nombre de función de probabilidad o
función de masa.
Ejemplos:
 número de páginas de un libro
 número de preguntas en una clase de una hora

5. Variable aleatoria continua
Si x es variable aleatoria continua y queremos conocer su distribución
de probabilidad no nos vale la función de probabilidad empleada con
las discretas (cada valor con su probabilidad asociada) porque toma
muchos valores. La probabilidad asociada a cada valor es
prácticamente nula (la función de distribución es continua).
Ejemplos:
 tiempo que tarda en fundirse una bombilla
 cantidad de agua consumida en un mes

6. Variable aleatoria binomial
Es una distribución de probabilidad discreta que mide el
número de éxitos en una secuencia de n ensayos con una
probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los
ensayos.
Su función de distribución es:
donde: x = (0, 1, 2, …, n), siendo las
combinaciones de n en x.

7. Gráfica de la función de distribución de
probabilidad.

8. Ejemplo 1:
Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que
cruces.
B(4, 0.5) p = 0.5 q = 0.5
p(x > 3) = p(x = 3) + p(x = 4) =
p = 0.5q = 0.5
Ejemplo 2:
Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está
comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono
elegidos al azar, sólo comuniquen dos?
B(10, 1/5) p = 1/5 q = 4/5
Ejemplo 3:
En una urna hay 30 bolas, 10 rojas y el resto blancas. Se elige una bola al azar y se anota si
es roja; el proceso se repite, devolviendo la bola, 10 veces. Calcular la media y la
desviación típica.
B(10, 1/3) p = 1/3 q = 2/3

9. Variable aleatoria normal
Una variable aleatoria es una distribución de
probabilidad de variable continua que con más frecuencia
aparece aproximada en fenómenos reales.
Su función de distribución de probabilidad es:
Y su gráfica es:

10. Ejemplo 1:
En una distribución normal de media 4 y desviación típica 2, calcular el valor de a
para que:
P (4−a ≤ x ≤ 4+a) = 0.5934
Ejemplo 2:
En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una
distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de
días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.

11. Ejemplo 3:
En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen al azar
90 familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos
30 tengan teléfono.