PROBABILIDADES PARA DATOS AGRUPADOS Y NO AGRUPADOS

PROBABILIDAD
Ing. Mgtr. Ingrid Lucrecia Buch Gómez

“Hay cosas inciertas para nosotros, cosas
más o menos Probables, y nosotros
tratamos de comprender la Imposibilidad
de conocerlas por el procedimiento de
establecer sus diversos grados de
probabilidad. En consecuencia, debemos a
la debilidad de la mente humana una de las
teorías matemáticas más delicadas e
ingeniosas, la ciencia del azar o de la
probabilidad.”
― Pierre Simon Laplace

Agenda
•Definiciones básicas
•Probabilidad
•Enfoques para calcular la probabilidad
•Reglas de la probabilidad
•Diagrama de árbol
•Asistencia

Fenómeno aleatorio
Son aquellos
predecir con
cuyos resultados
certeza debido a
no se pueden
que pequeños
cambios en las condiciones iniciales producen
efectos muy complejos en el desarrollo del
fenómeno.

EXPERIMENTO
Proceso que induce a que ocurra una y sólo una de
varias posibles observaciones.

RESULTADO
Resultado particular de un experimento.
El lanzamiento de una moneda,
pero no está seguro si caerá cara o
cruz.
Lanzamiento de un dado, hay
seis posibles resultados
En el experimento de la compra
de la computadora Dell

EVENTO
Conjunto de uno o más resultados de un
experimento, se hace referencia a un suceso o
hecho de interés
Cara de la moneda que queda hacia arriba.
Un articulo este o no defectuoso.
El precio de una acción que se negocia en la bolsa
de valores suba, baje o permanezca igual.

Listado del número de
miembros de la junta directiva
de las compañías de Fortune
500, mayores de 60 años
Experimento Lanzamiento
de un dado
Todos los
posibles
resultados
Se observa un 1
Se observa un 2
Se observa un 3
Se observa un 4
Se observa un 5
Se observa un 6
Ninguno tiene más de 60
Uno tiene más de 60
Dos tienen más de 60
...
29 tienen más de 60
...

Algunos
posibles
eventos
Se observa un número
par.
Se observa un número
mayor que 4.
Se observa un 3 o un
número menor.
Más de 13 tiene más de
60
Menos de 20 tiene más
de 60

Espacio muestral
El espacio muestral es el conjunto de todos los
posibles resultados de un experimento aleatorio
Consideremos el experimento
de extraer una canica de una
bolsa que contiene cuatro
rojas y 3 blancas.

Espacio muestral
muestral está formado por siete
El espacio
elementos:
El suceso “se extrae una
canica roja” tiene cuatro
resultados favorables.
El suceso “se extrae una
canica blanca” tiene tres
resultados favorables.

Requisitos del Espacio muestral
Todo elemento del espacio muestral es un
resultado potencial del experimento.
Cualquier resultado que se observe al realizar
el experimento, debe ser un elemento del
espacio muestral.
El resultado observado debe coincidir con un
sólo elemento del espacio muestral.

Espacio muestral
El espacio muestral se representa con S y para
indicar el número de elementos que tiene, se utiliza
la notación n(S).
n(S)=6

Espacio muestral
Se registra que la cara mostrada tiene un número
par o impar de puntos.
S = {par, impar }= { p, i}
p es favorecido por:
i es favorecido por:

Espacio muestral
Consideremos el experimento de girar la flecha de las
distintas ruletas mostradas:
El
muestral
formado
espacio
está
por
cuatro elementos
equiprobables.
espacio
está
por
El
muestral
formado
cuatro
elementos
equiprobables.
El espacio muestral
está formado por tres
elementos
equiprobables
cuales
convertir
no
los
se pueden
en cuatro
equiprobables.
El espacio muestral
está formado por
cinco elementos no
equiprobables los
pueden
ocho
cuales se
convertir en
equiprobables.

Espacio muestral
El
muestral
formado
espacio
está
por
cuatro elementos
equiprobables.
El
muestral
formado
espacio
está
por
cuatro elementos
equiprobables.
El espacio muestral
está formado por tres
elementos
equiprobables
cuales
convertir
no
los
se pueden
en cuatro
equiprobables.
El espacio muestral
está formado por
equiprobables
cinco elementos no
los
cuales se
convertir en
pueden
ocho
equiprobables.
1
Un
resultado
favorable
1
Dos resultados
favorables
1
Dos resultados
favorables
E
Cuatro resultados
favorables

Probabilidad
Valor entre cero y uno, inclusive, que describe la
posibilidad relativa (oportunidad o casualidad) de
que ocurra un evento
Imposible
Con
seguridad
sucederá
Cierto
0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90
Posibilidades Posibilidad
de que de que se
caiga cara incrementen
en un solo los impuestos
lanzamiento federales
de moneda
1.00
Posibilidad
de que llueva
en Florida
este año
0.00
Probabilidad
de
que nuestro
Sol
desaparezca
este año
Posibilidades
que tiene
Slo Poke
de ganar
el Derby
de Kentucky
No sucederá
Improbable
Probabilidad
50-50 Probable

Enfoques para asignar probabilidad
La probabilidad clásica
Parte del supuesto de que los resultados de un
experimento son igualmente posibles.
De acuerdo con el punto de vista clásico, la
probabilidad de un evento que se está llevando a cabo
se calcula dividiendo el número de resultados
favorables entre el número de posibles resultados.
Probabilidad
de un evento
Número de resultados favorables
Número total de posibles resultados

EJ
E
MP
LO
Considere el experimento de lanzar un dado.
¿Cuál es la probabilidad del evento “cae un
número par de puntos”?
Solución
Los posibles resultados son:
Un punto
Dos puntos
Tres puntos
Cuatro puntos
Cinco puntos
Seis puntos

SO
LU
CI
ÓN
Hay tres resultados favorables (un dos, un cuatro y
un seis) en el conjunto de seis resultados
igualmente posibles.
Probabilidad
de un
número par
=
Número de resultados favorables
Número total de posibles resultados

EJ
E
MP
LO
Carla Alcántara tiene una tienda de computadoras.
Un día tiene tres Gateway y dos Compaq en
existencias.
Entra en la tienda Susana a comprar dos
computadoras, a ella le da igual la marca, estas
tienen las mismas especificaciones técnicas, por lo
que selecciona los computadoras al azar.
¿Cuál es la probabilidad de que Susana compre un
Gateway y una Compaq?

SO
LU
CI
ÓN
se define el espacio muestral, que son todos los
pares posibles de dos computadores que pueden
seleccionarse en la tienda.
G
1
G2
G3
C
1
C2

SO
LU
CI
ÓN
C ,
1
S=
C ,
C ,
G
2
G
1
G
3
,
G ,
G
1
G
3
G
2
G
1
G
2
1
C2,
G
2
G
1
C
1
1
C2,
C2,
G3,
C2

SO
LU
CI
ÓN
El número de resultados contenidos en el espacio
muestral es 10.
Si A es el suceso «se elige Gateway y Compaq»,
el número, N A, de resultados que tienen Gateway
y Compaq es 6. Por lo tanto, la probabilidad de
que ocurra el suceso A — un Gateway y un
Compaq— es

La probabilidad empírica o frecuencia relativa
El segundo tipo de probabilidad, se basa en el número
de veces que ocurre el evento como proporción del
número de intentos conocidos
Se basa en la llamada ley de los grandes números. La clave
para determinar probabilidades de forma empírica consiste
en que una mayor cantidad de observaciones proporcionarán
un cálculo más preciso de la probabilidad

Para explicar la ley de los grandes números,
supongamos que lanzamos una moneda común.
El resultado de cada lanzamiento es cara o cruz.
Si lanza la moneda una sola vez, la probabilidad
empírica de las caras es cero o uno.

Si lanzamos la moneda una gran cantidad de veces, la
probabilidad del resultado de las caras se aproximará
a 0.5.

EJ
E
MP
LO
El 1 de febrero de 2003 explotó el transbordador
espacial Columbia. Éste fue el segundo desastre
en 113 misiones espaciales de la NASA.
Con base en esta información, ¿cuál es la
probabilidad de que una futura misión concluya
con éxito?
Probabilidad de =
un vuelo exitoso
Número de vuelos exitosos
Número total de vuelos

EJ
E
MP
LO
Se quiere
automóviles
abrir un nuevo concesionario de
en una ciudad que tiene una
población de 150.000 habitantes.
La experiencia de otros muchos concesionarios
indica que en ciudades parecidas un concesionario
tiene éxito si al menos el 40 por ciento de los
hogares tiene una renta anual de más de 50.000 $.
Se necesita estimar la proporción de rentas
familiares de más de 50.000 $, es decir, la
probabilidad de esas rentas.

SO
LU
CI
ÓN
Primero examina los datos censales más recientes
y observa que en la ciudad había 54345 hogares y
que 31496 tenían una renta de más de 50.000 $.

Probabilidad subjetiva
Si se cuenta con poca o ninguna experiencia o
información con la cual sustentar la probabilidad, es
posible aproximarla en forma subjetiva.
En esencia, esto significa que un individuo evalúa
las opiniones e información disponibles y luego
calcula o asigna la probabilidad.

Probabilidad subjetiva
Ejemplos:
Calcular la posibilidad de que los Patriotas de
Nueva Inglaterra jueguen el Súper Tazón el año que
viene.
2.Calcular la posibilidad de que usted contraiga
matrimonio antes de los 30 años.
3.Calcular la posibilidad de que el déficit
presupuestario de Estados Unidos se reduzca a la
mitad en los siguientes 10 años.

EJ
E
MP
LO
Choque de meteoritos ¿Cuál es la
probabilidad de que su automóvil sea
impactado por un meteorito este año?
Solución
La ausencia de datos históricos de
meteoritos que chocan contra automóviles
impide usar el método de frecuencias
relativas.

SO
LU
CI
ÓN
Hay dos posibles resultados (chocar o no chocar),
pero no son igualmente probables, de tal forma
que no podemos usar el método clásico.
Esto nos deja con la regla 3, por medio de la cual
hacemos un estimado subjetivo.
En tal caso, todos sabemos que la probabilidad en
cuestión es muy, muy pequeña.

SO
LU
CI
ÓN
Estimemos que sea, digamos, de 0.000000000001
(equivalente a una en un billón).
Este estimado subjetivo, que se basa en nuestro
conocimiento general, puede encontrarse en el
campo general de la probabilidad real.

Enfoques de la probabilidad
Objetivo Subjetivo
Se basa en resultados
igualmente probables
Probabilidad
clásica
Probabilidad
empírica
Se sustenta en las
frecuencias relativas
Parte de información
disponible

REGLAS PARA
CALCULAR
PROBABILIDADES

Regla especial de la adición
Para aplicar la regla especial de la adición, los
eventos deben ser mutuamente excluyentes.
Recuerde que mutuamente excluyentes, significa
que cuando un evento ocurre, ninguno de los demás
eventos puede ocurrir al mismo tiempo.
Ejemplo:
El lanzamiento del dado son los eventos “un
número 4 o mayor” y “un número 2 o menor”.

Ejemplo:
{4, 5 y 6}, entonces no puede estar en el
segundo grupo {1 y 2}
Un producto proveniente de la línea de
montaje no puede estar defectuoso y en buen
estado al mismo tiempo.

Si dos eventos A y B son mutuamente
excluyentes, la regla especial de la adición
establece que la probabilidad de que
ocurra uno u otro es igual a la suma de sus
probabilidades.

En el caso de los tres eventos mutuamente
excluyentes designados A, B y C, la regla
se expresa de la siguiente manera:

EJ
E
MP
LO
Una máquina automática llena bolsas de plástico
con una combinación de frijoles, brócoli y otras
verduras.
La mayoría de las bolsas contiene el peso
correcto, aunque, como consecuencia de la
variación del tamaño del frijol y de otras verduras,
un paquete podría pesar menos o más.
Una revisión de 4 000 paquetes que se llenaron el
mes pasado arrojó los siguientes datos:

EJ
E
MP
LO
¿Cuál es la probabilidad de que un paquete en
particular pese menos o pese más?

SO
LU
CI
ÓN
Los eventos son mutuamente excluyentes, lo
cual significa que un paquete de verduras
mixtas no puede pesar menos, tener el peso
satisfactorio y pesar más al mismo tiempo.
El resultado “pesa menos” es el evento A. El
resultado “pesa más” es el evento C. Al aplicar
la regla especial de la adición se tiene:
P(A o C) = P(A) + P(C) = .025 + 0.075 = .10

Regla general de la adición
Los resultados de un experimento pueden
no ser mutuamente excluyentes.
P(A u B ) = P (A ) + P(B) - P(A n
B )

EJ
E
MP
LO
Florida Tourist Commission seleccionó una
muestra de 200 turistas que visitaron el estado
durante el año.
La encuesta reveló que 120 turistas fueron a
Disney World y 100 a Busch Gardens, cerca de
Tampa y 60 visitaron ambos lugares.
¿Cuál es la probabilidad de que una persona
seleccionada haya visitado Disney World o
Busch Gardens?

SO
LU
CI
ÓN
Para responder cuál es la probabilidad de elegir a
una persona que haya visitado Disney World o
Busch Gardens
1) Sume la probabilidad de que un turista haya
visitado Disney World y la probabilidad de que
haya visitado Busch Gardens
2) Reste la probabilidad de que haya visitado
ambas atracciones turísticas.

SO
LU
CI
ÓN
P(Disney o Busch) = P(Disney) + P(Busch)
- P(Tanto Disney como Busch)
= 0.60 + 0.50 - 0.30 = 0.80
Cuando dos eventos ocurren al mismo tiempo, la
probabilidad se denomina probabilidad conjunta.
P(Disney) = .60 P(Busch) = .50
P(Disney y Busch) = .30

PROBABILIDAD CONJUNTA
Probabilidad que mide la posibilidad de que dos
o más eventos sucedan simultáneamente.
En el caso de la expresión P(A o B), la
conjunción o sugiere que puede ocurrir A o
puede ocurrir B.

EJ
E
MP
LO
Una cadena de hamburgueserías observó que
el 75 por ciento de todos los clientes
consume mostaza, el 80 por ciento consume
ketchup y el 65 por ciento consume los dos.
¿Cuál es la probabilidad de que un cliente
consuma al menos uno de los dos?

SO
LU
CI
ÓN
Sea A el suceso «el cliente consume mostaza» y B
el suceso «el cliente consume
ketchup». Por lo tanto, se tiene:
P(A) = 0,75 P (B) = 0,80 y P ( A n B ) = 0,65
La probabilidad es
= 0,75 + 0,80 - 0,65 = 0,90

Reglas de la multiplicación
Se estimará la probabilidad de que la
ocurrencia de dos eventos sea simultánea.
Por ejemplo: una empresa de marketing desea
calcular la probabilidad de que una persona de
21 años de edad o mayor compre una Hummer

Regla especial de la multiplicación
La regla especial de la multiplicación requiere
que dos eventos, A y B, sean independientes,
y lo son si el hecho de que uno ocurra no
altera la probabilidad de que el otro suceda.

Regla especial de la multiplicación
En el caso de tres eventos independientes, A,
B y C, la regla especial de la multiplicación
que se utiliza para determinar la probabilidad
de que los tres eventos ocurran es:

EJ
E
MP
LO
Una encuesta que llevó a cabo la American
Automobile Association (AAA) reveló que el
año pasado 60% de sus miembros hicieron
reservaciones en líneas aéreas. Dos de ellos
fueron seleccionados al azar.
¿Cuál es la probabilidad de que
hicieran reservaciones el año pasado?
ambos

SO
LU
CI
ÓN
La probabilidad de que el primero haya
hecho una reservación el año pasado es de
0.60, que se expresa como P(R1) .60, en la
que R1 representa el hecho de que el primer
miembro hizo una reservación.

SO
LU
CI
ÓN
La probabilidad de que el segundo miembro
elegido haya hecho una reservación es
también de 0.60, así que P(R2) .60. Como el
número de miembros de la AAA es muy
grande, se supone que R1 y R2 son
independientes.
P(R1 y R2) = P(R1)P(R2) = (.60)(.60) = .36

PROBABILIDAD CONDICIONAL
La regla general de la multiplicación sirve para
determinar la probabilidad conjunta de dos eventos
cuando éstos no son independientes.
Probabilidad de que un evento en particular ocurra,
dado que otro evento haya acontecido

EJ
E
MP
LO
Un golfista tiene 12 camisas en su clóset.
Suponga que 9 son blancas y las demás
azules.
Como se viste de noche, simplemente toma
una camisa y se la pone. Juega golf dos veces
seguidas y no las lava.
¿Cuál es la probabilidad de que las dos
camisas elegidas sean blancas?

SO
LU
CI
ÓN
El evento que se relaciona con el hecho de
que la primera camisa seleccionada sea
blanca es B1. La probabilidad es P(B1) 9/12,
porque 9 de cada 12 camisas son blancas.

SO
LU
CI
ÓN
El evento de que la segunda camisa
seleccionada sea blanca también se identifica
con B2.
La probabilidad condicional relacionada con
el hecho de que la segunda camisa
seleccionada sea blanca, dado que la primera
camisa seleccionada es blanca también.
P(B2|B1) = 8/11

SO
LU
CI
ÓN
¿A qué se debe esto? A que después de que
se selecciona la primera camisa, quedan 11
camisas en el clóset y 8 de éstas son blancas.

Teorema de Bayes
Así, la regla de Bayes trata de problemas en los que
se desea encontrar la probabilidad de un suceso B,
dado otro A, P(B|A), cuando los datos de los que se
dispone son las probabilidades condicionales
inversas, es decir, la probabilidad del suceso A,
dado el suceso B, P(A|B).

EJ
E
MP
LO
En la siguiente tabla se resumen los datos de
la fabricación de un producto mediante
máquinas.
En la segunda columna se muestra el
porcentaje con que cada máquina contribuye
a la producción; en la tercera columna se
muestran los porcentajes de artículos
defectuosos que cada máquina produce.

EJ
E
MP
LO
En la cuarta columna se encuentra este
porcentaje de defectuosos expresado como la
probabilidad de defectos dada cada máquina.

EJ
E
MP
LO
¿Cuál es la probabilidad de que, habiendo
elegido un artículo defectuoso, éste provenga
de la máquina 1 es:
Solución:
Utilizando M para identificar las maquinas y
D, los artículos defectuosos, la formula de la
regla de Bayes se convierte en:

SO
LU
CI
ÓN
Solución:
Su desarrollo completo, dado que se tienen 4
máquinas en el ejemplo, es:
M
Contribución
producción
%
defectuosos
D/M
1 0.4 2 0.02
2 0.3 3 0.03
3 0.2 5 0.05
4 0.1 4 0.04

SO
LU
CI
ÓN
la probabilidad de que, habiendo elegido un
artículo defectuoso, éste provenga de la
máquina 1 es:

SO
LU
CI
ÓN
De la misma manera, la probabilidad de que,
tras elegir un artículo defectuoso, éste
provenga de las 3 máquinas restantes es:

SO
LU
CI
ÓN
Las probabilidades de que, tras escoger un
artículo defectuoso, provenga de cada una de
las 4 máquinas es igual a 1:
0.2581 + 0.2903 + 0.3226 + 0.1290 = 1
ya que estas máquinas constituyen el universo
de donde pudo provenir el artículo
defectuoso.

EJ
E
MP
LO
Se analiza a los 2 vendedores que tiene a su
cargo un supervisor de una aseguradora:
Carlos y Mariana; Carlos vende 75% de las
pólizas y Mariana 25%. Carlos tiene quejas
en 15% de las pólizas que vende, y Mariana
en 20%. Si un cliente presenta una queja.
¿cuál es la probabilidad de que Carlos
vendiera la póliza?

SO
LU
CI
ÓN
Evento C = Carlos vende la póliza
Evento M = Mariana vende la póliza
Evento Q = Se presenta queja
P(C) = 0.75
P(M) = 0.25
P(Q|C ) = 0.15
P(Q|M) = 0.20

DIAGRAMA DE ÁRBOL
El diagrama de árbol es una gráfica útil para
organizar cálculos que implican varias etapas.
Cada segmento del árbol constituye una etapa del
problema.
Las ramas del árbol se ponderan por medio de
probabilidades.

DIAGRAMA DE ÁRBOL
1.Dibujar un punto grueso a la izquierda
para representar la raíz del árbol
2.Las ramas principales salen de la raíz: escribir el
nombre.
3.Anotar sobre las ramas las probabilidades. Estas
probabilidades también se denotan P(A1) y P(A2).
De cada una de las ramas principales salen las
subramas.

EJ
E
MP
LO
Se entrevistó a una muestra de ejecutivos
respecto de su lealtad a la compañía.
Una de las preguntas fue: Si otra compañía le
hace una oferta igual o le ofrece un puesto un
poco mejor del que tiene ahora,
¿permanecería con la compañía o aceptaría el
otro puesto? compañía.

EJ
E
MP
LO
A partir de las respuestas de los 200
ejecutivos que participaron en la encuesta se
hizo una clasificación cruzada según el
tiempo de servicio en la compañía.

EJ
E
MP
LO
De la tabla inicial se obtienen las respectivas
probabilidades que se utilizarán en el
diagrama de árbol.
B1 B2 B3 B4
Lealtad Menos de 1
año
De 1 a 5
6 a 10 años Más 10 años
TOTAL
años
Permanencia A1 10 30 5 75 120
No permanencia A2 25 15 10 30 80
TOTAL 35 45 15 105 200

SO
LU
CI
ÓN
Lealtad Servicio
Probabilidades
condicionales
Probabilidades
conjuntas
Permanencia
No permanencia
Menos de 1 año
1-5 años
6-10 años
Más de 10 años
Menos de 1 año
1-5 años
6-10 años
Más de 10 años

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